4.5 多边形和圆的初步认识&回顾与思考-【优课堂给力A+】2023-2024学年七年级数学上册课前课中（北师大版）

优课堂　 A＋􀅰七年级数学(上) 第８课时　４．５多边形和圆的初步认识 １．由若干条不在同一直线上的线段　首尾顺次 相接　组成的封闭平面图形,叫做多边形． ２．n 边 形 有 　n　 个 顶 点,有 　n　 条 边;有 　n　个内角;过n边形的一个顶点有　(n　 条对角线,n边形共有　　　　条对角线． ３．每条边　相等　,每个角也　相等　的多边 形叫正多边形． ４．一条线段,绕着它固定的一个端点旋转一 周,另一个端点形成的图形叫做圆,圆上两 点间的部分,叫做圆弧(简称弧)． １．工人师傅将一个四边形的桌面用锯子锯掉 一个角,桌面变成了几边形? 探究一　多边形 例１(１)如图所示的图形中,属于多边形 的有 (A ) A．３个　　B．４个　　C．５个　　D．６个 (２)从一个七边形的某个顶点出发,分别 连接这个点与其余各顶点,可以把一个七边形 分割成三角形的个数为 (B ) A．６个　　B．５个　　C．８个　　D．７个 １．　　　　　　　　　　　　　　　从多边形一个顶点出发向其余的顶点引 对角线,将多边形分成６个三角形,则此多 边形的边数为 (C ) A．６ B．７ C．８ D．９ ２．如图所示,图中共有　１０　个长方形． ３．已知正多边形的周长为５６,从其一个顶点 出发共有４条对角线,求这个正多边形的 边长． 解:该多边形边数为４＋３＝７, 设这个正七边形的边长为x, 则７x＝５６,解得x＝８, ∴这个多边形的边长为８． 探究二　圆的初步认识 例２将一个圆分割成三个扇形,它们的圆 心角度数之比为４∶２∶３,求这三个扇形的圆 心角的度数． 解:３６０°÷(４＋２＋３)＝３６０°÷９＝４０°, ４０°×４＝１６０°,４０°×２＝８０°,４０°×３＝１２０°． 故 这 三 个 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 分 别 是 １６０°, ８０°,１２０°． １．　　　　　　　　　　　　　　　４ 将一个圆分割成三个扇形,它们的圆心角 的度数之比为１∶２∶３,则这个扇形中圆 心角度数最大的是　１８０°　． ５．如图所示,在一块长为a,宽为２b的长方 形铁皮中剪掉两个扇形． (１)求剩下铁皮的面积(结果保留π); (２)如果a,b满足关系式|a－６|＋(２－b)２ ＝０,求剩下铁皮的面积．(π取３) 解:(１)由题,得２ab－１４π (２b)２ －１２π( ２b ２ ) ２ ＝２ab －πb２ －１２πb ２ ＝２ab－３２πb ２; (２)∵|a－６|＋(２－b)２ ＝０,∴a－６＝０,２－b＝０, 解得a＝６,b＝２． 把a＝６,b＝２,π＝３代入２ab－３２πb ２,得 原式 ＝２×６×２－３２ ×３×２ ２ ＝６． 答:剩余铁皮的面积是６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９４􀅰 第四章　基本平面图形 第９课时　回顾与思考 １．线段、射线、直线 (１)直线的基本性质:经过两点有且只有一 条直线,即　两点确定一条直线　． (２)线段 ①线段的性质:两点之间,　线段　最短; ②两点间的距离:两点之间线段的　长度　; ③线段长短的比较方法:叠合法,度量法; ④线段的中点:点C把线段AB分成　相等　 的两条线段AC与BC,点C叫做线段AB 的 中点． ２．角 (１)角的概念:角是由　两条具有公共端点的射 线　组成的．角也可以看成是一条射线绕着 它的端点　旋转　而成的． (２)度、分、秒的换算:１°＝　６０　′,１′＝　　　　° ＝　６０　″,１＂＝　　　　′＝　　　　″． (３)角的平分线:从一个角的顶点引出的一 条　射线　,把这个角分成两个相等的角,这 条射线叫做这个角的平分线． ３．多边形和圆 (１)多边形是由若干条　不在同一直线上　的 线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形． (２)连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形 的对角线,n边形从一个顶点出发有　()　 条对角线,n 边形一共有 　 　 　 　 　 条对 角线． (３)各边相等,各角也相等的多边形叫做正 多边形． (４)平面上,一条线段绕着它固定的一个端 点旋转一周,另一个端点形成的图形叫做 圆,固定的端点称为　圆心　． (５)圆上任意两点间的部分叫做　圆弧　,简 称　弧　． (６)由一条弧和经过这条弧的端点的两条半 径所组成的图形叫做　扇形　;顶点在圆心 的角叫做　圆心角　． 考点一　直线、射线、线段 例１(１)已知:如图,下列叙述不正确的是 (B ) A．点O不在直线AC 上 B．射线AB 与射线BC 是指同一条射线 C．图中共有５条线段 D．直线AB 与直线CA 是指同一条直线 (２)如图,已知点A,B,C 在同一直线上, M,N 分别是AC,BC的中点． ①若AB＝２０,BC＝８,求 MN 的长; ②若AB＝a,BC＝８,求 MN 的长; ③若AB＝a,BC＝b,求 MN 的长; ④从①②③的结果中能得到什么结论? 解:①∵AB＝２０,BC＝８,∴AC＝AB＋BC＝２８, ∵点A,B,C 在同一直线上,M,N 分别是AC, BC 的中点,∴MC＝１２AC＝１４ ,NC＝１２BC＝４ , ∴MN＝MC－NC＝１４－４＝１０; ②根据①,得 MN＝１２ (AC－BC)＝１２AB＝ １ ２a ; ③根据①,得 MN＝１２ (AC－BC)＝１２AB＝ １ ２a ; ④从①②③的结果中能得到线段 NM 始终等于 线段AB 的一半,与C 点的位置无关． １．　　　　　　　　　　　　　　　下列说法正确的个数是 (C ) (１)两点确定一条直线;(２)两条直线相交 只有一个交点;(３)两点之间线段最短; (４)将一条线段分成相等线段的点叫做线 段的中点． A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０５􀅰 优课堂　 A＋􀅰七年级数学(上) ２．下列实例中,能体现“两点之间,线段最 短”的基本事实的是 (C ) A．用两颗钉子固定一根木条 B．用两根木桩拉一直线把树栽成一排 C．把弯路改直缩短路程 D．射击时准星和目标在一条直线上 ３．线段AB 的长为１０,点C 为线段AB 的中 点,点D 在直线AB 上,且DB＝３,则线段 CD 的长为　２或８　． 考点二　角 例２已知 ∠AOB 内部有 ３ 条射线 OE, OC,OF． (１)如图１,若 ∠AOB＝９０°,∠AOC＝３０°, OE 平分 ∠BOC,OF 平分 ∠AOC,求 ∠EOF 的 度数; (２)如 图 ２,若 ∠AOB ＝α,∠EOB ＝ １ ３∠COB ,∠COF＝２３ ∠COA ,求 ∠EOF 的度 数(用含α的式子表示)． 图１ 　　 图２ 解:(１)∠BOC ＝ ∠AOB － ∠AOC ＝９０°－３０° ＝６０°, ∵OE 平分 ∠BOC,OF 平分 ∠AOC, ∴ ∠EOC＝１２ ∠BOC＝ １ ２ ×６０°＝３０° , ∠COF＝１２ ∠AOC＝ １ ２ ×３０°＝１５° , ∴ ∠EOF＝ ∠EOC＋ ∠COF＝３０°＋１５°＝４５°; (２)设 ∠BOC＝m,∠AOC＝n, 则 ∠AOB＝α＝m＋n, ∵ ∠EOB＝１３ ∠COB , ∴ ∠EOC＝２３ ∠COB＝ ２ ３m , ∵ ∠COF＝２３ ∠COA＝ ２ ３n , ∴ ∠EOF＝２３m＋ ２ ３n＝ ２ ３ (m＋n)＝２３α． １．　　　　　　　　　　　　　　　４ 如果乙船在甲船的南偏东３０°方向,那么 甲船在乙船的 (B ) A．北偏东３０°方向 B．北偏西３０°方向 C．北偏东６０°方向 D．北偏西６０°方向 ５．八点三十分时针与分针所成的角是(A ) A．７５° B．６５° C．５５° D．４５° ６．计算: (１)１３１°２８′－５１°３２′１５″＝　７９°５５′４５″　; (２)５８°３８′２７″＋４７°４２′４０″＝　１０６°２１′７″　． ７．如图,已知OD 平分 ∠AOB,OE 在 ∠BOC 内,且 ∠BOE＝１３∠EOC ,∠AOC＝１７０°． (１)若知 ∠AOB＝７０°,求 ∠EOC的度数; (２)若知 ∠DOE＝７０°,求 ∠EOC的度数． 解:(１)∵∠AOC＝１７０°, ∠AOB＝７０°, ∴ ∠BOC＝１００°, ∴ ∠EOC ＝ ３４ ∠BOC ＝ ３ ４ ×１００°＝７５° ; (２)设 ∠BOE＝α,则 ∠EOC＝３α, ∵ ∠DOE＝７０°,OD 平分 ∠AOB, ∴ ∠AOD＝ ∠BOD＝７０°－α, ∴ ∠AOC＝２∠AOD＋ ∠BOE＋ ∠EOC＝２(７０° －α)＋α＋３α＝１７０°, ∴α＝１５°,∴ ∠EOC＝３α＝４５°． 考点三　多边形与圆的初步认识 例３钟面上的分针的长为１,从９点到９ 点１５分,分针在钟面上扫过的面积是　　π　． １．　 　 　　　 　 　　　 　 　　８ 从十二边形的一个顶点可以引出的对角 线有　９　条． ９．如图,一个圆形飞镖板被分为四个圆心角 相等的扇形,若大圆半径为２,小圆半径为 １,则阴影部分的面积为　　　π　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１５􀅰 解答图１ 　　 解答图２ ②如解答图２,当OC落在 ∠AOB的外部时, ∵OM 平分 ∠AOB,ON 平分 ∠BOC, ∴ ∠BOM＝１２ ∠AOB＝ １ ２ ×８０°＝４０° , ∠BON＝１２ ∠BOC＝ １ ２ ×５０°＝２５° , ∴ ∠MON＝ ∠BOM＋ ∠BON＝４０°＋２５°＝６５°． 综上所述,∠MON 的度数为１５°或６５°．　 针对训练 １．解:(１)１５° (２)由(１)知 ∠DOE＝ ∠COD－１２ ∠BOC , ∴ ∠DOE ＝９０°－ １２ (１８０°－ ∠AOC)＝ １２ ∠AOC ＝ １ ２α ; (３)设 ∠AOC＝α,则 ∠BOC＝１８０°－α, ∵OE平分 ∠BOC, ∴ ∠COE＝１２ × (１８０°－α)＝９０°－１２α , 分两种情况: 如解答图１,当OD 在直线AB 上方时, ∠BOD＝９０°－α, ∵ ∠COE＝２∠DOB, ∴９０°－１２α＝２ (９０°－α), 解得α＝６０°; 解答图１ 　 解答图２ 如解答图２,当OD 在直线AB 下方时, ∠BOD＝９０°－(１８０°－α)＝α－９０°, ∵ ∠COE＝２∠DOB, ∴９０°－１２α＝２ (α－９０°),解得α＝１０８°． 综上所述,当 ∠AOC的度数是６０°或１０８°时,∠COE＝ ２∠DOB． 第８课时　４．５多边形和圆的初步认识 课前预习 １．首尾顺次相接　 ２．n　n　n　(n－３)　n (n－３) ２ 　 ３．相等　相等　 例１　(１)A　(２)B　 针对训练 １．C　２．１０　 ３．解:该多边形边数为４＋３＝７, 设这个正七边形的边长为x, 则７x＝５６,解得x＝８, ∴这个多边形的边长为８．　 例２　解:３６０°÷(４＋２＋３)＝３６０°÷９＝４０°, ４０°×４＝１６０°,４０°×２＝８０°,４０°×３＝１２０°． 故这三个扇形的圆心角的度数分别是１６０°,８０°, １２０°．　 针对训练 ４．１８０°　 ５．解:(１)由题,得 ２ab－ １４π (２b)２ － １２π( ２b ２ ) ２ ＝２ab －πb２ －１２πb ２ ＝２ab－３２πb ２; (２)∵|a－６|＋(２－b)２ ＝０,∴a－６＝０,２－b＝０, 解得a＝６,b＝２． 把a＝６,b＝２,π＝３代入２ab－３２πb ２,得 原式 ＝２×６×２－３２ ×３×２ ２ ＝６． 答:剩余铁皮的面积是６． 第９课时　回顾与思考 １．(１)两点确定一条直线　(２)线段　长度　相等　 ２．(１)两条具有公共端点的射线　旋转　(２)６０　 １６０　６０ 　１６０　 １ ３６００　 (３)射线　 ３．(１)不在同一直线上　(２)(n－３)　１２n (n－３) (４)圆心　(５)圆弧　弧　(６)扇形　圆心角　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７１ 例１　(１)B (２)解:①∵AB＝２０,BC＝８, ∴AC＝AB＋BC＝２８, ∵点A,B,C在同一直线上,M,N 分别是AC,BC 的中点,∴MC＝１２AC＝１４ ,NC＝１２BC＝４ , ∴MN＝MC－NC＝１４－４＝１０; ②根据①,得 MN＝１２ (AC－BC)＝１２AB＝ １ ２a ; ③根据①,得 MN＝１２ (AC－BC)＝１２AB＝ １ ２a ; ④从①②③的结果中能得到线段 NM 始终等于线 段AB 的一半,与C点的位置无关．　 针对训练 １．C　 ２．C　３．２或８　 例２　解:(１)∠BOC＝ ∠AOB－ ∠AOC＝９０°－３０°＝６０°, ∵OE平分 ∠BOC,OF平分 ∠AOC, ∴ ∠EOC＝１２ ∠BOC＝ １ ２ ×６０°＝３０° , ∠COF＝１２ ∠AOC＝ １ ２ ×３０°＝１５° , ∴ ∠EOF＝ ∠EOC＋ ∠COF＝３０°＋１５°＝４５°; (２)设 ∠BOC＝m,∠AOC＝n, 则 ∠AOB＝α＝m＋n, ∵ ∠EOB＝１３ ∠COB , ∴ ∠EOC＝２３ ∠COB＝ ２ ３m , ∵ ∠COF＝２３ ∠COA＝ ２ ３n , ∴ ∠EOF＝２３m＋ ２ ３n＝ ２ ３ (m＋n)＝２３α．　 针对训练 ４．B　５．A　６．(１)７９°５５′４５″　(２)１０６°２１′７″　 ７．解:(１)∵∠AOC＝１７０°, ∠AOB＝７０°, ∴ ∠BOC＝１００°, ∴ ∠EOC＝３４ ∠BOC＝ ３ ４ ×１００°＝７５° ; (２)设 ∠BOE＝α,则 ∠EOC＝３α, ∵ ∠DOE＝７０°,OD 平分 ∠AOB, ∴ ∠AOD＝ ∠BOD＝７０°－α, ∴ ∠AOC＝２∠AOD＋ ∠BOE＋ ∠EOC＝２(７０°－α)＋ α＋３α＝１７０°, ∴α＝１５°,∴ ∠EOC＝３α＝４５°．　 例３　１４π　 针对训练 ８．９　 ９．３２π 第五章　一元一次方程 第１课时　５．１认识一元一次方程(１) 课前预习 １．等式　 ２．１　整式　 ３．相等　 例１　B　 针对训练 １．B　 例２　A　 针对训练 ２．A　 例３　解:∵x＝２是方程ax－４＝０的解, ∴把x＝２代入,得２a－４＝０,解得a＝２, 将a＝２代入方程２ax－５＝３x－４a,得 ４x－５＝３x－８, x＝３时,左边 ＝７,右边 ＝１, ∵左边 ≠右边, ∴x＝３不是方程２ax－５＝３x－４a的解．　 针对训练 ３．(１)解:(１)当x＝２时,左边 ＝３２ ,右边 ＝０, ∵左边 ≠右边,∴x＝２不是方程的解; (２)当x＝ －１时,左边 ＝ －３,右边 ＝ －３, ∵左边 ＝右边,∴x＝ －１是方程的解．　 例４　(１)８－１２x＝４．５　 (２)４４＝３x＋２ (３)x＋２x＝３００　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８１