第2章 一元二次方程 回顾与思考-【优课堂给力A+】2023-2024学年九年级数学全一册课前课中（北师大版）

曰写优课堂作动A+·九年级数学（上） 第13课时 回顾与思考 课前预习 课堂导入 公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就 解一元 能解一元二次方程了.他们是这样描述的： 二次 理论依据适用类型 方法或步骤 已知一个数与它的倒数之和等于一个已知 方程 数，求出这个数.使x1十x2=b,x1x2=1,x 1.观察方程是否符合 一b.x+1=0,再做出解答.可见，古巴比伦人 x2=m(m≥0)或(x士 ( 2 已经知道一元二次方程的解法，但他们当时 m)2=n(H≥0)的形 并不接受负数，所以负根是略而不提的.回 直接开 平方根 0),(x 式：2.直接开平方，得 顾一元二次方程的解法有哪些？你能说一 平方法 的定义 士m) 两个一元一次方程；3. 说每种解法的特点吗？ =n(n 解一元一次方程，得原 0) 课堂探究 方程的两个根 探究一 一元二次方程的定义 1.化二次项系数为1： 例1方程(m+1)x-2m-1+7x一m=0是 2.移项，使方程左边只 一元二次方程，则m的值是多少？ 完全平 含有二次项和一次项， 【思路点拔】首先根据一元二次方程的定义，得 方公式 所有的 右边为常数项：3.方程 m2-2m-1=2:再由一元二次方程a.x2+bx+c=0 配方法 和直接 元二 两边都加上一次项系 (a≠0)的定义中a≠0这一条件得m+1≠0来求m * 平 次方程 数一半的平方：4.原方 的值， 方法 程变为(x士m)产=n(n ≥0)：5.直接开平方解 方程 1.把方程化为一般形 针对训练 配方法 所有的 式；2.确定a,b.c的值： 1.若关于x的一元二次方程(m-1)x+5.x 和直接 公式法 一元二 3.求出方-4ac的值； 十m2-3m+2=0的常数项为0，则m 开 次方程 4.把a,b,c的值代 等于 ( 方法 -b±6-4ac A.1 B.2 C.1或2D.0 入x 2a 2.一元二次方程(3x-1)2=5x化简成一般 1.将方程右边化为0： 式后，二次项系数为9，其一次项系数为 若A· 左边能 2.将方程左边进行固 ( B=0, 分解因 式分解：3.令每个因式 A.1 B.-1 C.-11 D.11 因式分 则A= 式，右 等于0，得两个一元一 3.已知a是方程x2-2x一1=0的一个根，则 解法 0或B 边为0 次方程：4.解这两个一 代数式2a2-4a-1的值为 =0 的方程 元一次方程，得方程的 4.当m 时，关于x的方程(m一1)· 两个根 xm+1+5十m.x=0是一元二次方程 ·41✉ 曰写优课堂转切A+·九年级数学（上）】 探究四一元二次方程的应用 11.餐桌桌面是长100cm,宽80cm的长方 例4元旦期间，九年级(2)班每名同学都 形，妈妈设计了一块桌布，面积是桌面的 与其他同学交换一件自制的小礼物，结果全班 2倍，且使四周垂下的边等宽，求桌布的 交换小礼物共1560件，求九年级(2)班有多少 长和宽各是多少？若设四周垂下的边宽 名同学？ 为xcm,则可列方程为 【思路点拨】注意理解此类问题与握手问题的 区别.解答时，往往容易忽略每两名司学都要互换 12.某商店购进600个旅游纪念品，进价为每 -件礼物，雨得出籍误的方程2x(x-1）)=1560. 个6元，第一周以每个10元的价格售出 200个，第二周若按每个10元的价格销 售仍可售出200个，但商店为了适当增加 销量，决定降价销售（根据市场调查，单 价每降低1元，可多售出50个，但售价不 得低于进价)，单价降低销售一周后，商 店对剩余的旅游纪念品进行清仓处理， 针对训练 以每个4元的价格全部售出.如果这批旅 8.两个连续奇数的积为323，求这两个数.若 游纪念品共获利1250元，那么第二周每 设较小的奇数为x,则根据题意可列出 个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 方程 解题方案： A.x(.x+1)=323 (1)设该商店第二周降低x元销售纪念 B.x(x+2)=323 品，用含x的代数式表示： C.x(x-2)=323 D.(2.x+1)(2x-1)=323 ①该商店第二周的销售利润： ②该商店对剩余纪念品清仓处理后的 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB= 10cm,AC=8cm,点P从点A出发向点 利润. C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出 (2)在(1)的前提下按题目要求完成解答， 发向点C以1cm/s的速度移动，若P,Q 分别同时从A,B出发，x秒后四边形 APQB的面积是△ABC面积的号·则x的 值是 ( A.2 B.4.5 C.8 D.7 70m 9题图 10题图 10.如图，在长70m、宽40m的长方形花园 中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分 所示)，要使观赏路面积占总面积的g,则 路宽x应满足的方程是 ·43✉第二章一元二次方程 第13课时 回顾与思考 ●】 课前预习 课堂导入 公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就 解一元 能解一元二次方程了.他们是这样描述的： 二次 理论依据适用类型 方法或步骤 已知一个数与它的倒数之和等于一个已知 方程 数，求出这个数.使x1十x2=b,x1x2=1,x 1.观察方程是否符合 一b.x+1=0,再做出解答.可见，古巴比伦人 x2=m(m≥0)或(x士 ( 已经知道一元二次方程的解法，但他们当时 m)2=n(H≥0)的形 并不接受负数，所以负根是略而不提的.回 直接开 平方根 0),(x 式：2.直接开平方，得 顾一元二次方程的解法有哪些？你能说一 平方法 的定义 士m) 两个一元一次方程：3. 说每种解法的特点吗？ =n(n 解一元一次方程，得原 0) 课堂探究 方程的两个根 探究一 一元二次方程的定义 1.化二次项系数为1： 例1方程(m+1)x-2m-1+7x一m=0是 2.移项，使方程左边只 一元二次方程，则m的值是多少？ 完全平 含有二次项和一次项， 【思路点拔】首先根据一元二次方程的定义，得 方公式 所有的 右边为常数项：3.方程 m2-2m-1=2:再由一元二次方程a.x2+bx+e=0 配方法 和直接 元二 两边都加上一次项系 (a≠0)的定义中a≠0这一条件得m+1≠0来求m * 平 次方程 数一半的平方：4.原方 的值 方法 程变为(x士m)产=n(n 解：由题意，得m”一2m-1=2, ≥0)：5.直接开平方解 即m2-2m-3=0,解得m=3或m=-1. 方程 但m+1≠0，m=3. 1.把方程化为一般形 针对训练 配方法 所有的 式；2.确定a,b,c的值： 1.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5.d 和直接 公式法 一元二 3.求出方-4ac的值： 十m2-3m+2=0的常数项为0，则m 次 次方程 4.把a,b,c的值代 等于 (B) 方法 -b±B-4ac A.1 B.2 C.1或2D.0 入x 2a 2.一元二次方程(3x-1)2=5x化简成一般 1.将方程右边化为0： 式后，二次项系数为9，其一次项系数为 若A· 左边能 2.将方程左边进行固 (C) B=0, 分解因 式分解：3.令每个因式 A.1 B.-1 C.-11 D.11 因式分 则A= 式，右 等于0，得两个一元一 3.已知a是方程x2一2x一1=0的一个根，则 解法 0或B 边为0 次方程：4.解这两个一 代数式2a2-4a-1的值为1· =0 的方程 元一次方程，得方程的 4.当m=-1时，关于x的方程(m-1)· 两个根 xm+1+5十mx=0是一元二次方程 ·41· 曰写优课堂转切A+·九年级数学（上） 探究二求解一元二次方程 探究三根的判别式及根与系数的关系 例2用指定的方法解下列方程. 例3关于x的方程x2-(2k-1)x+k2 (1)x2-14x=8(配方法)： 2k+3=0有两个不相等的实数根： (2)x2-7x-18=0(公式法)： (1)求实数k的取值范围： (3)(2x+3)2=4(2.x+3)(因式分解法). (2)设方程的两个实数根分别为，2，是否 解：(1)x3-14x+49=57, 存在这样的实数k,使得引|一=5？若存 (x-7)F=57,x-7=±√/57， 在，求出这样的k值：若不存在，请说明理由 ∴1=7+57，x:=7-/57 【思路点拔】(1)由△>0，列出关于k的不等式 (2)△=(-7)F-4×1×(-18)=121. 求解可得：(2)由韦达定理知x1+x2=2k一1，x1x -贵m-962 =k”一2k+3=(k-1)”+2>0,将原式两边平方后 (3)(2x+3)-4(2x+3)=0. 把十x,西x:代入得到关于k的方程，求解可得. (2x+3)(2x+3-4)=0. 解：()：方程有两个不相等的实数根 .2x+3=0或2x+3-4=0, .4=[-(2k-1)]-4(k-2k+3)=4k-11>0, 3 六=-=2 解得> (2)存在，x1+x=2k-1,x1无=k-2k+3= 针对训练 (k-1)2+2>0, 5.用指定的方法解方程： 将1-x1=5两边平方，可得 (1)6x(2x+1)-3(2.x+1)=0(因式分 xi-2x1xy+x=5,即(+x:)2-4x1z=5, 解法)： .(2k-1)-4(k-2k+3)=5,解得k=4. 解：(2x十1)(6x-3)=0. 2x+1=0或6x-3=0, 针对训练 6.已知3a-6a-11-0,3b-6b-11-0,且 (2)3.x2+6x-4=0(配方法)： a≠b,则a2+b= 34 解：x2+2x=。.2+2x+1=名， 4 7.已知关于x的一元二次方程x2十(2m+1)x +m2-4=0. (x+1)= 3+1=± (1)当m为何值时，方程有两个不相等的 3 =-1+ 实数根？ 3=-1-2红 (2)若边长为5的菱形的两条对角线的长 (3)2x2+4.x-5=0(公式法)： 分别为方程两根的2倍，求m的值. 解：4=4°-4×2×(-5)=56. 解：(1)由题意，得△=(2m+1)2-4(m”-4)>0. 4士214=-2±14 t=- 2×2 2 解得m>-1口 4 x1=-2+g 2 =2=4 (2)设方程的两根分别为，b,根据题意，得 2 a+b=-2m-1,ab=m3-4. (4)(2x+1)2+3(2x+1)+2=0(换元法). :2a,2b为边长为5的菱形的两条对角线的长 解：设2x+1=y,则原方程为y+3y+2=0, .公2+6=5，即(-2m-1)2-2(m-4)=25, .(y+1)(y+2)=0. 解得m=一4或m=2. 解得y=-1或y=-2, :a>0,6>0.+6=-2m-1>0m≤2 即2x+1=-1或2x+1=-2, .m=一4 解得=一1=一3 2 ·42·