精品解析：2024年江苏省扬州市仪征市中考数学二模试题

2024年江苏省扬州市仪征市中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 若苹果每千克x元，小明买了2千克苹果需要支付的费用用代数式表示为（　　） A. 2×x B. 2x C. D. 2+x 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式．根据总费用单价数量，列出代数式即可． 【详解】解：苹果每千克元，小明买了2千克苹果 需要支付的费用用代数式表示为：元， 故选：B． 2. 如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是（　　） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数轴上点表示有理数，数轴上两点的距离． 根据数轴可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点A表示的数为． 故选：D． 3. 样本数据2，4，，8，0的中位数是（　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查中位数的求解，解题的关键是熟知中位数的定义，根据中位数的性质即可求解． 【详解】解：从小到大排列此数据为：、0、2、4、8，处在中间为中位数． 所以本题这组数据的中位数是2． 故选：B． 4. 若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为　　 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可． 【详解】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°， 根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°． 解得n=6. 故选C. 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键. 5. 将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得，再根据平行线的性质可知，然后由即可求出答案． 【详解】解：如图， 由题意可知，是等腰直角三角形，， ∴， 又∵由题意可知，，， ∴， ∴． 故选：D． 6. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸，随机选一瓶溶液滴入一滴酚酞试剂，溶液变红色是（　　）事件 A. 随机 B. 必然 C. 不可能 D. 确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念，解题的关键是掌握相关的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：由题可知， 将酚酞试剂滴入溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸四种溶液中溶液，变红色是随机事件． 故选：A． 7. 已知a、b是两个不相等的正数，在交换a与b的位置后，下列代数式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式的性质．根据完全平方公式的性质即可求得答案． 【详解】解：A．，则A符合题意； B．，则B不符合题意； C．，则C不符合题意； D．，则D不符合题意； 故选：A． 8. 某小组为了研究一组数据变化规律，将数据通过描点、连线得到相应的图象如图所示，若选择的函数模型是，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象．根据函数的增减性和图象上点的符号推断求解． 【详解】解：是有函数向上平移个单位得到的， 随的增大而增大， ， 时，， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 据大数据显示，扬州“五一”假期共接待游客约人次．数据用科学记数法表示为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 函数的图象经过点，则函数值y随着x的增大而 _______．（填“增大”或“不变”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出k值是解题的关键．由函数的图象经过点，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k值，由，利用一次函数的性质，即可得出函数值y随着x的增大而减小． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 解得：． ∵， ∴函数值y随着x的增大而减小． 故答案为：减小． 13. 点、、都在上，，，则的度数是_______°． 【答案】10 【解析】 【分析】根据圆周角定理的求出，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可．本题考查的是圆周角定理的应用，熟记在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半． 【详解】解：∵ ∴， ， ， ， ， 故答案为：10． 14. 若，，则的值是___________________． 【答案】6 【解析】 【分析】先提公因式分解原式，再整体代值求解即可． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴原式， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，利用整体思想方法是解答的关键． 15. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键，一元二次方程的根与有如下关系：当时， 方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；根据方程有实数根，则且求解即可； 【详解】关于x的一元二次方程有实数根， 且， 且； 故答案为：且． 16. 如图，在菱形中，于点，，，则的值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．由锐角三角函数定义得，设，则，推出，，然后由锐角三角函数定义即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴可设，则， ∴，， 又∵，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 17. 如图，点是正六边形对角线上的一点，若，则阴影部分的面积为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．连接，过点作于点，根据正六边形的性质求出，，进而得到，推出，再根据勾股定理求出，得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 六边形是正六边形， ，， ， 在中，，， ，， ， ， 故答案为：． 18. 如图，中，，，，，的内切圆半径分别记为，，，若，，则__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件证明，，利用三角形面积比解答即可．本题主要考查了三角形的内切圆，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键． 【详解】解：令，，， 在中，， 可得：， ， ， 又， ， ， 即：， ， 同理可得：， ， ， 即：， ∵，，的内切圆半径分别记为，，， ，，， ； ， ，， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. 计算与化简： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，分式的混合运算，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简乘方、绝对值、正弦值，再算乘法，最后算出加减，即可作答． （2）先括号内进行通分，再运算除法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 解不等式组，并写出满足条件的正整数解． 【答案】，不等式组的正整数解为1 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等，得：， 不等式组的解集为， 则不等式组的正整数解为1． 21. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习方式，某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论，为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）直接写出本次调查的学生总人数______； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （4）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？ 【答案】（1） （2）作图见解析 （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体． （1）利用在线答题的学生人数除以其所占百分比即得出总人数； （2）用总人数减去其它在线学习方式人数即得出在线听课学生人数，即可补全统计图； （3）求出在线讨论学生所占的百分比，再乘以即得出答案； （4）求出在线阅读学生所占的百分比，再乘以该校总人数即可． 【小问1详解】 本次调查的学生总人数：， 故答案为：； 【小问2详解】 在线听课的学生有：（人）， 补全的条形统计图如下图所示； 【小问3详解】 扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是：， 即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是48°； 【小问4详解】 （人）， 答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人． 22. 扬州早茶是一种民间饮食风俗，曾令乾隆皇帝也念念不忘．某早餐店提供虾籽馄饨、蟹黄汤包、千层油糕等美食，现有小明和小华两名学生，每人从虾籽馄饨、蟹黄汤包、千层油糕中随机选择一种进行品尝． （1）小明恰好品尝到蟹黄汤包的概率为 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小华两名同学恰好品尝同一种美食的概率． 【答案】（1） （2）小明和小华两名同学恰好品尝同一种美食的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中小明恰好品尝到蟹黄汤包的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小明和小华两名同学恰好品尝同一种美食的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中小明恰好品尝到蟹黄汤包的结果有1种， 小明恰好品尝到蟹黄汤包的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：将虾籽馄饨、蟹黄汤包、千层油糕分别记为，，， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小华两名同学恰好品尝同一种美食的结果有3种， 小明和小华两名同学恰好品尝同一种美食的概率为． 23. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48棵．实际每天种多少棵树？ 本题所列的方程可以是：①；②． （1）表示的实际意义是 ，表示的实际意义是 ． （2）选择其中一种方程解答此题． 【答案】（1）原计划每天种树的棵数；实际种树的天数 （2）实际每天种棵树 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据各数量之间的关系 所列方程，找出表示的实际意义是解此题的关键． （1）由实际与原计划每天种树的棵数间的关系及所列方程①可得出表示的实际意义；根据实际与原计划种树时间间的关系以及所列方程②可得出表示的实际意义； （2）解分式方程，检验后得出的值，即可得解． 【小问1详解】 解：青年志愿者的支援，每天比原计划多种， 方程①中表示的实际意义是原计划每天种树的棵数，表示的实际意义是实际每天种树的棵数； 青年志愿者的支援，提前1天完成任务， 方程②中表示的实际意义是实际种树的天数， 故答案为：原计划每天种树的棵数；实际种树的天数； 【小问2详解】 解：选择方程①， ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 实际每天种棵树； 选择方程②， ， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合意义； ， 实际每天种棵树． 24. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形： （2）连接．若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握特殊平行四边形的性质和判定定理是解题的关键． （1）首先根据菱形的性质得，，再结合已知条件，得，结合，可知四边形是平行四边形，进而得出结论； （2）由（1）可知，，，根据勾股定理可求得，由菱形面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 由（1）可知，，， ， 菱形的面积． 25. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 26. 在平面直角坐标系中，设函数，是常数，． （1）若点和在该函数的图象上，则函数图象的顶点坐标是 ； （2）若点在该函数的图象上，且该函数图象与轴有两个不同的交点、在的左边），，则 ； （3）已知，当，，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：． 【答案】（1） （2）或 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，二次函数的性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）由待定系数法即可求解； （2）当点在轴左侧时，设点，则点，则抛物线的表达式为：，即可求解；当点在轴右侧时，同理可解； （3），，则，，则，，而，据此即可证明． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， ∴顶点坐标为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将代入抛物线表达式得：， 则， 则抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为直线， 当点在轴左侧时， 设点，则点， 则抛物线的表达式为：， 则且， 解得：， 当点在轴右侧时， 设点，则点， 则抛物线的表达式为：， 则且， 解得：， 故答案为：或； 【小问3详解】 证明：时，， ，， ，， ，， ， ， ， ． 27. 我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【结论探究】 （1）从“数”的角度证明：； （2）从“形”的角度说明：当，时，； 【结论应用】 （3）若中，，．的两个顶点、在第一象限，在第三象限）都在反比例函数的图象上，经过原点． ①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的； ②请用探究的结论证明所作的周长最小． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）运用完全平方公式和非负数的性质即可； （2）由完全平方公式的几何背景进行解答即可； （3）①按要求作图即可； ②由题意得：，即，利用勾股定理可得，故的周长，运用（1）的结论即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）从“形”的角度说明：如图，在中，，于，为的中线，且，，则； 证明：，为中线， ， ， ， 又， ， ， ， 根据垂线段最短，可得， ，即， ； （3）①作直线，交反比例函数图象于、两点，过点作，使，连接， 如图所示，即为所求； ②中，，， ， ， ， 的周长， 设，则， ， 当且仅当，即时，取得最小值， 此时，的周长最小值为，即、均在直线上，故①中所作周长最小． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，尺规作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的图象上点的坐标特征等，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 28. 如图，在矩形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿向终点运动；点以每秒个单位长度沿对角线向终点运动．连接，，设运动时间为秒． （1）利用图1证明：； （2）将沿翻折到，当 时，； （3）如图3，设点为的中点，连接，以为圆心，为半径作，当面积最小时，求． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3）t的值为 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质和勾股定理得到，由题意得到，，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用平行线的判定定理解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当在的右侧时，求得，利用折叠的性质得到，再利用直角三角形的边角关系定理求得，列出关于的方程解答即可；②当在的右侧时，利用同样的方法解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，过点作于点，交于点，延长，交于点，利用矩形的判定与性质和勾股定理求得，利用圆的面积公式解答即可；②当时，过点作于点，交于点，利用同样的方法解答即可． 【小问1详解】 证明：在矩形中，，， ，， ， 动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿向终点运动，点以每秒个单位长度沿对角线向终点运动， ，， ，， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①当在的右侧时，如图， 由（1）知：， ， ， ， ， ， 将沿翻折到， ， ． 由（1）知：， ， ； ②当在的右侧时，如图， 由（1）知：， ， ， ， ， 将沿翻折到， ， ， 由（1）知：， ， ． 综上，将沿翻折到，当或时，． 故答案为：或； 【小问3详解】 解：①当时， 过点作于点，交于点，延长，交于点，如图， 由（1）知：，， ． 四边形为矩形， ， 由（2）知：， ， 四边形为矩形， ，，，． 点为的中点， ，， ，． ． ， 当时，取得最小值， 以为圆心，为半径作，面积最小， 最小， 当面积最小时，的值为． ②当时， 过点作于点，交于点，如图， 由（1）知：，， ． 四边形为矩形， ， 由（2）知：， ， 四边形为矩形， ，，． 点为的中点， ，， ，． ． ， 当时，取得最小值1， 综上，当面积最小时，的值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，二次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的性质，分类讨论的思想方法，圆的面积，本题是动点问题，利用的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年江苏省扬州市仪征市中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 若苹果每千克x元，小明买了2千克苹果需要支付的费用用代数式表示为（　　） A. 2×x B. 2x C. D. 2+x 2. 如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是（　　） A. 4 B. C. 2 D. 3. 样本数据2，4，，8，0的中位数是（　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 4. 若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为　　 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸，随机选一瓶溶液滴入一滴酚酞试剂，溶液变红色是（　　）事件 A. 随机 B. 必然 C. 不可能 D. 确定 7. 已知a、b是两个不相等的正数，在交换a与b的位置后，下列代数式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 8. 某小组为了研究一组数据变化规律，将数据通过描点、连线得到相应的图象如图所示，若选择的函数模型是，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 据大数据显示，扬州“五一”假期共接待游客约人次．数据用科学记数法表示为 _____________． 10. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是__________． 12. 函数的图象经过点，则函数值y随着x的增大而 _______．（填“增大”或“不变”或“减小”） 13. 点、、都在上，，，则的度数是_______°． 14. 若，，则的值是___________________． 15. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 16. 如图，在菱形中，于点，，，则的值是 _____． 17. 如图，点是正六边形对角线上的一点，若，则阴影部分的面积为 ________________． 18. 如图，中，，，，，的内切圆半径分别记为，，，若，，则__________________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. 计算与化简： （1）； （2）． 20. 解不等式组，并写出满足条件的正整数解． 21. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习方式，某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论，为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）直接写出本次调查的学生总人数______； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （4）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？ 22. 扬州早茶是一种民间饮食风俗，曾令乾隆皇帝也念念不忘．某早餐店提供虾籽馄饨、蟹黄汤包、千层油糕等美食，现有小明和小华两名学生，每人从虾籽馄饨、蟹黄汤包、千层油糕中随机选择一种进行品尝． （1）小明恰好品尝到蟹黄汤包的概率为 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小华两名同学恰好品尝同一种美食的概率． 23. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48棵．实际每天种多少棵树？ 本题所列的方程可以是：①；②． （1）表示的实际意义是 ，表示的实际意义是 ． （2）选择其中一种方程解答此题． 24. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形： （2）连接．若，求菱形的面积． 25. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，设函数，是常数，． （1）若点和在该函数的图象上，则函数图象的顶点坐标是 ； （2）若点在该函数的图象上，且该函数图象与轴有两个不同的交点、在的左边），，则 ； （3）已知，当，，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：． 27. 我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【结论探究】 （1）从“数”的角度证明：； （2）从“形”的角度说明：当，时，； 【结论应用】 （3）若中，，．的两个顶点、在第一象限，在第三象限）都在反比例函数的图象上，经过原点． ①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的； ②请用探究的结论证明所作的周长最小． 28. 如图，在矩形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿向终点运动；点以每秒个单位长度沿对角线向终点运动．连接，，设运动时间为秒． （1）利用图1证明：； （2）将沿翻折到，当 时，； （3）如图3，设点为的中点，连接，以为圆心，为半径作，当面积最小时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $