期末复习·终极压轴版│Ultimate Edition-2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）沪教版

1 / 22 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 2 / 22 目 录 .................................................................... 4 ................................................................ 4 ................................................................................... 4 ................................................................................ 4 .................................................................... 5 ....................................................................................................................................................... 6 ................................................... 6 ................................................... 7 ........................................ 7 ......................................8 .......................................................... 8 .....................................................8 ....................................... 9 ..................................9 ....................10 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本专题是期末复习·终极压轴版。本部分内容是对学期内最高频考点考题的 综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按 到 划 分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难 点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据 学生的实际水平和总体情况，将其作为期末复习压轴内容并侧重于不同篇章、不 同考点、不同考题进行讲解与训练。 1．数轴上的点 A用小数表示是( )；点 B用小数表示是( )。 2．在﹣6，3.2， 3 5 ﹢ ，﹣3.5，0，﹢4，2，﹣0.136中，正数有( )，负数 有( )，自然数有( )。 3．在75.2%，0.8， 3 5，和 0.9 这四个数中，最大的是( )，最小的是( )。 4．如果全班某次数学测试的平均成绩为 83分，某同学得了 85分，记作﹢2，那 么得 90分和 80分，应分别记作( )和( )。 5．某食品包装袋上标注净含量为 500±30克，这袋食品最少为( )克，最 多为( )克。 1．某日杭州最高气温是零上 10摄氏度，记作( )；哈尔滨最高气温是零 下 11摄氏度，记作( )；北京最高气温记作：﹣3摄氏度，这个温度表示 ( )。这一天三个城市的最高气温最大相差( )摄氏度。 5 / 22 2．冰壶比赛中要将冰面温度恒定在零下 6℃，而为了保证运动员的正常发挥， 又要求冰上 1.5米温度控制在 10℃。“零下 6℃”记作( )，“10℃”记作 ( )，这两个温度相差( )℃。 1．一辆货车从超市出发，向东走了 3千米到达小刚家，又继续向东走了 1.5千 米，到达小李家，然后又向西走了 9.5千米到达小明家，最后回到超市。 （1）若以超市为原点O，以向东方向为正方向，用 1个单位长度表示 1千米， 请你在数轴上表示出小明家，小李家，小刚家的位置。 （2）小明家距离小刚家有多远？ （3）这辆货车共走了多少千米？ 2．小李上周末买进股票 1000股，每股 20元，下表为本周每日股票的涨跌（与 前一日比较）情况： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） ﹢4 ﹢5 ﹣1 ﹣3 ﹣6 （1）本周三收盘时，小李所持股票每股多少元？ （2）本周内股票最高价出现在星期几？是多少元？ （3）已知小李买进股票时付了 1.5‰的手续费，卖出时需付成交额的 1.5‰的手 续费和 3‰的交易税，若小李在本周星期五收盘时卖出全部股票，他收益如何？ 6 / 22 1．对于自然数 A、B规定：A&B＝A×B÷5，若 X&12＝60，则 X的值 是( )。 2．鞋的尺码通常用“码”和“厘米”作单位，它们之间的换算关系是 y＝2x－10（y 表示鞋的码数，x表厘米数）。乐乐的爸爸穿 43码的鞋，他的脚长是( ) 厘米。乐乐的妈妈的脚长是 23厘米，她需要穿( )码的鞋。 3．在如图所示的运算过程中，若输出的数 y＝5，则输入的 x＝( )。 4．下图是用菱形纸片按规律拼成的图案，第 n个图中有( )张菱形纸片； 第( )个图中有 2021张菱形纸片。 1．甲工程队每天修路 0.54千米，比乙工程队每天修的 3倍少 0.18千米。乙工程 队每天修路多少千米？（请列方程解答） 7 / 22 2．果园里有桃树和苹果树共 182棵，苹果树的棵数是桃树的 2.5倍。两种果树 各有多少棵？（请列方程解答） 1．甲乙两船从相距 226千米的两个港口同时出发，相向而行，经过 4小时两船 相遇。甲船每小时行 26.5千米，乙船每小时行多少千米？（列方程解） 2．甲、乙两车同时从 A城开往 B城。7小时后，甲车超过乙车 42千米，甲车 每小时行 78千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解） 1．四年级同学要去参加为期 5天的研学实践活动，学校安排房间时发现如果每 间住 8人，那么有 6人没有房间住；如果每间多住 2人，那么有 6间空出来，四 年级一共有多少人？（列方程解） 2．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件 需快递员派送。若每个快递员派送 10件，还剩 6件；若每个快递员派送 12件， 还差 6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？（列方程解） 8 / 22 1. 笼子里鸡和兔的数量相同，它们的腿加起来共有 48条。笼子里鸡和兔各有多 少只？（列方程解答） 2. 笼子里有若于只鸡和兔。从上面数，有 35个头，从下面数，有 94只脚。鸡 和兔各有多少只？（用方程解） 1．长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 2．下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是 ( )cm，宽是( )cm，高是( )cm，棱长总和是( )cm。 1．把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上 标有 3的面与标有( )的面相对，标有 6的面与标有( )的面相对。 2．学习了“正方体展开图”后，李浩制作了一个如图所示的正方体展开图，准备 和王乐进行“猜字”游戏，聪明的你也来试试： 9 / 22 “构”字对面是( )字，“建”字对面是( )字，“会”字对面是 ( )字。 1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、 高分别是 25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长 18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 2．一根铁丝可以扎成一个长 6分米，宽 3分米，高 3分米的长方体，如果用这 根铁丝刚好扎成一个正方体，这个正方体的棱长是多少？ （接头处忽略不计） 1．学校要粉刷新教室，已知教室的长是 9米，宽是 6米，高是 3.5米，门窗的 面积是 16.5平方米。如果每平方米需要花 6元涂料费，粉刷这向教室需要多少 涂料费？ 10 / 22 2．5月 21日是全国助残日。五（1）中队委员把一个棱长 46厘米的正方体纸箱 的各面都帖上红纸，将它作为募捐“爱心箱”，他们至少需要多少平方分米的红 纸？ 1．一个正方体木箱的棱长总和是 24米，它的体积是多少立方米？ 2．一辆汽车的油箱，从里面量长 8分米，宽 4分米，高 2.5分米，如果这辆汽 车每千米的耗油量是 0.08升，一箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 1．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的 3倍，它的棱长总和扩大到原来的 ( )倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( ) 倍。 2．一个正方体的棱长是 4cm，现将棱长扩大为原来的 3倍，它的表面积扩大为 原来的( )倍，扩大后的正方体体积是( )。 1．把棱长是 10dm的正方体的表面涂色后，再锯成一个个棱长是 1dm的小正方 体（无剩余，损耗不计），只有一面涂色的小正方体有( )个。 2．如图是由 7个同样大小的小正方体拼成的物体，如果把这个物体的表面涂色 （底面也涂），那么一面涂色的小正方体有( )个，三面涂色的小正方体 有( )个。 11 / 22 1．如图是一个长方体纸盒的展开图。（单位：厘米） ①请你给相对的面涂上相同的颜色。 ②这个长方体纸盒的表面积和容积各是多少？（纸盒厚度忽略不计） 2．有一张长方体表面展开图（如图）。 （1）这个长方体的表面积是多少平方厘米？ （2）折成长方体后它的体积是多少立方厘米？ 12 / 22 1．一块长 4米的长方体木料，把它锯成 2米长的两段，表面积增加了 8平方分 米。原来这块木料的体积是多少立方分米？ 2．把一个长 8厘米，宽 6厘米，高 4厘米的长方体，切成两个大小相等的长方 体。表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 3．一个长方体（如下图），如果高增加 4厘米，就变成了棱长是 10厘米的正方 体，这个长方体的体积是多少？ 4．如图，一个太阳能电池板是由 6个相同的小长方体拼成的，每个小长方体的 长是 12分米，宽 2分米，高 2.5分米。 （1）要给太阳能电池板的上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平 方分米？ （2）这个太阳能电池板的体积是多少立方分米？ 13 / 22 1．请在下面括号填上合适的单位。 我们的教室所占空间约为 200( )，占地面积大约占地 60( )。 爸爸一次献血 200( )，汽车油箱容积 48( )。 2．在括号里填上合适的数。 3.6m2＝( )dm2 800mL＝( )cm3＝( )L 5m3＝( )方 0.65dm3＝( )L＝( )mL 1．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为 5厘米的正方形，然后 沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积 是多少？ 2．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为 5厘米的正方形，然后 沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积 是多少？ 14 / 22 1．把一个棱长为 9分米的正方体铁块，熔铸成一个长 18分米，高 60厘米的长 方体，这个长方体的宽是多少分米？ 2．一个棱长为 4分米的正方体鱼缸里装满水，把水倒入一个长 8分米，宽 4分 米的长方体空鱼缸里，水深多少分米？ 3．有一个长方体容器，底面长 30厘米，宽 20厘米，高 10厘米，里面的水深 6 厘米（最大面为底面），如果把这个容器盖紧（不漏水），再朝左竖起来（最小 面为底面），里面的水深是多少厘米？ 1．爸爸在一个底面长、宽分别是 5分米、4分米的长方体鱼缸里放了一个假山 石，水面上升了 3厘米。这个假山石的体积是多少？ 2．有一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长 8分米，宽 5分米，高 7分米，里面水深 5分米。 （1）制作这个鱼缸一共需要多少平方分米的玻璃？ （2）如果把一个棱长为 4分米的正方体花岗石完全浸入水中，鱼缸里的水面升 高多少分米？ 15 / 22 3．一个正方体的容器，从里面量棱长为 3分米，水深 2.8分米，将一块石头完 全浸没在水中，这时溢出水 1.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 1．一个棱长 8厘米的正方体木块，从上面正中间挖去一个棱长 2厘米的小正方 体后，它的体积、容积、表面积是怎样变化的？ 2．有三块高分别为 10厘米、20厘米和 30厘米的长方体木块，它们的底面均为 边长是 10厘米的正方形。现将它们拼合成一个物体（如下图所示），那么这个 物体的体积是多少？表面积呢？ 16 / 22 1．两种不同颜色的球，笑笑摸了 30次，摸球的情况如表。根据表中的数据推测 ( )色的球可能多，( )色的球可能少。 颜色 红色 蓝色 次数 9 21 2．把红、黄、蓝三种小球共 10个放入布袋，要使摸出红的可能性最大，摸出黄 球的可能性最小，红球至少要放( )个，黄球最多放( )个。 3．一个小正方体有 6个面，1个面涂上红色，2个面涂上蓝色，3个面涂上黄色。 甲乙两人各掷 50次，红色向上，甲胜；蓝色向上，乙胜。这个游戏规则公平吗？ 为什么？怎样制定游戏规则才公平？ 17 / 22 1．一个长方体长 16分米，高 7分米，沿着水平方向横切两个小长方体，表面积 增加 160平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？ 2．一个密封的长方体容器，里面长 8分米，宽 2分米，高 4分米，已装了一部 分水，水深 2.5分米。 （1）水与容器的接触面积是多少平方分米？ （2）如果以这个长方体的右侧面为底面把长方体竖起来放在桌子上，这时水深 是多少分米？ 3．一个长方体玻璃缸，从里面量长 3分米，宽 2分米，高 4分米，缸中水深 1.8 分米。把一块石头放入水中（完全浸没），这时水刚好满了。这块石头的体积是 多少？ 18 / 22 1．如图 1，一个棱长为6cm的正方体，从正面的中心向后挖一个长方体（向后全 部挖空），正面的孔是一个边长为 2cm的正方形，图 1剩余部分的体积是多少？ 如果像图 2这样从正面、上面、右面的中心各向后挖一个这样的孔，那么图 2 剩余部分的体积是多少？ 2．用棱长是 1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多 少平方厘米？ 1．对于整数 a，b，规定 a※b＝a×b－1，又知（3※x）※2＝0，则 x＝( )。 2．已知 2⭕3＝2＋3＋4＝9，5⭕4＝5＋6＋7＋8＝26，若 x⭕3＝15，则 x＝ ( ) 19 / 22 1．甲、乙两人沿着 400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而 行。甲的速度是 290米/分，乙的速度是 250米/分。经过多少分钟甲第二次追上 乙？（提示：可以画图思考） 2．明明和洋洋分别从甲、乙两地同时出发，如果两人同向而行，那么经过 18 分钟明明追上洋洋；如果两人相对而行，那么经过 2分钟两人相遇。已知洋洋每 分钟走 60米，甲、乙两地相距多少米？ 20 / 22 1．如图，一个长方体，如果长增加 3厘米，宽和高都不变，体积增加 6立方厘 米；如果宽增加 4厘米，长和高都不变，体积增加 32立方厘米；如果高增加 5 厘米，长和宽都不变，体积增加 20立方厘米。求这个长方体的表面积是多少平 方厘米？ 2．一个长方体，若长增加 4分米，宽和高都不变，则体积增加 60立方分米；若 宽减少 3分米，长和高都不变，则体积减少 72立方分米；若高增加 2分米，长 和宽都不变，则体积增加 80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？ 1．一个装满水的长方体玻璃容器，长是 10厘米，宽是 8厘米，高是 6厘米，然 后把两个长 4厘米、宽 3厘米、高 8厘米的铁块立着放入容器中，容器溢出的水 的体积是多少？ 21 / 22 2．一个长 25厘米、宽 10厘米、高 8厘米的长方体玻璃容器盛有一些水，水深 6厘米。现将一个铁球完全浸没水中，这时容器内的水溢出了 20毫升。这个铁 球的体积是多少立方厘米？ 1．有一个无水的长方体玻璃水缸，尺寸如左下图所示，一个水龙头从上午 9： 00开始向玻璃缸内注水，水的流量是 8立方分米/分，到 9：03关闭水龙头停止 注水。接着马上在缸内放入一个高为 8厘米的长方体铁块，使之全部浸没水中， 玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如下图所示。 （1）图中点（ ）的位置表示停止注水。（从 A、B、C中选择） （2）9：03时玻璃缸水面高度为多少厘米？ （3）求出长方体铁块的底面积。 22 / 22 2．如图：一个长方体水槽宽 40厘米，高 10厘米，水槽正中间有一块高 6厘米 的隔板，将水槽下面分成了相等的 2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边 注水速度为每分钟 2升。注水 3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过 1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 1 / 49 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 2 / 49 目 录 .................................................................... 4 ................................................................ 4 ................................................................................... 4 ................................................................................ 6 .................................................................... 7 ....................................................................................................................................................... 9 ................................................. 12 ................................................. 14 ...................................... 15 ....................................16 ........................................................ 17 ...................................................19 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....................................................................... 45 ............................................................... 46 4 / 49 本专题是期末复习·终极压轴版。本部分内容是对学期内最高频考点考题的 综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按 到 划 分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难 点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据 学生的实际水平和总体情况，将其作为期末复习压轴内容并侧重于不同篇章、不 同考点、不同考题进行讲解与训练。 1．数轴上的点 A用小数表示是( )；点 B用小数表示是( )。 【答案】 ﹣0.1 0.14/﹢0.14 【分析】观察数轴可知，0.1平均分成 5份，每个小格表示 0.02，点 A在 0的左 边是负数，点 B在 0的右侧是正数，据此根据单位长度的大小表示出点 A和点 B即可。 【详解】数轴上的点 A用小数表示是﹣0.1；点 B用小数表示是 0.14。 【点睛】关键是确定单位长度，在数轴上的数从左到右依次变大。 2．在﹣6，3.2， 3 5 ﹢ ，﹣3.5，0，﹢4，2，﹣0.136中，正数有( )，负数 有( )，自然数有( )。 【答案】 3.2、 3 5 ﹢ 、﹢4、2 ﹣6、﹣3.5、﹣0.136 0、2 【分析】根据正数是指比 0大的数，负数是指比 0小的数，0既不是正数也不是 负数；自然数就是像 0、1、2……这样的数，0和正整数统称为自然数；整数就 5 / 49 是像﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3……等这样的数，负整数、0、正整数统称为整 数；据此解答。 【详解】由分析可得：在﹣6，3.2， 35  ，﹣3.5，0，﹢4，2，﹣0.136中，正数 有 3.2、 35  、﹢4、2，负数有﹣6、﹣3.5、﹣0.136，自然数有 0、2。 3．在75.2%，0.8， 3 5，和 0.9 这四个数中，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 0.8 0.9 【分析】正数大于负数，再把百分数和分数化成小数，再按小数比较大小的方法 进行比较即可。 【详解】75.2％＝0.752 3 0.6 5  30.8 75.2 0.9 5    ％ 【点睛】本题考查小数、分数、百分数的互化、负数，解答本题的关键是掌握小 数、分数、百分数的互化的方法。 4．如果全班某次数学测试的平均成绩为 83分，某同学得了 85分，记作﹢2，那 么得 90分和 80分，应分别记作( )和( )。 【答案】 ﹢7 ﹣3 【分析】 此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选 83分为标准记为 0，超过 部分为正，不足的部分为负，直接得出结论即可。 【详解】 90－83＝7（分） 83－80＝3（分） 平均成绩为 83分，某同学考了 85分，记作﹢2， 得分 90分和 80分应分别记作﹢7和﹣3。 5．某食品包装袋上标注净含量为 500±30克，这袋食品最少为( )克，最 多为( )克。 【答案】 470 530 【分析】根据正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一 6 / 49 个为正，则和它意义相反的就为负，一袋食品包装袋上印着 500±30克合格的字 样，分别求出最重和最轻的克数。 【详解】500＋30＝530（克） 500－30＝470（克） 这袋食品最少为 470克，最多为 530克。 1．某日杭州最高气温是零上 10摄氏度，记作( )；哈尔滨最高气温是零 下 11摄氏度，记作( )；北京最高气温记作：﹣3摄氏度，这个温度表示 ( )。这一天三个城市的最高气温最大相差( )摄氏度。 【答案】 10℃ ﹣11℃ 零下 3摄氏度/零下 3℃ 21 【分析】在用正、负数表示两种具有相反意义的量时，要先规定哪种量为正（或 负）。如果一种量用正数表示，那么另一种与它相反的量就用负数表示。以 0 摄氏度为标准，零上温度记为正，则零下温度就记为负，据此解答。 解决有关正、负数的计算问题时，可以用画图法，以 0为分界点，分成两段来计 算。这三个温度中，最高温度是零上 10摄氏度（10摄氏度），最低温度是零下 11摄氏度（﹣11摄氏度），求这一天三个城市的最高气温最大相差多少摄氏度， 即求 10摄氏度比﹣11摄氏度高多少摄氏度。如下图 【详解】某日杭州最高气温是零上 10摄氏度，记作 10℃； 哈尔滨最高气温是零下 11摄氏度，记作﹣11℃； 北京最高气温记作：﹣3摄氏度，这个温度表示零下 3摄氏度。 10＋11＝21（摄氏度） 所以，这一天三个城市的最高气温最大相差 21摄氏度。 2．冰壶比赛中要将冰面温度恒定在零下 6℃，而为了保证运动员的正常发挥， 又要求冰上 1.5米温度控制在 10℃。“零下 6℃”记作( )，“10℃”记作 7 / 49 ( )，这两个温度相差( )℃。 【答案】 ﹣6℃ 10℃/﹢10℃ 16 【分析】以 0℃为标准，高于 0℃记为正，低于 0℃记为负，写正数时，正号可 以省略不写；将比 0℃低的温度和比 0℃高的温度相加，就是这两个温度的差， 据此分析。 【详解】6＋10＝16（℃） “零下 6℃”记作﹣6℃，“10℃”记作 10℃，这两个温度相差 16℃。 【点睛】关键是理解正负数的意义，正负数可以表示相反意义的量。 1．一辆货车从超市出发，向东走了 3千米到达小刚家，又继续向东走了 1.5千 米，到达小李家，然后又向西走了 9.5千米到达小明家，最后回到超市。 （1）若以超市为原点O，以向东方向为正方向，用 1个单位长度表示 1千米， 请你在数轴上表示出小明家，小李家，小刚家的位置。 （2）小明家距离小刚家有多远？ （3）这辆货车共走了多少千米？ 【答案】（1） （2）8千米； （3）19千米 【分析】（1）根据题意，可得以超市为原点 O，小刚家的位置可以表示为＋3 千米，小李家的位置可以表示为﹢3＋1.5＝﹢4.5（千米），小明家的位置可以表 示为﹢4.5－9.5＝﹣5（千米），据此解答即可； （2）用小明家的位置表示的数减去小刚家的位置表示的数，求出小明家距离小 刚家有多远即可； （3）根据加法的意义，用 3加上 1.5，再加上 9.5，最后再加上 5，求出这辆货 车共走了多少千米即可。 【详解】（1）根据分析，可得 8 / 49 （2） ( 3) ( 5) 8 ﹢ ﹣ （千米） 答：小明家距离小刚家有 8千米。 （3）3 1.5 9.5  ＋5 ＝4.5＋9.5＋5 ＝19（千米） 答：这辆货车共走了 19千米。 【点睛】此题主要考查了负数的意义，以及正、负数的运算方法的应用，掌握正 负数的意义是解题关键。 2．小李上周末买进股票 1000股，每股 20元，下表为本周每日股票的涨跌（与 前一日比较）情况： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） ﹢4 ﹢5 ﹣1 ﹣3 ﹣6 （1）本周三收盘时，小李所持股票每股多少元？ （2）本周内股票最高价出现在星期几？是多少元？ （3）已知小李买进股票时付了 1.5‰的手续费，卖出时需付成交额的 1.5‰的手 续费和 3‰的交易税，若小李在本周星期五收盘时卖出全部股票，他收益如何？ 【答案】（1）28元； （2）星期二；29元； （3）亏了 1115.5元 【分析】（1）由图可以算出每天每股的价格； （2）比较五天涨跌可知，星期一和星期二都是涨，则该股票最高价出现在星期 二，进而求出每股的价格； （3）收益＝卖股票收入－买股票支出－卖股票手续费和交易税－买股票手续费， 代入求值即可。 【详解】（1）20＋4＋5－1 ＝29－1 ＝28（元） 答：到本周三，小张所持股票每股 28元。 （2）20＋4＋5 9 / 49 ＝24＋5 ＝29（元） 答：本周内，股票最高价出现在星期二，是 29元。 （3）29－1－3－6 ＝28－3－6 ＝25－6 ＝19（元） 1000×19＝19000（元） 1000×20＝20000（元） 19000－20000－20000×1.5‰－19000×（1.5‰＋3‰） ＝﹣1000－30－85.5 ＝﹣1115.5（元） 答：小张亏了 1115.5元。 【点睛】此题主查考查正负数及有理数的运算在实际生活中的应用，解答此题应 注意把书本的正负数灵活运用到实际生活中。 1．对于自然数 A、B规定：A&B＝A×B÷5，若 X&12＝60，则 X的值 是( )。 【答案】25 【分析】根据 A&B＝A×B÷5，则 X&12＝60化为 X×12÷5＝60，根据等 式的性质 2，方程两边同时除以 12，再乘 5，即可求出 X的值。 【详解】X×12÷5＝60 解：X×12÷5÷12×5＝60÷12×5 X＝5×5 X＝25 对于自然数 A、B规定：A&B＝A×B÷5，若 X&12＝60，则 X的值是 25。 2．鞋的尺码通常用“码”和“厘米”作单位，它们之间的换算关系是 y＝2x－10（y 10 / 49 表示鞋的码数，x表厘米数）。乐乐的爸爸穿 43码的鞋，他的脚长是( ) 厘米。乐乐的妈妈的脚长是 23厘米，她需要穿( )码的鞋。 【答案】 26.5 36 【分析】根据题意，爸爸穿 43码的鞋，即 y＝43，将其代入 y＝2x－10中，求 出 x的值即爸爸的脚长；妈妈的脚长是 23厘米，即 x＝23，将其代入 y＝2x－10 中，求出 y值，即妈妈要穿的鞋码。 【详解】由分析可得： 把 y＝43代入 y＝2x－10中，得： y＝2x－10 43＝2x－10 2x－10＝43 2x－10＋10＝43＋10 2x＝53 2x÷2＝53÷2 x＝26.5（厘米） 把 x＝23代入 y＝2x－10中，得： y＝2x－10 ＝2×23－10 ＝46－10 ＝36 综上所述：乐乐的爸爸穿 43码的鞋，他的脚长是 26.5厘米。乐乐的妈妈的脚长 是 23厘米，她需要穿 36码的鞋。 【点睛】本题考查了含有字母的式子的求值，解方程，求值时，要先确定字母等 于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 3．在如图所示的运算过程中，若输出的数 y＝5，则输入的 x＝( )。 11 / 49 【答案】10或 9 【分析】观察运算过程，可列出两个方程式，当 x是偶数时，x÷2＝y；当 x不是 偶数时，（x＋1）÷2＝y；若输出的数 y＝5，代入到两个算式中，即可求出输入 的 x的值。 【详解】当 x是偶数时，x÷2＝y 把 y＝5代入，可得 x÷2＝5 解：x＝5×2 x＝10 当 x不是偶数时，（x＋1）÷2＝y 把 y＝5代入，可得（x＋1）÷2＝5 解：x＋1＝5×2 x＋1＝10 x＝10－1 x＝9 【点睛】此题的解题关键是根据题意列出方程，通过解方程求出 x的值。 4．下图是用菱形纸片按规律拼成的图案，第 n个图中有( )张菱形纸片； 第( )个图中有 2021张菱形纸片。 12 / 49 【答案】 4n＋1 505 【分析】结合图示可知：第 1个图中有 5张菱形纸片，第 2个图中有 5＋4＝9（张） 菱形纸片；第 3个图中有 5＋4＋4＝13（张）菱形纸片；即：从第 2个图开始， 每个图依次增加 4张菱形纸片，照这样下去，则第 n个图中有 5＋（n－1）×4＝ 4n＋1（张）菱形纸片； 可假设第 x个图中有 2021张菱形纸片，列方程为：4x＋1＝2021，解这个方程即 可。 【详解】由分析得： ①第 1个图中有：5张 第 2个图中有：5＋4＝9（张） 第 3个图中有：5＋4＋4＝13（张） 第 n个图中有： 5＋（n－1）×4 ＝5＋4n－4 ＝4n＋1（张） ②解：设第 x个图中有 2021张菱形纸片。 4x＋1＝2021 4x＝2021－1 4x＝2020 x＝2020÷4 x＝505 即，第 505个图中有 2021张菱形纸片。 【点睛】能够从相邻的图形中，判断图形的变化规律，再通过分析、推理加以验 证；然后利用方程求得最后一问。 1．甲工程队每天修路 0.54千米，比乙工程队每天修的 3倍少 0.18千米。乙工程 队每天修路多少千米？（请列方程解答） 【答案】0.24千米 【分析】可列方程解决此题。设乙工程队每天修 x千米。根据等量关系“乙工程 13 / 49 队每天修的千米数×3－0.18＝甲工程队每天修的千米数”列出方程，解方程即可 求出乙工程队每天修的千米数。 【详解】解：乙工程队每天修 x千米。 3x－0.18＝0.54 3x－0.18＋0.18＝0.54＋0.18 3x＝0.72 3x÷3＝0.72÷3 x＝0.24 答：乙工程队每天修路 0.24千米。 【点睛】列方程解决问题时，把所求的未知数用 x表示，未知数参与列式，把算 术法的逆向思维转变成列方程的顺向思维来思考。 2．果园里有桃树和苹果树共 182棵，苹果树的棵数是桃树的 2.5倍。两种果树 各有多少棵？（请列方程解答） 【答案】桃树：52棵；苹果树：130棵 【分析】根据“苹果树的棵数是桃树的 2.5倍”可知，桃树的棵数是 1倍量（即标 准量）。可设桃树有 x棵，则苹果树有 2.5x棵。根据等量关系“桃树的棵数＋苹 果树的棵数＝182”列出方程，并解方程即可求出桃树的棵数；再用 182棵减去桃 树的棵数可求出苹果树的棵数。 【详解】解：设桃树有 x棵。 x＋2.5x＝182 （1＋2.5）x＝182 3.5x＝182 3.5x÷3.5＝182÷3.5 x＝52 182－52＝130（棵） 答：桃树有 52棵，苹果树有 130棵。 【点睛】用方程法解决含有两个未知数的实际问题时，设其中的 1倍量（标准量） 为 x，另一个未知量用含有 x的式子表示出来。 14 / 49 1．甲乙两船从相距 226千米的两个港口同时出发，相向而行，经过 4小时两船 相遇。甲船每小时行 26.5千米，乙船每小时行多少千米？（列方程解） 【答案】30千米 【分析】由题意可知，设乙船每小时行 x千米，再根据相遇问题中的等量关系： 速度和×相遇时间＝相遇的路程，据此列方程解答即可。 【详解】解：设乙船每小时行 x千米。 （26.5＋x）×4＝226 （26.5＋x）×4÷4＝226÷4 26.5＋x＝56.5 26.5＋x－26.5＝56.5－26.5 x＝30 答：乙船每小时行 30千米。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确相遇问题中的等量关系是解题的关 键。 2．甲、乙两车同时从 A城开往 B城。7小时后，甲车超过乙车 42千米，甲车 每小时行 78千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解） 【答案】72千米 【分析】速度×时间＝路程，将乙车的速度设为未知数，从而表示出乙车的路程。 根据“甲车路程－乙车路程＝42千米”列出方程解方程即可。 【详解】解：设乙车每小时行 x千米。 78×7－7x＝42 （78－x）×7＝42 （78－x）×7÷7＝42÷7 78－x＝6 x＝78－6 x＝72 答：乙车每小时行 72千米。 15 / 49 1．四年级同学要去参加为期 5天的研学实践活动，学校安排房间时发现如果每 间住 8人，那么有 6人没有房间住；如果每间多住 2人，那么有 6间空出来，四 年级一共有多少人？（列方程解） 【答案】270人 【分析】先设一共有 x个房间，根据题意可知，两个分配方法不改变的是人数， 所以列式为：8x＋6＝（8＋2）（x－6）。据此解答即可。 【详解】解：先设一共有 x个房间。 8x＋6＝（8＋2）（x－6） 8x＋6＝10（x－6） 8x＋6＝10x－60 66＝2x x＝66÷2 x＝33 8×33＋6 ＝264＋6 ＝270（人） 答：四年级一共有 270人。 2．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件 需快递员派送。若每个快递员派送 10件，还剩 6件；若每个快递员派送 12件， 还差 6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？（列方程解） 【答案】快递员：6名；包裹：66件 【分析】可列方程解决盈亏问题。根据题意可知，无论按哪种派送方法，包裹的 总件数是一定的。若每个快递员派送 10件，还剩 6件，则包裹的总件数是 10× 快递员的人数＋6；若每个快递员派送 12件，还差 6件，则包裹的总件数是 12× 快递员的人数－6。所以此题的等量关系为“10×快递员的人数＋6＝12×快递员的 人数－6”。设快递员 x名，则可列出方程 10x＋6＝12x－6，解方程即可求出快 递员的人数；再用 10×快递员的人数＋6可求出包裹的件数。 【详解】解：设快递员 x名。 16 / 49 10x＋6＝12x－6 10x＋6＋6＝12x－6＋6 10x＋12＝12x 10x＋12－10x＝12x－10x 12＝2x 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 10×6＋6 ＝60＋6 ＝66（件） 答：该分派站现有包裹 66件，快递员 6名。 【点睛】此题考查了运用抓不变量法列方程解决盈亏问题。根据包裹的总件数不 变建立等量关系是解答此题的关键。 1. 笼子里鸡和兔的数量相同，它们的腿加起来共有 48条。笼子里鸡和兔各有多 少只？（列方程解答） 【答案】鸡和兔各有 8只 【分析】设鸡和兔各有 x只，根据等量关系式：鸡腿的数量＋兔腿的数量＝48， 列方程解答即可。 【详解】解：设鸡和兔各有 x只。 2x+4x=48 6x=48 6x 6=48 6  x=8 答：鸡和兔各有 8只。 【点睛】此题考查了学生分析问题能力和列方程解应用题。 2. 笼子里有若于只鸡和兔。从上面数，有 35个头，从下面数，有 94只脚。鸡 和兔各有多少只？（用方程解） 17 / 49 【答案】鸡：23只；兔子：12只 【分析】假设鸡有 x只，则兔子有（35－x）只，每只鸡有两只脚，每只兔子有 四只脚，根据数量关系：鸡的数量×2＋兔子的数量×4＝94，据此列出方程，解 方程即可求出鸡和兔子的数量。 【详解】解：设鸡有 x只，则兔子有（35－x）只， x×2＋（35－x）×4＝94 2x＋35×4－x×4＝94 2x＋140－4x＝94 140－94＝4x－2x 2x＝46 x＝46÷2 x＝23 35－23＝12（只） 答：鸡有 23只，兔子有 12只。 【点睛】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用方程进行解答， 也可以用假设法进行解答。 1．长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 【答案】 8 6 12 【分析】长方体特征： （1）长方体有 6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方 形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全 相同。 （2）长方体有 12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有 4条棱。 （3）长方体长方体有 8个顶点，每个顶点连接三条三条棱，三条棱分别叫做长 方体的长、宽、高。 正方体特征： （1）6个面都是正方形，且面积相等； 18 / 49 （2）8个顶点； （3）12条棱长度都相等； 【详解】根据长方体和正方体的共同特征可知：长方体和正方体都有 8个顶点， 6个面，12条棱。 2．下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是 ( )cm，宽是( )cm，高是( )cm，棱长总和是( )cm。 【答案】 8 5 2 60 【分析】观察图形可知，长方体的长是 8cm，宽是（9－2－2）cm，高是 2cm， 再根据长方体的棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可 解答。 【详解】长是 8cm 宽：9－2－2 ＝7－2 ＝5（cm） 高是 2cm 棱长总和： （8＋5＋2）×4 ＝（13＋2）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是 8cm， 宽是 5cm，高是 2cm，棱长总和是 60cm。 19 / 49 1．把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上 标有 3的面与标有( )的面相对，标有 6的面与标有( )的面相对。 【答案】 5 1 【分析】根据长方体展开图的特征，此图属于长方体展开图“1－4－1”型，折成 长方体后，数字“3”和“5”相对，“6”和“1”相对。 【详解】根据长方体展开图的特征，这个长方体上标有 3的面与标有 5的面相对， 标有 6的面与标有 1的面相对。 【点睛】根据长方体展开图的特征，结合自身空间想象能力，找到展开图的每个 相对面。 2．学习了“正方体展开图”后，李浩制作了一个如图所示的正方体展开图，准备 和王乐进行“猜字”游戏，聪明的你也来试试： “构”字对面是( )字，“建”字对面是( )字，“会”字对面是 ( )字。 【答案】 谐 社 和 【分析】2－2－2型正方体展开图，假如“和”在上面，则“建”在后面，“构”在左 面，“谐”在右面，“社”在前面，“会”在上面，正方体上面和下面相对，左面和右 面相对，前面和后面相对，据此填空。 20 / 49 【详解】根据分析，“构”字对面是谐字，“建”字对面是社字，“会”字对面是和字。 【点睛】关键是熟悉正方体特征，具有一定的空间想象能力。 1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、 高分别是 25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长 18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 【答案】122厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个包装盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽 ＋4条高＋接头处的长度，据此解答。 【详解】25×2＋15×2＋6×4＋18 ＝50＋30＋24＋18 ＝122（厘米） 答：一共需要 122厘米的彩带。 2．一根铁丝可以扎成一个长 6分米，宽 3分米，高 3分米的长方体，如果用这 根铁丝刚好扎成一个正方体，这个正方体的棱长是多少？ （接头处忽略不计） 【答案】4分米 【分析】长方体棱长总和就是铁丝的长度，用（长＋宽＋高）×4计算出铁丝长 度，再根据正方体的棱长＝铁丝的长度÷12，作答即可。 【详解】（6＋3＋3）×4 ＝12×4 ＝48（分米） 48÷12＝4（分米） 答：这个正方体的棱长是 4分米。 1．学校要粉刷新教室，已知教室的长是 9米，宽是 6米，高是 3.5米，门窗的 面积是 16.5平方米。如果每平方米需要花 6元涂料费，粉刷这向教室需要多少 21 / 49 涂料费？ 【答案】855元 【分析】从题意可知，教室地面是不用粉刷的，需要粉刷的面是前后左右面和上 面共 5个面。因此粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗的面积，所以 需要的涂料费＝粉刷的面积×每平方米需要的涂料费，据此作答即可。 【详解】9×6＋9×3.5×2＋6×3.5×2－16.5 ＝54＋63＋42－16.5 ＝142.5（平方米） 142.5×6＝855（元） 答：粉刷这向教室需要 855元涂料费。 2．5月 21日是全国助残日。五（1）中队委员把一个棱长 46厘米的正方体纸箱 的各面都帖上红纸，将它作为募捐“爱心箱”，他们至少需要多少平方分米的红 纸？ 【答案】126.96平方分米 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可，最后根据 1 平方分米＝100平方厘米，把结果转化为以“平方分米”为单位。 【详解】46×46×6 ＝2116×6 ＝12696（平方厘米） 12696平方厘米＝126.96平方分米 答：他们至少需要 126.96平方分米的红纸。 1．一个正方体木箱的棱长总和是 24米，它的体积是多少立方米？ 【答案】8立方米 【分析】根据题意可知，棱长=总棱长÷12，即可得棱长，然后根据正方体体积 计算公式：V＝ 3a ，据此可解。 【详解】24÷12＝2（米） V＝ 3a ＝ 32 ＝8（立方米） 答：它的体积是 8立方米。 22 / 49 2．一辆汽车的油箱，从里面量长 8分米，宽 4分米，高 2.5分米，如果这辆汽 车每千米的耗油量是 0.08升，一箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 【答案】1000千米 【分析】根据题意，汽车的油箱为长方体，长方体容积＝长×宽×高，求出油箱 的容积，可以得油的总量。油的总量÷每千米耗油量＝可行驶的距离，据此代入 数据计算即可。 【详解】8×4×2.5 ＝32×2.5 ＝80（立方分米） ＝80（升） 80÷0.08＝1000（千米） 答：一箱油最多可以供这辆汽车行驶 1000千米。 1．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的 3倍，它的棱长总和扩大到原来的 ( )倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( ) 倍。 【答案】 3 9 27 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，体积公式：V＝abh，表 面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，以及积的变化规律，积扩大的倍数等于因数 扩大倍数的乘积。由此解答。 【详解】由分析可知：长方体的长、宽、高分别扩大到原来的 3倍，棱长总和扩 大到原来的 3倍；表面积扩大到原来的 3×3＝9倍；体积扩大到原来的 3×3×3＝ 27倍。 【点睛】此题主要考查长方体的棱长总和、表面积和体积的计算方法以及积的变 化规律，明确积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。 2．一个正方体的棱长是 4cm，现将棱长扩大为原来的 3倍，它的表面积扩大为 原来的( )倍，扩大后的正方体体积是( )。 【答案】 9 1728立方厘米/1728cm3 【分析】正方体的棱长是 4cm，则棱长扩大为原来的 3倍后，棱长为（3×4）cm， 23 / 49 分别求出扩大前后的表面积和体积，用扩大后的表面积除以原来的表面积，就是 表面积扩大的倍数。 【详解】3×4＝12（cm） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 12×12×6 ＝144×6 ＝864（cm2） 864÷96＝9 12×12×12 ＝144×12 ＝1728（cm3） 【点睛】灵活运用正方体表面积和体积公式是解决此题的关键。 1．把棱长是 10dm的正方体的表面涂色后，再锯成一个个棱长是 1dm的小正方 体（无剩余，损耗不计），只有一面涂色的小正方体有( )个。 【答案】384 【分析】把棱长是 10dm的正方体的表面涂色后，再锯成一个个棱长是 1dm的小 正方体，每条棱上可以锯出 10个小正方体，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长， 可以确定锯出的小正方体的个数，只有一面涂色的小正方体都在原来大正方体每 个面的中间，求出原来大正方体每个面中间小正方体的个数，乘 6即可。 【详解】如图 24 / 49 10－2＝8（个） 8×8×6＝384（个） 只有一面涂色的小正方体有 384个。 【点睛】关键是熟悉正方体特征，明确锯出的小正方体的个数，理解只有一面涂 色的小正方体都在原来大正方体每个面的中间。 2．如图是由 7个同样大小的小正方体拼成的物体，如果把这个物体的表面涂色 （底面也涂），那么一面涂色的小正方体有( )个，三面涂色的小正方体 有( )个。 【答案】 0 3 【分析】如下图所示： 1号正方体涂色的有 4面，2号正方体涂色的有 4面，3号正 方体涂色的有 4面，4号正方体涂色的有 3面，5号正方体涂色的有 3面，6号 正方体涂色的有 5面，7号正方体涂色的有 3面，依此填空。 【详解】根据分析可知，一面涂色的小正方体有 0个，三面涂色的小正方体有 3 个。 【点睛】解答此题的关键是要先分析出每个正方体涂色的面数。 1．如图是一个长方体纸盒的展开图。（单位：厘米） ①请你给相对的面涂上相同的颜色。 ②这个长方体纸盒的表面积和容积各是多少？（纸盒厚度忽略不计） 25 / 49 【答案】①图见详解 ②580平方厘米；800立方厘米 【分析】①长方体相对的面完全一样，据此涂色即可。 ②从图中可知，这个长方体的长是 21－5＝16厘米，宽是 10厘米，高是 5厘米。 根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高， 容积和体积的求法一样，代入数据分别求出表面积和容积即可。 【详解】①如下图所示： ②长：21－5＝16（厘米） 表面积： （16×10＋16×5＋10×5）×2 ＝（160＋80＋50）×2 ＝290×2 ＝580（平方厘米） 体积： 16×10×5 ＝160×5 ＝800（立方厘米） 答：这个长方体纸盒的表面积是 580平方厘米，容积是 800立方厘米。 2．有一张长方体表面展开图（如图）。 （1）这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 26 / 49 （2）折成长方体后它的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）52平方厘米； （2）24立方厘米 【分析】（1）由图可知，长方体的长为（8－2×2）厘米，长方体的宽为 3厘米， 长方体的高为 2厘米，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求 出这个长方体的表面积； （2）已知长方体的长、宽、高，利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出这个长方 体的体积，据此解答。 【详解】（1）8－2×2 ＝8－4 ＝4（厘米） （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是 52平方厘米。 （2）4×3×2＝24（立方厘米） 答：折成长方体后它的体积是 24立方厘米。 【点睛】根据长方体的展开图确定长方体的长、宽、高，并掌握长方体的表面积 和体积的计算公式是解答题目的关键。 1．一块长 4米的长方体木料，把它锯成 2米长的两段，表面积增加了 8平方分 米。原来这块木料的体积是多少立方分米？ 【答案】160立方分米 【分析】根据题意可知，把这个长方体木料横截成两段，表面积比原来增加两个 截面的面积，用增加的表面积÷2，求出长方体的底面积，再根据长方体体积公式： 体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】4米＝40分米 （8÷2）×40 27 / 49 ＝4×40 ＝160（立方分米） 答：原来这块木料的体积是 160立方分米。 2．把一个长 8厘米，宽 6厘米，高 4厘米的长方体，切成两个大小相等的长方 体。表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 【答案】96平方厘米；48平方厘米 【分析】长方体切成两个大小相等的长方体，表面积增加了 2个长方形的面。平 行于最大的两个面去切，增加的表面积最多，平行于最小的两个面去切，增加的 表面积最少，据此分析。 【详解】8×6×2＝96（平方厘米） 6×4×2＝48（平方厘米） 答：表面积最多增加 96平方厘米，最少增加 48平方厘米。 3．一个长方体（如下图），如果高增加 4厘米，就变成了棱长是 10厘米的正方 体，这个长方体的体积是多少？ 【答案】600立方厘米 【分析】由题意可知，原长方体的长为 10厘米，宽为 10厘米，高为 10－4＝6 （厘米），由长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可解答。 【详解】10－4＝6（厘米） 10×10×6＝600（立方厘米） 答：这个长方体的体积是 600立方厘米。 【点睛】此题的解题关键是利用长方体和正方体的特征，灵活运用长方体的体积 公式求解。 4．如图，一个太阳能电池板是由 6个相同的小长方体拼成的，每个小长方体的 长是 12分米，宽 2分米，高 2.5分米。 28 / 49 （1）要给太阳能电池板的上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平 方分米？ （2）这个太阳能电池板的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）144平方分米 （2）360立方分米 【分析】（1）观察图形可知，太阳能电池板的上面是 6个长 12分米、宽 2分米 的长方形，根据长方形的面积公式 S＝ab，求出一个面的面积，再乘 6即可。 （2）先根据长方体的体积公式 V＝abh，求出一个小长方体的体积，再乘 6，即 是这个太阳能电池板的体积。 【详解】（1）12×2×6 ＝24×6 ＝144（平方分米） 答：涂吸热材料的面积是 144平方分米。 （2）12×2×2.5 ＝24×2.5 ＝60（立方分米） 60×6＝360（立方分米） 答：这个太阳能电池板的体积是 360立方分米。 1．请在下面括号填上合适的单位。 我们的教室所占空间约为 200( )，占地面积大约占地 60( )。 爸爸一次献血 200( )，汽车油箱容积 48( )。 【答案】 立方米/m3 平方米/m2 毫升/mL 升/L 【分析】1平方米是边长为 1米的正方形面积大小，教室占地面积比较大，用平 方米作单位比较合适；1立方米是棱长为 1米的正方体所占空间的大小，教室所 占空间比较大，用立方米作单位比较合适；手指尖的体积大约是 1立方厘米，1 毫升液体的体积就是 1立方厘米，献血量会少一些，用毫升作单位比较合适；粉 笔盒的体积接近 1立方分米，1升液体的体积是 1立方分米，汽车油箱容积比较 大，用升作单位比较合适，根据实际情况并结合题中的数字选择合适的单位即可。 29 / 49 【详解】我们的教室所占空间约为 200立方米，占地面积大约占地 60平方米； 爸爸一次献血 200毫升，汽车油箱容积 48升。 【点睛】本题考查单位选择，解答本题的关键是了解面积、体积、容积单位的概 念。 2．在括号里填上合适的数。 3.6m2＝( )dm2 800mL＝( )cm3＝( )L 5m3＝( )方 0.65dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 360 800 0.8/ 45 5 0.65/ 13 20 650 【分析】根据进率：1m2＝100dm2，1mL＝1cm3，1L＝1000mL，1m3＝1方，1dm3 ＝1L，1L＝1000mL；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级 单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）3.6×100＝360（dm2） 3.6m2＝360dm2 （2）800÷1000＝0.8（L） 800mL＝800cm3＝0.8L （3）5m3＝5方 （4）0.65×1000＝650（mL） 0.65dm3＝0.65L＝650mL 1．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为 5厘米的正方形，然后 沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积 是多少？ 【答案】775平方厘米；1875立方厘米 30 / 49 【分析】从图中可知，在长方形铁皮的四个角各切掉一个边长为 5厘米的正方形， 然后向上折，焊接成一个无盖长方体盒子。 这个长方体盒子用铁皮的面积＝长方形铁皮的面积－4个边长为 5厘米的小正方 形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据 计算求解。 这个长方体盒子的长是（35－5－5）厘米，宽是（25－5－5）厘米，高是 5厘米， 根据长方体的体积（容积）公式＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出盒子的 容积。 【详解】铁皮的面积： 35×25－5×5×4 ＝875－100 ＝775（平方厘米） 盒子的长：35－5－5＝25（厘米） 盒子的宽：25－5－5＝15（厘米） 盒子的容积： 25×15×5 ＝375×5 ＝1875（立方厘米） 答：这个盒子用了 775平方厘米铁皮，它的容积是 1875立方厘米。 2．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为 5厘米的正方形，然后 沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积 是多少？ 【答案】表面积是 500平方厘米，容积是 1000立方厘米 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 ” 目 录 【序章】专题解读篇 4 【第一章】综合预测篇 4 【预测命题01】正负数基本题型。 4 【预测命题02】温度和温差。 4 【预测命题03】正负数和实际应用。 5 【预测命题04】四种新型题型（定义新运算·程序框图·材料定义·探索规律）。 6 【预测命题05】列方程解应用题与倍数问题。 6 【预测命题06】列方程解应用题与行程问题。 7 【预测命题07】列方程解应用题与盈亏问题。 7 【预测命题08】列方程解应用题与鸡兔同笼问题。 8 【预测命题09】长方体和正方体的认识与特征。 8 【预测命题10】长方体和正方体的表面展开图。 8 【预测命题11】长方体和正方体的棱长和实际应用。 9 【预测命题12】长方体和正方体的表面积实际应用。 9 【预测命题13】长方体和正方体的体积（容积）实际应用。 10 【预测命题14】棱长扩倍问题。 10 【预测命题15】染色问题。 10 【预测命题16】根据展开图求表面积和体积。 11 【预测命题17】表面积的增减变化问题（切拼问题）。 12 【预测命题18】面积·体积·容积单位的选择和换算。 13 【预测命题19】图形折叠问题。 13 【预测命题20】等积变形问题。 14 【预测命题21】排水法求不规则物体的体积。 14 【预测命题22】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 15 【预测命题23】可能性的结果、大小及游戏的公平性。 16 【第二章】重点攻克篇 17 【重点攻克01】长方体和正方体的三种典型问题。 17 【重点攻克02】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 18 【重点攻克03】定义新运算与规律探索。 18 【重点攻克04】列方程解追及问题和相遇问题。 19 【第三章】难点挑战篇 20 【难点挑战01】复杂的表面积增减变化问题。 20 【难点挑战02】溢水问题。 20 【难点挑战03】注水运动问题。 21 2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列 期末复习·终极压轴版│Ultimate Edition 【序章】专题解读篇 本专题是期末复习·终极压轴版。本部分内容是对学期内最高频考点考题的综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按到划分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据学生的实际水平和总体情况，将其作为期末复习压轴内容并侧重于不同篇章、不同考点、不同考题进行讲解与训练。 【第一章】综合预测篇 【预测命题01】正负数基本题型。 1．数轴上的点A用小数表示是( )；点B用小数表示是( )。 2．在﹣6，3.2，，﹣3.5，0，﹢4，2，﹣0.136中，正数有( )，负数有( )，自然数有( )。 3．在，，，和这四个数中，最大的是( )，最小的是( )。 4．如果全班某次数学测试的平均成绩为83分，某同学得了85分，记作﹢2，那么得90分和80分，应分别记作( )和( )。 5．某食品包装袋上标注净含量为500±30克，这袋食品最少为( )克，最多为( )克。 【预测命题02】温度和温差。 1．某日杭州最高气温是零上10摄氏度，记作( )；哈尔滨最高气温是零下11摄氏度，记作( )；北京最高气温记作：﹣3摄氏度，这个温度表示( )。这一天三个城市的最高气温最大相差( )摄氏度。 2．冰壶比赛中要将冰面温度恒定在零下6℃，而为了保证运动员的正常发挥，又要求冰上1.5米温度控制在10℃。“零下6℃”记作( )，“10℃”记作( )，这两个温度相差( )℃。 【预测命题03】正负数和实际应用。 1．一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小刚家，又继续向东走了1.5千米，到达小李家，然后又向西走了9.5千米到达小明家，最后回到超市。 （1）若以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在数轴上表示出小明家，小李家，小刚家的位置。 （2）小明家距离小刚家有多远？ （3）这辆货车共走了多少千米？ 2．小李上周末买进股票1000股，每股20元，下表为本周每日股票的涨跌（与前一日比较）情况： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） ﹢4 ﹢5 ﹣1 ﹣3 ﹣6 （1）本周三收盘时，小李所持股票每股多少元？ （2）本周内股票最高价出现在星期几？是多少元？ （3）已知小李买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额的1.5‰的手续费和3‰的交易税，若小李在本周星期五收盘时卖出全部股票，他收益如何？ 【预测命题04】四种新型题型（定义新运算·程序框图·材料定义·探索规律）。 1．对于自然数A、B规定：A&B＝A×B÷5，若X&12＝60，则X的值是( )。 2．鞋的尺码通常用“码”和“厘米”作单位，它们之间的换算关系是y＝2x－10（y表示鞋的码数，x表厘米数）。乐乐的爸爸穿43码的鞋，他的脚长是( )厘米。乐乐的妈妈的脚长是23厘米，她需要穿( )码的鞋。 3．在如图所示的运算过程中，若输出的数y＝5，则输入的x＝( )。 4．下图是用菱形纸片按规律拼成的图案，第n个图中有( )张菱形纸片；第( )个图中有2021张菱形纸片。 【预测命题05】列方程解应用题与倍数问题。 1．甲工程队每天修路0.54千米，比乙工程队每天修的3倍少0.18千米。乙工程队每天修路多少千米？（请列方程解答） 2．果园里有桃树和苹果树共182棵，苹果树的棵数是桃树的2.5倍。两种果树各有多少棵？（请列方程解答） 【预测命题06】列方程解应用题与行程问题。 1．甲乙两船从相距226千米的两个港口同时出发，相向而行，经过4小时两船相遇。甲船每小时行26.5千米，乙船每小时行多少千米？（列方程解） 2．甲、乙两车同时从A城开往B城。7小时后，甲车超过乙车42千米，甲车每小时行78千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解） 【预测命题07】列方程解应用题与盈亏问题。 1．四年级同学要去参加为期5天的研学实践活动，学校安排房间时发现如果每间住8人，那么有6人没有房间住；如果每间多住2人，那么有6间空出来，四年级一共有多少人？（列方程解） 2．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？（列方程解） 【预测命题08】列方程解应用题与鸡兔同笼问题。 1. 笼子里鸡和兔的数量相同，它们的腿加起来共有48条。笼子里鸡和兔各有多少只？（列方程解答） 2. 笼子里有若于只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有多少只？（用方程解） 【预测命题09】长方体和正方体的认识与特征。 1．长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 2．下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm，棱长总和是( )cm。 【预测命题10】长方体和正方体的表面展开图。 1．把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有3的面与标有( )的面相对，标有6的面与标有( )的面相对。 2．学习了“正方体展开图”后，李浩制作了一个如图所示的正方体展开图，准备和王乐进行“猜字”游戏，聪明的你也来试试： “构”字对面是( )字，“建”字对面是( )字，“会”字对面是( )字。 【预测命题11】长方体和正方体的棱长和实际应用。 1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、高分别是25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 2．一根铁丝可以扎成一个长6分米，宽3分米，高3分米的长方体，如果用这根铁丝刚好扎成一个正方体，这个正方体的棱长是多少？ （接头处忽略不计） 【预测命题12】长方体和正方体的表面积实际应用。 1．学校要粉刷新教室，已知教室的长是9米，宽是6米，高是3.5米，门窗的面积是16.5平方米。如果每平方米需要花6元涂料费，粉刷这向教室需要多少涂料费？ 2．5月21日是全国助残日。五（1）中队委员把一个棱长46厘米的正方体纸箱的各面都帖上红纸，将它作为募捐“爱心箱”，他们至少需要多少平方分米的红纸？ 【预测命题13】长方体和正方体的体积（容积）实际应用。 1．一个正方体木箱的棱长总和是24米，它的体积是多少立方米？ 2．一辆汽车的油箱，从里面量长8分米，宽4分米，高2.5分米，如果这辆汽车每千米的耗油量是0.08升，一箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 【预测命题14】棱长扩倍问题。 1．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，它的棱长总和扩大到原来的( )倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 2．一个正方体的棱长是4cm，现将棱长扩大为原来的3倍，它的表面积扩大为原来的( )倍，扩大后的正方体体积是( )。 【预测命题15】染色问题。 1．把棱长是10dm的正方体的表面涂色后，再锯成一个个棱长是1dm的小正方体（无剩余，损耗不计），只有一面涂色的小正方体有( )个。 2．如图是由7个同样大小的小正方体拼成的物体，如果把这个物体的表面涂色（底面也涂），那么一面涂色的小正方体有( )个，三面涂色的小正方体有( )个。 【预测命题16】根据展开图求表面积和体积。 1．如图是一个长方体纸盒的展开图。（单位：厘米） ①请你给相对的面涂上相同的颜色。 ②这个长方体纸盒的表面积和容积各是多少？（纸盒厚度忽略不计） 2．有一张长方体表面展开图（如图）。    （1）这个长方体的表面积是多少平方厘米？ （2）折成长方体后它的体积是多少立方厘米？ 【预测命题17】表面积的增减变化问题（切拼问题）。 1．一块长4米的长方体木料，把它锯成2米长的两段，表面积增加了8平方分米。原来这块木料的体积是多少立方分米？ 2．把一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体，切成两个大小相等的长方体。表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 3．一个长方体（如下图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体，这个长方体的体积是多少？ 4．如图，一个太阳能电池板是由6个相同的小长方体拼成的，每个小长方体的长是12分米，宽2分米，高2.5分米。 （1）要给太阳能电池板的上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平方分米？ （2）这个太阳能电池板的体积是多少立方分米？ 【预测命题18】面积·体积·容积单位的选择和换算。 1．请在下面括号填上合适的单位。 我们的教室所占空间约为200( )，占地面积大约占地60( )。 爸爸一次献血200( )，汽车油箱容积48( )。 2．在括号里填上合适的数。 3.6m2＝( )dm2     800mL＝( )cm3＝( )L 5m3＝( )方        0.65dm3＝( )L＝( )mL 【预测命题19】图形折叠问题。 1．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 2．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 【预测命题20】等积变形问题。 1．把一个棱长为9分米的正方体铁块，熔铸成一个长18分米，高60厘米的长方体，这个长方体的宽是多少分米？ 2．一个棱长为4分米的正方体鱼缸里装满水，把水倒入一个长8分米，宽4分米的长方体空鱼缸里，水深多少分米？ 3．有一个长方体容器，底面长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米（最大面为底面），如果把这个容器盖紧（不漏水），再朝左竖起来（最小面为底面），里面的水深是多少厘米？ 【预测命题21】排水法求不规则物体的体积。 1．爸爸在一个底面长、宽分别是5分米、4分米的长方体鱼缸里放了一个假山石，水面上升了3厘米。这个假山石的体积是多少？ 2．有一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高7分米，里面水深5分米。 （1）制作这个鱼缸一共需要多少平方分米的玻璃？ （2）如果把一个棱长为4分米的正方体花岗石完全浸入水中，鱼缸里的水面升高多少分米？ 3．一个正方体的容器，从里面量棱长为3分米，水深2.8分米，将一块石头完全浸没在水中，这时溢出水1.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 【预测命题22】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．一个棱长8厘米的正方体木块，从上面正中间挖去一个棱长2厘米的小正方体后，它的体积、容积、表面积是怎样变化的？ 2．有三块高分别为10厘米、20厘米和30厘米的长方体木块，它们的底面均为边长是10厘米的正方形。现将它们拼合成一个物体（如下图所示），那么这个物体的体积是多少？表面积呢？      【预测命题23】可能性的结果、大小及游戏的公平性。 1．两种不同颜色的球，笑笑摸了30次，摸球的情况如表。根据表中的数据推测( )色的球可能多，( )色的球可能少。 颜色 红色 蓝色 次数 9 21 2．把红、黄、蓝三种小球共10个放入布袋，要使摸出红的可能性最大，摸出黄球的可能性最小，红球至少要放( )个，黄球最多放( )个。 3．一个小正方体有6个面，1个面涂上红色，2个面涂上蓝色，3个面涂上黄色。甲乙两人各掷50次，红色向上，甲胜；蓝色向上，乙胜。这个游戏规则公平吗？为什么？怎样制定游戏规则才公平？ 【第二章】重点攻克篇 【重点攻克01】长方体和正方体的三种典型问题。 1．一个长方体长16分米，高7分米，沿着水平方向横切两个小长方体，表面积增加160平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？ 2．一个密封的长方体容器，里面长8分米，宽2分米，高4分米，已装了一部分水，水深2.5分米。    （1）水与容器的接触面积是多少平方分米？ （2）如果以这个长方体的右侧面为底面把长方体竖起来放在桌子上，这时水深是多少分米？ 3．一个长方体玻璃缸，从里面量长3分米，宽2分米，高4分米，缸中水深1.8分米。把一块石头放入水中（完全浸没），这时水刚好满了。这块石头的体积是多少？ 【重点攻克02】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．如图1，一个棱长为的正方体，从正面的中心向后挖一个长方体（向后全部挖空），正面的孔是一个边长为的正方形，图1剩余部分的体积是多少？如果像图2这样从正面、上面、右面的中心各向后挖一个这样的孔，那么图2剩余部分的体积是多少？ 2．用棱长是1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？ 【重点攻克03】定义新运算与规律探索。 1．对于整数a，b，规定a※b＝a×b－1，又知（3※x）※2＝0，则x＝( )。 2．已知2⭕3＝2＋3＋4＝9，5⭕4＝5＋6＋7＋8＝26，若x⭕3＝15，则x＝( ) 【重点攻克04】列方程解追及问题和相遇问题。 1．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是290米/分，乙的速度是250米/分。经过多少分钟甲第二次追上乙？（提示：可以画图思考） 2．明明和洋洋分别从甲、乙两地同时出发，如果两人同向而行，那么经过18分钟明明追上洋洋；如果两人相对而行，那么经过2分钟两人相遇。已知洋洋每分钟走60米，甲、乙两地相距多少米？ 【第三章】难点挑战篇 【难点挑战01】复杂的表面积增减变化问题。 1．如图，一个长方体，如果长增加3厘米，宽和高都不变，体积增加6立方厘米；如果宽增加4厘米，长和高都不变，体积增加32立方厘米；如果高增加5厘米，长和宽都不变，体积增加20立方厘米。求这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 2．一个长方体，若长增加4分米，宽和高都不变，则体积增加60立方分米；若宽减少3分米，长和高都不变，则体积减少72立方分米；若高增加2分米，长和宽都不变，则体积增加80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？ 【难点挑战02】溢水问题。 1．一个装满水的长方体玻璃容器，长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，然后把两个长4厘米、宽3厘米、高8厘米的铁块立着放入容器中，容器溢出的水的体积是多少？ 2．一个长25厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体玻璃容器盛有一些水，水深6厘米。现将一个铁球完全浸没水中，这时容器内的水溢出了20毫升。这个铁球的体积是多少立方厘米？ 【难点挑战03】注水运动问题。 1．有一个无水的长方体玻璃水缸，尺寸如左下图所示，一个水龙头从上午9：00开始向玻璃缸内注水，水的流量是8立方分米/分，到9：03关闭水龙头停止注水。接着马上在缸内放入一个高为8厘米的长方体铁块，使之全部浸没水中，玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如下图所示。 （1）图中点（     ）的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择） （2）9：03时玻璃缸水面高度为多少厘米？ （3）求出长方体铁块的底面积。 2．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 ” 目 录 【序章】专题解读篇 4 【第一章】综合预测篇 4 【预测命题01】正负数基本题型。 4 【预测命题02】温度和温差。 6 【预测命题03】正负数和实际应用。 7 【预测命题04】四种新型题型（定义新运算·程序框图·材料定义·探索规律）。 9 【预测命题05】列方程解应用题与倍数问题。 12 【预测命题06】列方程解应用题与行程问题。 14 【预测命题07】列方程解应用题与盈亏问题。 15 【预测命题08】列方程解应用题与鸡兔同笼问题。 16 【预测命题09】长方体和正方体的认识与特征。 17 【预测命题10】长方体和正方体的表面展开图。 19 【预测命题11】长方体和正方体的棱长和实际应用。 20 【预测命题12】长方体和正方体的表面积实际应用。 20 【预测命题13】长方体和正方体的体积（容积）实际应用。 21 【预测命题14】棱长扩倍问题。 22 【预测命题15】染色问题。 23 【预测命题16】根据展开图求表面积和体积。 24 【预测命题17】表面积的增减变化问题（切拼问题）。 26 【预测命题18】面积·体积·容积单位的选择和换算。 28 【预测命题19】图形折叠问题。 29 【预测命题20】等积变形问题。 31 【预测命题21】排水法求不规则物体的体积。 32 【预测命题22】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 34 【预测命题23】可能性的结果、大小及游戏的公平性。 36 【第二章】重点攻克篇 38 【重点攻克01】长方体和正方体的三种典型问题。 38 【重点攻克02】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 39 【重点攻克03】定义新运算与规律探索。 41 【重点攻克04】列方程解追及问题和相遇问题。 42 【第三章】难点挑战篇 44 【难点挑战01】复杂的表面积增减变化问题。 44 【难点挑战02】溢水问题。 45 【难点挑战03】注水运动问题。 46 2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列 期末复习·终极压轴版│Ultimate Edition 【序章】专题解读篇 本专题是期末复习·终极压轴版。本部分内容是对学期内最高频考点考题的综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按到划分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据学生的实际水平和总体情况，将其作为期末复习压轴内容并侧重于不同篇章、不同考点、不同考题进行讲解与训练。 【第一章】综合预测篇 【预测命题01】正负数基本题型。 1．数轴上的点A用小数表示是( )；点B用小数表示是( )。 【答案】 ﹣0.1 0.14/﹢0.14 【分析】观察数轴可知，0.1平均分成5份，每个小格表示0.02，点A在0的左边是负数，点B在0的右侧是正数，据此根据单位长度的大小表示出点A和点B即可。 【详解】数轴上的点A用小数表示是﹣0.1；点B用小数表示是0.14。 【点睛】关键是确定单位长度，在数轴上的数从左到右依次变大。 2．在﹣6，3.2，，﹣3.5，0，﹢4，2，﹣0.136中，正数有( )，负数有( )，自然数有( )。 【答案】 3.2、、﹢4、2 ﹣6、﹣3.5、﹣0.136 0、2 【分析】根据正数是指比0大的数，负数是指比0小的数，0既不是正数也不是负数；自然数就是像0、1、2……这样的数，0和正整数统称为自然数；整数就是像﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3……等这样的数，负整数、0、正整数统称为整数；据此解答。 【详解】由分析可得：在﹣6，3.2，，﹣3.5，0，﹢4，2，﹣0.136中，正数有3.2、、﹢4、2，负数有﹣6、﹣3.5、﹣0.136，自然数有0、2。 3．在，，，和这四个数中，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 0.8 【分析】正数大于负数，再把百分数和分数化成小数，再按小数比较大小的方法进行比较即可。 【详解】75.2％＝0.752 【点睛】本题考查小数、分数、百分数的互化、负数，解答本题的关键是掌握小数、分数、百分数的互化的方法。 4．如果全班某次数学测试的平均成绩为83分，某同学得了85分，记作﹢2，那么得90分和80分，应分别记作( )和( )。 【答案】 ﹢7 ﹣3 【分析】 此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选83分为标准记为0，超过部分为正，不足的部分为负，直接得出结论即可。 【详解】 90－83＝7（分） 83－80＝3（分） 平均成绩为83分，某同学考了85分，记作﹢2， 得分90分和80分应分别记作﹢7和﹣3。 5．某食品包装袋上标注净含量为500±30克，这袋食品最少为( )克，最多为( )克。 【答案】 470 530 【分析】根据正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负，一袋食品包装袋上印着500±30克合格的字样，分别求出最重和最轻的克数。 【详解】500＋30＝530（克） 500－30＝470（克） 这袋食品最少为470克，最多为530克。 【预测命题02】温度和温差。 1．某日杭州最高气温是零上10摄氏度，记作( )；哈尔滨最高气温是零下11摄氏度，记作( )；北京最高气温记作：﹣3摄氏度，这个温度表示( )。这一天三个城市的最高气温最大相差( )摄氏度。 【答案】 10℃ ﹣11℃ 零下3摄氏度/零下3℃ 21 【分析】在用正、负数表示两种具有相反意义的量时，要先规定哪种量为正（或负）。如果一种量用正数表示，那么另一种与它相反的量就用负数表示。以0摄氏度为标准，零上温度记为正，则零下温度就记为负，据此解答。 解决有关正、负数的计算问题时，可以用画图法，以0为分界点，分成两段来计算。这三个温度中，最高温度是零上10摄氏度（10摄氏度），最低温度是零下11摄氏度（﹣11摄氏度），求这一天三个城市的最高气温最大相差多少摄氏度，即求10摄氏度比﹣11摄氏度高多少摄氏度。如下图 【详解】某日杭州最高气温是零上10摄氏度，记作10℃； 哈尔滨最高气温是零下11摄氏度，记作﹣11℃； 北京最高气温记作：﹣3摄氏度，这个温度表示零下3摄氏度。 10＋11＝21（摄氏度） 所以，这一天三个城市的最高气温最大相差21摄氏度。 2．冰壶比赛中要将冰面温度恒定在零下6℃，而为了保证运动员的正常发挥，又要求冰上1.5米温度控制在10℃。“零下6℃”记作( )，“10℃”记作( )，这两个温度相差( )℃。 【答案】 ﹣6℃ 10℃/﹢10℃ 16 【分析】以0℃为标准，高于0℃记为正，低于0℃记为负，写正数时，正号可以省略不写；将比0℃低的温度和比0℃高的温度相加，就是这两个温度的差，据此分析。 【详解】6＋10＝16（℃） “零下6℃”记作﹣6℃，“10℃”记作10℃，这两个温度相差16℃。 【点睛】关键是理解正负数的意义，正负数可以表示相反意义的量。 【预测命题03】正负数和实际应用。 1．一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小刚家，又继续向东走了1.5千米，到达小李家，然后又向西走了9.5千米到达小明家，最后回到超市。 （1）若以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在数轴上表示出小明家，小李家，小刚家的位置。 （2）小明家距离小刚家有多远？ （3）这辆货车共走了多少千米？ 【答案】（1） （2）8千米； （3）19千米 【分析】（1）根据题意，可得以超市为原点O，小刚家的位置可以表示为＋3千米，小李家的位置可以表示为﹢3＋1.5＝﹢4.5（千米），小明家的位置可以表示为﹢4.5－9.5＝﹣5（千米），据此解答即可； （2）用小明家的位置表示的数减去小刚家的位置表示的数，求出小明家距离小刚家有多远即可； （3）根据加法的意义，用3加上1.5，再加上9.5，最后再加上5，求出这辆货车共走了多少千米即可。 【详解】（1）根据分析，可得 （2）（千米） 答：小明家距离小刚家有8千米。 （3）＋5 ＝4.5＋9.5＋5 ＝19（千米） 答：这辆货车共走了19千米。 【点睛】此题主要考查了负数的意义，以及正、负数的运算方法的应用，掌握正负数的意义是解题关键。 2．小李上周末买进股票1000股，每股20元，下表为本周每日股票的涨跌（与前一日比较）情况： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） ﹢4 ﹢5 ﹣1 ﹣3 ﹣6 （1）本周三收盘时，小李所持股票每股多少元？ （2）本周内股票最高价出现在星期几？是多少元？ （3）已知小李买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额的1.5‰的手续费和3‰的交易税，若小李在本周星期五收盘时卖出全部股票，他收益如何？ 【答案】（1）28元； （2）星期二；29元； （3）亏了1115.5元 【分析】（1）由图可以算出每天每股的价格； （2）比较五天涨跌可知，星期一和星期二都是涨，则该股票最高价出现在星期二，进而求出每股的价格； （3）收益＝卖股票收入－买股票支出－卖股票手续费和交易税－买股票手续费，代入求值即可。 【详解】（1）20＋4＋5－1 ＝29－1 ＝28（元） 答：到本周三，小张所持股票每股28元。 （2）20＋4＋5 ＝24＋5 ＝29（元） 答：本周内，股票最高价出现在星期二，是29元。 （3）29－1－3－6 ＝28－3－6 ＝25－6 ＝19（元） 1000×19＝19000（元） 1000×20＝20000（元） 19000－20000－20000×1.5‰－19000×（1.5‰＋3‰） ＝﹣1000－30－85.5 ＝﹣1115.5（元） 答：小张亏了1115.5元。 【点睛】此题主查考查正负数及有理数的运算在实际生活中的应用，解答此题应注意把书本的正负数灵活运用到实际生活中。 【预测命题04】四种新型题型（定义新运算·程序框图·材料定义·探索规律）。 1．对于自然数A、B规定：A&B＝A×B÷5，若X&12＝60，则X的值是( )。 【答案】25 【分析】根据A&B＝A×B÷5，则X&12＝60化为X×12÷5＝60，根据等式的性质2，方程两边同时除以12，再乘5，即可求出X的值。 【详解】X×12÷5＝60 解：X×12÷5÷12×5＝60÷12×5 X＝5×5 X＝25 对于自然数A、B规定：A&B＝A×B÷5，若X&12＝60，则X的值是25。 2．鞋的尺码通常用“码”和“厘米”作单位，它们之间的换算关系是y＝2x－10（y表示鞋的码数，x表厘米数）。乐乐的爸爸穿43码的鞋，他的脚长是( )厘米。乐乐的妈妈的脚长是23厘米，她需要穿( )码的鞋。 【答案】 26.5 36 【分析】根据题意，爸爸穿43码的鞋，即y＝43，将其代入y＝2x－10中，求出x的值即爸爸的脚长；妈妈的脚长是23厘米，即x＝23，将其代入y＝2x－10中，求出y值，即妈妈要穿的鞋码。 【详解】由分析可得： 把y＝43代入y＝2x－10中，得： y＝2x－10 43＝2x－10 2x－10＝43 2x－10＋10＝43＋10 2x＝53 2x÷2＝53÷2 x＝26.5（厘米） 把x＝23代入y＝2x－10中，得： y＝2x－10 ＝2×23－10 ＝46－10 ＝36 综上所述：乐乐的爸爸穿43码的鞋，他的脚长是26.5厘米。乐乐的妈妈的脚长是23厘米，她需要穿36码的鞋。 【点睛】本题考查了含有字母的式子的求值，解方程，求值时，要先确定字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 3．在如图所示的运算过程中，若输出的数y＝5，则输入的x＝( )。 【答案】10或9 【分析】观察运算过程，可列出两个方程式，当x是偶数时，x÷2＝y；当x不是偶数时，（x＋1）÷2＝y；若输出的数y＝5，代入到两个算式中，即可求出输入的x的值。 【详解】当x是偶数时，x÷2＝y 把y＝5代入，可得x÷2＝5 解：x＝5×2 x＝10 当x不是偶数时，（x＋1）÷2＝y 把y＝5代入，可得（x＋1）÷2＝5 解：x＋1＝5×2 x＋1＝10 x＝10－1 x＝9 【点睛】此题的解题关键是根据题意列出方程，通过解方程求出x的值。 4．下图是用菱形纸片按规律拼成的图案，第n个图中有( )张菱形纸片；第( )个图中有2021张菱形纸片。 【答案】 4n＋1 505 【分析】结合图示可知：第1个图中有5张菱形纸片，第2个图中有5＋4＝9（张）菱形纸片；第3个图中有5＋4＋4＝13（张）菱形纸片；即：从第2个图开始，每个图依次增加4张菱形纸片，照这样下去，则第n个图中有5＋（n－1）×4＝4n＋1（张）菱形纸片； 可假设第x个图中有2021张菱形纸片，列方程为：4x＋1＝2021，解这个方程即可。 【详解】由分析得： ①第1个图中有：5张 第2个图中有：5＋4＝9（张） 第3个图中有：5＋4＋4＝13（张） 第n个图中有： 5＋（n－1）×4 ＝5＋4n－4 ＝4n＋1（张） ②解：设第x个图中有2021张菱形纸片。 4x＋1＝2021 4x＝2021－1 4x＝2020 x＝2020÷4 x＝505 即，第505个图中有2021张菱形纸片。 【点睛】能够从相邻的图形中，判断图形的变化规律，再通过分析、推理加以验证；然后利用方程求得最后一问。 【预测命题05】列方程解应用题与倍数问题。 1．甲工程队每天修路0.54千米，比乙工程队每天修的3倍少0.18千米。乙工程队每天修路多少千米？（请列方程解答） 【答案】0.24千米 【分析】可列方程解决此题。设乙工程队每天修x千米。根据等量关系“乙工程队每天修的千米数×3－0.18＝甲工程队每天修的千米数”列出方程，解方程即可求出乙工程队每天修的千米数。 【详解】解：乙工程队每天修x千米。 3x－0.18＝0.54 3x－0.18＋0.18＝0.54＋0.18 3x＝0.72 3x÷3＝0.72÷3 x＝0.24 答：乙工程队每天修路0.24千米。 【点睛】列方程解决问题时，把所求的未知数用x表示，未知数参与列式，把算术法的逆向思维转变成列方程的顺向思维来思考。 2．果园里有桃树和苹果树共182棵，苹果树的棵数是桃树的2.5倍。两种果树各有多少棵？（请列方程解答） 【答案】桃树：52棵；苹果树：130棵 【分析】根据“苹果树的棵数是桃树的2.5倍”可知，桃树的棵数是1倍量（即标准量）。可设桃树有x棵，则苹果树有2.5x棵。根据等量关系“桃树的棵数＋苹果树的棵数＝182”列出方程，并解方程即可求出桃树的棵数；再用182棵减去桃树的棵数可求出苹果树的棵数。 【详解】解：设桃树有x棵。 x＋2.5x＝182 （1＋2.5）x＝182 3.5x＝182 3.5x÷3.5＝182÷3.5 x＝52 182－52＝130（棵） 答：桃树有52棵，苹果树有130棵。 【点睛】用方程法解决含有两个未知数的实际问题时，设其中的1倍量（标准量）为x，另一个未知量用含有x的式子表示出来。 【预测命题06】列方程解应用题与行程问题。 1．甲乙两船从相距226千米的两个港口同时出发，相向而行，经过4小时两船相遇。甲船每小时行26.5千米，乙船每小时行多少千米？（列方程解） 【答案】30千米 【分析】由题意可知，设乙船每小时行x千米，再根据相遇问题中的等量关系：速度和×相遇时间＝相遇的路程，据此列方程解答即可。 【详解】解：设乙船每小时行x千米。 （26.5＋x）×4＝226 （26.5＋x）×4÷4＝226÷4 26.5＋x＝56.5 26.5＋x－26.5＝56.5－26.5 x＝30 答：乙船每小时行30千米。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确相遇问题中的等量关系是解题的关键。 2．甲、乙两车同时从A城开往B城。7小时后，甲车超过乙车42千米，甲车每小时行78千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解） 【答案】72千米 【分析】速度×时间＝路程，将乙车的速度设为未知数，从而表示出乙车的路程。根据“甲车路程－乙车路程＝42千米”列出方程解方程即可。 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 78×7－7x＝42 （78－x）×7＝42 （78－x）×7÷7＝42÷7 78－x＝6 x＝78－6 x＝72 答：乙车每小时行72千米。 【预测命题07】列方程解应用题与盈亏问题。 1．四年级同学要去参加为期5天的研学实践活动，学校安排房间时发现如果每间住8人，那么有6人没有房间住；如果每间多住2人，那么有6间空出来，四年级一共有多少人？（列方程解） 【答案】270人 【分析】先设一共有x个房间，根据题意可知，两个分配方法不改变的是人数，所以列式为：8x＋6＝（8＋2）（x－6）。据此解答即可。 【详解】解：先设一共有x个房间。 8x＋6＝（8＋2）（x－6） 8x＋6＝10（x－6） 8x＋6＝10x－60 66＝2x x＝66÷2 x＝33 8×33＋6 ＝264＋6 ＝270（人） 答：四年级一共有270人。 2．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？（列方程解） 【答案】快递员：6名；包裹：66件 【分析】可列方程解决盈亏问题。根据题意可知，无论按哪种派送方法，包裹的总件数是一定的。若每个快递员派送10件，还剩6件，则包裹的总件数是10×快递员的人数＋6；若每个快递员派送12件，还差6件，则包裹的总件数是12×快递员的人数－6。所以此题的等量关系为“10×快递员的人数＋6＝12×快递员的人数－6”。设快递员x名，则可列出方程10x＋6＝12x－6，解方程即可求出快递员的人数；再用10×快递员的人数＋6可求出包裹的件数。 【详解】解：设快递员x名。 10x＋6＝12x－6 10x＋6＋6＝12x－6＋6 10x＋12＝12x 10x＋12－10x＝12x－10x 12＝2x 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 10×6＋6 ＝60＋6 ＝66（件） 答：该分派站现有包裹66件，快递员6名。 【点睛】此题考查了运用抓不变量法列方程解决盈亏问题。根据包裹的总件数不变建立等量关系是解答此题的关键。 【预测命题08】列方程解应用题与鸡兔同笼问题。 1. 笼子里鸡和兔的数量相同，它们的腿加起来共有48条。笼子里鸡和兔各有多少只？（列方程解答） 【答案】鸡和兔各有8只 【分析】设鸡和兔各有x只，根据等量关系式：鸡腿的数量＋兔腿的数量＝48，列方程解答即可。 【详解】解：设鸡和兔各有x只。 答：鸡和兔各有8只。 【点睛】此题考查了学生分析问题能力和列方程解应用题。 2. 笼子里有若于只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有多少只？（用方程解） 【答案】鸡：23只；兔子：12只 【分析】假设鸡有x只，则兔子有（35－x）只，每只鸡有两只脚，每只兔子有四只脚，根据数量关系：鸡的数量×2＋兔子的数量×4＝94，据此列出方程，解方程即可求出鸡和兔子的数量。 【详解】解：设鸡有x只，则兔子有（35－x）只， x×2＋（35－x）×4＝94 2x＋35×4－x×4＝94 2x＋140－4x＝94 140－94＝4x－2x 2x＝46 x＝46÷2 x＝23 35－23＝12（只） 答：鸡有23只，兔子有12只。 【点睛】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用方程进行解答，也可以用假设法进行解答。 【预测命题09】长方体和正方体的认识与特征。 1．长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 【答案】 8 6 12 【分析】长方体特征： （1）长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 （2）长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。 （3）长方体长方体有8个顶点，每个顶点连接三条三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 正方体特征： （1）6个面都是正方形，且面积相等； （2）8个顶点； （3）12条棱长度都相等； 【详解】根据长方体和正方体的共同特征可知：长方体和正方体都有8个顶点，6个面，12条棱。 2．下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm，棱长总和是( )cm。 【答案】 8 5 2 60 【分析】观察图形可知，长方体的长是8cm，宽是（9－2－2）cm，高是2cm，再根据长方体的棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。 【详解】长是8cm 宽：9－2－2 ＝7－2 ＝5（cm） 高是2cm 棱长总和： （8＋5＋2）×4 ＝（13＋2）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是8cm，宽是5cm，高是2cm，棱长总和是60cm。 【预测命题10】长方体和正方体的表面展开图。 1．把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有3的面与标有( )的面相对，标有6的面与标有( )的面相对。 【答案】 5 1 【分析】根据长方体展开图的特征，此图属于长方体展开图“1－4－1”型，折成长方体后，数字“3”和“5”相对，“6”和“1”相对。 【详解】根据长方体展开图的特征，这个长方体上标有3的面与标有5的面相对，标有6的面与标有1的面相对。 【点睛】根据长方体展开图的特征，结合自身空间想象能力，找到展开图的每个相对面。 2．学习了“正方体展开图”后，李浩制作了一个如图所示的正方体展开图，准备和王乐进行“猜字”游戏，聪明的你也来试试： “构”字对面是( )字，“建”字对面是( )字，“会”字对面是( )字。 【答案】 谐 社 和 【分析】2－2－2型正方体展开图，假如“和”在上面，则“建”在后面，“构”在左面，“谐”在右面，“社”在前面，“会”在上面，正方体上面和下面相对，左面和右面相对，前面和后面相对，据此填空。 【详解】根据分析，“构”字对面是谐字，“建”字对面是社字，“会”字对面是和字。 【点睛】关键是熟悉正方体特征，具有一定的空间想象能力。 【预测命题11】长方体和正方体的棱长和实际应用。 1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、高分别是25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 【答案】122厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个包装盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋接头处的长度，据此解答。 【详解】25×2＋15×2＋6×4＋18 ＝50＋30＋24＋18 ＝122（厘米） 答：一共需要122厘米的彩带。 2．一根铁丝可以扎成一个长6分米，宽3分米，高3分米的长方体，如果用这根铁丝刚好扎成一个正方体，这个正方体的棱长是多少？ （接头处忽略不计） 【答案】4分米 【分析】长方体棱长总和就是铁丝的长度，用（长＋宽＋高）×4计算出铁丝长度，再根据正方体的棱长＝铁丝的长度÷12，作答即可。 【详解】（6＋3＋3）×4 ＝12×4 ＝48（分米） 48÷12＝4（分米） 答：这个正方体的棱长是4分米。 【预测命题12】长方体和正方体的表面积实际应用。 1．学校要粉刷新教室，已知教室的长是9米，宽是6米，高是3.5米，门窗的面积是16.5平方米。如果每平方米需要花6元涂料费，粉刷这向教室需要多少涂料费？ 【答案】855元 【分析】从题意可知，教室地面是不用粉刷的，需要粉刷的面是前后左右面和上面共5个面。因此粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗的面积，所以需要的涂料费＝粉刷的面积×每平方米需要的涂料费，据此作答即可。 【详解】9×6＋9×3.5×2＋6×3.5×2－16.5 ＝54＋63＋42－16.5 ＝142.5（平方米） 142.5×6＝855（元） 答：粉刷这向教室需要855元涂料费。 2．5月21日是全国助残日。五（1）中队委员把一个棱长46厘米的正方体纸箱的各面都帖上红纸，将它作为募捐“爱心箱”，他们至少需要多少平方分米的红纸？ 【答案】126.96平方分米 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可，最后根据1平方分米＝100平方厘米，把结果转化为以“平方分米”为单位。 【详解】46×46×6 ＝2116×6 ＝12696（平方厘米） 12696平方厘米＝126.96平方分米 答：他们至少需要126.96平方分米的红纸。 【预测命题13】长方体和正方体的体积（容积）实际应用。 1．一个正方体木箱的棱长总和是24米，它的体积是多少立方米？ 【答案】8立方米 【分析】根据题意可知，棱长=总棱长÷12，即可得棱长，然后根据正方体体积计算公式：V＝，据此可解。 【详解】24÷12＝2（米） V＝＝＝8（立方米） 答：它的体积是8立方米。 2．一辆汽车的油箱，从里面量长8分米，宽4分米，高2.5分米，如果这辆汽车每千米的耗油量是0.08升，一箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 【答案】1000千米 【分析】根据题意，汽车的油箱为长方体，长方体容积＝长×宽×高，求出油箱的容积，可以得油的总量。油的总量÷每千米耗油量＝可行驶的距离，据此代入数据计算即可。 【详解】8×4×2.5 ＝32×2.5 ＝80（立方分米） ＝80（升） 80÷0.08＝1000（千米） 答：一箱油最多可以供这辆汽车行驶1000千米。 【预测命题14】棱长扩倍问题。 1．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，它的棱长总和扩大到原来的( )倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 3 9 27 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，体积公式：V＝abh，表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，以及积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。由此解答。 【详解】由分析可知：长方体的长、宽、高分别扩大到原来的3倍，棱长总和扩大到原来的3倍；表面积扩大到原来的3×3＝9倍；体积扩大到原来的3×3×3＝27倍。 【点睛】此题主要考查长方体的棱长总和、表面积和体积的计算方法以及积的变化规律，明确积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。 2．一个正方体的棱长是4cm，现将棱长扩大为原来的3倍，它的表面积扩大为原来的( )倍，扩大后的正方体体积是( )。 【答案】 9 1728立方厘米/1728cm3 【分析】正方体的棱长是4cm，则棱长扩大为原来的3倍后，棱长为（3×4）cm，分别求出扩大前后的表面积和体积，用扩大后的表面积除以原来的表面积，就是表面积扩大的倍数。 【详解】3×4＝12（cm） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 12×12×6 ＝144×6 ＝864（cm2） 864÷96＝9 12×12×12 ＝144×12 ＝1728（cm3） 【点睛】灵活运用正方体表面积和体积公式是解决此题的关键。 【预测命题15】染色问题。 1．把棱长是10dm的正方体的表面涂色后，再锯成一个个棱长是1dm的小正方体（无剩余，损耗不计），只有一面涂色的小正方体有( )个。 【答案】384 【分析】把棱长是10dm的正方体的表面涂色后，再锯成一个个棱长是1dm的小正方体，每条棱上可以锯出10个小正方体，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，可以确定锯出的小正方体的个数，只有一面涂色的小正方体都在原来大正方体每个面的中间，求出原来大正方体每个面中间小正方体的个数，乘6即可。 【详解】如图 10－2＝8（个） 8×8×6＝384（个） 只有一面涂色的小正方体有384个。 【点睛】关键是熟悉正方体特征，明确锯出的小正方体的个数，理解只有一面涂色的小正方体都在原来大正方体每个面的中间。 2．如图是由7个同样大小的小正方体拼成的物体，如果把这个物体的表面涂色（底面也涂），那么一面涂色的小正方体有( )个，三面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 0 3 【分析】如下图所示： 1号正方体涂色的有4面，2号正方体涂色的有4面，3号正方体涂色的有4面，4号正方体涂色的有3面，5号正方体涂色的有3面，6号正方体涂色的有5面，7号正方体涂色的有3面，依此填空。 【详解】根据分析可知，一面涂色的小正方体有0个，三面涂色的小正方体有3个。 【点睛】解答此题的关键是要先分析出每个正方体涂色的面数。 【预测命题16】根据展开图求表面积和体积。 1．如图是一个长方体纸盒的展开图。（单位：厘米） ①请你给相对的面涂上相同的颜色。 ②这个长方体纸盒的表面积和容积各是多少？（纸盒厚度忽略不计） 【答案】①图见详解 ②580平方厘米；800立方厘米 【分析】①长方体相对的面完全一样，据此涂色即可。 ②从图中可知，这个长方体的长是21－5＝16厘米，宽是10厘米，高是5厘米。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，容积和体积的求法一样，代入数据分别求出表面积和容积即可。 【详解】①如下图所示： ②长：21－5＝16（厘米） 表面积： （16×10＋16×5＋10×5）×2 ＝（160＋80＋50）×2 ＝290×2 ＝580（平方厘米） 体积： 16×10×5 ＝160×5 ＝800（立方厘米） 答：这个长方体纸盒的表面积是580平方厘米，容积是800立方厘米。 2．有一张长方体表面展开图（如图）。    （1）这个长方体的表面积是多少平方厘米？ （2）折成长方体后它的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）52平方厘米； （2）24立方厘米 【分析】（1）由图可知，长方体的长为（8－2×2）厘米，长方体的宽为3厘米，长方体的高为2厘米，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出这个长方体的表面积； （2）已知长方体的长、宽、高，利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出这个长方体的体积，据此解答。 【详解】（1）8－2×2 ＝8－4 ＝4（厘米） （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是52平方厘米。 （2）4×3×2＝24（立方厘米） 答：折成长方体后它的体积是24立方厘米。 【点睛】根据长方体的展开图确定长方体的长、宽、高，并掌握长方体的表面积和体积的计算公式是解答题目的关键。 【预测命题17】表面积的增减变化问题（切拼问题）。 1．一块长4米的长方体木料，把它锯成2米长的两段，表面积增加了8平方分米。原来这块木料的体积是多少立方分米？ 【答案】160立方分米 【分析】根据题意可知，把这个长方体木料横截成两段，表面积比原来增加两个截面的面积，用增加的表面积÷2，求出长方体的底面积，再根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】4米＝40分米 （8÷2）×40 ＝4×40 ＝160（立方分米） 答：原来这块木料的体积是160立方分米。 2．把一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体，切成两个大小相等的长方体。表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 【答案】96平方厘米；48平方厘米 【分析】长方体切成两个大小相等的长方体，表面积增加了2个长方形的面。平行于最大的两个面去切，增加的表面积最多，平行于最小的两个面去切，增加的表面积最少，据此分析。 【详解】8×6×2＝96（平方厘米） 6×4×2＝48（平方厘米） 答：表面积最多增加96平方厘米，最少增加48平方厘米。 3．一个长方体（如下图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体，这个长方体的体积是多少？ 【答案】600立方厘米 【分析】由题意可知，原长方体的长为10厘米，宽为10厘米，高为10－4＝6（厘米），由长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可解答。 【详解】10－4＝6（厘米） 10×10×6＝600（立方厘米） 答：这个长方体的体积是600立方厘米。 【点睛】此题的解题关键是利用长方体和正方体的特征，灵活运用长方体的体积公式求解。 4．如图，一个太阳能电池板是由6个相同的小长方体拼成的，每个小长方体的长是12分米，宽2分米，高2.5分米。 （1）要给太阳能电池板的上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平方分米？ （2）这个太阳能电池板的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）144平方分米 （2）360立方分米 【分析】（1）观察图形可知，太阳能电池板的上面是6个长12分米、宽2分米的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘6即可。 （2）先根据长方体的体积公式V＝abh，求出一个小长方体的体积，再乘6，即是这个太阳能电池板的体积。 【详解】（1）12×2×6 ＝24×6 ＝144（平方分米） 答：涂吸热材料的面积是144平方分米。 （2）12×2×2.5 ＝24×2.5 ＝60（立方分米） 60×6＝360（立方分米） 答：这个太阳能电池板的体积是360立方分米。 【预测命题18】面积·体积·容积单位的选择和换算。 1．请在下面括号填上合适的单位。 我们的教室所占空间约为200( )，占地面积大约占地60( )。 爸爸一次献血200( )，汽车油箱容积48( )。 【答案】 立方米/m3 平方米/m2 毫升/mL 升/L 【分析】1平方米是边长为1米的正方形面积大小，教室占地面积比较大，用平方米作单位比较合适；1立方米是棱长为1米的正方体所占空间的大小，教室所占空间比较大，用立方米作单位比较合适；手指尖的体积大约是1立方厘米，1毫升液体的体积就是1立方厘米，献血量会少一些，用毫升作单位比较合适；粉笔盒的体积接近1立方分米，1升液体的体积是1立方分米，汽车油箱容积比较大，用升作单位比较合适，根据实际情况并结合题中的数字选择合适的单位即可。 【详解】我们的教室所占空间约为200立方米，占地面积大约占地60平方米； 爸爸一次献血200毫升，汽车油箱容积48升。 【点睛】本题考查单位选择，解答本题的关键是了解面积、体积、容积单位的概念。 2．在括号里填上合适的数。 3.6m2＝( )dm2     800mL＝( )cm3＝( )L 5m3＝( )方        0.65dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 360 800 0.8/ 5 0.65/ 650 【分析】根据进率：1m2＝100dm2，1mL＝1cm3，1L＝1000mL，1m3＝1方，1dm3＝1L，1L＝1000mL；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）3.6×100＝360（dm2） 3.6m2＝360dm2 （2）800÷1000＝0.8（L） 800mL＝800cm3＝0.8L （3）5m3＝5方 （4）0.65×1000＝650（mL） 0.65dm3＝0.65L＝650mL 【预测命题19】图形折叠问题。 1．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 【答案】775平方厘米；1875立方厘米 【分析】从图中可知，在长方形铁皮的四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后向上折，焊接成一个无盖长方体盒子。 这个长方体盒子用铁皮的面积＝长方形铁皮的面积－4个边长为5厘米的小正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算求解。 这个长方体盒子的长是（35－5－5）厘米，宽是（25－5－5）厘米，高是5厘米，根据长方体的体积（容积）公式＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出盒子的容积。 【详解】铁皮的面积： 35×25－5×5×4 ＝875－100 ＝775（平方厘米） 盒子的长：35－5－5＝25（厘米） 盒子的宽：25－5－5＝15（厘米） 盒子的容积： 25×15×5 ＝375×5 ＝1875（立方厘米） 答：这个盒子用了775平方厘米铁皮，它的容积是1875立方厘米。 2．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 【答案】表面积是500平方厘米，容积是1000立方厘米 【分析】制作长方体容器，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，长、宽都会减少两个小正方形边长，高就是小正方形边长，求出长、宽、高代入公式即可求容积。长方形铁皮除去切掉的四个正方形，剩余部分都用于制作长方体，所以长方体表面积＝长方形剩余部分面积，即长方体表面积＝长方形面积－四个小正方形面积。 【详解】30－5－5 ＝25－5 ＝20（厘米） 20－5－5 ＝15－5 ＝10（厘米） 20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 30×20－5×5×4 ＝600－100 ＝500（平方厘米） 答：表面积是500平方厘米，容积是1000立方厘米。 【点睛】本题考查长方体的容积，明确长方体的长、宽和高是解题的关键。 【预测命题20】等积变形问题。 1．把一个棱长为9分米的正方体铁块，熔铸成一个长18分米，高60厘米的长方体，这个长方体的宽是多少分米？ 【答案】6.75分米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，正方体熔铸成长方体体积不变，即可求出熔铸成长方体的体积，再根据长方体的宽＝体积÷长÷高，即可求出这个长方体的宽是多少分米。 【详解】正方体的体积：9×9×9 ＝81×9 ＝729（立方分米） 60厘米＝6分米 长方体的宽：729÷18÷6 ＝40.5÷6 ＝6.75（分米） 答：这个长方体的宽是6.75分米。 【点睛】此题主要考查正方体和长方体体积公式的灵活运用。 2．一个棱长为4分米的正方体鱼缸里装满水，把水倒入一个长8分米，宽4分米的长方体空鱼缸里，水深多少分米？ 【答案】2分米 【分析】此题主要考查长方体、正方体的容积（体积）公式的灵活运用。 先根据正方体的体积公式：V＝a3，求出正方体鱼缸的容积，然后用这个体积除以长方体鱼缸的底面积就是水深的高度；据此解答。 【详解】4×4×4÷（8×4） ＝64÷32 ＝2（分米） 答：水深是2分米。 3．有一个长方体容器，底面长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米（最大面为底面），如果把这个容器盖紧（不漏水），再朝左竖起来（最小面为底面），里面的水深是多少厘米？ 【答案】18厘米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，水的体积÷最小底面面积即可。 【详解】 ＝3600÷200 ＝18（cm） 答：水深是18厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式。 【预测命题21】排水法求不规则物体的体积。 1．爸爸在一个底面长、宽分别是5分米、4分米的长方体鱼缸里放了一个假山石，水面上升了3厘米。这个假山石的体积是多少？ 【答案】6立方分米 【分析】根据题意，在一个长方体鱼缸里放了一个假山石，水面上升了3厘米，那么水上升部分的体积等于这个假山石的体积；根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算，即可求出这个假山石的体积。注意单位的换算：1分米＝10厘米。 【详解】3厘米＝0.3分米 5×4×0.3 ＝20×0.3 ＝6（立方分米） 答：这个假山石的体积是6立方分米。 2．有一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高7分米，里面水深5分米。 （1）制作这个鱼缸一共需要多少平方分米的玻璃？ （2）如果把一个棱长为4分米的正方体花岗石完全浸入水中，鱼缸里的水面升高多少分米？ 【答案】（1）222平方分米 （2）1.6分米 【分析】（1）求制作这个无盖的长方体鱼缸需要玻璃的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可。 （2）把一个棱长为4分米的正方体花岗石完全浸入水中，那么鱼缸里的水会上升，水上升部分的体积等于这块花岗石的体积；先根据正方体的体积公式V＝a3，求出花岗石的体积；再根据长方体的高h＝V÷S，求出水面上升的高度。 【详解】（1）8×5＋8×7×2＋5×7×2 ＝40＋112＋70 ＝222（平方分米） 答：制作这个鱼缸一共需要222平方分米的玻璃。 （2）4×4×4＝64（立方分米） 64÷（8×5） ＝64÷40 ＝1.6（分米） 答：鱼缸里的水面升高1.6分米。 3．一个正方体的容器，从里面量棱长为3分米，水深2.8分米，将一块石头完全浸没在水中，这时溢出水1.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 【答案】3.6立方分米 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，由此求出正方体容器的体积以及水的体积。将正方体的体积减去水的体积，再将差加上溢出水的体积，即可求出石头的体积。 【详解】1.8升＝1.8立方分米 3×3×3－3×3×2.8＋1.8 ＝27－25.2＋1.8 ＝3.6（立方分米） 答：这块石头的体积是3.6立方分米。 【预测命题22】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．一个棱长8厘米的正方体木块，从上面正中间挖去一个棱长2厘米的小正方体后，它的体积、容积、表面积是怎样变化的？ 【答案】体积变小；容积变大；表面积变大 【分析】根据题意，在正方体木块的上面正中间挖去一个小正方体，那么体积减少了1个小正方体的体积，所以体积比原来的体积小。 原来正方体没有容积，因为挖去了一个小正方体，容积增加了这个小正方体的容积。 挖去一个小正方体，减少了小正方体的1个面，同时又露出了小正方体的5个面，所以表面积比原来的表面积多了小正方体的4个面。 【详解】体积比原来小了：2×2×2＝8（立方厘米） 容积比原来大了：2×2×2＝8（立方厘米） 表面积比原来大了：2×2×4＝16（平方厘米） 答：它的体积变小了，容积变大了，表面积变大了。 2．有三块高分别为10厘米、20厘米和30厘米的长方体木块，它们的底面均为边长是10厘米的正方形。现将它们拼合成一个物体（如下图所示），那么这个物体的体积是多少？表面积呢？      【答案】体积是6000立方厘米，表面积是2400平方厘米 【分析】通过观察图形可知，这个组合图形的体积等于2个长方体一个正方体的体积和，由于2个长方体和一个正方体粘合在一起，所以求表面积时，左面的长方体只求它的上下、前后4个的面的面积，右面的正方体只求4个面的面积，中间的长方体求出表面积，然后合并起来即可。 【详解】10×10×20＋10×10×30＋10×10×10 ＝2000＋3000＋1000 ＝5000＋1000 ＝6000（立方厘米） 10×20×2＋10×10×2＋（10×10＋10×30＋10×30）×2＋10×10×4 ＝400＋200＋（100＋300＋300）×2＋400 ＝600＋700×2＋400 ＝600＋1400＋400 ＝2000＋400 ＝2400（平方厘米） 答：这个物体的体积是6000立方厘米，表面积是2400平方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体、正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【预测命题23】可能性的结果、大小及游戏的公平性。 1．两种不同颜色的球，笑笑摸了30次，摸球的情况如表。根据表中的数据推测( )色的球可能多，( )色的球可能少。 颜色 红色 蓝色 次数 9 21 【答案】 蓝 红 【分析】可能性的大小与球数量的多少有关，哪种颜色的球的数量多，则被摸出的可能性就大，反之就小。据此解答即可。 【详解】21＞9 则根据表中的数据推测蓝色的球可能多，红色的球可能少。 2．把红、黄、蓝三种小球共10个放入布袋，要使摸出红的可能性最大，摸出黄球的可能性最小，红球至少要放( )个，黄球最多放( )个。 【答案】 5 2 【分析】要使摸出红的可能性最大，摸出黄球的可能性最小，则红球的数量应最多，黄球的数量应最少，则红球至少放5个，这样红球的数量一定是最多的；黄球最多放2个，这样能保证袋子中黄球的数量一定最少，蓝球有3个。 【详解】由分析可知： 把红、黄、蓝三种小球共10个放入布袋，要使摸出红的可能性最大，摸出黄球的可能性最小，红球至少要放5个，黄球最多放2个。 3．一个小正方体有6个面，1个面涂上红色，2个面涂上蓝色，3个面涂上黄色。甲乙两人各掷50次，红色向上，甲胜；蓝色向上，乙胜。这个游戏规则公平吗？为什么？怎样制定游戏规则才公平？ 【答案】不公平；理由合理即可，见详解；制定公平的游戏规则不唯一，见详解。 【分析】涂红色、蓝色、黄色的面数不相同，哪种颜色涂的面数越多，这种颜色向上的可能性越大；反之，就越少。制定游戏规则时，只有各方获胜的可能性相等，游戏才公平。据此判断游戏规则是否公平。 制定公平的游戏规则不唯一，只要保证二人获胜的可能性相等即可。 【详解】不公平；因为涂红色的只有1个面，涂蓝色的有2个面，红色向上的可能性比蓝色向上的可能性小，这个游戏规则对乙不利，所以这个游戏规则不公平。 可以这样制定游戏规则：红色和蓝色向上，甲胜；黄色向上，乙胜。（规则不唯一） 【点睛】事件随机出现的可能性的大小与个体数量的多少有关，个体在总数中所占数量越多，出现的可能性就越大；反之，可能性越小。 【第二章】重点攻克篇 【重点攻克01】长方体和正方体的三种典型问题。 1．一个长方体长16分米，高7分米，沿着水平方向横切两个小长方体，表面积增加160平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】560立方分米 【分析】增加的面积就是2个长方体的底面积，增加的面积÷2＝长方体的底面积，长方体的底面积÷长方体的长＝长方体的宽，长方体的长×宽×高＝长方体的体积。据此解答。 【详解】160÷2÷16 =80÷16 ＝5（分米） 16×7×5 =112×5 ＝560（立方分米） 答：原来长方体的体积是560立方分米。 2．一个密封的长方体容器，里面长8分米，宽2分米，高4分米，已装了一部分水，水深2.5分米。    （1）水与容器的接触面积是多少平方分米？ （2）如果以这个长方体的右侧面为底面把长方体竖起来放在桌子上，这时水深是多少分米？ 【答案】（1）66平方分米 （2）5分米 【分析】（1）由题意，这个密封的长方体容器，里面长8分米，宽2分米，高4分米，装的水深2.5分米；要求得水与容器的接触面积是多少平方分米，就是求下底面、前后面、左右面的面积之和（其中，前后面、左右面的高为实际水深2.5分米）；列式为：8×2＋（8×2.5＋2×2.5）×2； （2）以右侧面为底面，把这个长方体竖起来放在桌子上，此时底面的长为4分米、宽为2分米，要求得此时水深是多少分米，根据长方体体积公式，V长方体＝长×宽×高，可得高＝体积÷（长×宽），列式为：8×2×2.5÷（4×2）。 【详解】（1）8×2＋（8×2.5＋2×2.5）×2 ＝16＋（20＋5）×2 ＝16＋25×2 ＝16＋50 ＝66（平方分米） 答：水与容器的接触面积是66平方分米。 （2）8×2×2.5÷（4×2） ＝40÷8 ＝5（分米） 答：这时水深是5分米。 【点睛】综合考查了有关长方体表面积的计算、体积公式的灵活应用，需要明确每一道小题中，长方体的长、宽、高所对应的具体数值。 3．一个长方体玻璃缸，从里面量长3分米，宽2分米，高4分米，缸中水深1.8分米。把一块石头放入水中（完全浸没），这时水刚好满了。这块石头的体积是多少？ 【答案】13.2立方分米 【分析】求这块石头的体积，就是求水面升高（4－1.8）分米部分的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】3×2×（4－1.8） ＝6×2.2 ＝13.2（立方分米） 答：这块石头的体积是13.2立方分米。 【重点攻克02】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．如图1，一个棱长为的正方体，从正面的中心向后挖一个长方体（向后全部挖空），正面的孔是一个边长为的正方形，图1剩余部分的体积是多少？如果像图2这样从正面、上面、右面的中心各向后挖一个这样的孔，那么图2剩余部分的体积是多少？ 【答案】； 【分析】图1挖掉的是一个宽和高为2厘米 、长为6厘米 的长方体，用原来大正方体的体积减去挖掉的长方体的体积即可。可以先计算三条孔道的体积，因为三条孔道相交的地方是一个正方体，且这个正方体总共被计算了3次，实际只计算1次就可以，因此三条孔道的实际总体积为三条孔道的体积减去2个正方体的体积 ；然后用原来正方体的体积减去三条孔道的实际总体积即可。 【详解】 ＝216－24 ＝192（cm3） ＝72－16 ＝56（cm3） ＝216－56 ＝160（cm3） 答：图1剩余部分的体积是。图2剩余部分的体积是。 【点睛】本题考查长方体、正方体的体积，解答本题的关键是求出三条孔道的实际总体积。 2．用棱长是1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？ 【答案】46平方厘米 【分析】（1）不管叠多高，上下两面的表面积都是3×3＝9个面； （2）再看前后左右四个面，都是2×3＋1＝7个面。 【详解】1×1×（9×2＋7×4） ＝1×（18＋28） ＝46（平方厘米） 答：该图形的表面积是46平方厘米。 【点睛】此题也可通过数图形解答。我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1平方厘米，则表面积就是46平方厘米。 【重点攻克03】定义新运算与规律探索。 1．对于整数a，b，规定a※b＝a×b－1，又知（3※x）※2＝0，则x＝( )。 【答案】0.5 【分析】根据定义的新运算a※b＝a×b－1，把（3※x）※2＝0进行转换，解方程即可。 【详解】因为a※b＝a×b－1，所以3※x＝3x－1，（3x－1）※2＝2×（3x－1）－1＝6x－2－1＝0； 6x－2－1＝0 解：6x＝3 x＝0.5 故答案为：0.5 【点睛】解答此题的关键是能把新的运算转换成我们所学的加减乘除相关运算，再解方程。 2．已知2⭕3＝2＋3＋4＝9，5⭕4＝5＋6＋7＋8＝26，若x⭕3＝15，则x＝( ) 【答案】4 【分析】观察等式，可知2⭕3表示从2开始，3个连续自然数的和，5⭕4表示从5开始，4个连续自然数的和，由此可知x⭕3表示从x开始，3个连续自然数的和，据此列方程求解即可。 【详解】由x⭕3＝15，得： x＋（x＋1）＋（x＋2）＝15 3x＋3＝15 3x＝12 x＝4 故答案为：4。 【点睛】本题考查定义新运算，关键是根据已知等式，正确理解新定义的运算规则。 【重点攻克04】列方程解追及问题和相遇问题。 1．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是290米/分，乙的速度是250米/分。经过多少分钟甲第二次追上乙？（提示：可以画图思考） 【答案】20分钟 【分析】甲、乙两人沿着环形跑道跑步，他们同时从一地点出发，同向而行，甲第一次追上乙时需要比乙一共多走整整一圈400米，第二次追上乙要多走整整二圈800米。也就是两人的路程差是800米。据此解答。 【详解】解：设经过x分钟甲第二次追上乙。 290x－250x＝400×2 40x＝800 x＝20 答：经过20分钟甲第二次追上乙。 【点睛】理解在环形跑道追及问题中，若两人同时同向出发，快者第几次追上慢者，就需要比慢者多走几个全程是解答本题的关键。 2．明明和洋洋分别从甲、乙两地同时出发，如果两人同向而行，那么经过18分钟明明追上洋洋；如果两人相对而行，那么经过2分钟两人相遇。已知洋洋每分钟走60米，甲、乙两地相距多少米？ 【答案】270米 【分析】根据题意，设明明每分钟走x米。根据路程差÷速度差＝追及时间，路程差也是甲、乙两地距离，速度和×相遇时间＝总路程，列方程解答。 【详解】解：设明明每分钟走x米。 18（x－60）＝2（x＋60） 18x－1080＝2x＋120 18x－2x＝120＋1080 16x＝1200 x＝75 （75＋60）×2 ＝135×2 ＝270（米） 答：甲、乙两地相距270米。 【点睛】解答此题的关键是找到追及路程中的路程差和相遇路程中的总路程相等。 【第三章】难点挑战篇 【难点挑战01】复杂的表面积增减变化问题。 1．如图，一个长方体，如果长增加3厘米，宽和高都不变，体积增加6立方厘米；如果宽增加4厘米，长和高都不变，体积增加32立方厘米；如果高增加5厘米，长和宽都不变，体积增加20立方厘米。求这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】28平方厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，长增加3厘米，即增加部分的长方体长是3厘米，体积是6立方厘米，6÷3＝2平方厘米，即宽乘高是2平方厘米；宽增加4厘米，即增加部分的长方体宽是4厘米，体积是32立方厘米，32÷4＝8平方厘米，即长乘高是8平方厘米；高增加5厘米，即增加部分的长方体高是5厘米，体积是20立方厘米，20÷5＝4平方厘米，即长乘宽是4平方厘米；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求解即可。 【详解】6÷3＝2（平方厘米） 32÷4＝8（平方厘米） 20÷5＝4（平方厘米） （2＋8＋4）×2 ＝14×2 ＝28（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是28平方厘米。 2．一个长方体，若长增加4分米，宽和高都不变，则体积增加60立方分米；若宽减少3分米，长和高都不变，则体积减少72立方分米；若高增加2分米，长和宽都不变，则体积增加80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？ 【答案】158平方分米 【分析】首先根据题意可知，如果长增加4分米，宽和高都不变，它的体积增加60立方分米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，用原来的宽乘原来的高再乘增加部分的长就是增加部分的体积，可以求出：宽×高＝60÷4＝15（平方分米） 如果宽减小3分米，长和高都不变，它的体积减少72立方分米，可以求出：长×高＝72÷3＝24（平方分米）﹔ 如果高增加2分米，长和宽都不变，它的体积增加80立方分米，可以求出长×宽＝80÷2＝40（平方分米）； 然后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据进行计算即可解决问题。 【详解】由分析可知： 宽×高：60÷4＝15（平方分米） 长×高：72÷3＝24（平方分米） 长×宽：80÷2＝40（平方分米） （15＋24＋40）×2 ＝（39＋40）×2 ＝79×2 ＝158（平方分米） 答：原来长方体的表面积是158平方分米。 【难点挑战02】溢水问题。 1．一个装满水的长方体玻璃容器，长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，然后把两个长4厘米、宽3厘米、高8厘米的铁块立着放入容器中，容器溢出的水的体积是多少？ 【答案】144立方米 【分析】铁块的长×宽×玻璃容器的高＝一个铁块让容器溢出的水的体积，一个铁块让容器溢出的水的体积×2＝容器溢出的水的体积。 【详解】4×3×6×2 ＝12×6×2 ＝72×2 ＝144（立方米） 答：容器溢出的水的体积是144立方米。 2．一个长25厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体玻璃容器盛有一些水，水深6厘米。现将一个铁球完全浸没水中，这时容器内的水溢出了20毫升。这个铁球的体积是多少立方厘米？ 【答案】520立方厘米 【分析】根据题意可知，这个物体的体积＝长方体容器的容积－原来水的体积＋溢出的水的体积；长方体容器的容积－原来水的体积＝长×宽×（容器的高－水原来的高度），再加上溢出的水的体积就可得到这个铁球的体积。 【详解】25×10×（8－6） ＝250×2 ＝500（立方厘米） 20毫升＝20立方厘米 500＋20＝520（立方厘米） 答：这个铁球的体积是520立方厘米。 【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式，解决问题。 【难点挑战03】注水运动问题。 1．有一个无水的长方体玻璃水缸，尺寸如左下图所示，一个水龙头从上午9：00开始向玻璃缸内注水，水的流量是8立方分米/分，到9：03关闭水龙头停止注水。接着马上在缸内放入一个高为8厘米的长方体铁块，使之全部浸没水中，玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如下图所示。 （1）图中点（     ）的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择） （2）9：03时玻璃缸水面高度为多少厘米？ （3）求出长方体铁块的底面积。 【答案】（1）B； （2）30厘米； （3）200平方厘米 【分析】（1）由图可知，横轴表示时间，纵轴表示水面高度，9：03关闭水龙头停止注水，9：03对应点B的位置； （2）从上午9：00开始到9：03关闭水龙头经过3分钟，根据每分钟的水流量计算出3分钟的水流量，水面高度＝3分钟的水流量÷玻璃水缸的底面积； （3）铁块的体积等于放入铁块后上升部分水的体积，则铁块的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，最后利用“底面积＝长方体的体积÷高”求出长方体铁块的底面积。 【详解】（1）图中点B的位置表示停止注水。 （2）从上午9：00到9：03经过了3分钟。 3×8×1000 ＝24×1000 ＝24000（立方厘米） 24000÷（50×16） ＝24000÷800 ＝30（厘米） 答：9：03时玻璃缸水面高度为30厘米。 （3）上升部分水的体积：50×16×（32－30） ＝50×16×2 ＝800×2 ＝1600（立方厘米） 铁块的底面积：1600÷8＝200（平方厘米） 答：长方体铁块的底面积是200平方厘米。 【点睛】分析折线统计图提取需要的解题信息，并掌握长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 2．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 【答案】（1）60升 （2）7.5分钟 【分析】（1）设右边每分钟注水x升，根据有隔板的左右两部分体积相等，当3分钟之后，右边的水会流到左边，那么3分钟之后经过的1.5分钟左边的水的注入量是右边和左边一起注入的，据此列方程解出右边每分钟注水多少。再根据长方体的体积公式变形a＝V÷b÷h，求出水槽左边（或右边）的长，进而求出整个水槽的长，然后把数据代入体积公式解答。 （2）用整个水槽的容积除以左右两个水管每分钟共注水的体积即可解答。 【详解】（1）解：设右边每分钟注水x升。 3×2＋1.5×（2＋x）＝3x 6＋1.5×2＋1.5x＝3x 6＋3＋1.5x＝3x 9＝3x－1.5x 1.5x＝9 x＝9÷1.5 x＝6 3×6＝18（升） 18升＝18000立方厘米 18000÷6÷40 ＝3000÷40 ＝75（厘米） 75×2＝150（厘米） 150×40×10 ＝6000×10 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60升 答：水槽的容积是60升。 （2）60÷（2＋6） ＝60÷8 ＝7.5（分钟） 答：注满水槽共需7.5分钟。 【点睛】此题考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用及列方程解决问题的方法。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$