第3章 不等式综合测试-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第3章 不等式综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．某产品的产量第一年的增长率为，第二年的增长率为．设这两年的年平均增长率为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．函数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 6．对于下列结论： ①方程的两根之和为，两根之积为； ②方程的两根之和为，两根之积为； ③方程的两根之和为，两根之积为； ④方程的两根之和为，两根之积为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 7．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 10．在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B． C． D． 11．已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．不等式的解集为 . 13．已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ． 14．某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：.小明由此得到启发，在求，的最小值时，小明给出的解法是：，当且仅当时，有最小值. （1）请你模仿小明的解法，得出，上的最小值为 . （2）当时，，的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 16．（15分） （1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 17．（15分） 为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 18．（17分） 已知关于x的方程（其中均为实数）有两个不等实根. (1)若，求m的取值范围； (2)若满足，且，求p的取值范围. (3)若为两个整数根，p为整数，且，求. 19．（17分） 在三角形中，设a、b、c为其三边长，我们用∑表示循环求和，即：，，．我们尝试证明如下不等式：．在面对这种不等式时，为了剥离三角形三边长的关系对于不等式代数变形时的限制，我们常用的一种处理手段是“换元”.我们令，，，且x，y，z均为正实数，这样我们就剥离了三角形三边长的关系.有了上述操作手法，在面对涉及三角形三边长的不等式的问题时，我们便能够轻松化解. (1)计算当时，的值； (2)证明如下不等式：； (3)证明如下不等式：． 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 不等式综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原不等式即为，即，解得， 故原不等式的解集为. 故选：A. 2．某产品的产量第一年的增长率为，第二年的增长率为．设这两年的年平均增长率为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以，所以，当且仅当时，等号成立． 3．函数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】， 当且仅当，即时，函数取得最小值4. 故选：C. 4．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，则，可得， 由不等式的基本性质可得. 故选：A. 5．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由题意知，1为方程的两根，所以解得则不等式可化为，即，解得． 6．对于下列结论： ①方程的两根之和为，两根之积为； ②方程的两根之和为，两根之积为； ③方程的两根之和为，两根之积为； ④方程的两根之和为，两根之积为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于①，方程的判别式， 由一元二次方程根与系数的关系可知，这个方程的两根之和为， 两根之积为，①对； 对于②，方程的判别式为，这个方程无实解，②错； 对于③，方程的判别式为， 这方程的两根之和为，两根之积为，③对； 对于④，方程的判别式为， 这个方程的两根之和为，两根之积为，④错. 故选：B. 7．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原不等式可化为， 若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数； 所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，， 令，解得,所以的取值范围是． 故选：B． 8．若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得， 令，，则且，， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为 ， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】对于A选项，若，，则，A错误； 对于B选项，若，，则，，B正确； 对于C选项，若且，则， 即，C正确； 对于D选项，若，取，，， 则，，此时，D错误. 故选：BC. 10．在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】不等式对任意实数恒成立， 所以，即在R上恒成立， ， 解得，所以ACD选项符合，B选项不符合， 故选：ACD. 11．已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 【答案】AB 【解析】对于A，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，即，故A正确； 对于B，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，故B正确； 对于C，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 所以，故C错误； 对于D，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 则， 当且仅当等号成立，故D错误. 故选：AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．不等式的解集为 . 【答案】 【解析】依题意得， 解得或， 故答案为： 13．已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】若，则，而，所以有．设，则解得若，，则有，所以，即． 易错警示 题中的第二空易错误的利用如下解法：先由条件得出a，b的范围，再由此得出的范围，即得出的错误结果（其取值范围扩大了）. 14．某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：.小明由此得到启发，在求，的最小值时，小明给出的解法是：，当且仅当时，有最小值. （1）请你模仿小明的解法，得出，上的最小值为 . （2）当时，，的最小值为 . 【答案】 －3 【解析】（1）由知： ， 当且仅当时，取到最小值； （2）由，知： 当且仅当时，取到最小值. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 【解析】（1）因为，所以，当且仅当时取等号， 故最小值为4，此时. （2）因为， 所以，当且仅当时取等， 故最大值为. （3）因为， 所以，当且仅当时取等号， 故所求最大值为. 16．（15分） （1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）方法1： ， ∴； 方法2：∵，，， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 故. （2）由恒成立，知， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即， ∴，解得或， 故m的取值范围为. 17．（15分） 为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 【解析】（1）因为，所以， 解得， 所以这所住宅的窗洞口面积的范围为. （2）由题意得，， 原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为 则. 因为，，所以.， 所以，即. 所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了. 18．（17分） 已知关于x的方程（其中均为实数）有两个不等实根. (1)若，求m的取值范围； (2)若满足，且，求p的取值范围. (3)若为两个整数根，p为整数，且，求. 【解析】（1）当时，由题意，若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根， 若方程有两个不等的实数解， 则，解得且， 所以的范围是 . （2），方程为，， 则，又，即 ∴，即， 所以，解得． 所以的取值范围为． （3）依题意：，且， ，， 因为均为整数， 所以也是整数， ∴或， 时，，又且，∴， 时，，又且，∴． 综上，或． 19．（17分） 在三角形中，设a、b、c为其三边长，我们用∑表示循环求和，即：，，．我们尝试证明如下不等式：．在面对这种不等式时，为了剥离三角形三边长的关系对于不等式代数变形时的限制，我们常用的一种处理手段是“换元”.我们令，，，且x，y，z均为正实数，这样我们就剥离了三角形三边长的关系.有了上述操作手法，在面对涉及三角形三边长的不等式的问题时，我们便能够轻松化解. (1)计算当时，的值； (2)证明如下不等式：； (3)证明如下不等式：． 【解析】（1）设，则，，， 所以. （2）设，，， 则. 因为x，y，z均为正实数，所以，，， 当且仅当时取 “”. 所以. 即（当且仅当时取“”）. （3）设，，， 则，，. 则转化成： . 因为，，（当且仅当时取“”） 各式相加得：. 所以成立（当且仅当时取“”）. 第2页，共11页 第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$