精品解析：甘肃省定西市安定区城区联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题

公园路中学2023—2024学年度第二学期中考试 八年级数学试卷 考生注意：本试卷满分120分，考试时间为100分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列性质中，菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 是轴对称图形 3. 在平行四边形中，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 7. 在△ABC中AB=1、AC=、BC=2则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 8. 若点在第二象限内，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 化简的结果为_______． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 13. 已知：，则代数式的值为________． 14. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为________． 15. 如图，是边长为10的菱形，若对角线，则________． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，E，H分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BH上的F处，则BC=_______． 三、解答题（本大题10小题，共72分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 17. （1）计算：； （2）计算：． 18. 先化简，再求值，其中，． 19. 作图：如图，在平行四边形中， （1）根据要求作图： ①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M、N两点； ②作直线． （2）若直线恰好经过点A，当，时，则平行四边形的面积是多少？ 20. 如图，点E、F在的对角线上，且．求证：． 21. 已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 22. 如图，在四边形中，，，，且于点B，求的度数． 23. 阅读下面的材料，解答后面给出的问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，． （1）请你写出：的有理化因式：________； （2）已知，，求． 24. 如图，菱形的顶点分别在平面直角坐标系的两轴上，已知，，E为的中点，求证：． 25. 在学习勾股定理时，张东同学了解到：若分别以的三边为一边向外作正方形，（如图①），设这三个正方形的面积分别为，，，则由勾股定理不难得到．于是张东同学运用类比的数学思维方法进行探究：若分别以的三边为一边向外作三个等边三角形：，，（如图②），并设其面积分别为，，． （1）请你猜测，，的数量关系并填空：_________； （2）证明（1）中你的猜想． 26. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 公园路中学2023—2024学年度第二学期中考试 八年级数学试卷 考生注意：本试卷满分120分，考试时间为100分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B．，原式计算正确，符合题意； C．，原式计算错误，不符合题意； D．，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 2. 下列性质中，菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四边相等； ③菱形的两条对角线互相垂直平分； ④菱形既是轴对称图形又是中心对称图形是解题的关键．根据菱形的性质解答即可得． 【详解】解：A、菱形的对角线互相平分，故此选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，故此选项不符合题意； C、菱形的对角线不一定相等，故此选项符合题意； D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 在平行四边形中，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得出，求出，再根据，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 5. 如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理解得的值，再结合正方形的面积公式解题即可． 【详解】在中，，，， 以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：，是的平分线， ，， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7. 在△ABC中AB=1、AC=、BC=2则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】欲求证是否为直角三角形,这里给出三边的长,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可. 【详解】在中,AB=1, ,BC=2, , 是直角三角形. 所以B选项是正确的. 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可. 8. 若点在第二象限内，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简；点的坐标特点，判断x，y的符号是解决本题的易错点；注意二次根式的被开方数为非负数；结果是非负数．根据第二象限坐标的特征判断出x、y的符号，化简即可． 【详解】解：∵点在第二象限内， ∴，， ∴， 故选：D． 9. 如图，在中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质与判定，平行线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质以及三角形中位线的性质，可得，根据两直线平行内错角相等即可求得． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线与相交于点O， ， E是边的中点， ∴，而， 故选B 10. 如图，正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，由正方形的性质可得，，则，由 是的中点，可得，根据勾故定理求、的值，根据，求的值，进而可求． 【详解】解：如图，连接， 由正方形的性质可得，， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 化简的结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 13. 已知：，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用及二次根式的运算，利用把化为，然后把代入计算即可； 【详解】解：∵， ∴ . 故答案为： 14. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵， ∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：（平方米）（平方千米）． 故答案为． 15. 如图，是边长为10的菱形，若对角线，则________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理．掌握菱形的性质是解题关键．由菱形的性质可知，，，再根据勾股定理可求出即可． 【详解】解：如图， ∵四边形为菱形，， ∴，，． ∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，E，H分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BH上的F处，则BC=_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接EH，运用HL可证明△EFH≌△EDH，从而根据BH=BF+HF，得出BH的长，在Rt△BCH中，利用勾股定理可求出BC即可． 【详解】解：如图，连接EH， ∵点E、点H是AD、DC的中点， ∴AE=ED，CH=DH=CD=AB=3， 由折叠的性质可得AE=FE， ∴FE=DE， 在Rt△EFH和Rt△EDH中， ， ∴Rt△EFH≌Rt△EDH（HL）， ∴FH=DH=3， ∴BH=BF+HF=AB+DH=6+3=9， 在Rt△BCH中，BC=， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了折叠问题，勾股定理以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题关键是作辅助线构造全等三角形，依据勾股定理进行计算． 三、解答题（本大题10小题，共72分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 17. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的 混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简绝对值，计算二次根式的乘法运算，再计算二次根式的加减运算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，先计算括号内分式的减法运算，再计算分式的除法运算，再把的值代入计算即可. 【详解】解： ； ∵，， ∴， ∴原式； 19. 作图：如图，在平行四边形中， （1）根据要求作图： ①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M、N两点； ②作直线． （2）若直线恰好经过点A，当，时，则平行四边形的面积是多少？ 【答案】（1） 解：如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据作图要求的步骤进行作图即可； （2）如图，设交于点．结合平行四边形的性质，利用勾股定理求出，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵垂直平分线段， ∴，， ∴， ∴． 20. 如图，点E、F在的对角线上，且．求证：． 【答案】 证明：四边形为平行四边形． ， ， 又， ， ． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质得出，再证明，进而可得出答案． 【详解】略 21. 已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，即利用 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解答本题的关键，根据平行四边形的两组对边分别相等可知得到，又由可得，证得，即可证明是矩形． 【详解】略 22. 如图，在四边形中，，，，且于点B，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 连接，由题意知，，利用勾股定理可求，并可求，而，，得，可证是直角三角形，，从而求的度数； 【详解】解：如图所示，连接， ， ∴为等腰直角三角形， ，， 又， ， ， 是直角三角形， ， ． 故的度数为． 23. 阅读下面的材料，解答后面给出的问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，． （1）请你写出：的有理化因式：________； （2）已知，，求． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据有理化因式的定义即可解答； （3）通过分母有理化可化简、，从而求出、，根据，将，的值代入即可求解． 【小问1详解】 解：， 是的有理化因式， 故答案为：（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：，， ，， ． 24. 如图，菱形的顶点分别在平面直角坐标系的两轴上，已知，，E为的中点，求证：． 【答案】证明：∵菱形， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵E为的中点， ∴； 【解析】 【分析】先证明，，，，可得，再证明为等边三角形，从而可得结论. 【详解】略 【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，坐标与图形，等边三角形的判定与性质，熟练的证明为等边三角形是解本题的关键. 25. 在学习勾股定理时，张东同学了解到：若分别以的三边为一边向外作正方形，（如图①），设这三个正方形的面积分别为，，，则由勾股定理不难得到．于是张东同学运用类比的数学思维方法进行探究：若分别以的三边为一边向外作三个等边三角形：，，（如图②），并设其面积分别为，，． （1）请你猜测，，的数量关系并填空：_________； （2）证明（1）中你的猜想． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过作于， ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和正方形、等边三角形的性质，解题的关键在于灵活运用勾股定理． （1）根据题干提示进行猜想即可； （2）如图，过作于，证明，同理可得：，，再进一步解答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 【答案】问题解决：（1）证明：如图1，∵四边形是矩形， ． ． ． ． 又． ∴矩形是正方形． （2）是等腰三角形．理由如下： ， ． 又，即是等腰三角形． 类比迁移：8 【解析】 【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和可知，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即可求解； （2）由（1）中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得是等腰三角形； 类比迁移：由前面问题的结论想到延长到点，使得，结合菱形的性质，可以得到，再结合已知可得等边，最后利用线段BF长度即可求解． 【详解】解：问题解决： （1）略 （2）略 类比迁移： 如图2，延长到点，使得，连接． ∵四边形是菱形， ． ． ． 又． 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $