7.1 为什么要证明&7.2 定义与命题-【优课堂给力A+】2023-2024学年八年级数学上册课前课中（北师大版）

曰写优课堂作动A+·八年级数学（上） 第七章 平行线的证明 第1课时7.1为什么要证明 探究二推理与证明 课前预司 例2当n分别取1,2,3,4,5时，代数式n 实验、观察、归纳得到的结论可能是正确的， -3+7的值都是质数吗？你能肯定对于所有 也可能不是正确的，因此，要判断一个结论 的自然数，该代数式的值都是质数吗？ 是否正确，必须进行 【思路点拨】当n分别取1,2,3,4,5时，代入代 数式求得值，根据质数的定义判断，可以举出反例 裸堂导入 求解. 1.俗话说“耳听为虚，眼见为实”，你是怎样理 解的？ 2.数学学习中，我们常用观察、猜想、归纳的方 法得出了很多结论，观察、猜想、归纳的方法 得到的结论一定正确吗？举例说一说。 追问：怎样才能得到正确的结论呢？ 裸堂探究 探究一 你能肯定吗 例工下列结论你能肯定的是 A.今天下雨，明天必然还下雨 针对训练 B.三个连续正整数的积一定能被6整除 2.如图，下面推理正确的是 A.,∠1=∠2， C.小明在数学竞赛中一定能获奖 ∴.AB∥CD D.两张相片看起来很像，则肯定照的是同 B..∠1+∠2=180°， 一个人 ∴.AB∥CD 【思路点拨】需要分别分析各题设是否能推出 C..∠3=∠4， 结论，从而利用排除法得出答案 .AB∥CD D..∠1+∠4-180°，.AB∥CD 针对训练 3.当n分别取1,2,3,4,5时，代数式n2+n 1.下列结论你能肯定的是 的值都是偶数，于是小莹得出了当n取任 A.小张明天期末考试数学得满分 何正整数时，代数式n2+n的值都是偶数 B.今天已刮大风了，明天将会下雨 这一结论，你认为这一结论正确吗？若正 确，请说明理由：若不正确，请举出反例. C.如果|a=|b,那么a=b D.如果两个角是对顶角，那么这两个角会 相等 ·58 第七章平行线的证明 第2课时7.2定义与命题 探究二命题 裸前预习 例☑(1)把命题“互为相反数的两个数的 1.定义：对 和 的含义加以描 和为零”写成“如果…那么…”的形式： 述，作出明确的规定，也就是给出了它们的 定义 2.命题： 叫做命题.命题 (2)下列命题是真命题的是 ( 由 和 组成.正确的命题称 A,连接直线外一点与直线上各点的所有 为 ,错误的命题称为 线段中，垂线段最短 3.公理： 的基本事实，称为公理 B.互补的角是邻补角 4.定理：经过 的真命题称为定理。 C.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 5.证明：演绎推理的过程称为证明.假命题的 D.过一点有且只有两条直线与已知直线平行 证明一般用举反例的方法。 针对训练 裸堂导入 2.下列语句是命题的是 我描述，你来猜： A.对角线相等吗？ (1)一种袋子：布或皮革制成；供学生装书或 B.作线段AB=10cm 文具 C.若a=b,则一a=-b (2)一种力：由地球的吸引导致的. D.连接A,B两点 (3)一种图形：一个端点：两条射线。 3.下列命题是真命题的是 A.无限小数是无理数 追问：为什么不是猜的其他答案呢？ B.相反数等于它本身的数是0和1 裸堂探究 C.三角形两边之和大于第三边 D.三角形两边的平方和等于第三边的平方 探究一 定义 例下列描述不属于定义的是 探究三命题的证明 A.两组对边分别平行的四边形是平行四 例3举例说明命题“若a为实数，则a< 边形 2a”是假命题，可以令a B.正三角形是特殊三角形 C.三条线段首尾顺次连接得到的图形是 针对训练 三角形 4.如图，∠AOB和∠BOC是邻补角，OD,OE D.含有未知数的等式叫做方程 分别是∠AOB和∠BOC的平分线.求证： OD⊥OE. 【思路点拔】根据课本中的数学定义判断 针对训练 1.写出下列数学名称的定义. (1)对顶角： (2)单项式： ·59例２解:(１)(一)班的方差 ＝１１０× [(１６８－１６８)２ ＋(１６７－ １６８)２ ＋(１７０－１６８)２ ＋􀆺 ＋(１７０－１６８)２]＝３．２;(二)班 的中位数为１６８; (二)班的极差为１７１－１６５＝６;补全表格略． (２)选择方差作为标准,因为(一)班方差 ＜(二)班方 差,说明(一)班女生的身高比较均匀,所以(一)班可能被 选取． 针对训练 ７．方差　８．(１)１８　８２　(２)２　丙　(３)＜ ９．解:易求得甲的平均数为２;乙的平均数为２; 甲的方差为０．０６２;乙的方差为０．０４; 分析可得:甲、乙运动员的平均成绩都是２,而甲、乙的 方差分别为０．０６２和０．０４, 即乙的方差小于甲的方差,所以乙运动员发挥比较 稳定． 第５课时　回顾与思考 １．x１ ＋x２ ＋x３ ＋x４ ＋ 􀆺 ＋xn n ２．最大的数　最小的数 ３．１n [(x１ －x －)２ ＋(x２ －x －)２ ＋􀆺 ＋(xn －x －)２] ４．算术平方根 例１解:三人民主测评的得分分别为甲:２００×２５％ ＝５０ (分),乙:２００×４０％ ＝８０(分),丙:２００×３５％ ＝７０(分), 最后成绩: 甲:(７５×４＋９３×３＋５０×３)÷１０＝７２．９(分), 乙:(８０×４＋７０×３＋８０×３)÷１０＝７７(分), 丙:(９０×４＋６８×３＋７０×３)÷１０＝７７．４(分), ∵７７．４＞７７＞７２．９,∴丙将被录用． 针对训练 １．２　２．３０．６ 例２C 针对训练 ３．７元　４．３６．４ ５．解:(１)３ (２)总人数为１１＋１５＋２３＋２８＋２０＋３＝１００(人), (０×１１＋１×１５＋２×２３＋３×２８＋４×２０＋５×３)÷１００ ＝２．４(次), 即这天受调查学生平均每人使用共享单车２．４次; (３)１５００×２８＋２０＋３１００ ＝７６５ (人), 所以估计这天使用共享单车次数在３次以上(含３次) 的学生有７６５人． 例３解:∵一组数据x１,x２,􀆺,xn 的平均数为x － ＝２,方差 是s２ ＝９, 则另一组数据２x１ －３,２x２ －３,２x３ －３,􀆺,２xn －３ 的平均数为x － ′＝２×２－３＝１, 设方差是s２１,∵s２ ＝１n [(x１ －x －)２ ＋(x２ －x －)２ ＋􀆺 ＋ (xn －x －)２]＝９, ∴s２１ ＝１n [(２x１ －３－２x － ＋３)２ ＋(２x２ －３－２x － ＋３)２ ＋􀆺 ＋(２xn －３－２x － ＋３)２] ＝１n [４(x１ －x －)２ ＋４(x２ －x －)２ ＋􀆺 ＋４(xn －x －)２] ＝４s２ ＝４×９＝３６, 即平均数和方差分别是１和３６． 针对训练 ６．２０２２　 ＜　７．９　２．５ ８．解:(１)８５　８５　８０ (２)因为两个班级的平均数相同,八年级(１)班的中位 数高,所以在平均数相同的情况下中位数高的八年级 (１)班成绩好些; (３)s２２ ＝１５ [(７０－８５)２ ＋２×(１００－８５)２ ＋(７５ －８５)２ ＋ (８０－８５)２]＝１６０,∵s２１ ＝７０,∴s２１ ＜s２２, ∴八年级(１)班的选手复赛成绩较为均衡． 第七章　平行线的证明 第１课时　７．１为什么要证明 证明 例１B 针对训练 １．D 例２解:当n＝１时,代数式n２ －３n＋７＝１２ －３×１＋７＝ ５,５是质数; 同理,当n＝２时,代数式的值为５,是质数; 当n＝３时,代数式的值为７,７是质数; 当n＝４时,代数式的值为１１,１１是质数; 当n＝５时,代数式的值为１７,１７是质数; 而对于所有自然数,式子的值不一定是质数． 如当n＝６时,n２ －３n＋７＝２５,２５不是质数． 故当n分别取１,２,３,４,５时,代数式n２ －３n＋７的值 都是质数,但对于所有的自然数n,代数式n２ －３n＋７的 值不一定是质数． 针对训练 ２．B ３．解:正确．∵n２ ＋n＝n(n＋１), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８１ 即n２ ＋n的值为任意两个连续自然数的积, ∴n２ ＋n的值都是偶数． 第２课时　７．２定义与命题 １．名称　术语 ２．判断一件事情的语句　题设　结论　真命题　假命题 ３．不需要证明　４．推理证明 例１B 针对训练 １．(１)两个具有公共顶点且两边互为反向延长线的角,叫 对顶角 (２)由数或字母的积组成的代数式叫做单项式,单独的 一个数或一个字母也叫做单项式 例２(１)如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为零 (２)A 针对训练 ２．C ３．C 例３ －１(答案不唯一) 针对训练 ４．证明:∵ ∠AOB和 ∠BOC是邻补角, ∴ ∠AOB＋ ∠BOC＝１８０°, ∵OD,OE分别是 ∠AOB和 ∠BOC的平分线, ∴ ∠AOD＝ ∠DOB,∠BOE＝ ∠EOC, ∵ ∠AOD＋ ∠DOB＋ ∠BOE＋ ∠EOC＝１８０°, ∴ ∠DOB＋ ∠BOE＝９０°,∴OD⊥OE． 第３课时　７．３平行线的判定 １．相等 ２．相等　互补 例１A 针对训练 １．B　２．７５° 例２证明:∵CD⊥AB(已知), ∴ ∠１＋ ∠３＝９０°(垂直定义)． ∵ ∠１＋ ∠２＝９０°(已知), ∴ ∠３＝ ∠２(同角的余角相等), ∴DE∥BC(内错角相等,两直线平行)． 针对训练 ３．对顶角相等 ∠C＝ ∠D 内错角相等,两直线平行 ∠A＝ ∠B ４．解:延长 MF交CD 于点H,如解答图, 解答图 ∵ ∠１＝９０°＋ ∠CHF,∠１＝１４０°,∠２＝５０°, ∴ ∠CHF＝１４０°－９０°＝５０°, ∴ ∠CHF＝ ∠２,∴AB∥CD． 第４课时　７．４平行线的性质 １．相等　２．相等　３．互补 例１解:∵ ∠ACE＝２０°,CE平分 ∠ACD, ∴ ∠ACD＝４０°, ∵AB∥CD, ∴ ∠BAF＝ ∠ACD＝４０°． 针对训练 １．A　２．B　３．A　４．６３° 例２２０° 针对训练 ５．同旁内角互补,两直线平行　两直线平行,内错角相等 等式的性质　 ∠EAP　 ∠APF 第５课时　７．５三角形的内角和定理 １．１８０°　２．和它不相邻的两个内角的和 ３．大于　４．３６０° 例１(１)证明:∵ ∠A＋ ∠B＋ ∠AOB＝１８０°,∠C＋ ∠D＋ ∠COD＝１８０°,又∵ ∠AOB＝ ∠COD, ∴ ∠A＋ ∠B＝ ∠C＋ ∠D; (２)解:２∠E＝ ∠A＋ ∠C,理由如下: ∵ ∠ABC和 ∠ADC的平分线相交于点E, ∴设 ∠ABE＝ ∠EBC＝x,∠ADE＝ ∠EDC＝y, ∵ ∠A＋x＝ ∠E＋y,∠C＋y＝ ∠E＋x, ∴ ∠A＋ ∠C＝ ∠E＋ ∠E,∴２∠E＝ ∠A＋ ∠C． 针对训练 １．１０° 例２(１)２５° (２)证 明:由 题 意,得 ∠BAD ＝ １２ ∠BAC ＝９０°－ １ ２ (∠B＋ ∠ACB), ∴ ∠ADC ＝ ∠B ＋ ∠BAD ＝９０° － １２ (∠ACB － ∠B), ∵PE⊥AD,∴ ∠DPE＝９０°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９１