云南玉溪师范学院附属中学2026届高三下学期模拟预测数学试题

**基本信息** 高考全真模拟卷，覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，解答题融入马尔可夫链等真实情境，考查数学建模与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合运算、函数求值、向量数量积|基础题为主，如第1题集合运算，考查抽象能力| |多选题|3/18|不等式性质、曲线方程、正方体轨迹|多选项分层，如第11题正方体轨迹，考查空间观念| |填空题|3/15|复数虚部、切线方程、飞行棋概率|情境创新，如第14题飞行棋概率，体现数据意识| |解答题|5/77|解三角形、立体几何证明、导数极值、抛物线定点、马尔可夫链概率|综合应用，如第19题马尔可夫链，考查数学建模与运算能力|

玉溪师院附中2026届高考全真模拟考试 数学试卷 命题、审题：试题小组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集，设集合，集合，则=（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A． B．e C．1 D． 3．已知为单位向量,向量，若则 （    ） A．-2 B．2 C．-3 D．3 4．已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知展开式中常数项为1120，实数a是常数，则展开式中各项系数的和为( ) A． B． C． D． 6．已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（   ） A． B． C． D．2 7．如图，正方形的边长为，取的各边中点作第二个正方形 ，然后再取的各边中点，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，那么所有的正方形的面积之和趋近于（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线C的左、右焦点分别为，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．若正实数满足，则（    ） A．的最小值是 B． 的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 10．已知曲线，则以下结论正确的是（    ） A．的范围是 B．若，则曲线具有周期性 C．曲线关于轴对称 D．曲线与圆有公共点 11．如图，在棱长为的正方体中，P，Q分别为的中点，点T在正方体的表面上运动，满足．其中所有正确结论是（ ） A．线段长度的最小值为； B．点到直线的距离为 C．点T的轨迹是梯形； D．点T的轨迹围成的多边形的面积为． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设为虚数单位，则复数的虚部为 ． 13．若曲线在原点处的切线也是曲线的切线，则 ． 14．飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则______ 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）记的内角的对边分别为，已知 ． (1)求； (2)若 ，点在边上，且，求的长． 16．(本小题15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形是正方形，.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 17．(本小题15分）已知函数． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)若在定义域上不单调，求的取值范围. 18．(本小题17分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线C经过点． (1)求抛物线C的方程； (2)A，B是抛物线C上异于点P的两个动点，记直线和直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点． 19．(本小题17分）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪师院附中2026届高考全真模拟考试 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D D C C A B A BC BCD ABD 12. 13. 14. 1． B.【解】因为，所以， 因此. 2．D【解】因为函数， 所以，所以. 3．D【解】，则. 4．C【解】，因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即. 因为， 所以，函数在上单调增，等价于或， 所以，解不等式得或，所以，的取值范围是. 5．C 【解】分析：由展开式通项公式根据常数项求得，再令可得各项系数和． 详解：展开式通项为，令，则，∴，，所以展开式中各项系数和为或． 6．A【解】设圆锥底面圆的半径为，则母线长为， ，，. 7．B【解】记第个正方形的面积为，第个正方形的边长为， 则第个正方形的对角线长为， 所以第全正方形的边长为，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以若这个作图过程可以一直继续下，则所有这些下方形的面积之和将趋近于常数. 8．A【解】令双曲线的方程为，半焦距为c，取渐近线， 在中，，则，， 于是，在中， ，则，即， 所以双曲线C的离心率为. 9．BC【解】，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是9，故A错误； 由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； ，当时，取得最小值，故D错误. 10．BCD【解】曲线，则，A选项错误；当，则曲线，， 所以是周期，所以曲线具有周期性，B选项正确； 代入曲线成立，所以曲线关于轴成轴对称图形， C选项正确；曲线，与圆有公共点，D选项正确； 11．ABD 【解】由题知，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长 则，，，，，， ，，，，设， ，故B正确. ，因为所以， 当时，，当时， 取，，，，连结，，，， 则，，，即 所以四边形EFGH为矩形，因为，，所以，， 又和为平面中的两条相交直线， 所以平面EFGH， 又，，所以为EG的中点，则平面EFGH， 为使，必有点平面EFGH， 又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形EFGH， 又，， 所以，则点的轨迹为矩形EFGH，故C错误 面积为，即，故D正确 又因为，，， 则，即，所以，点在正方体表面运动， 则，解得，， 结合点的轨迹为矩形EFGH， 分类讨论下列两种可能取得最小值的情况 当，或时，， 当，或时， 因为，所以当，或时，取得最小值为，即，故A正确. 12．【解】. 13．【解】由得，所以曲线在原点处的切线为．由得，设切线与曲线相切的切点为．由两曲线有公切线得，解得，则切点为．因为切点在切线上，所以． 14．【解】，即投掷1次到达终点，故第一次投掷的点数为3，故， ，即投掷2次到达终点，故第一次投掷的点数不为3， 第二次投掷的点数可根据第一次投掷的点数来唯一确定， 两次投掷的点数有以下的情况，，故， ，即投掷3次到达终点，前两次投掷均没有到达终点， ，……， ，即投掷次到达终点，前次投掷均没有到达终点，， 故①， ②， 则①-②得 ，故.6 15．【解】（1）由 和正弦定理，可得， 因，则，化简得， . （2）由（1）得，由余弦定理，，即 将代入化简：，解得， 因，由可得： 即，解得. 16．【解】（1）因为平面平面，， 平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以，因为四边形是正方形，所以， 又因，平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）由（1），因为平面，平面，所以， 因为是正方形，所以，又， 以点为坐标原点，，，分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 因此，，，，则，，，设平面的一个法向量， 则，不妨令，则，因此，则与平面所成角的正弦值为， 又因线面夹角的取值范围为，则与平面所成角的大小为.   17.【解】（1）由题意得， 因为为函数的极值点，所以，解得， 经检验，当时，为函数的极值点，所以. （2）因为的定义域为，， 要使在定义域上不单调，则在上有解，即在上有解，由得，当且仅当时取等号， 当时，，在上单调，不符合题意，所以的取值范围为. 18．【解】（1）由题意，设抛物线C的方程为．因为抛物线经过点， 所以，解得．所以抛物线C的方程为． （2）由题意可知，直线的斜率一定存在，不妨设直线的方程为．联立得． 其中，即，∴． ∴，即， 所以，解得．所以直线的方程为，恒过定点． 19．【解】（1）设为“第一天选择米饭套餐”：为“第二天选择米饭套餐”， 则为“第一天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：. （2）①：证明：设为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，，，由全概率公式得： 因此，. 是以为首，为公比的等比数列. ②：根据①可得，所以，下求的最大值， 要求的最大值，则为偶数，当为偶数时，， 此时是单调递减数列，所以的最大值为， 因此，则m的取值范围是. 答案第10页，共12页 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $