第3章 不等式综合测试-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第3章 不等式综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．的解集为 3．已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 5．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 6．若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 7．已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 8．若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 11．已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．下列结论正确的是 ． ①当时， ②当时，的最小值是2； ③设，，且，则的最小值是． 13．若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 14．已知，，且，则的最小值是 ；当取得最小值时，的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）解关于x的不等式； （2）解关于x的不等式． 16．（15分） 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 17．（15分） （1）已知，求函数的最小值； （2）已知正数满足，求的最小值. 18．（17分） （1）已知，求证：； （2）求证：． 19．（17分） 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)设､､､均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由； (3)设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 不等式综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，D正确； 当时，满足，但是，A,C不正确； 当时，满足，但是，B不正确； 故选：D 2．已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【解析】根据题意,可以知道,的两根为. 由根与系数的关系得到： . 因为开口向下,则,故A正确. ,故B正确. 且,对称轴为,,故C正确. ,两边同时除以, 得到,解得,故D错误. 故选:D. 3．已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故，即， 当且仅当时，等号成立，所以. 故选：A. 4．不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【解析】不等式，即，等价于，解得或， 所以原不等式的解集为或. 故选：A 5．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的黄金为克，右盘放的黄金为克， ，解得， ，当且仅当时，取到等号， 由于，所以. 故选：B 6．若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，不合要求， 故实数的取值集合为或. 故选：D 7．已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 8．若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由，可得， 又，所以，即， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，由，可得，即，所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，由，可得， 所以可得，即， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，易知， 即，当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】取可得，，但，A错误； 取可得，，但，B错误； 因为，又，所以，故，C正确； 由，可得，所以，D正确； 故选：AB. 10．已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 11．已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】AB 【解析】对于A，由，得，当且仅当，即，时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确； 对于C，由，得， 所以， 当且仅当，即，即时取等号，故C错误； 对于D，有， 而由于和不相等，从而它们不能同时为零，所以，故D错误. 故选：AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．下列结论正确的是 ． ①当时， ②当时，的最小值是2； ③设，，且，则的最小值是． 【答案】①③． 【解析】对于①，，，当且仅当时取“ “，正确； 对于②，当时，，当且仅当时取等号，但是，故等号取不到，即的最小值不是2，错误； 对于③，，，且， ， 当且仅当，即时取““，正确， 故答案为：①③． 13．若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】①当时，不等式恒成立，所以符合要求； ②当时，题意等价于，即，解得， 综上可知. 故答案为：. 14．已知，，且，则的最小值是 ；当取得最小值时，的最小值是 ． 【答案】 8 【解析】由，，得，则，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值8； 当时，，，当且仅当时取等号， 所以时，取得最小值. 故答案为：8； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）解关于x的不等式； （2）解关于x的不等式． 【解析】（1）不等式化为：，解得或， 所以原不等式的解集为. （2）不等式化为：， 当时，， 当时，解得或， 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 16．（15分） 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【解析】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 17．（15分） （1）已知，求函数的最小值； （2）已知正数满足，求的最小值. 【解析】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以函数的最小值为5； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为9. 18．（17分） （1）已知，求证：； （2）求证：． 【解析】（1）因为（当且仅当时取等号），， 所以①； 同理可得②；③； ①、②、③相加得， 所以， 又，所以， 所以，当且仅当时取等号． （2）因为 ，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 即， 又，当时取等号， 所以，当且时取等号． 19．（17分） 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)设､､､均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由； (3)设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 【解析】（1）由可知，点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为. （2）是，证明如下： ､､､均为正数，点是点的“上位点”， ，， ， ，点是点的“下位点”， ． 点是点的“上位点”； 点既是点的“下位点”又是点的“上位点”； （3）对任意实数，总存在正整数， 使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”， 若正整数满足条件：在时恒成立， 由（2）中的结论可知，，时满足条件， 若，由于存在的情况， 则不恒成立， 因此，的最小值为4047． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$