精品解析：山东省泰安市新泰市第一中学东校2023-2024学年高二下学期第二次质量检测数学试题

新泰一中东校2023-2024学年高二下学期第二次质量检测 数 学 试 题 2024年6月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集和交集的运算法则求解. 【详解】由已知得， 则， 故选：C. 2. 设p：，q：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式、分式不等式求对应x的范围，根据充分、必要性定义判断p、q的关系. 【详解】由，则， 由，则，即，故， 所以p是q的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知随机变量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布曲线的性质即可得解. 【详解】随机变量，且， . 故选：A 4. 的展开式中常数项为（ ） A. 544 B. 559 C. 495 D. 79 【答案】B 【解析】 【分析】若要展开式中出现常数项，需考虑六个括号中每个括号提供哪些项，分三种情况解决即可. 【详解】展开式中的常数项分三种情况： 第一种，六个括号都提供，此时得到； 第二种，六个括号中一个括号提供，两个括号提供，三个括号提供，此时得到； 第三种，六个括号中两个括号提供，四个括号提供，此时得到， 所以展开式的常数项为， 故选：B. 5. 若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，分析可知在内有根，在内有根，结合零点存在性定理分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 因为在上不单调，等价于在上有极值点， 等价于在内有根，即在内有根， 结合的形式特征可得：原题意等价于，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 6. 已知X的分布列为 0 1 且，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据分布列的性质求的值，可求出，，进而可求. 【详解】由可得， 所以，， 所以. 故选：D 7. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由古典概率公式求出，再由全概率公式求出，最后由条件概率求出即可. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则，， 由全概率公式可得 ， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：条件概率公式为，全概率公式为. 8. 曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数，利用导数求得单调性和最值，即可求得的取值范围. 【详解】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到，从而构造函数即可得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若均为正数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，B，利用均值不等式或“1”的妙用计算判断；对于C，D化成关于b的二次函数即可判断作答. 【详解】因均为正数，且， 则有，当且仅当时取“=”，即的最大值为，A正确； ，当且仅当时取“=”，即的最小值为9，B正确； 显然，在上单调递减，无最小值，C不正确； ，当且仅当时取“=”，即的最小值为，D正确. 故选：ABD 10. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 若.则 B. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 C. 从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种 D. 西部某县委将7位大学生志愿者男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法判断A，根据分步乘法计数原理判断B，先选一双鞋子，再从剩下的双鞋子中各选一只，按照分步乘法计数原理判断C，先分组、再分配，即可判断D. 【详解】对于A：二项式展开式的通项为（）， 所以、、，、、， 对， 令可得， 令可得， 所以，故A正确； 对于B：公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种，故B错误； 对于C：先从双不同颜色的鞋子中任选一双有种取法，再从剩余的双鞋子中的任意两双，在这两双中各选一只有， 由分步乘法计数原理可得从双不同颜色的鞋子中任取只，其中恰好只有一双同色的不同取法共有，故C正确； 对于D：分组的方案有、和、两类， 第一类有种； 第二类有种， 所以共有种不同的方案，故D正确； 故选：ACD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）． A. 若在R上单调递增，则 B. 若，则过点能作两条直线与曲线相切 C. 若有两个极值点，，且，则a的取值范围为 D. 若，且的解集为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A.由导数和单调性的关系，转化为恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可求解；B.首先设切点，利用导数的几何意义求切线方程，转化为关于切点的方程有2个实数根，利用导数以及零点存在性定理，即可判断；C.转化为导函数有2个零点，利用数形结合，即可求解；D.首先求解不等式，再将转化为关于的式子，即可求解. 【详解】对于A，对求导得：， 因为函数在R上单调递增，所以恒成立， 即恒成立，记，则， 因为，当时，，即函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因此，函数在处取得最大值，所以，即，故选项A正确； 对于B，时，，， 设图象上一点，则， 故过点的切线方程为， 将代入上式得，整理得， 构造函数，则， 构造函数，则， 令得，令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以函数单调递增， 又，， 即方程在区间仅有一解，从而在R上也仅有一解， 所以过点只能作一条直线与曲线相切，B选项错误； 对于C，因为函数有两个极值点，， 所以有两个零点，，即方程有两个解为，， 记，因为， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因此，函数在处取得最大值， 方程有两个解为，等价于与图像有两个不同公共点， 所以，所以，C选项正确； 对于D，由，得，等价于，即， 当时，，，又，故，所以， 当时，，无解， 故的解集为， 此时， 当时，，，从而D错误． 故选：AC． 【点睛】关键点点睛：本题前3个选项都是利用导数解决函数问题，尤其是BC选项，属于函数零点问题，B选项转化为判断零点各数，C选项是已知零点个数，求参数的取值范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中，______研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 【答案】乙 【解析】 【分析】根据相关系数的定义判断即可. 【详解】因为，所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高， 故答案为：乙. 13. 已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，以下结论，正确结论的序号为______ ①展开式中奇数项的二项式系数和为256 ②展开式中第6项的系数最大 ③展开式中存在常数项 ④展开式中含项的系数为45 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知，由展开式的各项系数之和为1024可得，则二项式为，易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同，利用二项式系数的对称性判断①②；根据通项判断③④即可. 【详解】对①，由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知， 又展开式的各项系数之和为1024，即当时，，又，所以， 所以二项式为， 则二项式系数和为，则奇数项的二项式系数和为，故①错误； 对②，由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大， 即第6项的二项式系数最大，因为与的系数均为1， 则该二项式展开式的二项式系数与系数相同，所以第6项的系数最大，故②正确； 对③，若展开式中存在常数项，由通项可得，解得，故③正确； 对④，由通项可得，解得，所以系数为，故④正确. 故答案为：②③④. 14. 已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，将不等式化为，令，利用导数即可得出 ，令，利用导数即可求解. 【详解】由可得，即恒成立， 令， 则不等式可化为：， 令，则， 所以，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增. 所以， 故要使恒成立，只需，即，即， 令，所以， 令，则， 所以时，，在上单调递增，且当时，， 时，，在上单调递减，且当时，， 所以， 故. 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件，.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，若. （1）求实数m的值； （2）求； （3）求的值. 【答案】（1）1 （2）56 （3）2 【解析】 【分析】（1）利用赋值法即可求解， （2）利用二项式展开式的通项特征即可求解， （3）令，即可利用赋值法求解. 【小问1详解】 因为， 令，可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可知：，为一次项系数， 由于， 故一次项为，所以， 【小问3详解】 由（1）可知：，且， 令，可得， 则， 所以. 16. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）4 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； （2）变形为，利用基本不等式求解可得； （3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可. 【小问1详解】 由恒成立得：对一切实数x恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，，解得：； 综上所述：实数m的取值范围为． 【小问2详解】 ，， ， （当且仅当，即时取等号），的最小值为4． 【小问3详解】 由得：； ①当时，，解得：，即不等式解集为； ②当时，令，解得：，； 1）当，即时，不等式解集为； 2）当，即时，不等式解集为； 3）当，即时，不等式可化为， ，不等式解集为； 4）当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 17. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中，= （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（ⅰ）；（ⅱ）46.24 【解析】 【详解】（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型. （Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=， ∴=563-68×6.8=100.6. ∴关于的线性回归方程为， ∴关于的回归方程为. （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值 =576.6， 年利润的预报值. （ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值 ， ∴当=，即时，取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大. 18. 某高校有东，西两个阅览室，甲同学每天晚自习选择其中一个阅览室学习，第一天晚自习选择东阅览室的概率是．如果第一天去东阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为；如果第一天去西阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为； （1）记甲同学前两天去东阅览室的总天数为X，求X的分布列及数学期望； （2）如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去哪个阅览室的可能性更大？请说明理由． 【答案】（1）分布列见解析， （2）第一天去西阅览室的可能性更大，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设“第i天去东阅览室”，“第j天去西阅览室”， 则与对立，与对立，由题意得，，然后根据独立事件的乘法公式耱出相应的概率，从而可求得X的分布列及数学期望， （2）先利用全概率公式求出甲同学第二天去西阅览室的概率，然后利用条件概率公式求出甲同学第二天去西阅览室的条件下，第一天分别去两个阅览室的概率，比较可得答案. 【小问1详解】 设“第i天去东阅览室”，“第j天去西阅览室”， 则与对立，与对立 由题意得， 则X的分布列为 X 0 1 2 P 所以 【小问2详解】 由全概率公式得 所以 所以 所以 所以如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去西阅览室的可能性更大 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分和讨论判断正负，得解； （2）根据题意，问题转化为有两解，令，利用导数判断函数的单调性极值情况得解； （3）根据题意，问题转化为，对恒成立．当时，上式显然成立；当时，上式转化为，令利用导数求出最值得解. 【小问1详解】 ， ， 当时，，所以在上单调递增． 当时，令，则． 若，即时，恒成立，所以在上单调递增． 若，即时，方程的根为， 当时，或，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增， 在上单调递减． 【小问2详解】 令，则． 令，则． 所以当时，，在上单调递减． 当时，，在上单调递增． 又当时，，且；当时，， 所以当时，先减后增，且在处有最小值， 此时直线与有两个交点， 所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 因为，即， 即，对恒成立． 当时，上式显然成立； 当时，上式转化为， 令，， ，所以函数在上单调递增， ，， 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：第三问解题的关键是转化为在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性求最值，进而确定参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰一中东校2023-2024学年高二下学期第二次质量检测 数 学 试 题 2024年6月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设p：，q：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知随机变量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中常数项为（ ） A. 544 B. 559 C. 495 D. 79 5. 若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知X的分布列为 0 1 且，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若均为正数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 若.则 B. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 C. 从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种 D. 西部某县委将7位大学生志愿者男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）． A. 若在R上单调递增，则 B. 若，则过点能作两条直线与曲线相切 C. 若有两个极值点，，且，则a的取值范围为 D. 若，且的解集为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中，______研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 13. 已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，以下结论，正确结论的序号为______ ①展开式中奇数项的二项式系数和为256 ②展开式中第6项的系数最大 ③展开式中存在常数项 ④展开式中含项的系数为45 14. 已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，若. （1）求实数m的值； （2）求； （3）求的值. 16. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于x的不等式． 17. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中，= （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 18. 某高校有东，西两个阅览室，甲同学每天晚自习选择其中一个阅览室学习，第一天晚自习选择东阅览室的概率是．如果第一天去东阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为；如果第一天去西阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为； （1）记甲同学前两天去东阅览室的总天数为X，求X的分布列及数学期望； （2）如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去哪个阅览室的可能性更大？请说明理由． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $