精品解析：甘肃兰州市第八十一中学2025-2026学年九年级下学期5月月考数学试卷

2025—2026学年度第二学期毕业班月考（5月） 九年级数学 本卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若一个数的绝对值是4，则这个数是（　　） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义和性质，解题的关键是掌握正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．据此即可解答． 【详解】解：一个数的绝对值是4，则这个数是， 故选：C． 2. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式可以利用平方差公式计算的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，平方差公式的结构为，要求相乘的两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A:，其中是相同项，与互为相反数，符合平方差公式结构，可得，可以用平方差公式计算，此项符合题意． 选项B:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 选项C:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 选项D:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，确定一元二次方程的系数是解题关键． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：． 5. 如图，能使的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定， 根据平行线的判定逐项分析即可解答． 【详解】解：A、，能判断，故符合题意； B、，能判断，不能判断，故不符合题意； C、，能判断，不能判断，故不符合题意； D、，不能判断，故不符合题意． 故选：A． 6. 下列生活现象，可以用基本事实“两点之间线段最短”解释的是（ ） A. 用两个钉子就可以把木条固定在墙上 B. 开山挖隧道，把上坡下坡的盘山公路改为平直的隧道 C. 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 D. 建筑工人通过在两个柱子之间拉一条绳子砌墙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查两点之间线段最短，根据直线的性质，线段的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、C、D都可以用“两点确定一条直线”，进行解释，不符合题意； B可以用基本事实“两点之间线段最短”解释，符合题意； 故选B． 7. 如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点到踏脚的距离为米，现在踏脚着地，则捣头点上升了（ ）米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用，关键是把实际问题抽象到相似三角形中；利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出捣头点上升的高度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 故选：A ． 8. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离 ycm与所挂物重 xkg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：若不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是（ ） x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 … A. 2.5cm B. 4cm C. 5.5cm D. 1cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、得出函数关系式是关键； 根据题意可设，待定系数法求出函数的解析式，即可得到答案. 【详解】解：根据题意可设：， 把和代入得： ， 解得：， ∴， 则当时，， 即不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是2.5cm； 故选：A. 9. 某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将学生的视力情况绘制成如图所示的扇形统计图．若视力为“及以上”的学生有人，则下列说法中不正确的是（ ） A. 该校学生的总人数为 B. 视力为的学生有人 C. 视力为的学生有人 D. 视力为的学生比视力为的学生多人 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形统计图的数据，分别计算各选项，即可得出答案． 【详解】解：∵视力为“及以上”的学生有人，所占百分比为， ∴该校学生的总人数为（人），故A选项正确，不符合题意， 视力为的学生有（人），故B选项正确，不符合题意， ∵视力为的学生所占百分比为， ∴视力为的学生有（人），故C选项正确，不符合题意， ∵（人）， ∴视力为的学生比视力为的学生多人，故D选项不正确，符合题意． 10. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木条，则木条还剩余1尺，问木条长多少尺？”现设木条长尺，绳子长尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组；设木条长尺，绳子长尺，根据绳子比木条长尺，木条比对折后的绳子长1尺列出方程组即可． 【详解】解：设木条长尺，绳子长尺，根据题意得： ， 故选：D． 11. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边的长为，图②中的较小正方形面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（） A. 一次函数关系，反比例函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和图形，可以分别写出y与x的关系和S与x的关系，从而可以得到y与x满足的函数关系和S与x满足的函数关系． 【详解】解：∵， 则与满足一次函数关系， ∵， 则S与满足二次函数关系， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，菱形的性质、一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 13. 如图，在等腰 中， ，底边上的高 ，底边 ，则腰上的高________． 【答案】 【解析】 【分析】先由于等腰三角形的三线合一得出，根据勾股定理列式计算，再结合等面积法列式化简，得出即可作答．本题考查的是等腰三角形的性质、勾股定理的应用和三角形面积公式的应用，根据三角形的面积公式求出腰与底的比是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， 则， 是边上的高，是边上的高， ， ，， ， 则， 故答案为： 14. 中国对滑轮的应用历史悠久．明代《天工开物》详细记录了盐井中滑轮的使用，通过牛力驱动实现高效的井盐开采．如图所示，物理课上同学们研究滑轮作用，已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点P转过的角度为___________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了弧长计算公式，设滑轮上点P转过的角度为，根据重物上升的高度，即为点P运动的弧长，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：设滑轮上点P转过的角度为， 由题意得， 解得， ∴滑轮上点P转过的角度为， 故答案为： ． 15. 有3个外观完全相同的不透明试剂瓶，分别装有相同体积的醋酸、稀盐酸和碳酸钠溶液，小明从这3个试剂瓶中任意抽取2个，抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，根据题意列出表格，求得所有等可能结果，找出符合题意的结果数，根据概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：醋酸与稀盐酸是是酸性溶液，碳酸钠溶液不是酸性溶液 列表如下， 醋酸 稀盐酸 碳酸钠 醋酸 醋酸，稀盐酸 醋酸， 碳酸钠 稀盐酸 醋酸，稀盐酸 碳酸钠，稀盐酸 碳酸钠 醋酸，碳酸钠 碳酸钠，稀盐酸 共有6种等可能结果，其中抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的有两种， ∴抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的概率是 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. ． 【答案】7 【解析】 【详解】解：， ， ． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算乘方，乘法，然后将括号内的式子去括号，合并同类项进行化简，再算括号外面的除法，最后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合： （1）先把点A坐标代入一次函数解析式中求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出的面积，进而根据三角形面积公式求出点P的纵坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入中得：， 解得， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 20. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 21. 定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． （1）在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由：如果不是，请求出该三角形的最小覆盖圆的直径． 【答案】（1）见解析 （2）不是． 【解析】 【分析】本题考查的是作三角形的外接圆，直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练的作三角形的外接圆是解本题的关键． （1）先作和的垂直平分线，相交于点，再以为半径作圆即可； （2）作交的延长线于点，在中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，再在中，利用勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． ； 【小问2详解】 解：不是． 如图：作交的延长线于点， ，， ． 在中，，， 则． 在中，． 这个三角形最小覆盖圆的直径为． 22. 【项目背景】近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（）逐渐走进人们的日常生活．技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考． 【数据收集与整理】 研究小组对市面上不同的软件进行整理，请使用者进行评价打分．从使用较好甲、乙两款软件的评价得分中，分别随机抽取了个使用者的打分（百分制）数据，进行整理．成绩均高于分（成绩得分用表示，共分为五组： ：；：；：；：；：） 下面给出了部分信息： 甲款软件名使用者打分为： ． 乙款软件名使用者打分在等级的数据是： ． 甲、乙两款软件抽取的使用者打分统计表 软件 平均数 众数 中位数 甲款软件 97.5 a 98 乙款软件 97.5 99 b 根据所给信息，请完成以下所有任务． （1）上述表中 ； ； 【数据分析与运用】 （2）求扇形统计图中组所占圆心角的度数； （3）下列结论一定正确的是 ． ①甲乙两款样本数据的中位数均在A组； ②得分分以上的样本数据甲乙一样多； ③甲乙两款样本数据的满分一样多； （4）根据甲、乙两款软件样本的特征数，试估计哪款更优，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）②； （4）甲款软件更优，理由见解析 【解析】 【分析】（）根据众数和中位数的定义即可解答； （）用组所占百分比计算即可； （）通过已知数据逐项分析即可； （）根据甲、乙两款软众数和中位数判断即可． 【小问1详解】 解：在甲款软件名使用者打分所得个数据中出现次数最多的是， 众数是，即； 乙款软件名使用者打分在等级的数据有（个）， 将乙款软件名使用者打分从大到小排列处在中间位置的两个数的平均数为，即中位数， 【小问2详解】 解：扇形统计图中组所占圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：由（）知：乙款软件名使用者打分的中位数在组，故错误； 甲款软件名使用者打分中分以上的样本数据为，乙款软件名使用者打分中分以上的样本数据为：， 得分分以上的样本数据甲乙一样多，故正确； 甲款软件样本数据满分的共个，乙款满分的个数无法求出，故错误； 【小问4详解】 解：甲、乙两款软件的平均数和中位数相同，而甲款软件的众数大于乙款软件的众数， 甲款软件更优． 23. 如图，为⊙O的直径，是的一条弦，点D在上，平分，过点D作，分别交、的延长线于点E、F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角和角平分线的定义，利用内错角相等两直线平行可推出，进而证得，从而证明结论； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角可推出，从而得到，然后根据勾股定理求得和，接着易证，利用相似三角形对应边成比例即可解答． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 【综合与探究】 问题情境：将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． 猜想证明： （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1），见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据旋转和矩形的性质得出，，推出，证明，即可得到； （2）连接，根据旋转的性质得出，根据矩形的性质得出，，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据平行四边形的判定定理即可证明． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图，连接， 将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形， ∴，， ，即， 又∵， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，连接， 根据旋转的性质可得：， 四边形是矩形， ，，，即， 又， ， ， ， 四边形是平行四边形． 25. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求a与b之间关系； （2）已知二次函数的最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】（1） （2）①；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，将题中条件转化为正确的关系式． （1）根据题意可得，二次函数的对称轴为，即可求解； （2）①由二次函数的最小值为可得且时，取得最小值，将代入二次函数求解即可；②由，为该二次函数图象上的不同两点可得，两点关于对称，则，且，然后化简代数式即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象过点，， ∵两点的纵坐标相等 ∴两点关于对称轴对称，则对称轴为， 由题意可得，，即； 【小问2详解】 解：①由（1）可得二次函数解析式为 由二次函数的最小值为得且时，取得最小值， 将代入二次函数得， 化简可得， 解得（舍），， 所以二次函数解析式为； ②由，为该二次函数图象上的不同两点可得，两点的纵坐标相等， ∴两点关于对称，则，且， ∴， ， ， ∴． 26. 平面直角坐标系中，对于点A，直线（点A不在上）和，给出如下定义：若点A关于直线的对称点在上，则称点A是关于直线l的映像点，称线段的长度为点A与的映像距离． （1）如图，⊙O的半径为1，直线． ①在点，，中，点 是关于直线的映像点，该点与的映像距离为 ． ②点B是关于直线的映像点，当点B与的映像距离最小时，点B的坐标为 ； （2）已知点，，点D在y轴的正半轴上且为等边三角形．点，的半径为1．若上存在关于直线的映像点，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①；；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①作关于直线的对称，设直线与轴的交点为点，与轴交于点，根据题意可得点必定在上，即；求得点和点的坐标，可得是等腰直角三角形，则，进而可判断点是关于直线的映像点，然后利用两点坐标距离公式求得即可； ②先判断当、、、四点共线时，最小，再作，垂足为，判断是等腰直角三角形得到，由勾股定理可得，则，利用锐角三角函数求得和即可求解； （2）设点为关于直线的映像点，关于直线的对称圆为，则点在上，先推导出直线过定点，设这个定点为点，由轴对称的性质可得，即点在以点为圆心，为半径的圆上，进而点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上，分为①当外圆与相切时，圆最小，即最小；②当内圆过点时，圆最大，即最大两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 ①如图，作关于直线的对称，设直线与轴的交点为点，与轴交于点， ∵点关于直线的对称点在上， ∴点必定在上，即， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， ∴只有点是关于直线的映像点， 由图可知，点关于直线的对称点的坐标为， ∴映像距离； ②由①可知，点在上，点在上， ∴， ∴， ∴当、、、四点共线时，最小， 如图，作，垂足为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，，， ∴， ， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：点为关于直线的映像点，关于直线的对称圆为， 由题意，点在上， 对于直线，当时，， ∴直线过定点， 设这个定点为点，由轴对称的性质可得，即点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵半径为，点在上， ∴点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上， ①当外圆与相切时，圆最小，即最小， 如图，设切点为，连接，， ∵圆与相切于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴轴，轴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴，即 ②当内圆过点时，圆最大，即最大，如图， 由勾股定理可得， ∴，即， 综上所述，， ∵，， ∴， ∴， 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期毕业班月考（5月） 九年级数学 本卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若一个数的绝对值是4，则这个数是（　　） A. 4 B. C. D. 2. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式可以利用平方差公式计算的是( ) A. B. C. D. 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 5. 如图，能使的条件是（　　） A. B. C. D. 6. 下列生活现象，可以用基本事实“两点之间线段最短”解释的是（ ） A. 用两个钉子就可以把木条固定在墙上 B. 开山挖隧道，把上坡下坡的盘山公路改为平直的隧道 C. 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 D. 建筑工人通过在两个柱子之间拉一条绳子砌墙 7. 如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点到踏脚的距离为米，现在踏脚着地，则捣头点上升了（ ）米． A. B. C. D. 8. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离 ycm与所挂物重 xkg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：若不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是（ ） x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 … A. 2.5cm B. 4cm C. 5.5cm D. 1cm 9. 某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将学生的视力情况绘制成如图所示的扇形统计图．若视力为“及以上”的学生有人，则下列说法中不正确的是（ ） A. 该校学生的总人数为 B. 视力为的学生有人 C. 视力为的学生有人 D. 视力为的学生比视力为的学生多人 10. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木条，则木条还剩余1尺，问木条长多少尺？”现设木条长尺，绳子长尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边的长为，图②中的较小正方形面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（） A. 一次函数关系，反比例函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 因式分解：______． 13. 如图，在等腰 中， ，底边上的高 ，底边 ，则腰上的高________． 14. 中国对滑轮的应用历史悠久．明代《天工开物》详细记录了盐井中滑轮的使用，通过牛力驱动实现高效的井盐开采．如图所示，物理课上同学们研究滑轮作用，已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点P转过的角度为___________． 15. 有3个外观完全相同的不透明试剂瓶，分别装有相同体积的醋酸、稀盐酸和碳酸钠溶液，小明从这3个试剂瓶中任意抽取2个，抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的概率是______． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. ． 17. 解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 20. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 21. 定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． （1）在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由：如果不是，请求出该三角形的最小覆盖圆的直径． 22. 【项目背景】近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（）逐渐走进人们的日常生活．技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考． 【数据收集与整理】 研究小组对市面上不同的软件进行整理，请使用者进行评价打分．从使用较好甲、乙两款软件的评价得分中，分别随机抽取了个使用者的打分（百分制）数据，进行整理．成绩均高于分（成绩得分用表示，共分为五组： ：；：；：；：；：） 下面给出了部分信息： 甲款软件名使用者打分为： ． 乙款软件名使用者打分在等级的数据是： ． 甲、乙两款软件抽取的使用者打分统计表 软件 平均数 众数 中位数 甲款软件 97.5 a 98 乙款软件 97.5 99 b 根据所给信息，请完成以下所有任务． （1）上述表中 ； ； 【数据分析与运用】 （2）求扇形统计图中组所占圆心角的度数； （3）下列结论一定正确的是 ． ①甲乙两款样本数据的中位数均在A组； ②得分分以上的样本数据甲乙一样多； ③甲乙两款样本数据的满分一样多； （4）根据甲、乙两款软件样本的特征数，试估计哪款更优，并说明理由． 23. 如图，为⊙O的直径，是的一条弦，点D在上，平分，过点D作，分别交、的延长线于点E、F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 24. 【综合与探究】 问题情境：将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． 猜想证明： （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形． 25. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求a与b之间关系； （2）已知二次函数的最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 26. 平面直角坐标系中，对于点A，直线（点A不在上）和，给出如下定义：若点A关于直线的对称点在上，则称点A是关于直线l的映像点，称线段的长度为点A与的映像距离． （1）如图，⊙O的半径为1，直线． ①在点，，中，点 是关于直线的映像点，该点与的映像距离为 ． ②点B是关于直线的映像点，当点B与的映像距离最小时，点B的坐标为 ； （2）已知点，，点D在y轴的正半轴上且为等边三角形．点，的半径为1．若上存在关于直线的映像点，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $