精品解析：2024年河南省周口市项城市项城新华学校等校联考三模数学试题

2024年河南省普通高中招生考试名师押题卷（三） 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目的要求） 1. 下列实数中，是有理数的为（ ） A. B. C. π D. 0 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 五棱柱 B. 圆柱 C. 长方体 D. 五棱锥 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 的半径为8，直角三角板 角的顶点A落在 ，两边与 分别交于B，C两点，则弦的长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 7. 如图，在 的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 若方程组的解，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，……，，使得，则的取值不可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图1，在 中，．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段 的长度为y，图2是y随x变化的关系图像，其中M为曲线 的最低点，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是________． 12. 垃圾分类是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为_____吨． 13. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为__________米．（精确到1米，参考数据：≈1.73） 14. 如图，在 中，以为直径作 交于点，过点作 的切线交于点 ．则 的长为___________． 15. 正方形的边长为8，点 在边上，且，点是正方形边上的一个动点，连接交 于点 ，若，则的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 18. 某市消防部门为了了解市民家庭消防安全情况，决定对全市家庭做一次简单的随机抽样调查． 确立样本： （1）下列选取样本的方法中最合理的一种是__________．（只需填上正确答案的序号） ①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取． ②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取． ③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取． 收集数据：市消防部门的工作人员对随机抽取的人员就消防安全常识性知识进行测试（满分100分），从参与测试的城区和郊区的市民中各随机抽取15名，他们成绩（单位：分）如下： 城区市民：83，96，83，77，83，80，81，70，81，73，78，82，83，70，50． 郊区市民：74，81，75，76，70，75，75，79，81，70，74，80，91，69，82． 整理数据： 城区市民人数 1 5 a 1 郊区市民人数 0 10 4 1 分析数据： 平均数 中位数 众数 城区市民 78 81 83 郊区市民 76．8 b c 根据以上数据信息，解决下列问题： （2）表格中的__________，__________，__________； （3）根据以上数据，请推断出哪里的市民成绩较好一些，并说明理由； （4）若该市城区共有2000人参与消防安全常识性知识测试，估计该市城区测试成绩优秀（成绩不低于80分为优秀）的人数． 19. 一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A,B两点，其中． （1）求反比例函数表达式； （2）结合图像，直接写出时，x的取值范围； （3）若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，请直接写出b的值． 20. 网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零． （1）在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？ （2）在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x元的消费与实际总支付y元间存在着依赖关系，当 时，写出y关于x的函数关系式； （3）广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由． 21. 【阅读与思考】平移是初中几何变换之一，它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把分散的条件集中到一起，使问题得以解决． 【问题情景】如图1，在正方形中中，E、F、G分别是、 、上的点，于点O，求证：． 小明尝试平移线段 到，构造 ≌，使问题得到解决． （1）【阅读理解】按照小明的思路，证明 ≌的依据是_______； （2）【尝试应用】 如图2，在5×6的正方形网格中，点A、B、C、D为格点，交 于点M．则 的度数为_________； （3）如图3，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与 相交于点P，求的值． 22. 已知二次函数 （是常数，）． （1）若，求该函数图象顶点坐标； （2）若该二次函数图象经过三个点中的一个点，求该二次函数的表达式； （3）若，当 时， 的最大值记为，最小值记为，求的最小值． 23. 如图，在 中，， ，．动点以每秒2个单位的速度从点出发，沿着的方向运动，当点到达点时，运动停止．点是点关于点的对称点，过点作 于点，以 ， 为邻边作平行四边形，设点的运动时间为秒． （1）求的长； （2）当时，求证： ； （3）是否存在这样的值，使得平行四边形为菱形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河南省普通高中招生考试名师押题卷（三） 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目的要求） 1. 下列实数中，是有理数的为（ ） A. B. C. π D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】是无理数，A不正确； 是无理数，B不正确； π是无理数，C不正确； 0是有理数，D正确； 故选D． 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 五棱柱 B. 圆柱 C. 长方体 D. 五棱锥 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此即可得到答案． 【详解】解：由三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此可知这个几何体是五棱柱， 故选A． 【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键在于能够正确理解图中的三视图． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、单项式除以单项式，幂的乘方，平方差公式，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是正确的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选：A 4. 2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示．绝对值大于等于10的数用科学记数法可表示为的形式，其中，为正整数． 【详解】解：34.45亿． 故选：B． 5. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：D． 6. 如图， 的半径为8，直角三角板 角的顶点A落在 ，两边与 分别交于B，C两点，则弦的长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，得到是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：连接， ， 是等边三角形， ． 故选C． 7. 如图，在 的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：由图可知，总面积为：5×6=30，， ∴阴影部分面积为：， ∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是， 故选：A． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 8. 若方程组的解，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】理解清楚题意，运用二元一次方程组的知识，解出k的取值范围． 【详解】∵0＜x+y＜1， 观察方程组可知，上下两个方程相加可得：4x+4y=k+4， 两边都除以4得，x+y=， 所以＞0， 解得k＞-4； ＜1， 解得k＜0． 所以-4＜k＜0． 故选B． 【点睛】当给出两个未知数的和的取值范围时，应仔细观察找到题中所给式子与它们和的关系，进而求值． 9. 某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，……，，使得，则的取值不可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】，判断出点，，……，在正比例函数上，根据图象判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点，即可得到答案． 【详解】解：设， 则……，， 即点，，……，在正比例函数上， 如图，正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点． 故选：D 【点睛】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键． 10. 如图1，在 中，．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段 的长度为y，图2是y随x变化的关系图像，其中M为曲线 的最低点，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短．作，当动点P运动到点时，线段 的长度最短，此时，当动点P运动到点时，运动结束，此时，根据直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：作，垂足为， 当动点P运动到点时，线段 的长度最短，此时点P运动的路程为，即， 当动点P运动到点时，运动结束，线段 的长度就是的长度，此时， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴，， ∴， 在 中，， ∴， ∴， ∴ 的面积为， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是________． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，先计算，再判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 12. 垃圾分类是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为_____吨． 【答案】1500 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，用样本估计总体．先求出样本中可回收垃圾占比及样本总量，再求出全市可回收垃圾总量即可． 【详解】解：由扇形图知可回收垃圾占比为 试点区域总垃圾量为 全市可收集的干垃圾总量为． 故答案为：1500． 13. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为__________米．（精确到1米，参考数据：≈1.73） 【答案】208． 【解析】 【详解】试题解析：由题意可得：tan30°=， 解得：BD=30， 同理，DC=90 故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120. 14. 如图，在 中，以为直径作 交于点，过点作 的切线交于点 ．则 的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等，作出辅助线，构造直角三角形，是求解的关键．连接，，根据等腰三角形可求出，可证 ，求出，为等边三角形，根据切线的性质，可证，再证 ，在直角三角形 中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴ ， ∵ 为直径， ∴， 在中，，， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵ 是切线， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ 在中，，， ∴， 故答案是：． 15. 正方形的边长为8，点 在边上，且，点是正方形边上的一个动点，连接交 于点 ，若，则的长为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理．分在 上和点在上两种情况讨论，利用三角形全等判定与性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴，， 当点在 上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在上时，如图， 同理， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根、负整数指数幂、绝对值的运算规则，即可求解， （2）根据分式除法的运算法则，即可求解， 本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 如图所示菱形 即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接 ，以为圆心，为半径作弧，交的垂直平分线于点，连接、 ，根据线段垂直平分线的性质可知，则四边形是菱形； （2）根据菱形的性质及解直角三角形求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 即菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握基本作图、解直角三角形． 18. 某市消防部门为了了解市民家庭消防安全情况，决定对全市家庭做一次简单的随机抽样调查． 确立样本： （1）下列选取样本的方法中最合理的一种是__________．（只需填上正确答案的序号） ①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取． ②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取． ③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取． 收集数据：市消防部门的工作人员对随机抽取的人员就消防安全常识性知识进行测试（满分100分），从参与测试的城区和郊区的市民中各随机抽取15名，他们成绩（单位：分）如下： 城区市民：83，96，83，77，83，80，81，70，81，73，78，82，83，70，50． 郊区市民：74，81，75，76，70，75，75，79，81，70，74，80，91，69，82． 整理数据： 城区市民人数 1 5 a 1 郊区市民人数 0 10 4 1 分析数据： 平均数 中位数 众数 城区市民 78 81 83 郊区市民 76．8 b c 根据以上数据信息，解决下列问题： （2）表格中的__________，__________，__________； （3）根据以上数据，请推断出哪里的市民成绩较好一些，并说明理由； （4）若该市城区共有2000人参与消防安全常识性知识测试，估计该市城区测试成绩优秀（成绩不低于80分为优秀）的人数． 【答案】（1）③ （2）8，75，75 （3） 解：城区市民成绩较好一些． 理由：城区市民成绩的平均数、中位数以及众数均高于郊区市民，说明城区市民成绩较好一些．（答案不唯一，合理即可） （4）估计测试成绩优秀的人数为1200人 【解析】 【分析】本题考查数据处理、中位数和平均数、众数概念，由样本百分比估算总体数量，掌握概念和方法是本题关键． （1）根据随机抽取的定义进行解答即可； （2）根据收集的数据得出城市市民 的人数即可得出a的值，再通过众数、中位数的定义确定b，c； （3）从众数、中位数、平均数等方面进行比较城区和郊区市民； （4）先求出优秀的百分率，再乘以总人数． 【小问1详解】 解：③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取是最合理的方式． 故答案是：③； 【小问2详解】 解：的人数一共8人，所以；， 郊区市民成绩排序后最中间的数是75，所以 ， 城区市民成绩最多的数是81，所以 ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解： （人）． 答：估计测试成绩优秀的人数为1200人． 19. 一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A,B两点，其中． （1）求反比例函数表达式； （2）结合图像，直接写出时，x的取值范围； （3）若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，请直接写出b的值． 【答案】（1） （2）或 （3）1或9 【解析】 【分析】（1）将代入得，，则，将代入得，可得， ，进而可得反比例函数表达式； （2）联立，整理得，，可求满足要求的解或，将代入得，，则，然后数形结合求不等式的解集即可； （3）由题意知，平移后的解析式为，联立得，，整理得，，由图像只有一个交点，可得，计算求解然后作答即可． 【小问1详解】 解：将代入得，， ∴， 将代入得，， 解得， ， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：联立，整理得，， ∴， 解得，或， 经检验，或是原分式方程的解， 将代入得，， ∴， ∴由图像可知，的解集为或； 【小问3详解】 解：由题意知，平移后的解析式为， 联立得，，整理得，， ∵图像只有一个交点， ∴， 解得， 或， ∴b的值为1或9． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式，反比例函数解析式，图像法求不等式的解集，一次函数的平移，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式，反比例函数解析式，不等式的解集，一次函数的平移，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 20. 网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零． （1）在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？ （2）在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x元的消费与实际总支付y元间存在着依赖关系，当 时，写出y关于x的函数关系式； （3）广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由． 【答案】（1）355 （2） （3） 解：如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”，理由如下∶ 当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元； 同理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算； 故如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，有理数混合运算的实际应用． （1）根据题意列式计算即可算得答案； （2）当 时，可使用4张代金券，故根据题意列出一次函数即可． （3）当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元，同理消费在75到80之间，团1张代金券都比不团要划算，即可得到理由． 【小问1详解】 解：根据题意有： 故在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了355元． 【小问2详解】 当 时，可使用4张代金券， 故 ． 【小问3详解】 略 21. 【阅读与思考】平移是初中几何变换之一，它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把分散的条件集中到一起，使问题得以解决． 【问题情景】如图1，在正方形中中，E、F、G分别是、 、上的点，于点O，求证：． 小明尝试平移线段 到，构造 ≌，使问题得到解决． （1）【阅读理解】按照小明的思路，证明 ≌的依据是_______； （2）【尝试应用】 如图2，在5×6的正方形网格中，点A、B、C、D为格点，交 于点M．则 的度数为_________； （3）如图3，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与 相交于点P，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】对于（1），根据正方形的性质得出两组角及夹边对应相等，即可得出答案； 对于（2），平移至，根据勾股定理可得是直角三角形，进而求出，根据平行线的性质得出答案； 对于（3），平移 至，根据勾股定理可知是直角三角形，即可得出，再根据平行线的性质得出答案． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵，且， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ ≌． 故答案为：； 【小问2详解】 将平移至， 设正方形的边长为1，根据勾股定理可知，，， ∴，且， ∴是直角三角形，且， ∴． ∵， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 将 平移至， 设正方形的边长为1，根据勾股定理，得，，， ∴，，， ∴是直角三角形，且， 则． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平移的应用，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，锐角三角函数值等，根据平移构造直角三角形是解题的关键． 22. 已知二次函数 （是常数，）． （1）若，求该函数图象顶点坐标； （2）若该二次函数图象经过三个点中的一个点，求该二次函数的表达式； （3）若，当 时， 的最大值记为，最小值记为，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）将代入即可； （2）先将解析式因式分解为，后发现不可能经过点，，故经过，代入即可； （3）先根据题意用含的式子表示出 ，在用的式子表示，最后根据的取值范围即可求出其最小值． 【小问1详解】 解： 该函数图象顶点坐标为； 【小问2详解】 当时， ，故不过点 当时，，故不过 过点 将点代入 得 ； 【小问3详解】 对称轴为 ，抛物线开口向下 时， 的最大值记为，最小值记为 时， 时， 当时，有最小值，为． 23. 如图，在 中，， ，．动点以每秒2个单位的速度从点出发，沿着的方向运动，当点到达点时，运动停止．点是点关于点的对称点，过点作 于点，以 ， 为邻边作平行四边形，设点的运动时间为秒． （1）求的长； （2）当时，求证： ； （3）是否存在这样的值，使得平行四边形为菱形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 证明：当时， ， ， 、关于点对称， ， ； 四边形为平行四边形， ， ； （3）存在；当或时，四边形为菱形 【解析】 【分析】（1）由锐角三角函数的定义即可得出答案； （2）当时，点在线段上，求出、 即可得出结果； （3）①当点在边上时，证明 ，得出，求出 ， ，当 时，即 ，解得； ②当点在边上时，证明 ，得出，求出 ，当 时，即 ，解得． 【小问1详解】 解：在 中，， ，， ， ， 解得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 在 中，由勾股定理得： ， ①当点在边上时，如图1所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 时，即 ， 解得：； ②当点在边上时，如图2所示： ， ， ， ， ，即， ， 当 时，即： ， 解得：， 综上所述，当或时，四边形为菱形； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了锐角三角函数的定义、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、分类讨论等知识，综合性强，注意分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $