精品解析：山东省烟台市牟平区第一中学2023-2024学年高二下学期6月限时练（月考）数学试题

22级高二数学限时练6.16 一、单选题： 1. 已知函数的导函数是，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 2. 已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ） A. B. 240 C. 60 D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 某人在7次射击中，击中目标的次数为且，则当时概率最大 C. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D. 从个红球和个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布 5. 函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是奇函数，当时，，若的图象在处的切线方程为，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 若，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 的前5项和为 10. 学校食堂每天中午都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐概率为，选择套餐概率为；而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是；如此反复，记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；5个月（150天）后，记甲、乙、丙三位同学选择套餐的人数为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数（a为常数），若函数有两个零点，，则下列说法正确是（ ） A B. C. D. 三、填空题： 12 已知，，，则________. 13. 等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_________. 14. 英国数学家布鲁克•泰勒以发现泰勒公式、泰勒级数和泰勒展开式而闻名于世．计算器在计算，，，等函数函数值时，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间内可以多次进行求导数运算，则当，且时，有．其中是的导数，是的导数，是的导数，阶乘，．取，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为______，精确到0.01的近似值为______． 四、解答题： 15. 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：数列为等比数列； （2）设，记数列的前项和为，求，并证明：. 16. 已知函数． （1）求单调区间； （2）当时，证明：当时，恒成立． 17. 某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望； （2）以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位:小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值. 18. 已知函数. （1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若函数有两个极值点，， ①求实数的取值范围； ②求证：. 19. 为应对新一代小型无人机武器，某研发部门开发了甲、乙两种不同的防御武器，现对两种武器的防御效果进行测试.每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标与否相互独立，每次测试都会使用性能一样的全新无人机.对于甲种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机必坠毁；对于乙种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机坠毁的概率为，击中三次目标无人机必坠毁. （1）若，分别使用甲、乙两种武器进行一次测试. ①求甲种武器使目标无人机坠毁的概率； ②记甲、乙两种武器使目标无人机坠毁的数量为，求的分布列与数学期望. （2）若，且，试判断在一次测试中选用甲种武器还是乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大？并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22级高二数学限时练6.16 一、单选题： 1. 已知函数的导函数是，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数定义，将增量化成即可得到. 【详解】因为 所以 故选：B 2. 已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知结合等差数列的通项公式和求和公式求出首项和公差，即可求解. 【详解】由等差数列前项和公式,得，即. 因为，所以, 由，可得, 所以，, 所以. 故选：D. 3. 已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ） A. B. 240 C. 60 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数之和可得，结合二项展开式分析求解. 【详解】由题意可知：二项式系数之和为，可得， 其展开式的通项为， 令，解得， 所以其展开式的常数项为. 故选：B. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 某人在7次射击中，击中目标的次数为且，则当时概率最大 C. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D. 从个红球和个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布 【答案】D 【解析】 【分析】由二项分布的概率计算公式代入计算，即可判断AB，由互斥事件对立事件的定义即可判断C，由超几何分布的定义即可判断D 【详解】由二项分布的概率公式可得，故A错误； 在7次射击中，击中目标的次数为且， 当时，对应的概率为， 当时，，由可得， 即当时概率最大，故B错误； 至少有一黑球包含的基本事件为“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件为“一黑一红，两红”，故至少有一个黑球与至少有一个红球不互斥，故C错误； 设摸出红球的个数为，则， 故满足超几何分布，故D正确； 故选：D 5. 函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，根据极值分析可得与有2个变号交点，对求导，利用导数判断其单调性和最值，结合的图象分析求解. 【详解】因为的定义域为，且， 令，可得， 由题意可知与有2个变号交点， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 可得，且当x趋近于0，趋近于，当x趋近于，趋近于0， 可得的图象，如图所示： 由图象可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 6. 已知函数是奇函数，当时，，若的图象在处的切线方程为，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，，再根据函数为奇函数可得，，即可得解. 【详解】的图象在处的切线方程为， 则，， 当时，，， 因为是奇函数，图象关于原点对称， 的图象在处及处的切线也关于原点对称， 所以，， 即，所以，，． 故选：D. 7. 若，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分离常数可得，设，根据的性质，结合函数与方程的关系即可求解. 【详解】由，得， 设，则， 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 又，所以实数的取值范围是. 故选：A 8. 已知，，，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】等价变形已知条件，，构造两个函数，利用求导判断单调性即可求解. 【详解】设， 因为，，， 所以 即， ， 显然在上单调递减， ，所以在上单调递减， 所以，即， 又，当时，，所以在上单调递增， 所以, 故选：B. 二、多选题 9. 已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 的前5项和为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差，再逐项求解判断即可. 【详解】等差数列中，，解得，而， 因此公差，通项， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，为递减数列，C正确； 对于D，，所以的前5项和为 ，D错误. 故选：BC 10. 学校食堂每天中午都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐概率为，选择套餐概率为；而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是；如此反复，记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；5个月（150天）后，记甲、乙、丙三位同学选择套餐的人数为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，依题知每人每次只能选两种套餐中的一种即得；对于C，易得，推得等比数列，求其通项即可判断；对于B, D两项，由题意得，由推得，即可计算判断. 【详解】因每人每次只能选择两种套餐中的一种，故必有，故A正确； 依题意，，则， 因，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列. 于是，，即故C正确； 因，故， 依题，当时，，故, 则， 因，则，故，故D正确； 因，则，故B错误. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：关键在于发现，从而推得等比数列，求得，继而利用二项分布的相关公式计算即得. 11. 已知函数（a为常数），若函数有两个零点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】函数有两个零点，直线与函数在上的图象有两个交点，由导数研究函数单调性，结合函数图象有，由，消去a可判断选项A；设，可得，，构造函数，利用单调性证明，可得判断选项B；，取，则，可判断选项C；构造函数，证时，可得，证得选项D. 【详解】函数，定义域为， 由可得，可知直线与函数在上的图象有两个交点. ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，则， 且当时，，如下图所示： 当时，直线与函数在上的图象有两个交点. 对于A选项，由已知可得，消去a可得，A对； 对于B选项，设，因为， 则， 所以，， 若证，需证，即证，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增，故，即有，B对； 对于C选项，设，取，则，所以，，故，C错； 对于D选项，若证，则需证，即证， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递减，则，即，D对. 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 三、填空题： 12. 已知，，，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】代入全概率公式，即可求解. 【详解】, ，， 即，则. 故答案为： 13. 等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的定义及求和公式先计算基本量得，再分离参数，借助对勾函数的性质计算即可. 【详解】由题意可知，则的公差为， 所以， 则，即恒成立， 由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 而，即， 所以. 故答案为： 14. 英国数学家布鲁克•泰勒以发现泰勒公式、泰勒级数和泰勒展开式而闻名于世．计算器在计算，，，等函数的函数值时，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间内可以多次进行求导数运算，则当，且时，有．其中是的导数，是的导数，是的导数，阶乘，．取，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为______，精确到0.01的近似值为______． 【答案】 ①. ②. 0.84 【解析】 【分析】根据泰勒展开式，化简得到，求得的“泰勒展开式”中第三个非零项，令，代入上式，进而求得的近似值． 【详解】根据题意， ， 取时，可得， 则 ， 所以的“泰勒展开式”中第三个非零项为， 令，代入上式可得． 故答案为：；0.84 四、解答题： 15. 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：数列为等比数列； （2）设，记数列的前项和为，求，并证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明； （2）由错位相减法求得和，再由分离出，证明恒成立即得证． 【小问1详解】 由得   又， 数列是以为首项，以为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）的结论有          ①   ② ①②得： 因为，所以恒成立 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，证明：当时，恒成立． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【小问1详解】 定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 ，且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 17. 某学校为了解本学期学生参加公益劳动情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望； （2）以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位:小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值. 【答案】（1）分布列见解析，期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，求出的值，由频率分布直方图求出这500名学生中参加公益劳动时间在，，三组内的学生人数分别为50人，40人，10人，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取4人，现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列，由分布列即可计算期望； （2）根据独立重复试验的概率公式得到不等式组，解得的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 由频率分布直方图得: 解得 这500名学生中参加公益劳动时间在三组内的学生人数分别为:人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从参加公益劳动时间在14，16内的学生中抽取:人， 现从这10人中随机抽取3人，则可能取值为0，1，2，3， 的分布列为: 0 1 2 3 则其期望为 【小问2详解】 由（1）可知参加公益劳动时间在的概率 所以 依题意，即， 即，解得 因为为非负整数，所以， 即当最大时， 18. 已知函数. （1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若函数有两个极值点，， ①求实数的取值范围； ②求证：. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，结合二次函数的性质计算可得； （2）①求出函数的定义域与导函数，分、两种情况说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围；②利用韦达定理得到两极值点的和与积，然后得到两极值的和关于的函数表达式，将要证不等式转化为关于实数的不等式，构造函数，利用导数研究其单调性，结合零点存在定理研究最值，从而证明原不等式. 【小问1详解】 因为的定义域为， 又， 依题意在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当时取等号， 所以，即的取值范围为. 【小问2详解】 ①函数的定义域为， 且， 若，即，则，此时的单调减区间为，不符合题意； 若时，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，此时只有一个极值点，不符合题意； 若时，关于的方程有两不相等实数根，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时只有一个极值点，不符合题意； 若，即，则的两根为， 所以当或时，， 当时，， 所以的单调减区间为，， 单调增区间为， 所以当时，函数有两个极值点，； ②由①可知当时，函数有两个极值点，，且，． 因为 ， 要证，只需证， 令，， 则，所以在上单调递增， 又，，且在定义域上连续， 由零点存在定理，可知在上有唯一实根， 且当时，当时， 所以上单调递减，上单调递增， 所以的最小值为，又， 因为， 当时，，又，所以， 所以恒成立， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19. 为应对新一代小型无人机武器，某研发部门开发了甲、乙两种不同的防御武器，现对两种武器的防御效果进行测试.每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标与否相互独立，每次测试都会使用性能一样的全新无人机.对于甲种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机必坠毁；对于乙种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机坠毁的概率为，击中三次目标无人机必坠毁. （1）若，分别使用甲、乙两种武器进行一次测试. ①求甲种武器使目标无人机坠毁的概率； ②记甲、乙两种武器使目标无人机坠毁的数量为，求的分布列与数学期望. （2）若，且，试判断在一次测试中选用甲种武器还是乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大？并说明理由. 【答案】（1）①；②分布列见解析， （2）使用乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大，理由见解析 【解析】 【分析】（1）首先确定，，①再根据题意和甲种武器击中目标的次数，确定概率；②首先确定，分别根据甲和乙两种武器使目标无人机坠毁的概率，确定分布列中的概率，再计算期望； （2）分别用概率表示甲和乙使无人机坠毁的概率，再利用导数比较大小，即可求解. 【小问1详解】 因为每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标无人机与否相互独立， 在一次测试中，用、分别表示甲、乙两种武器命中目标无人机的次数，则，， 记事件为“在一次测试中，使用甲种武器使目标无人机坠毁”， ， 所有可能的取值为， 记事件为“在一次测试中，使用乙种武器使目标无人机坠毁”， ， ， ， ， 所以的分布列如下： 故. 小问2详解】 记事件为“使用甲种武器使得目标无人机坠毁”， 事件为“使用乙种武器使得目标无人机坠毁”， 则 ， ， 因为，所以， 则 ， 令，则， 令，即，则，得， 又，所以恒成立， 所以在上单调递增， 又，则， 故，即， 所以使用乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，理解坠毁与击中的关系，以及理解每种武器击中次数满足二项分布. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$