浙江省温岭市新河中学2023-2024学年高一下学期6月阶段性考试数学试题

新河中学高一第二学期6月阶段性考试 数学 试题卷 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2.如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中 ，则的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 3. 某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据 分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的分位数是（ ） A. 12 B. 16 C. 17 D. 18.5 4. 已知，，分别是三内角，，对边，则“”是“ 为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（    ） A． B． C． D． 6.如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二 面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥 外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 8. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的 中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60° 9．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法 正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D．若，且，O为的内心，则的面积为 1、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 10. 已知向量满足，则向量在上的投影向量为___________. 11. 若，则的最大值为______. 12. 在中，，，的外接圆为圆O， P为圆O上的点，则的取值范围是________. 2、 解答题：本题共3小题，共37分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组， 每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相 同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验 数据分别得到如图直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到的估计值为0.85． (1)求乙离子残留百分比直方图中的值且估计甲离子残留百分比的中位数； (2)从组小鼠和组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率 为多少． 14．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.   (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为， 若存在求出点的位置，不存在请说明理由. 15．如图，在平面四边形ABCD中，，，． (1)若，求的面积； (2)若，求BC． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新河中学高一第二学期6月阶段性考试 数学 参考答案 一.单选题 1. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接计算得到，然后根据虚部的定义即可. 【详解】，所以. 故选：B. 2. 如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直观图还原为原图，如图，求出，进而求出，即可求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图， 由，，所以， 所以，则， 即原平面图形的面积是． 故选：D 3. 某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的分位数是（ ） A. 12 B. 16 C. 17 D. 18.5 【答案】C 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】依题意这个数据从小到大排列为：，，，，，，，，，， 又，所以分位数为从小到大排列的第八个数，即为. 故选：C 4. 已知，，分别是三内角，，的对边，则“”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】在中，由，利用正弦定理结合三角形内角和及三角形内角取值范围求出，所以 “”是“为直角三角形”的充分条件；举出反例可以说明“”不是“为直角三角形”的必要条件；最后选出答案即可. 【详解】在中，由正弦定理可得：， 由，可得：， 所以，因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 所以，所以为直角三角形， 故“”是“为直角三角形”的充分条件； 若为直角三角形，设，， 则，所以， 所以， 所以“”不是“为直角三角形”的必要条件； 即“”是“为直角三角形”的充分不必要条件. 故选：A. 5.．设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（    ） A． B． C． D． [答案】A 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为，故， 因为与为互斥事件，故， 所以 ，故，故. 故选：A 6. 如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，找到二面角平面角，并得到球心的位置，利用半径相等得到方程，求出外接球半径，得到表面积. 【详解】如图所示，过点作，过点作，两直线相交于点， 因为，， 所以，⊥，则⊥， 由于⊥，故即为二面角的平面角， 则， 过点作⊥于点， 因为⊥，⊥，，平面， 故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，平面， 则⊥平面，， 取的中点，则外接球球心在平面的投影为，即⊥平面， 连接，，则，过点作，交直线于点， 则， ， ， 由余弦定理得 ， 设，则，故， 由勾股定理得，， 故，解得， 故外接球半径为，外接球表面积为. 故选：C 【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 7. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，B，D选项，可以举出相应的反例否定，而C选项可以直接证明. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，令，，，则，从而有，，但不满足，故B错误； 对于C，若，，，所以，因为是不同的平面，所以，故C正确； 对于D，若，，则或或与斜交，故D错误. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对空间中的位置关系的判定. 8. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60° 【答案】AC 【解析】 【分析】根据各选项条件，分别确定动点的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，进行判断. 【详解】对A：如图： 当点位于边上时，因为平面，所以，故A正确； 对B：如图： 当时，点轨迹为矩形，其中分别为，中点，所以动点轨迹的周长为：，故B错误； 对C：如图： 当平面时，点轨迹是正六边形，其中均为棱的中点，故C正确； 对D：如图： 当点在侧面上运动，且满足时，点轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，则即为二面角的平面角，所以当与的中点重合时，二面角取得最大值，此时，因为，所以.故D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度. 9．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D．若，且，O为的内心，则的面积为 【答案】ACD 【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 即 ， 因为，所以，且，所以. 选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ， 所以， 所以的外接圆的面积为，选项A正确； 选项B：由余弦定理得， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解， 故 ，解得b，所以选项B错误； 选项C：由正弦定理，得 ，即， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，故选项C正确； 选项D：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 即，所以， 所以， 又因为，所以，故，，解得 ， 因为，所以， 即是直角三角形，所以内切圆的半径为， 所以的面积为，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 10. 已知向量满足，则向量在上的投影向量为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的公式计算可得. 【详解】， 又在上的投影向量为， 故答案为：. 11. 若，则的最大值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】由复数模的几何意义确定复数z对应点的轨迹，问题化为圆上点到原点的距离最大值，即可得结果. 【详解】令且，又， 所以，即， 所以复数z对应点在以为圆心，半径为1的圆上， 又表示圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为， 所以的最大值为. 故答案为：3 12. 在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件利用三角形面积公式，向量的数量积和三角恒等变换，得，，的外接圆半径，，由向量的模和夹角讨论运算结果的取值范围. 【详解】，又， 由，解得， 由，得，则有，. ， 则有， ，则有，所以有，， 的外接圆为圆O，P为圆O上的点， 由正弦定理得的外接圆半径，则有， ， ，， 为中点，，， 当与方向相同时，有最大值， 当与方向相反时，有最小值， 所以的最大值为，最小值为， 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用，本题利用向量数量积的定义结合了图形几何性质求解. 四、解答题（本题共3题，共37分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到的估计值为0.85． (1)求乙离子残留百分比直方图中的值且估计甲离子残留百分比的中位数； (2)从组小鼠和组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少． 【答案】(1)，甲离子残留百分比的中位数为4； (2)0.105. 【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中，即可求中位数； （2）先求出组、组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率，由相互独立事件的概率乘法公式求概率． 【详解】（1）由频率分布直方图可得：且， 解得， 甲离子残留百分比的中位数为.．................................................7分 （2）组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为， 组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.7， ​​​​​​​所以两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为.．.........................................15分 14．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)靠近B的三等分点 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，结合垂直关系的转化，即可正面线面垂直； （2）根据（1）的结果，作出平面与四棱锥的截面，通过点的转化，以及等体积转化，求得点到平面的距离，再根据比例关系，确定点的位置. 【详解】（1）取的中点，连结，则四边形是正方形，    则，，所以，且 所以,所以， 因为平面平面，平面平面，PA在面PAB内， 所以平面；.............................................. （2）    在上取点，使，连结，在上取点，使， 取CP上点Q,使得CQ=1/3CP 取BC中点M,DM交AC于N 则QN║AF,QD║EF 所以 面QMD║面AEF. 又BF.║MQ........................... 所以四点共面，即与平面交于点， 由（1）可知，平面，平面， 所以，且，，且平面， 所以平面，平面，所以， 且是等腰直角三角形，点为的中点， 所以，且，平面， 所以平面， , 所以， ，，， 所以，即， 因为，所以， 设点到平面的距离为，则， 即，所以， 因为点是的中点，所以点到平面的距离也是， 若点到平面的距离为，则, 所以存在点，使得点到平面的距离为，点为靠近点的三等分................................................. 15．如图，在平面四边形ABCD中，，，． (1)若，求的面积； (2)若，求BC． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求得，再结合求解即可 （2）设，再在中利用正弦定理得出关于的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可 【详解】（1）由可得，又故，故.............................................. （2） 设，则，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化简得，即，利用降幂公式有，利用辅助角公式有，故，................................ 利用诱导公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故 .............................................. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$