专题05 一元二次不等式的解法-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题05 一元二次不等式的解法 1. 掌握一元二次不等式的解法； 2. 知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组； 3. 厘清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系； 4. 学会用区间的形式表示不等式的解集. 一、应知应会 （一）知识回顾 1. 作差法比较两个实数的大小； 2. 不等式的基本性质. （二）典例测试 1. 设，且则与的大小关系是 . 【答案】 2. ，则从小到大的排列是 . 【答案】 3. 已知，则的取值范围是 . 【答案】 4. 是互异的四个正数中最大的数，且 ，则与的大小关系是 . 【答案】 （三）引入 以前我们学习过一元一次不等式的解法，结合一次函数的图像我们能够得到一元一次不等式解集如下： （1）当时，一元一次不等式的解集是，一元一次不等式的解集是. （2）当时，一元一次不等式的解集是；一元一次不等式的解集是. 一元二次不等式的形式是怎么样的呢？又如何求解呢？ 二、知识梳理 （1）一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式（second oRdeR inequality with one unknown），它的一般形式为或. （2）一元二次不等式的解法 法1：把或先分解因式，借用初中学过的积的符号法则将其实现等价转化一次不等式组，进而求出其解集的并集. 法2：利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的内在关系，结合二次函数的图像，研究不等式在、和时各种解集的情况. 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 有两实根 或 有两相等的实根 【重根】 无实根 不等式 的解集 【两根之外】 不等式 的解集 【两根之间】 思考：若，则一元二次不等式及其解集如何？ 考点剖析 例1. 求不等式的解集（1）； （2）. 【答案】（1）； （2） 例2. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）； （2）； （3） 【小结】解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负，再看判别式，最后比较根的大小. 解集要么为【两根之外】，要么为【两根之间】. 具体地： ①设不等式，对应方程有两个不等实根和，且，则不等式的解为：或（两根之外） ②设不等式，对应方程有两个不等实根和，且，则不等式的解为： （两根之间） 【注】①若不等式中，可在不等式两边乘转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行；②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法. 例3. 解关于的不等式： （1） （2） 【答案】（1）当时，或；当时，；当时，或 （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 【小结】解含参数的一元二次不等式时，一般要对参数进行分类讨论，分类讨论取决于： ①不等式的二次项系数决定对应的二次函数的抛物线开口方向； ②由含参数的判别式，决定解的情况； ③比较含参数的两根的大小. 例4. 解不等式组：. 【答案】 【注】解不等式时，要注意不等式的解集的处理，看清楚是取交集还是并集，然后借助数轴，并注意区间的开闭性及其正确表示. 例5. 某服装公司生产的衬衫， 每件定价80元， 在某城市年销售8万件. 现该公司在该市设立代理商来销售衬衫. 代理商要收取代销费， 代销费为销售金额的（即每销售100元收取元）. 为此， 该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润， 由于提价每年将少销售万件， 如果代理商每年收取的代理费不小于16万， 求的取值范围. 【答案】 【提示】单价，年销量年销售额， 年代理费 例6. （1）若不等式的解集是，求的值； （2）已知不等式的解集为，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2） 【解析】教科书式步骤示范 （2）由题意得，一元二次方程两根为2和3 由韦达定理，得. 可化为. 的解集为，， ，即，其解集为. 例7. （1）已知， I. 如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； II. 如果对，恒成立，求实数的取值范围. （2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）I. ；II. ；（2） 【提示】（1）II. 【前后呼应】链接P109【定区间动轴】开口向上，求二次函数最小值 “对称轴漂流记”，对称轴，①；②；③ （2）分类讨论：①；② 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一上·上海·期末）函数，的最小值是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为的图象开口向上，对称轴为， 又，所以的最小值是. 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海虹口·期末）若一元二次不等式的解集为，则实数 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系解出即可. 【详解】根据题意可知方程的两根分别为， 根据韦达定理可知，， 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由已知可得出，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为不等式的解集为，则，解得. 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海长宁·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题意利用配方法分析求解. 【详解】因为，即不等式对任意实数均成立， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若关于x的不等式的解集为，则 . 【答案】 【分析】根据三个二次关系计算即可. 【详解】由题意可知有两个实数根， 由根与系数的关系，则. 故答案为： 6．（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】把不等式两边平方，化为一元二次不等式求解. 【详解】不等式，即， 化简得，解得或. 故答案为：. 7．（23-24高一上·上海闵行·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由恒成立， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 8．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】假设为真，一元二次不等式求对应范围，根据是的必要条件确定集合包含关系即可求参数范围. 【详解】若为真，则， 若是的必要条件，即，则. 故答案为： 9．（23-24高一上·上海浦东新·期中）关于的不等式的解集为，则 . 【答案】2 【分析】由一元二次不等式的解集知是方程的两个根，结合根与系数关系求参数，即可得答案. 【详解】由题设是方程的两个根，则， 所以. 故答案为：2 10．（23-24高一上·上海·期中）已知一元二次不等式的解集为，则 . 【答案】 【分析】由题意可得方程的根为，再利用韦达定理即可得解. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 所以方程的根为， 则. 故答案为：. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 11．（23-24高一上·上海·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列顺序是 . 【答案】 【分析】不等式可化为，设，，画出函数与函数的图像，利用数形结合法即可求出结果． 【详解】不等式可化为， 设，， 画出函数与函数的图像，如图所示，    由图像可知，， 故答案为： 12．（23-24高一下·上海·开学考试）已知关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和讨论即可. 【详解】当时，，解得，解集不是非空， 则当不等式的解集为空时，， 则解集非空时实数的取值范围是， 故答案为：. 13．（23-24高一下·上海·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和两种情况讨论即可得解. 【详解】①当时，不等式恒成立，所以符合要求； ②当时，题意等价于，即，解得， 综上可知. 故答案为：. 14．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数对任意实数都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论二次项系数结合判别式列不等式求解即可. 【详解】由题意知当时，符合题意； 当时，则 则实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（23-24高一上·上海·期末）对任意，都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】对任意，都成立, 当时，则有，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 16．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据题意对a进行分类讨论，结合的开口与判别式即可. 【详解】当时，,满足题意； 当时，易得且，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 17．（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知，.方程的解集为，其中，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据根与系数关系求得关于的表达式，进而求得不等式的解集. 【详解】方程的解集为，其中， 所以， 则不等式可化为：， 即，由于，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为： 18．（23-24高一上·上海杨浦·期末）（1）已知关于x的不等式的解集是，求a，b的值； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1），；（2）答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系可求解； （2）对c与6的大小分类讨论，结合二次不等式的解法即可得解. 【详解】（1）由题意得的两个根为，，且， ∴，， ∴，； （2）不等式， ①当时，由，得，所以不等式的解集为； ②当时，由，得或，所以不等式的解集为； ③当时，由，得或，所以不等式的解集为； 综上所述， 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：. 19．（23-24高一上·上海·期中）命题甲：集合为空集；命题乙：关于x的不等式的解集为．若命题甲、乙都是真命题，求实数k的取值范围． 【答案】 【分析】根据命题的真假判断集合中参数的取值范围即可. 【详解】因为集合为空集， 所以当时，为空集；当时， 所以； 又因为关于x的不等式的解集为，则， 因为甲乙为真命题，所以实数k的取值范围是 20．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为区间，求实数a的值； (2)当时，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解集求参数； （2）解含参数的一元二次不等式即可. 【详解】（1）由可得，， 因为该不等式解集为， 所以，解得. （2）不等式可化为， 即，也即， 对应方程的两个根分别为，且， 所以不等式的解集为. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 21．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设表示不超过x的最大整数，如，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式得到，再根据定义确定范围. 【详解】，则，故. 故选：D. 22．（23-24高一上·上海·期中）已知：一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求解对应系数的关系，代入所求的不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解集为， 所以，且，是对应方程的两个实数根. 所以解得，，其中， 不等式化为，即. 解得或，因此所求不等式的解集为. 故选：B 23．（23-24高一下·上海·开学考试）设，若时均有，则 ． 【答案】0 【分析】分，和三种情况求出满足成立时的取值范围，再时均有成立确定的值． 【详解】当时，显然成立，此时； 当时，由成立，得成立， ，， 当时，由成立，得成立， ，， 时均有，． 故答案为：0． 24．（23-24高一上·上海·期末）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】讨论参数求不等式解集，由不等式的解集是区间的真子集，列不等式求解即可. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为， 由不等式的解集是区间的真子集，可得； 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当时，不等式的解集为，符合题意， 综上可得，的取值范围是. 故答案为： 25．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，关于的不等式的解集为，则= .(用表示) 【答案】 【分析】由条件，可知，3是一元二次方程的两个解，利用韦达定理列方程组求出，再求出． 【详解】因为，关于的不等式的解集为， 所以且，3是一元二次方程的两个根， 由韦达定理得到，即，所以， 故答案为：. 26．（23-24高一上·上海·期中）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分类讨论的解题思想，结合一元二次不等式恒成立，可得答案. 【详解】当时，不等式化简为，显然此时不等式恒成立； 当时，由一元二次不等式恒成立可得，解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 27．（23-24高一上·上海·期中）已知，. (1)若，解关于的不等式组； (2)若对任意，都有或成立，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别解一元二次不等式和一元一次不等式后求交集可得； （2）由得出时，恒成立，由此分类讨论可得； （3）在（2）的条件下问题转化为在上有解，结合（2）中m的范围即得． 【详解】（1）（1），，则或， ，则， 所以不等式组的解集为：； （2）因为当时，，所以当时，恒成立， 当时，，的解为，不能满足时，恒成立， 当时，不满足题意， 当时，由得，化为， 若时，，不等式的解为或，因为，所以满足题意， 若时，，不等式的解为或， 因此，，因此， 综上，的取值范围是． （3）时，，因此存在使得， 又， 因此在上有解，由于， 所以，解得， 综上，． 【点睛】本题第二问解题关键是将所求转化为在上恒成立，然后对m进行分类讨论，结合含参一元二次不等式的解法可得答案. 28．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式：． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； (3)命题若二次不等式的解集为空集，命题对任意实数都成立，若中至少有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）当时，解一元二次不等式可得解； （2）分，讨论，令当时，根据两根大小讨论可得解； （3）先求出命题分别为真命题的范围，再根据与都是假命题，求出的取值范围，再求出补集即可. 【详解】（1）当时，原不等式为，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. （2）当时，原不等式为，解得； 当时，原不等式变为，其对应方程的两根为，1， 若，即时，由解得， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，由解得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （3）若命题为真命题，若，原不等式变为，其对应方程的两根为，1， 其解集为，不合题意，当时，由（2）可知时，解集为，所以命题为真命题，则； 命题为真命题，则有相应方程的，即，解得； 所以当命题，都为假命题时，，解得或， 所以命题，中至少有一个真命题，则. 实数的取值范围为. 29．（23-24高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】根据题意将不等式因式分解为：，然后再分情况进行讨论，从而求解. 【详解】由题意得：，可化简为：，得：有两解：，， 当时，即：时，不等式的解集为：； 当时，即：时，不等式解集为：； 当时，即：时，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：. 30．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知，关于x的不等式组没有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】分别求解出两个不等式的解集，根据不等式组没有实数解得到两个不等式的解集的交集为空集，由此列出不等式组求解出结果. 【详解】因为，所以，故不等式解集为， 又因为，即且，故不等式解集为， 因为不等式组没有实数解，所以与的交集为， 所以，所以， 故的取值范围是. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 31．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）设a、b是实数，定义：.则满足不等式的实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据定义分别求出，，，然后解不等式可得. 【详解】 设， 则， ， ， 解得. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键在于观察新定义发现，当时，结果与b无关，于是可设，然后利用定义即可求解. 32．（22-23高一上·上海长宁·期中）关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的整数解恰有3个，先确定且有得出，再用表示出不等式解集为，可以确定，故三个整数解为，从而可列出另一个端点的取值范围为 ，从而解得的范围. 【详解】关于的不等式等价于， 此不等式整数解恰有3个，则有且有，故有， 令即得， ， 故不等式的解集为， 因为，所以 所以解集中一定恰有三个整数 ，可得，解得. 故答案为：. 33．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设． (1)求实数，的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的性质及最值，即可求得， （2）利用换元法可得满足不等式，即可，再利用二次函数单调性求得实数的取值范围为. （3）根据题意由方程有四个不同的实数解，转化为方程有两个不相等的正实数根，，利用韦达定理即可求得的取值范围为. 【详解】（1）由可知关于对称，又， 所以函数在上单调递增，可得，即， 解得，. （2）由（1）可知，则不等式， 可化为，所以， 即，令，又，可得， 即，显然函数，为对称轴， 所以在上单调递增， 由题意得，即可， 所以，所以的取值范围为. （3），所以， 即为，可化为： ，令，即 ，所以关于的方程 有四个不同的实数解等价于有两个不相等的 正实数根，，满足，， 解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】求解不等式恒（能）成立的问题时，一般先通过换元法将问题转化成求函数最值问题，即可求得参数的取值范围. 34．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）定义区间，，，的长度均为，其中. (1)若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值； (2)已知实数，（），求解集构成的各区间长度和； (3)已知关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为6，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据韦达定理，结合条件可得，从而求得的值. （2）将不等式转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得构成的区间的长度和. （3）先解出不等式的解集为A，不等式的解集为B，根据的长度为6，列不等式组，求出的取值范围. 【详解】（1）当时，不符合题意. 当时，设方程的两根为，则 由题意可知 解得或 因为当时，不等式的解集为两根两边范围，故舍 所以 （2）原不等式可转化为①，对于，其判别式，故其必有两不相等的实数根，设为，由求根公式得，. 下证： 构造函数，其两个零点为，且.而，所以，由于，且，由二次函数的性质可知. 故不等式①的解集为，其长度之和为. （3）因为，记， 设不等式的解集为， 不等式组的解集为 设不等式等价于， 所以，， 由于不等式组的解集的个区间长度和为， 所以不等式组，当是恒成立. 当时，不等式恒成立，得 当时，不等式恒成立，分离常数得恒成立. 当时，为单调递增函数， 所以，所以， 所以实数. 35．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）（1）求证：已知，，，，，并指出等号成立的条件； （2）求证：对任意的，关于的两个方程与至少有一个方程有实数根（反证法证明）； （3）求证：使得不等式对一切实数，，都成立的充要条件是，，且. 【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解； （3）证明见详解. 【分析】利用作差法、一元二次不等式的解法、反证法、分类讨论法、不等式的性质进行证明. 【详解】（1）证明：，， 要证，只需证， ，当且仅当时取等号. （2）证明：假设对任意的，关于的两个方程与都无实数根， 对于方程有：，解得， 对于方程有：，解得， 由得，无解，故假设不成立. （3）证明：先证必要性， 不等式可改写为关于的二次式： ，① 若，则①式对一切实数，，成立，则只有， 若，则因为①式恒成立，所以，恒成立， 所以，即， 所以必要性成立. 再证充分性，若且， 若，则由得，所以， 所以，所以①式成立，题设成立. 若，则，所以①式成立，题设成立. 综上，充要性得证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次不等式的解法 1. 掌握一元二次不等式的解法； 2. 知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组； 3. 厘清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系； 4. 学会用区间的形式表示不等式的解集. 一、应知应会 （一）知识回顾 1. 作差法比较两个实数的大小； 2. 不等式的基本性质. （二）典例测试 1. 设，且则与的大小关系是 . 2. ，则从小到大的排列是 . 3. 已知，则的取值范围是 . 4. 是互异的四个正数中最大的数，且 ，则与的大小关系是 . （三）引入 以前我们学习过一元一次不等式的解法，结合一次函数的图像我们能够得到一元一次不等式解集如下： （1）当时，一元一次不等式的解集是，一元一次不等式的解集是. （2）当时，一元一次不等式的解集是；一元一次不等式的解集是. 一元二次不等式的形式是怎么样的呢？又如何求解呢？ 二、知识梳理 （1）一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式（second oRdeR inequality with one unknown），它的一般形式为或. （2）一元二次不等式的解法 法1：把或先分解因式，借用初中学过的积的符号法则将其实现等价转化一次不等式组，进而求出其解集的并集. 法2：利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的内在关系，结合二次函数的图像，研究不等式在、和时各种解集的情况. 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 有两实根 或 有两相等的实根 无实根 不等式 的解集 不等式 的解集 思考：若，则一元二次不等式及其解集如何？ 考点剖析 例1. 求不等式的解集（1）； （2）. 例2. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 例3. 解关于的不等式： （1） （2） 例4. 解不等式组：. 例5. 某服装公司生产的衬衫， 每件定价80元， 在某城市年销售8万件. 现该公司在该市设立代理商来销售衬衫. 代理商要收取代销费， 代销费为销售金额的（即每销售100元收取元）. 为此， 该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润， 由于提价每年将少销售万件， 如果代理商每年收取的代理费不小于16万， 求的取值范围. 例6. （1）若不等式的解集是，求的值； （2）已知不等式的解集为，求不等式的解集. 例7. （1）已知， I. 如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； II. 如果对，恒成立，求实数的取值范围. （2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一上·上海·期末）函数，的最小值是 . 2．（23-24高一上·上海虹口·期末）若一元二次不等式的解集为，则实数 ． 3．（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式的解集为，则的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·上海长宁·期中）不等式的解集为 . 5．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若关于x的不等式的解集为，则 . 6．（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式的解集是 ． 7．（23-24高一上·上海闵行·期中）不等式的解集为 . 8．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数m的取值范围是 . 9．（23-24高一上·上海浦东新·期中）关于的不等式的解集为，则 . 10．（23-24高一上·上海·期中）已知一元二次不等式的解集为，则 . B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 11．（23-24高一上·上海·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列顺序是 . 12．（23-24高一下·上海·开学考试）已知关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 13．（23-24高一下·上海·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 14．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数对任意实数都有成立，则实数的取值范围是 . 15．（23-24高一上·上海·期末）对任意，都成立，则实数的取值范围为 . 16．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围 ． 17．（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知，.方程的解集为，其中，则不等式的解集为 . 18．（23-24高一上·上海杨浦·期末）（1）已知关于x的不等式的解集是，求a，b的值； （2）解关于x的不等式. 19．（23-24高一上·上海·期中）命题甲：集合为空集；命题乙：关于x的不等式的解集为．若命题甲、乙都是真命题，求实数k的取值范围． 20．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为区间，求实数a的值； (2)当时，求关于x的不等式的解集． C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 21．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设表示不超过x的最大整数，如，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一上·上海·期中）已知：一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．C． D． 23．（23-24高一下·上海·开学考试）设，若时均有，则 ． 24．（23-24高一上·上海·期末）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 25．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，关于的不等式的解集为，则= .(用表示) 26．（23-24高一上·上海·期中）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 27．（23-24高一上·上海·期中）已知，. (1)若，解关于的不等式组； (2)若对任意，都有或成立，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，存在，使得，求的取值范围. 28．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式：． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； (3)命题若二次不等式的解集为空集，命题对任意实数都成立，若中至少有一个真命题，求实数的取值范围． 29．（23-24高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 30．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知，关于x的不等式组没有实数解，求实数a的取值范围． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】31．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）设a、b是实数，定义：.则满足不等式的实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高一上·上海长宁·期中）关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是 ． 33．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设． (1)求实数，的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 34．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）定义区间，，，的长度均为，其中. (1)若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值； (2)已知实数，（），求解集构成的各区间长度和； (3)已知关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为6，求实数的取值范围. 35．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）（1）求证：已知，，，，，并指出等号成立的条件； （2）求证：对任意的，关于的两个方程与至少有一个方程有实数根（反证法证明）； （3）求证：使得不等式对一切实数，，都成立的充要条件是，，且. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$