专题02 三角函数的性质和图象（思维导图+5重点+13题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第三册）

专题02 三角函数的性质和图象 知识点1 ：正弦函数的图象与性质 解析式 y＝sinx 图象 定义域 　R　 当x＝　2kπ＋(k∈Z)　时，y取最大值1 值域 [－1，1] 当x＝　2kπ－(k∈Z)　时，y取最小值1 最小正周期 　2π　 奇偶性 奇函数 单调性 在　　上是增函数； 在　　上是减函数(k∈Z) 拓广：正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线与x轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值． 知识点2：正弦型函数的性质和图象 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象常见画法 (1)五点法：①列表(ωx＋φ通常取0，，π，，2π这五个值)；②描点；③__连线__． (2)变换法： ①先平移后伸缩 ②先伸缩后平移 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A>0，ω>0)中各量的物理意义 物理中，描述简谐运动的物理量， 如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关： (1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)； (2)T：T＝，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期(period)； (3)f：f＝＝，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率(frequency)； (4)ωx＋φ：称为相位(phase)； (5)φ：x＝0时的相位，称为初相(initial phase)． 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 名称 性质 定义域 　R　 值域 [－A，A] 周期性 T＝　　 对称性 对称中心(，0)(k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当　φ＝kπ　(k∈Z)时是奇函数 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间 由2kπ＋≤2ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间 知识点3 ：余弦函数的图象与性质 解析式 y＝cosx 图象 定义域 　R　 当x＝　2kπ(k∈Z)　时，y取最大值1 值域 [－1，1] 当x＝　2kπ＋π(k∈Z)　时，y取最小值1 最小正周期 　2π　 奇偶性 偶函数 单调性 在[(2kπ－1)π，2kπ]上是增函数； 在[2kπ，(2k＋1)π]上是减函数(k∈Z) 拓广：余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是(kπ＋，0)(k∈Z)，即余弦曲线与x轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值． 知识点4 ：正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示． 正切函数y＝tanx的图象叫做正切曲线． (2)性质：如下表所示. 　　　　函数 性质　　　　 y＝tanx 定义域 值域 R 周期 　π　 奇偶性 奇函数 单调性 增区间 　(k∈Z)　 减区间 无 拓广：(1)正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴． (2)直线x＝＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线． (3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝． 知识点5 ：已知三角函数值求角 1.利用三角函数线求角 2.利用正弦曲线、余弦曲线、正切曲线求角 题型归纳 【题型01 三角函数的定义域、值域（最值）问题】 满分技法 求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．三角函数值域的求法：(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域；(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数再求值域；(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数再求值域． 1．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）函数的定义域为 . 2．（23-24高一下·四川内江·期中）函数，的最大值是 ． 3．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）函数的最小值为 . 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数在上的最大值为4，则实数的值为 . 5．（21-22高一下·北京顺义·期中）已知函数. (1)求的值； (2)求函数在区间的最大值和最小值. 【题型02三角函数的周期性】 满分技法 求三角函数周期的方法：(1)利用周期函数的定义；(2)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为；(3)对于形如y＝asin ωx＋bcos ωx的函数，一般先将其化为y＝·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；(4)带绝对值的三角函数的周期是否减半，要根据图象来确定． 6．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知函数的最小正周期为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【题型03 三角函数的奇偶性判断】 满分技法 判断三角函数奇偶性的方法，与判断函数奇偶性的类似．熟悉“常见函数”的奇偶性有利于提高解题效率． 8．（23-24高二下·陕西商洛·期中）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 9．（23-24高一下·北京顺义·期中）下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型04已知三角函数的奇偶性求参数】 满分技法 已知三角函数的奇偶性求参数时，可直接由y＝Asin ωx是奇函数，y＝Acos ωx是偶函数求解．如果y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数，则φ＝kπ＋，k∈Z；y＝Acos(ωx＋φ)是偶函数，则φ＝kπ，k∈Z. 10．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C．0 D．-1 11．（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）是偶函数，则的最小值是 ． 【题型05三角函数的单调区间以及单调性的讨论】 满分技法 求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律． 12．（23-24高一下·吉林长春·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·福建泉州·一模）已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期中）设函数的图象关于原点对称，且相邻对称轴之间的距离为则函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【题型06已知三角函数的单调性求参数】 满分技法 已知三角函数的单调区间求参数问题，常先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 15．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）已知函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一下·北京·阶段练习）若函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 17．（多选）（23-24高一下·四川成都·阶段练习）若函数在上为单调函数，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【题型07三角函数的对称性】 满分技法 正、余弦函数关于其零点中心对称，在最值点x0处关于直线x＝x0对称；正切函数关于点(k∈Z)中心对称，需要注意的是当k为奇数时，不在y＝tan x的定义域内． 18．（23-24高一下·北京海淀·期中）函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二下·云南·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度.再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，则曲线（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 20．（2022高三·全国·专题练习）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 ． 【题型08函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换】 满分技法 (1)注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出，对称变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换． (2)“异名”函数图象的平移变换问题的关键是：借助诱导公式，将“异名”函数先化为“同名”函数，可以将“已知函数名称”化为 “所求函数名称”，也可将“所求函数名称”转化为“已知函数名称”． 21．（23-24高一下·北京·期中）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 22．（22-23高一下·上海·期中）将函数图像向左平移个单位，得到的图像的解析式为 ． 【题型09函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象】 满分技法 根据“五点法”作给定区间内的函数图象的步骤：(1)根据所给出的x的所在区间，确定ωx＋φ所在的区间；(2)在ωx＋φ所在的区间内，找出“特征点(五点)”，并根据ωx＋φ所在特征点位置，确定出x的值；(3)根据x，f(x)进行描点，并用光滑曲线连接起来即可． 23．（2024·全国·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 24．（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）已知函数.    (1)求的最小正周期； (2)在给定的坐标系中用五点法作出函数的简图. 【题型10 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式】 满分技法 常用如下两种方法：①升降零点法，由ω＝，即可求出ω.求φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；②代入最值法，将最值点(最高点、最低点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ. 25．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则函数= . 26．（23-24高一下·云南昆明·期中）已知函数的部分图象，如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间. 【题型11三角函数的零点问题】 满分技法 研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0)的性质时，一般将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题．与三角函数相关的方程根的问题(零点问题)等常通过函数与方程思想化为图象交点问题，再借助图象分析． 27．（2024高二下·浙江·学业考试）已知函数，则函数在区间内零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 28．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是 . 29．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）若函数有个零点，则正数的取值范围是 . 【题型12函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t图象的实际应用】 满分技法 (1)注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出，对称变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换． (2)“异名”函数图象的平移变换问题的关键是：借助诱导公式，将“异名”函数先化为“同名”函数，可以将“已知函数名称”化为 “所求函数名称”，也可将“所求函数名称”转化为“已知函数名称”． 30．（23-24高一下·辽宁大连·期中）水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，是最早的自动灌溉系统.黄河边上的一架水车直径为16米，入水深度4米，为了计算水车的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗（图中点A）做上记号，经过60秒该水斗到达水车最顶端（图中点B），再经过14分20秒，做记号的水斗与水面的距离为h米，则（    ） A． B． C． D． 31.(多选题)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，摩天轮最高点离地面的高度为128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为(　　) A．摩天轮离地面最近的距离为4米 B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cost＋68 C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为30 D．存在t1，t2∈[0,20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米 【题型13已知三角函数值求角】 满分技法 注意角的范围，如果角的范围是实数集，注意应用函数的周期 32．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）求函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时的值， 33．（23-24高一下·辽宁鞍山·阶段练习）设函数． (1)求函数的定义域、最小正周期． (2)求不等式的解集． 过关检测 1．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 2．（多选）（23-24高一下·福建福州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数具有以下哪些性质（    ） A．最大值为，图象关于直线对称 B．图象关于轴对称 C．最小正周期为 D．图象关于点成中心对称 3．（多选）（23-24高一下·浙江衢州·期中）已知函数，则下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A．最大值为1 B．图象关于直线对称 C．既是奇函数又是周期函数 D．图象关于点中心对称 4．（23-24高一下·北京·期中）若的最大值为3，则 ． 5．（江西省九江市2024届高三第三次高考模拟统一考试数学试题）已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是 . 6．（23-24高一下·北京顺义·期中）若函数在区间上为单调函数，且图象关于直线对称，则函数的最小正周期为 ． 7．（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知函数（，，），对任意实数x都有，，且在上单调，则的最大值为 . 8．（23-24高一下·上海·期末）已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为． (1)求的解析式和周期． (2)当 时，求的值域． 9．（23-24高一下·北京怀柔·期中）已知函数满足. (1)求的值； (2)用五点法画出函数在一个周期上的图象； (3)根据（2）得到的图形，写出函数的图象的对称轴方程与对称中心的坐标. 10．（23-24高一下·北京·期中）已知函数. (1)某同学利用五点法画函数在区间上的图象，他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象； 0 0 2 0 0 (2)已知函数. ①若函数的最小正周期为，求的单调递增区间； ②若函数在上无零点，求的取值范围（直接写出结论）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角函数的性质和图象 知识点1 ：正弦函数的图象与性质 解析式 y＝sinx 图象 定义域 　R　 当x＝　2kπ＋(k∈Z)　时，y取最大值1 值域 [－1，1] 当x＝　2kπ－(k∈Z)　时，y取最小值1 最小正周期 　2π　 奇偶性 奇函数 单调性 在　　上是增函数； 在　　上是减函数(k∈Z) 拓广：正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线与x轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值． 知识点2：正弦型函数的性质和图象 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象常见画法 (1)五点法：①列表(ωx＋φ通常取0，，π，，2π这五个值)；②描点；③__连线__． (2)变换法： ①先平移后伸缩 ②先伸缩后平移 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A>0，ω>0)中各量的物理意义 物理中，描述简谐运动的物理量， 如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关： (1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)； (2)T：T＝，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期(period)； (3)f：f＝＝，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率(frequency)； (4)ωx＋φ：称为相位(phase)； (5)φ：x＝0时的相位，称为初相(initial phase)． 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 名称 性质 定义域 　R　 值域 [－A，A] 周期性 T＝　　 对称性 对称中心(，0)(k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当　φ＝kπ　(k∈Z)时是奇函数 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间 由2kπ＋≤2ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间 知识点3 ：余弦函数的图象与性质 解析式 y＝cosx 图象 定义域 　R　 当x＝　2kπ(k∈Z)　时，y取最大值1 值域 [－1，1] 当x＝　2kπ＋π(k∈Z)　时，y取最小值1 最小正周期 　2π　 奇偶性 偶函数 单调性 在[(2kπ－1)π，2kπ]上是增函数； 在[2kπ，(2k＋1)π]上是减函数(k∈Z) 拓广：余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是(kπ＋，0)(k∈Z)，即余弦曲线与x轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值． 知识点4 ：正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示． 正切函数y＝tanx的图象叫做正切曲线． (2)性质：如下表所示. 　　　　函数 性质　　　　 y＝tanx 定义域 值域 R 周期 　π　 奇偶性 奇函数 单调性 增区间 　(k∈Z)　 减区间 无 拓广：(1)正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴． (2)直线x＝＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线． (3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝． 知识点5 ：已知三角函数值求角 1.利用三角函数线求角 2.利用正弦曲线、余弦曲线、正切曲线求角 题型归纳 【题型01 三角函数的定义域、值域（最值）问题】 满分技法 求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．三角函数值域的求法：(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域；(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数再求值域；(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数再求值域． 1．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】. 【分析】根据题意，利用正切函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数，则满足，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 2．（23-24高一下·四川内江·期中）函数，的最大值是 ． 【答案】2 【分析】利用辅助角公式，结合定义域求解出函数的最大值. 【详解】 ， 又， ，． 的最大值为2． 故答案为：2 3．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）函数的最小值为 . 【答案】 【分析】换元法，得到关于的二次函数，再结合二次函数图象，即可求出最小值. 【详解】令，， ， 结合二次函数图象知，当，即，时，有最小值， 所以. 故答案为： 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数在上的最大值为4，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用正切函数单调性求出最大值即可得解. 【详解】函数在上单调递增， 则当时，， 因此，解得， 所以实数为. 故答案为：. 5．（21-22高一下·北京顺义·期中）已知函数. (1)求的值； (2)求函数在区间的最大值和最小值. 【答案】(1) (2), 【分析】（1）将自变量的值代入函数式，计算即得； 利用三角恒等变换将化简成，将看成整体，求得的范围，结合正弦函数的图象即可判断函数的最值与对应的值. 【详解】（1）因，则； （2）由 ， 因，则令，则， 而在上单调递增，在上上单调递减， 故当时，即时，；当时，即时，. 【题型02三角函数的周期性】 满分技法 求三角函数周期的方法：(1)利用周期函数的定义；(2)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为；(3)对于形如y＝asin ωx＋bcos ωx的函数，一般先将其化为y＝·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；(4)带绝对值的三角函数的周期是否减半，要根据图象来确定． 6．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期. 故选：D 7．（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知函数的最小正周期为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用二倍角余弦公式将函数化简，利用周期公式求解. 【详解】因为， 所以，故． 故选：A. 【题型03 三角函数的奇偶性判断】 满分技法 判断三角函数奇偶性的方法，与判断函数奇偶性的类似．熟悉“常见函数”的奇偶性有利于提高解题效率． 8．（23-24高二下·陕西商洛·期中）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】C 【分析】根据奇函数与偶函数的定义判断选项 【详解】令,定义域为, 则，且，所以非奇非偶. 故选：C 9．（23-24高一下·北京顺义·期中）下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助三角函数得周期性与对称性逐项判断即可得. 【详解】对A：，又是偶函数，故A正确； 对B：为奇函数，故B错误； 对C：周期为，故C错误； 对D：为奇函数，故D错误. 故选：A. 【题型04已知三角函数的奇偶性求参数】 满分技法 已知三角函数的奇偶性求参数时，可直接由y＝Asin ωx是奇函数，y＝Acos ωx是偶函数求解．如果y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数，则φ＝kπ＋，k∈Z；y＝Acos(ωx＋φ)是偶函数，则φ＝kπ，k∈Z. 10．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【分析】利用的奇偶性建立方程，求解参数即可. 【详解】若函数为奇函数，故有， 可得，解得， 此时，， 显然成立，故是奇函数，故A正确. 故选：A 11．（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）是偶函数，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】利用三角函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，解得， 又， 所以当时，的最小值是. 故答案为：. 【题型05三角函数的单调区间以及单调性的讨论】 满分技法 求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律． 12．（23-24高一下·吉林长春·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求解整体的范围，即可根据正余弦函数的性质，结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由于所以,故在不是单调递减， 对于B，由于所以,故在不是单调递减， 对于C，由于所以,故在不是单调递减， 对于D，由于所以,故在是单调递减， 故选：D 13．（2024·福建泉州·一模）已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数周期排除AB，根据函数的单调性判断CD即可. 【详解】因为函数的周期为， 所以当时，对正、余弦函数来说，，故排除AB， 当时，， 因为在上单调递增，故C正确，D错误. 故选：C 14．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期中）设函数的图象关于原点对称，且相邻对称轴之间的距离为则函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的对称性求出，根据最小正周期求出，即可求出解析式，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为函数的图象关于原点对称，则， 解得，又，所以， 又相邻对称轴之间的距离为，则，又， 所以，解得， 所以， 令， 解得， 所以的单调增区间为. 故选：B 【题型06已知三角函数的单调性求参数】 满分技法 已知三角函数的单调区间求参数问题，常先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 15．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）已知函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知的最小正周期，则在处取得最小值，得，即可求解. 【详解】在上单调递增，又的最小正周期， 则在处取得最小值，在处取得最大值， 所以，即， 又，所以. 故选：D 16．（23-24高一下·北京·阶段练习）若函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】首先求出函数的单调区间，再根据题意求出的取值范围，即可得解. 【详解】对于函数，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 当时函数的一个单调递增区间为， 又函数在上单调递增，所以， 则的最大值为. 故选：B 17．（多选）（23-24高一下·四川成都·阶段练习）若函数在上为单调函数，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】按照和分类讨论，当时，，其中，根据函数在上单调递减和单调递增列式求解a的范围，然后逐项判断即可. 【详解】当时，在上不单调，故， 当时，，其中， 由，得， 若函数在上单调递减， 则，解得或， 此时； 若函数在上单调递增， 则，解得或， 此时； 综上所述. 因为，所以，故A符合题意， 因为，故BC不符合题意， 因为，故D符合题意. 故选：AD 【题型07三角函数的对称性】 满分技法 正、余弦函数关于其零点中心对称，在最值点x0处关于直线x＝x0对称；正切函数关于点(k∈Z)中心对称，需要注意的是当k为奇数时，不在y＝tan x的定义域内． 18．（23-24高一下·北京海淀·期中）函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用代入验证法求出对称中心即可. 【详解】函数，， 因此点是函数图象的对称中心，点不是； ，则点及都不是函数图象的对称中心. 故选：B 19．（23-24高二下·云南·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度.再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，则曲线（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】B 【分析】根据平移和伸缩变换得到的解析式，在结合图像，逐一的对选项进行判断即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变, ,所以， 因为，， 所以曲线不关于直线对称，关于直线对称，故A错误，B正确， 又因为，， 所以曲线不关于点对称，不关于点对称，故C、D都错误. 故选：B. 20．（2022高三·全国·专题练习）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 ． 【答案】/ 【分析】根据图像平移可得平移后的解析式为，即可根据奇偶性求解. 【详解】由题意可得平移后所得函数的解析式为，由于为偶函数，所以,故, ，最小正值为． 故答案为： 【题型08函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换】 满分技法 (1)注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出，对称变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换． (2)“异名”函数图象的平移变换问题的关键是：借助诱导公式，将“异名”函数先化为“同名”函数，可以将“已知函数名称”化为 “所求函数名称”，也可将“所求函数名称”转化为“已知函数名称”． 21．（23-24高一下·北京·期中）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】借助正弦型函数平移的特征计算即可得. 【详解】， 故要得到函数的图象， 只需将的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 22．（22-23高一下·上海·期中）将函数图像向左平移个单位，得到的图像的解析式为 ． 【答案】 【分析】直接利用函数的图像的平移变换求解析式. 【详解】函数图像向左平移个单位， 所得图像的解析式为. 故答案为：. 【题型09函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象】 满分技法 根据“五点法”作给定区间内的函数图象的步骤：(1)根据所给出的x的所在区间，确定ωx＋φ所在的区间；(2)在ωx＋φ所在的区间内，找出“特征点(五点)”，并根据ωx＋φ所在特征点位置，确定出x的值；(3)根据x，f(x)进行描点，并用光滑曲线连接起来即可． 23．（2024·全国·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 24．（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）已知函数.    (1)求的最小正周期； (2)在给定的坐标系中用五点法作出函数的简图. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由周期的计算公式即可求值， （2）由五点作图法即可求解. 【详解】（1）的最小正周期. （2）由（1）， 列对应值表如下： 通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数，的简图如图所示：      【题型10 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式】 满分技法 常用如下两种方法：①升降零点法，由ω＝，即可求出ω.求φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；②代入最值法，将最值点(最高点、最低点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ. 25．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则函数= . 【答案】 【分析】由函数图象可得，即可求出，再根据函数过点，即可求出，从而求出函数解析式. 【详解】由图象可知，, 所以,, 所以， 又因为， 即， 所以, 所以， 因为， 所以. 所以. 故答案为：. 26．（23-24高一下·云南昆明·期中）已知函数的部分图象，如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象可求得，，可得，再结合可求得，从而可求解； （2）利用整体代入法可求出的单调递增区间. 【详解】（1）由图可得， ，则，因为，且，所以， 所以， 由图可知，则，解得， 因为，所以， 故； （2）令，解得， 则的单调递增区间为. 【题型11三角函数的零点问题】 满分技法 研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0)的性质时，一般将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题．与三角函数相关的方程根的问题(零点问题)等常通过函数与方程思想化为图象交点问题，再借助图象分析． 27．（2024高二下·浙江·学业考试）已知函数，则函数在区间内零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】将函数零点转化为函数与图象交点个数问题，分别对和进行讨论可得结论. 【详解】令，可得 当时，则有， 数形结合画出与在上的图象如下图所示： 可得在内两图象有三个交点； 当时，在内解得，不是方程的解，不合题意. 故选：C 28．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得，结合余弦函数的性质以及整体代换思想化简即可求解. 【详解】由，得， 又函数在上有且仅有2个零点， 所以，解得， 即的取值范围为. 故答案为： 29．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）若函数有个零点，则正数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一次函数与对数函数的图象，得到时，函数只有一个零点，结合题意，得到时，函数有三个零点，利用正弦函数的性质，得出不等式，即可求解. 【详解】当时，令，即，即， 因为函数与的图象有且仅有一个公共点，如图所示，    所以时，函数只有一个零点， 又由函数有个零点， 所以时，函数有三个零点， 因为，可得，则满足， 解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【题型12函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t图象的实际应用】 满分技法 (1)注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出，对称变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换． (2)“异名”函数图象的平移变换问题的关键是：借助诱导公式，将“异名”函数先化为“同名”函数，可以将“已知函数名称”化为 “所求函数名称”，也可将“所求函数名称”转化为“已知函数名称”． 30．（23-24高一下·辽宁大连·期中）水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，是最早的自动灌溉系统.黄河边上的一架水车直径为16米，入水深度4米，为了计算水车的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗（图中点A）做上记号，经过60秒该水斗到达水车最顶端（图中点B），再经过14分20秒，做记号的水斗与水面的距离为h米，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】理解题意，可列出时间x（分钟）后距离水面高度y满足关系，从而可将代入即可得出结论. 【详解】以水面与水车的交线为x轴，过水车轴垂直水面的直线为y轴建立平面直角坐标系， 由题设，水斗从A转到B，则转过的角为，即每分钟转动弧度为， 从点B开始，记水斗经过时间x（分钟）后距离水面高度y满足关系：， 又当分钟时，， 因为，所以， 所以，即. 故选：B． 31.(多选题)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，摩天轮最高点离地面的高度为128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为(　　) A．摩天轮离地面最近的距离为4米 B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cost＋68 C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为30 D．存在t1，t2∈[0,20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米 【答案】BC 【解析】由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8(米)，故A不正确；t分钟后，转过的角度为t，则h＝60－60cost＋8＝－60cost＋68，故B正确；h＝－60·cost＋68，周期为＝30，由余弦型函数的性质可知，若t1＋t2取最小值，则t1，t2∈[0,30]，又高度相等，则t1，t2关于直线t＝15对称，则＝15，则t1＋t2＝30，故C正确；令0≤t≤π，解得0≤t≤15，令π≤t≤2π，解得15≤t≤30，则h在[0,15]上单调递增，在[15,20]上单调递减，当t＝15时，hmax＝128，当t＝20时，h＝－60·cos＋68＝98>90，所以h＝90在t∈[0,20]时只有一个解，故D不正确． 【题型13已知三角函数值求角】 满分技法 注意角的范围，如果角的范围是实数集，注意应用函数的周期 32．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）求函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时的值， 【答案】或，时有最大值，，时，有最小值0 【分析】对配方，再根据的范围可得答案. 【详解】设，， 则， 当时，即或，时有最大值， 当时，即，时，有最小值0． 33．（23-24高一下·辽宁鞍山·阶段练习）设函数． (1)求函数的定义域、最小正周期． (2)求不等式的解集． 【答案】(1)定义域为，最小正周期； (2) 【分析】（1）令，解得的取值的范围，即得函数的定义域，再根据正切型函数的周期性求出最小正周期； （2）依题意可得，，解得即可. 【详解】（1）对于函数， 令，，解得，， 所以函数的定义域为， 函数的最小正周期； （2）由不等式，则，， 解得，， 所以不等式的解集为． 过关检测 1．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出，得，再整体求出时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】，由得， 即，当时，， 画出图象，如下图， 由图可知，在上递减， 所以，当时， 故选：A 2．（多选）（23-24高一下·福建福州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数具有以下哪些性质（    ） A．最大值为，图象关于直线对称 B．图象关于轴对称 C．最小正周期为 D．图象关于点成中心对称 【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则求出的解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象， 则，即的最大值为， 又，所以的图象关于直线对称，故A正确； 由于不是偶函数，故它的图象不关于轴对称，故B错误； 的最小正周期，故C正确； 因为，所以的图象不关于点成中心对称，故D错误， 故选：AC. 3．（多选）（23-24高一下·浙江衢州·期中）已知函数，则下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A．最大值为1 B．图象关于直线对称 C．既是奇函数又是周期函数 D．图象关于点中心对称 【答案】ABC 【分析】对于A，利用三角函数的有界性分析判断，对于B，通过计算和进行判断，对于C，利用函数奇偶性的定义和周期的定义分析判断，对于D，通过计算进行判断. 【详解】对于A，因为，所以， 当时，， 所以的最大值为1，所以A正确， 对于B，因为， ， 所以， 所以图象关于直线对称，所以B正确， 对于C，因为， 所以为奇函数， 因为， 所以为函数的一个周期，所以C正确， 对于D，因为 不一定成立， 所以图象不一定关于点中心对称，所以D错误， 故选：ABC 4．（23-24高一下·北京·期中）若的最大值为3，则 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数与余弦函数的最值分析，结合诱导公式可得． 【详解】由题意与同时取得最大值1，因此，， 故答案为：． 5．（江西省九江市2024届高三第三次高考模拟统一考试数学试题）已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，然后由的范围求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出的取值范围 【详解】令，，， 问题转化为函数在区间上有且仅有三个零点， ，解得. 故答案为： 6．（23-24高一下·北京顺义·期中）若函数在区间上为单调函数，且图象关于直线对称，则函数的最小正周期为 ． 【答案】/ 【分析】由函数的对称轴及单调性确定的值，进而确定函数的解析式，即可求最小正周期. 【详解】因为函数在区间上为单调函数， 且图象关于直线对称， 所以，且， 解得， 所以， 所以函数的最小正周期为. 故答案为：. 7．（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知函数（，，），对任意实数x都有，，且在上单调，则的最大值为 . 【答案】15 【分析】根据题意中的两个等式可得的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调性求得且，即可求解. 【详解】因为，所以，所以的一个对称中心为， 因为，所以，所以的对称轴方程， 有，所以，因为，所以， 因为在上单调，且求的最大值，所以，解得，因为，，所以的最大值为15. 故答案为：15 【点睛】思路点睛：解决三角函数中已知单调区间求参数范围时，首先要有已知的单调区间是函数单调区间的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路. 8．（23-24高一下·上海·期末）已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为． (1)求的解析式和周期． (2)当 时，求的值域． 【答案】(1)，周期为 (2) 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，即可求解； （2）当时，得到，利用正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为， 可得最小正周期，所以. 又由图象上一个最低点为，可得， 且，即，可得， 即，因为，所以， 所以函数的解析式为，且由最小正周期，可得的周期为. （2）解：由（1）知， 当时，可得， 所以，当时，即时，函数取得最小值为； 当时，即，函数取得最大值为， 所以函数的值域为. 9．（23-24高一下·北京怀柔·期中）已知函数满足. (1)求的值； (2)用五点法画出函数在一个周期上的图象； (3)根据（2）得到的图形，写出函数的图象的对称轴方程与对称中心的坐标. 【答案】(1)； (2)见解析； (3)对称轴为：，；对称中心为：, 【分析】（1）由特殊角三角函数直接求解； （2）结合五点作图进行列表描点即可作图得解； （3）结合正弦函数的对称性即可求解对称轴及对称中心； 【详解】（1），即，又，则； （2）列表如下： 0 0 1 0 0 描点连线，图像如下： （3）令，，解得，，可得函数对称轴为：，． 令，，解得，，可得函数对称中心为：,. 10．（23-24高一下·北京·期中）已知函数. (1)某同学利用五点法画函数在区间上的图象，他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象； 0 0 2 0 0 (2)已知函数. ①若函数的最小正周期为，求的单调递增区间； ②若函数在上无零点，求的取值范围（直接写出结论）. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②. 【分析】（1）由五点法完成表格，并作图； （2）①由的最小正周期，求出，整体代入法求的单调递增区间； ②由在上无零点，当，有，则有，解不等式即可. 【详解】（1）函数，， 由五点法作函数图象，表格和图象如图所示， 0 0 2 0 -2 0 （2）①因为， 因为函数的最小正周期，可得， 即， 函数的单调递增区间满足：，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为：； ②函数在上无零点， 因为，，所以， 则有，解得. 即的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$