专题5 认识方程-2024年四升五数学暑假专项提升（北师大版）

专题5 认识方程 一、用字母表示数 1、用字母或者含有字母的式子都可以表示数量，也可以表示数量关系。 2、字母表示数的时候，字母与数字相乘，字母与字母相乘，中间的乘号可以用小圆点代替或者省略。数字一般都写在字母的前面。数字1与字母相乘时，1省略不写，字母按顺序写。 3、用字母表示有关图形的计算公式 ①用C表示长方形的周长，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，长方形周长公式:C=(a+b)×2=2(a+b)。 ②用S表示长方形的面积，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，长方形面积公式:S=a×b=ab。 ③用C表示正方形的周长，a表示正方形的边长，正方形周长公式:C=4×a=4a。 ④用S表示正方形的面积，a表示正方形的边长，正方形面积公式:S=a×a=a2。 4、用含有字母的式子表示运算律 ①加法交换律:a+b=b+a。 ②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 ③乘法交换律:a×b=b×a。 ④乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)。 ⑤乘法分配律:(a±b)×c=a×c±b×c。 ⑥减法的性质:a-b-c=a-(b+c)。 ⑦除法的性质:a÷b÷c=a÷(b×c) 二、等量关系 1、数学术语中的等量关系 一般和差关系或倍数关系，常用“一共有”“比……多”“比……少”“是……的几倍”等术语表示。在解题时可抓住这些术语去找等量关系。 2、常见的数量关系中的等量关系 ①速度×时间=路程 ②单价×数量=总价 ③工作效率×工作时间=工作总量 ④增长后的量=原量×(1+增长率) 3、常用的计算公式中的等量关系: ①正方形周长=边长×4 ②正方形面积=边长×边长 ③长方形周长=(长+宽)×2 ④长方形面积=长×宽 三、方程 1、方程的含义:含有未知数的等式叫方程。 2、方程必须具备的条件:①必须是等式;②必须含有未知数。 3、看图列方程: 看图列方程的关键是看懂图意，从中找出等量关系，然后再根据等量关系列出方程。 4、方程与等式的联系:方程是等式，但等式却不都是方程。 四、列方程解决问题 1、列出的方程要满足的条件 ①未知数写在等号的左边; ②方程无单位; ③等号左右两边是相等的量; ④未知数不能单独放在等号的一边。 2、等式的性质 （1）等式的性质(一) 等式两边都加上(或减去)同一个数，等式仍然成立。 （2）等式的性质(二) 等式两边都乘(或除以同一个数0除外)，等式仍然成立。 3、解方程和方程的解 求方程的解的过程叫做解方程；使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 4、解方程步骤 (1)先写“解”; (2)等号对齐; (3)运用等式性质或者加减乘除各部分间的关系(“直接想”)解方程; (4)代入检验。 一．选择题（共6小题） 1．（2024春•惠民县期中）果农卖苹果，20千克以内（包括20千克）按元千克收费，超过20千克的部分按元千克收费，妈妈买了35千克苹果，应付多少元？用含有字母的式子表示为　　 A． B． C． D． 【分析】先求出超出20千克的质量，再求出超出部分的费用；然后根据单价数量总价，分别求出每部分的费用，再相加就是应付的钱数。 【解答】解：20千克以内的费用是元； 超过20千克的费用是元； 妈妈应付：元。 故选：。 2．（2024春•威县期中）一本书有页，小红已经看了天，每天看7页，还剩____页没看。　　 A． B． C． D． 【分析】小红每天看的页数已经看的天数小红已经看的页数，这本书的页数小红已经看的页数还剩的页数。 【解答】解：小红7天看的页数：页 还剩：页。 答：还剩页没看。 故选：。 3．（2024春•阳信县期中）无人机除了用于航拍之外，还可以用于喷洒农药等农业生产。一架无人机每小时喷洒农药平方米，上午喷洒了3小时，下午喷洒了小时，这架无人机一天喷洒农药　　平方米。 A． B． C． D． 【分析】先用加法计算出上午和下午一共喷洒了几小时，再乘计算出这架无人机一天喷洒农药多少平方米；据此解答。 【解答】解：根据分析：这架无人机一天喷洒农药平方米。 故选：。 4．（2023春•荣成市期末）下面能用方程表示是　　 A．合唱队有女生人，比男生人数的3倍多2人，男生有32人。 B．桃子每千克元，苹果每千克比桃子贵2元，买3千克苹果一共花32元。 C．绕保温杯杯口一圈的长为厘米，用32厘米长的细绳能绕杯口3圈还多出2厘米。 D．一个小球重克，一个铁块重32克，3个相同小球的总重量比一个铁块重2克。 【分析】选项：根据题意中等量关系列方程为：，与原题干中方程不符。 选项：根据题意中等量关系列方程为：，与原题干中方程不符。 选项：根据题意中等量关系列方程为：，与原题干中方程符合。 选项：根据题意中等量关系列方程为：，与原题干中方程不符合，根据分析即可得出答案。 【解答】解：选项：根据题意中等量关系列方程为：，与原题干中方程不符。 选项：根据题意中等量关系列方程为：，与原题干中方程不符。 选项：根据题意中等量关系列方程为：，与原题干中方程符合。 选项：根据题意中等量关系列方程为：，与原题干中方程不符合。 故选：。 5．（2023春•宝安区期末）世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥，全长55千米，比深圳湾大桥的9倍还多5.095千米。假设深圳湾大桥长千米，下面方程正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】设深圳湾大桥长千米，则千米与5.095千米的和等于55千米，根据这个等量关系列方程解答。 【解答】解：设深圳湾大桥长千米。 答：深圳湾大桥长5.545千米。 故选：。 6．（2023春•利津县校级期中）下列式子属于方程的有几个？　　 （1） （2） （3） （4） （5） （6） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】含有未知数的等式是方程。据此解答。 【解答】解：（1），是等式，但不含未知数，所以不是方程； （2），含有未知数，但不是等式，所以不是方程； （3），含有未知数，且是等式，所以是方程； （4），含有未知数，但不是等式，所以不是方程； （5），是等式，但不含未知数，所以不是方程； （6），含有未知数，且是等式，所以是方程。 所以是方程的有（3），（6）。 故选：。 二．填空题（共6小题） 7．（2024春•肥城市期中）一个长方形的长是，宽是，周长是，用等式表示数量关系可写成 　　。 【分析】根据长方形的周长公式：长方形的周长（长宽）解答即可。 【解答】解：一个长方形的长是，宽是，周长是，用等式表示数量关系可写成。 故答案为：。 8．（2024春•市南区期末）六一儿童节，妈妈给军军买了一套衣服，裤子元，上衣比裤子贵18元，那么上衣 　　元。当时，妈妈买这套衣服一共花费 　　元。 【分析】裤子的单价加上18元，就是上衣的单价，再把代入求值即可。 【解答】解：（元 答：上衣元。当时，妈妈买这套衣服一共花费82元。 故答案为：；82。 9．（2024春•阳信县期中）大客车每小时行驶千米，小汽车每小时比大客车多行驶20千米。 （1）表示 　小汽车的速度　； （2）大客车2小时行驶的路程是 　　； （3）小汽车5小时行驶的路程是 　　。 【分析】先表示小汽车的速度，再根据路程速度时间，解答即可。 【解答】解：（1）表示小汽车的速度； （2）大客车2小时行驶的路程是； （3）小汽车5小时行驶的路程是。 故答案为：小汽车的速度；；。 10．（2022春•文登区期末）已知方程的解是，那么　18　。 【分析】把代入方程，得，两边再同时减去16，然后两边再同时除以3即可得解。 【解答】解：把代入方程，得； 故答案为：18。 11．（2023春•烟台期末）一只蜂鸟重克，一只尖尾雨燕的体重是蜂鸟的3.5倍，这只尖尾雨燕比蜂鸟重50克。根据题意写出等量关系是 　一只尖尾雨燕的体重一只蜂鸟的体重克　，根据这个等量关系列出方程是 　　，解方程得出蜂鸟的体重是 　　克。 【分析】一只蜂鸟重克，则一只尖尾雨燕的体重是克，根据等量关系：一只尖尾雨燕的体重一只蜂鸟的体重克，列方程解答即可。 【解答】解： 答：根据题意写出等量关系是一只尖尾雨燕的体重一只蜂鸟的体重克，根据这个等量关系列出方程是，解方程得出蜂鸟的体重是20克。 故答案为：一只尖尾雨燕的体重一只蜂鸟的体重克，，20。 12．（2023春•泰州期末）鲜惠水果店上午卖出苹果20千克，下午卖出苹果32千克，上午卖的总钱数比下午少108元，一千克苹果 　9　元。 【分析】设一千克苹果元，根据等量关系：下午卖出的钱数上午卖出的钱数元，列方程解答。 【解答】解：设一千克苹果元。 答：一千克苹果9元。 故答案为：9。 三．判断题（共4小题） 13．（2024春•威县期中）比的3倍少5的数，可以表示为。 　　（判断对错） 【分析】的3倍表示为；少5的数表示为。 【解答】解：比的3倍少5的数，可以表示为。 故原题说法正确。 故答案为：。 14．（2024春•定州市期中）。 　　（判断对错） 【分析】表示两个相乘，表示两个相加；据此判断即可。 【解答】解：由分析可知：，所以，说法错误。 故答案为：。 15．（2022秋•滨海新区期末）已知，那么。 　　（判断对错） 【分析】根据等式的基本性质，方程的两边同时乘2.8，两边再同时除以2，求出的值，再把的值代入解答即可。 【解答】解： 把代入，得： 所以原题说法错误。 故答案为：。 16．（2023春•深圳期末）给一个等式的左边加上2，右边减去2，所得的结果仍然是等式。 　　（判断对错） 【分析】根据等式的性质，等式两边同时加上或减去相同的数，等式依然成立。据此解答即可。 【解答】解：给一个等式的左边加上2，右边加上2，所得的结果仍然是等式。原题说法错误。 故答案为：。 四．计算题（共1小题） 17．（2024春•科左中旗期中）解方程。 【分析】（1）先把方程左边化简为，两边再同时除以9； （2）方程两边同时加上2，两边再同时除以12； （3）根据减数被减数差计算； （4）方程两边同时减去8。 【解答】解：（1） （2） （3） （4） 五．应用题（共8小题） 18．（2024春•昌邑市期中）水星是太阳系中最小的行星，西汉《史记天官书》的作者司马迁从实际观测发现辰星呈灰色，与五行学说联系在一起，以黑色属水，将其命名为“水星”水星绕太阳一周要用天，地球绕太阳一周所用的时间比水星的4倍还多13天。 （1）用含有字母的式子表示出地球绕太阳一周所用的时间。 （2）当时，地球绕太阳一周所用的时间是多少天？ 【分析】（1）根据地球绕太阳一周所用的时间水星绕太阳一周要用的时间天，来列式。 （2）用代入法，把代入（1）所列的含有字母的式子。 【解答】解：（1）用含有字母的式子表示出地球绕太阳一周所用的时间：天 （2）当时， （天 答：地球绕太阳一周所用的时间是237天。 19．（2024春•市中区期中）如图所示，一个边长为米的正方形草坪中间有一个边长为米的正方形小水池。 （1）用含有字母的式子好表示草坪的面积。 （2）当，时，草坪的面积是多少平方米？ 【分析】（1）草坪的面积等于大正方形的面积减去正方形小水池的面积，正方形面积边长，据此列式； （2）将，代入（1）中的式子可得。 【解答】解：（1）草坪的面积 （2）当，时， （平方米） 答：草坪面积是189平方米。 20．（2024春•定州市期中）学校为280名新生购买校服，如果每件上衣元，每条裤子元。 （1）用含有字母的式子表示购买校服一共用去多少元钱。 （2）如果，时，一共要用去多少元？ 【分析】（1）一套校服的价格是上衣加裤子，据此可表示购买校服的总价。 （2）当，时，代入即可求出校服的总价。 【解答】解：（1）元 答：购买校服一共用去元钱。 （2）当，时， （元 答：一共要用去26320元。 21．（2024春•钢城区期中）学校的篮球比足球多20个，篮球的个数是足球的5倍，篮球和足球各有多少个？（列方程解答） 【分析】根据一个数是另一个数的几倍，这个条件先找出一份儿量是未知数，那么用方程解答时设一份量足球为个。那么篮球可以表示为个，再根据足球和篮球的差为20个，可以列方程解答。 【解答】解：设足球有个，则篮球为个。 （个 答：篮球25个，足球5个。 22．（2024•虞城县模拟）宇宙是万物的总称，是时间和空间的统一。据科学家推算，宇宙的年龄大约为138亿年，比太阳年龄的3倍少12亿年，太阳的年龄大约是多少亿年？（列方程解答） 【分析】设太阳的年龄大约是亿年，则与12的差等于138，根据这个等量关系列方程解答。 【解答】解：设太阳的年龄大约是亿年。 答：太阳的年龄大约是50亿年。 23．（2024春•莱西市期中）高度适宜的书桌对养成孩子良好的体姿很重要。科学研究发现：学生身高大约比桌面高度的3倍少时，最合适学生良好体姿的形成。照此计算，身高大约为的学生，所用书桌面的高度应是多少厘米？（先写出等量关系式，再列方程解答） （1）等量关系式： （2）列方程解答： 【分析】根据“学生身高大约比桌面高度的3倍少40厘米”，可以提炼这道题的等量关系是：桌面高度厘米学生身高，根据这个等量关系，列方程解答。 【解答】解：（1）等量关系是：桌面高度厘米学生身高。 （2）设所用书桌面的高度应是厘米。 答：所用书桌面的高度应是66厘米。 24．（2023春•沈阳期末）一个正方形的花坛，周长是36米。 （1）这个正方形的边长是多少米？（列方程解答） （2）如果把这个花坛改为长方形，周长不变，宽6米，长是多少米？（列方程解答） 【分析】（1）设这个正方形的边长是米，根据等量关系：正方形的边长正方形的周长，列方程解答即可。 （2）设长是米，根据等量关系：（长方形的长长方形的宽）长方形的周长，列方程解答即可。 【解答】解：（1）设这个正方形的边长是米。 答：这个正方形的边长是9米。 （2）设长是米。 答：长是12米。 25．（2023春•沈河区期末）列方程解答下面各题。 （1）世界上最大的洲是亚洲，面积是4400万平方千米，最小的洲是大洋洲，亚洲的面积比大洋洲面积的4倍还多812万平方千米。大洋洲的面积是多少万平方千米？ （2）两年前，神舟十二号载人飞船返回期间，因绕地球飞行了18圈，才进入最后的返回轨道，使得全程耗时达28时40分。现在采用了快速返回技术，神舟十五号飞船只绕地球飞行5圈，就进入了最后的返回轨道，比神舟十二号的返回时间快了19时30分。飞船绕地球飞行，平均一圈要多少分？ 【分析】（1）根据题意可知，大洋洲的面积平方千米万平方千米，设大洋洲的面积是平方千米，据此列方程解答。 （2）设平均一圈要分，根据等量关系：神舟十五号飞船返回时间神舟十二号的返回时间时30分，列方程解答即可。 【解答】解：（1）设大洋洲的面积是万平方千米。 答：大洋洲的面积是897万平方千米。 （2）设平均一圈要分。 28时40分时30分时10分 9时10分分 答：平均一圈要110分。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5 认识方程 一、用字母表示数 1、用字母或者含有字母的式子都可以表示数量，也可以表示数量关系。 2、字母表示数的时候，字母与数字相乘，字母与字母相乘，中间的乘号可以用小圆点代替或者省略。数字一般都写在字母的前面。数字1与字母相乘时，1省略不写，字母按顺序写。 3、用字母表示有关图形的计算公式 ①用C表示长方形的周长，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，长方形周长公式:C=(a+b)×2=2(a+b)。 ②用S表示长方形的面积，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，长方形面积公式:S=a×b=ab。 ③用C表示正方形的周长，a表示正方形的边长，正方形周长公式:C=4×a=4a。 ④用S表示正方形的面积，a表示正方形的边长，正方形面积公式:S=a×a=a2。 4、用含有字母的式子表示运算律 ①加法交换律:a+b=b+a。 ②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 ③乘法交换律:a×b=b×a。 ④乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)。 ⑤乘法分配律:(a±b)×c=a×c±b×c。 ⑥减法的性质:a-b-c=a-(b+c)。 ⑦除法的性质:a÷b÷c=a÷(b×c) 二、等量关系 1、数学术语中的等量关系 一般和差关系或倍数关系，常用“一共有”“比……多”“比……少”“是……的几倍”等术语表示。在解题时可抓住这些术语去找等量关系。 2、常见的数量关系中的等量关系 ①速度×时间=路程 ②单价×数量=总价 ③工作效率×工作时间=工作总量 ④增长后的量=原量×(1+增长率) 3、常用的计算公式中的等量关系: ①正方形周长=边长×4 ②正方形面积=边长×边长 ③长方形周长=(长+宽)×2 ④长方形面积=长×宽 三、方程 1、方程的含义:含有未知数的等式叫方程。 2、方程必须具备的条件:①必须是等式;②必须含有未知数。 3、看图列方程: 看图列方程的关键是看懂图意，从中找出等量关系，然后再根据等量关系列出方程。 4、方程与等式的联系:方程是等式，但等式却不都是方程。 四、列方程解决问题 1、列出的方程要满足的条件 ①未知数写在等号的左边; ②方程无单位; ③等号左右两边是相等的量; ④未知数不能单独放在等号的一边。 2、等式的性质 （1）等式的性质(一) 等式两边都加上(或减去)同一个数，等式仍然成立。 （2）等式的性质(二) 等式两边都乘(或除以同一个数0除外)，等式仍然成立。 3、解方程和方程的解 求方程的解的过程叫做解方程；使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 4、解方程步骤 (1)先写“解”; (2)等号对齐; (3)运用等式性质或者加减乘除各部分间的关系(“直接想”)解方程; (4)代入检验。 一．选择题（共6小题） 1．（2024春•惠民县期中）果农卖苹果，20千克以内（包括20千克）按元千克收费，超过20千克的部分按元千克收费，妈妈买了35千克苹果，应付多少元？用含有字母的式子表示为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•威县期中）一本书有页，小红已经看了天，每天看7页，还剩____页没看。　　 A． B． C． D． 3．（2024春•阳信县期中）无人机除了用于航拍之外，还可以用于喷洒农药等农业生产。一架无人机每小时喷洒农药平方米，上午喷洒了3小时，下午喷洒了小时，这架无人机一天喷洒农药　　平方米。 A． B． C． D． 4．（2023春•荣成市期末）下面能用方程表示是　　 A．合唱队有女生人，比男生人数的3倍多2人，男生有32人。 B．桃子每千克元，苹果每千克比桃子贵2元，买3千克苹果一共花32元。 C．绕保温杯杯口一圈的长为厘米，用32厘米长的细绳能绕杯口3圈还多出2厘米。 D．一个小球重克，一个铁块重32克，3个相同小球的总重量比一个铁块重2克。 5．（2023春•宝安区期末）世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥，全长55千米，比深圳湾大桥的9倍还多5.095千米。假设深圳湾大桥长千米，下面方程正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2023春•利津县校级期中）下列式子属于方程的有几个？　　 （1） （2） （3） （4） （5） （6） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题） 7．（2024春•肥城市期中）一个长方形的长是，宽是，周长是，用等式表示数量关系可写成 　　。 8．（2024春•市南区期末）六一儿童节，妈妈给军军买了一套衣服，裤子元，上衣比裤子贵18元，那么上衣 　　元。当时，妈妈买这套衣服一共花费 　　元。 9．（2024春•阳信县期中）大客车每小时行驶千米，小汽车每小时比大客车多行驶20千米。 （1）表示 　　； （2）大客车2小时行驶的路程是 　　； （3）小汽车5小时行驶的路程是 　　。 10．（2022春•文登区期末）已知方程的解是，那么　　。 11．（2023春•烟台期末）一只蜂鸟重克，一只尖尾雨燕的体重是蜂鸟的3.5倍，这只尖尾雨燕比蜂鸟重50克。根据题意写出等量关系是 　　，根据这个等量关系列出方程是 　　，解方程得出蜂鸟的体重是 　　克。 12．（2023春•泰州期末）鲜惠水果店上午卖出苹果20千克，下午卖出苹果32千克，上午卖的总钱数比下午少108元，一千克苹果 　　元。 三．判断题（共4小题） 13．（2024春•威县期中）比的3倍少5的数，可以表示为。 　　（判断对错） 14．（2024春•定州市期中）。 　　（判断对错） 15．（2022秋•滨海新区期末）已知，那么。 　　（判断对错） 16．（2023春•深圳期末）给一个等式的左边加上2，右边减去2，所得的结果仍然是等式。 　　（判断对错） 四．计算题（共1小题） 17．（2024春•科左中旗期中）解方程。 五．应用题（共8小题） 18．（2024春•昌邑市期中）水星是太阳系中最小的行星，西汉《史记天官书》的作者司马迁从实际观测发现辰星呈灰色，与五行学说联系在一起，以黑色属水，将其命名为“水星”水星绕太阳一周要用天，地球绕太阳一周所用的时间比水星的4倍还多13天。 （1）用含有字母的式子表示出地球绕太阳一周所用的时间。 （2）当时，地球绕太阳一周所用的时间是多少天？ 19．（2024春•市中区期中）如图所示，一个边长为米的正方形草坪中间有一个边长为米的正方形小水池。 （1）用含有字母的式子好表示草坪的面积。 （2）当，时，草坪的面积是多少平方米？ 20．（2024春•定州市期中）学校为280名新生购买校服，如果每件上衣元，每条裤子元。 （1）用含有字母的式子表示购买校服一共用去多少元钱。 （2）如果，时，一共要用去多少元？ 21．（2024春•钢城区期中）学校的篮球比足球多20个，篮球的个数是足球的5倍，篮球和足球各有多少个？（列方程解答） 22．（2024•虞城县模拟）宇宙是万物的总称，是时间和空间的统一。据科学家推算，宇宙的年龄大约为138亿年，比太阳年龄的3倍少12亿年，太阳的年龄大约是多少亿年？（列方程解答） 23．（2024春•莱西市期中）高度适宜的书桌对养成孩子良好的体姿很重要。科学研究发现：学生身高大约比桌面高度的3倍少时，最合适学生良好体姿的形成。照此计算，身高大约为的学生，所用书桌面的高度应是多少厘米？（先写出等量关系式，再列方程解答） （1）等量关系式： （2）列方程解答： 24．（2023春•沈阳期末）一个正方形的花坛，周长是36米。 （1）这个正方形的边长是多少米？（列方程解答） （2）如果把这个花坛改为长方形，周长不变，宽6米，长是多少米？（列方程解答） 25．（2023春•沈河区期末）列方程解答下面各题。 （1）世界上最大的洲是亚洲，面积是4400万平方千米，最小的洲是大洋洲，亚洲的面积比大洋洲面积的4倍还多812万平方千米。大洋洲的面积是多少万平方千米？ （2）两年前，神舟十二号载人飞船返回期间，因绕地球飞行了18圈，才进入最后的返回轨道，使得全程耗时达28时40分。现在采用了快速返回技术，神舟十五号飞船只绕地球飞行5圈，就进入了最后的返回轨道，比神舟十二号的返回时间快了19时30分。飞船绕地球飞行，平均一圈要多少分？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$