精品解析：广东省东莞市七校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题

东莞市2023-2024学年第二学期七校联考试题 高二数学 命题人：万岳 审题人：钟奎明 考试时间：2024年5月20日（上午8：00-10：00）满分：150分 提醒：请将答案填写在答题卡相应的题号位置，用黑色字迹的签字笔做答，不要用铅笔做答 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项） 1. 若函数，则（ ） A. B. C. 0 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以. 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算得出结果 【详解】 故选：B. 3. 若的展开式的各项系数和为64，则常数项的值为（ ） A. -1 B. -2 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】令结合各项系数之和为64求得，应用二项式定理计算常数项的结果. 【详解】由题意得，令，则，则， 所以展开式中常数项为 故选：D. 4. 现有件互不相同的产品，其中有件正品，件次品，每次从中任取一件测试，直到件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第次被测出的所有检测方法有（ ）种. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合的特点依照题意列式，即可得出结果. 【详解】解：根据题意，第三件次品恰好在第次被测出，说明前三次中有两件次品和一件正品被测出. 第三件次品恰好在第次被测出的所有检测方法有种. 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合的简单计数问题，属于基础题. 5. 若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性与导数的关系进行求解即可. 【详解】由， 因为函数在区间内单调递增， 所以有在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以由， 因为，所以，于是有， 故选：D 6. 设随机变量的分布列如下： 0 1 则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求出，根据题意易得服从两点分布，即可得解. 【详解】由题意， 的分布列如下： 则服从两点分布，故. 故选：C. 7. 设是定义在上的可导函数，，对任意实数，有，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数导数判断函数的单调性，计算得出不等式解集； 【详解】令，则即求的解集. 由已知得，，故在上单调递减； 又由得，，故，从而. 故选：A. 8. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案. 【详解】由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示： 若使得函数有3个零点，则. 故选：A. 二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题至少有两个正确选项，全对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分） 9. 以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（ ） A. 由在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想： B. C. 第2024行中，从左到右看，第1012个数最大 D. 第100行的所有数中，最大的数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据杨辉三角的图形规律，判断各个选项 【详解】对于A，由组合数的性质2可知正确，也可由特殊到一般归纳，也可以用检验法验证，A正确； 对于B，由选项结论得，，正确； 对于C，第2024行共有2025个数，从左到右看数字先增后减且对称出现，所以应该是中间的数即第1013个数最大，C不正确； 对于D，由二项式系数的性质知第100行共有101个数，从左到右二项式系数先增后减且对称出现，所以应该是中间第51个数最大，最大为，D正确. 故选：ABD. 10. 设为离散型随机变量，下列说法正确的是（ ） A. 若等可能取，且，则 B. 若的概率分布为，则 C. 若服从两点分布，且，则成功概率 D. 的方差可以用期望表示为. 【答案】CD 【解析】 【分析】选项A，利用古典概率公式，即可求出结果；法二：根据条件，利用互斥事件的概率公式，即可求出结果；选项B，根据条件，利用期望的计算公式，即可求出结果；选项C，根据条件，利用分布列的性质，即可求出结果；选项D，根据期望及方差的定义，变形化简即可求出结果. 【详解】对于选项A，法1，由古典概率公式得，得到，法2，由已知得：的分布列为， 得到，则，所以选项A错误； 对于选项B，因为，所以，所以选项B错误； 对于选项，根据题意可得，又因为，联立即可解得， 所以选项C正确； 对于选项D，设的分布列为 则，， 所以选项D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有相同的极小值 B. 若方程有唯一实根，则的取值范围为 C. 当时，总有 D. 当时，若，则成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数思想，对函数求导后分析原函数单调性，即可解决极小值问题，对于零点问题，则用数形结合，利用单调性作出函数图象分析即可，对于不等式问题，可利用熟悉的指对数不等式来推理，对于两根之积则利用指对数同构思想再结合单调性去解决恒等问题. 【详解】对于， 当时，，则在上递减， 当时，，则在上递增， 所以有极小值； 当时，，则在上递减， 当时，，则在上递增， 所以有极小值，故A正确； 对于B，结合已求的单调性作图分析， 因为，恒有， 所以方程有唯一实根，则的取值范围为或，故B错误； 对于C，不等式等价于，由基本指数不等式可知是成立，故C正确； 对于D，当时，由得，， 即，显然，则， 则成立，故D正确. 故选：ACD． 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分，将正确答案填写在答题卡指定位置上） 12. 若函数，则函数在处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程. 【详解】因为，则，， 所以， 所以函数在处的切线方程为，即. 故答案为： 13. 在多项式的展开式中，含项的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用组合的运算方法，求得展开式中含项，即可求解. 【详解】由多项式，即为， 要得到项，结合组合的运算，可得项为， 所以项的系数为. 故答案为：. 14. 若函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意在区间上有解，即在区间上能成立，则，，令，，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【详解】因为，所以， 依题意在区间上有解，即在区间上能成立， 则只需，； 令，，则，所以在区间上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 四､解答题（共5小题，13+15+15+17+17，共77分，要求有解析过程） 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是 （2）最大值，最小值 【解析】 【分析】（1）利用导函数值的正负来研究函数的单调性即可； （2）利用闭区间的单调性和端点值，即可求得最大值和最小值. 【小问1详解】 定义域为 令得，. 列表如下： x 0 2 + 0 - 0 + 极大值 极小值 由上表知，的单调递增区间是，单调递减区间是； 【小问2详解】 在区间上，结合上面单调性可知： 当时，， 当时，. 16. 某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望． 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为． （1）请写出方案一的分布列，并求方差； （2）请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 【答案】（1）X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 方差为180 （2） 如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告，理由如下： 由题得Y的分布列为 Y 10 20 30 P 0.3 0.4 0.3 则， ． 由可知采用平台广告投放期望收益较大，又，说明平台广告投放的风险较高． 综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告． 【解析】 【分析】（1）设出的概率，依题列出方程组求解即得的分布列，算出方差； （2）依题列出Y的分布列，算出期望与方差，再与的期望与方差比较即得. 【小问1详解】 设，， 依题意得①，又②， 由①②解得：，． ∴X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 则． 【小问2详解】 略 17. 已知. （1）求的极值； （2）画出函数的大致图象；（注意：需要说明函数图象的变化趋势） （3）若函数至多有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值，无极大值 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，进而得到函数的单调区间和极值； （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，结合函数的变化趋势，得出函数的图象； 令，可得；令，可得， （2）令，根据题意，转化为的图像与直线至多有一个交点，结合图象，即可求解. 【小问1详解】 由函数，可得其定义域为，且， 令，可得 列表如下： 2 - - 0 + 极小值 由上表知，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取极小值，无极大值. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 令，可得；令，可得， 当时，；当时，； 当时，，由指数爆炸增长得，； 当时，； 结合（1）可画出函数的大致图象如图所示； 【小问3详解】 令，可得， 则函数至多有一个零点等价于函数的图象与直线至多有一个交点， 结合（1）（2）知，当时，即时，函数的图象与直线至多有一个交点，即函数至多有一个零点时，所以， 即实数的取值范围为. 18. 某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动． （1）求选到的学生是艺术生的概率； （2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大． 【答案】（1） （2）来自丙班的可能性最大 【解析】 【分析】（1）依据题意根据全概率公式计算即可； （2）根据条件概率公式分别计算，即可判断. 【小问1详解】 设“任选一名学生恰好是艺术生”， “所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”, “所选学生来自丙班”．由题可知： ，，， ，， . 【小问2详解】 ； 所以其来自丙班的可能性最高． 19. 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，.（注：，，，，为的导数）已知在处的阶帕德近似为. （1）求实数的值； （2）证明：当时，； （3）设为实数，讨论函数的单调性. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据，可构造方程求得结果； （2）构造函数，利用导数可求得单调性，结合最值可证得结论； （3）求导后，分别在和的情况下，根据正负可求得单调性. 【小问1详解】 由，知：； ，，，， ，，，. 【小问2详解】 由（1）知：； 令， 则，在上单调递增， 又，，即当时，. 【小问3详解】 由题意知：， ； ①当，即时，，， 在上单调递增； ②当，即时，令得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市2023-2024学年第二学期七校联考试题 高二数学 命题人：万岳 审题人：钟奎明 考试时间：2024年5月20日（上午8：00-10：00）满分：150分 提醒：请将答案填写在答题卡相应的题号位置，用黑色字迹的签字笔做答，不要用铅笔做答 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项） 1. 若函数，则（ ） A. B. C. 0 D. -1 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若的展开式的各项系数和为64，则常数项的值为（ ） A. -1 B. -2 C. 2 D. 1 4. 现有件互不相同的产品，其中有件正品，件次品，每次从中任取一件测试，直到件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第次被测出的所有检测方法有（ ）种. A. B. C. D. 5. 若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设随机变量的分布列如下： 0 1 则（ ） A. B. C. D. 1 7. 设是定义在上的可导函数，，对任意实数，有，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题至少有两个正确选项，全对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分） 9. 以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（ ） A. 由在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想： B. C. 第2024行中，从左到右看，第1012个数最大 D. 第100行的所有数中，最大的数为 10. 设为离散型随机变量，下列说法正确的是（ ） A. 若等可能取，且，则 B. 若的概率分布为，则 C. 若服从两点分布，且，则成功概率 D. 的方差可以用期望表示为. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有相同的极小值 B. 若方程有唯一实根，则的取值范围为 C. 当时，总有 D. 当时，若，则成立 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分，将正确答案填写在答题卡指定位置上） 12. 若函数，则函数在处的切线方程为__________. 13. 在多项式的展开式中，含项的系数为__________. 14. 若函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围为__________. 四､解答题（共5小题，13+15+15+17+17，共77分，要求有解析过程） 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望． 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为． （1）请写出方案一的分布列，并求方差； （2）请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 17. 已知. （1）求的极值； （2）画出函数的大致图象；（注意：需要说明函数图象的变化趋势） （3）若函数至多有一个零点，求实数的取值范围. 18. 某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动． （1）求选到的学生是艺术生的概率； （2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大． 19. 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，.（注：，，，，为的导数）已知在处的阶帕德近似为. （1）求实数的值； （2）证明：当时，； （3）设为实数，讨论函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $