3.5 探索与表达规律&回顾与思考-【优课堂给力A+】2023-2024学年七年级数学上册课前课中（北师大版）

优课堂　 A＋􀅰七年级数学(上) 第１０课时　３．５探索与表达规律 １．探索规律,一般从具体的、特殊的问题出发, 观察各个数量之间,图形之间的共同特点及 变化规律,用数量关系、图形表示发现的规 律,最后需要列举数据或者画出图形验证 规律． １．观察下面三行数: ２,－４,８,－１６,３２,－６４,􀆺① －１,２,－４,８,－１６,３２,􀆺② ３,－３,９,－１５,３３,－６３,􀆺③ (１)第①、②行数是按什么规律排列的? (２)第②行和第③行的数与第①行的数分别 有什么关系? 探究一　数式规律 例１(１)如图,下列各图形中的三个数之 间均具有相同的规律．根据此规律,“?”的值为 (C ) A．５５　　 B．５６　　 C．６３　　 D．６４ (２)一组按一定规律排列的式子:－a２,a ５ ２ , －a ８ ３ ,a １１ ４ ,􀆺,(a≠０)写出第n个式子(n为正 整数)． 解:分析可得这列式子:正、负相间,且其分母依 次是１,２,３,􀆺,分子依次是a２,a５,􀆺．根据 －１的偶 次方是１,－１的奇次方是 －１,正、负相间一般可以用 －１的幂来区别．第n个式子是(－１)na ３n－１ n ． １．　　　　　　　　　　　　　　　将一列数按１,２,３,４,５,４,３,２,１,２,３,４, ５,４,３,２,１􀆺排列,那么,第２０２２个数是 　４　　． ２．观察下列算式:２１ ＝２,２２ ＝４,２３ ＝８,２４ ＝ １６,２５＝３２,２６ ＝６４,２７ ＝１２８,用你所发现 的规律确定２２０２２的个位数字是　４　　． ３．若x是不等于１的实数,我们把 １１－x 称为 x 的差倒数,如２的差倒数是 １１－２＝ －１ , －１的差倒数为 １１－(－１)＝ １ ２． 现已知x１ ＝ －１３ ,x２ 是x１ 的差倒数,x３ 是x２ 的差 倒数,x４ 是x３ 的差倒数,􀆺,依此类推, x２０２２的值为　４　　． 探究二　图形规律 例２观察下列图形中点的个数,若按其规 律再画下去,求第９个图形中点的个数． 解:观察图形,可知: a１ ＝５＝１×２＋１＋２,a２ ＝１０＝２×２＋１＋２＋３, a３ ＝１６＝３×２＋１＋２＋３＋４,􀆺, ∴a９ ＝２×９＋１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０ ＝７３． １．　　　　　　　　　　　　　　　４ 如图所示,由一些点组成形如三角形的图 形,每条“边”(包括两个顶点)有n(n＞１) 个点,当n＝７时,图形总的点数为　１８　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３􀅰 第三章　整式及其加减 第１１课时　回顾与思考 １．整式的有关概念 (１)单项式的有关概念:表示　数　与　字母　 的乘积的代数式叫做单项式,单独　一个数　 或　一个字母　也是单项式,单项式中的　数 字因数　叫做这个单项式的系数,所有字母 的　指数和　叫做这个单项式的次数． (２)多项式的有关概念:几个单项式的　和　叫 做多项式,每个单项式叫做多项式的项,次 数　最 高 的 项 的 次 数 　 叫做这个多项式的 次数． (３)整式:单项式与多项式统称为整式． ２．同类项与合并同类项 (１)同类项:所含　字母　相同,并且相同字 母的　指数　也相同的项叫做同类项． (２)合并同类项:把同类项合并成一项叫做 合并同类项,合并同类项是把同类项的系数 　相加　,字母和字母的指数　不变　． ３．去括号法则:括号前是“＋”号时,去掉括号 和“＋”后括号里的各项符号都不改变;括号 前是“－”号时,去掉括号和“－”后括号里的 各项符号都要改变． ４．整式的加减:整式的加减的实质就是　合并 同类项　．其基本步骤是:(１)　去括号　;(２) 　合并同类项　． 考点一　整式的有关概念 例１(１)下列代数式是单项式的是 (B ) A．２a＋１ B．３ C．m－５２ D． １ ２ (m＋１) (２)下列单项式的书写正确的是 (C ) A．－１ab B．３×x C．１２xy D．a÷b (３)式子 －２３πx ２yz３ 的系数是　－　π　． (４)已知５x２y|m|－１４ (m－２)y＋３是四次 三项式,则m＝　－２　． (５)一个两位数,十位上的数字比个位上 的数字的２倍小１,设个位数字为a,则这个两 位数为　１０(２a－１)＋a　． １．　　　　　　　　　　　　　　　１．代数式 ab－１ 的意义是 (A ) A．a除以b与１的差所得的商 B．b减１除a C．b与１的差除以a D．a除以b减１ ２．下列结论正确的是 (A ) A．单项式３２ab２c的次数是４ B．单项式 －２πm ２n ５ 的系数是 －２５ C．多项式x２－y的次数是３ D．多项式５x３－２x２＋１中,第二项是２x２ ３．下面去括号正确的是 (A ) A．a－(b＋１)＝a－b－１ B．２(x＋３)＝２x＋３ C．x－(y－１)＝x－y－１ D．－３(m－n)＝ －３m－３n ４．如果２xa＋１y３ 与x５yb－１是同类项,那么ab 的值是　１　　． 考点二　整式的加减 例２(１)当k＝　３　　时,多项式x２ ＋(k －１)xy －３y２－２xy－５中不含xy项． (２)先 化 简 再 求 值:(２x２y －２xy２)－ [(－３x２y２＋３x２y)＋(３x２y２－３xy２)],其中x, y满足 x＋１ ＋(y－２)２＝０． 解:由 x＋１ ＋(y－２)２ ＝０,得x＝ －１,y＝２． 原式 ＝２x２y－２xy２ ＋３x２y２ －３x２y－３x２y２ ＋ ３xy２ ＝ －x２y＋xy２, 当x＝ －１,y＝２时, 原式 ＝ －(－１)２ ×２＋(－１)×２２ ＝ －６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０４􀅰 优课堂　 A＋􀅰七年级数学(上) １．　　　　　　　　　　　　　　　５ 有理数a,b在数轴上的位置如图所示,则 化简|a－b|＋a的结果为　b　　． ６．若代数式(２x２＋ax＋６)－(２bx２ －３x－１) (a,b为常数)的值与字母x 的取值无关, 则代数式a＋２b的值为 (B ) A．０ B．－１ C．２或 －２ D．６ ７．已知a－b＝ －３,则３(a－b)－５a＋５b＋５ 的值为　１１　． ８．化简:(１)a２－３a＋８－３a２＋４a－６; 解:原式 ＝ －２a２ ＋a＋２; (２)a＋(２a－５b)－２(a－２b)． 解:原式 ＝a＋２a－５b－２a＋４b＝a－b． 考点三　综合运用 例３按如下规律摆放五角星: (１)填写下表: 图案序号 １ ２ ３ ４ 􀆺 n 五角星个数 ４ ７ 　　 　　 􀆺 　　 　　(２)若按上面的规律继续摆放,是否存在 某个图案,其中恰好含有２０２２个五角星? 解:(１)由图可得, 第１个图案中五角星的个数为１＋３×１＝４, 第２个图案中五角星的个数为１＋３×２＝７, 第３个图案中五角星的个数为１＋３×３＝１０, 第４个图案中五角星的个数为１＋３×４＝１３, 􀆺􀆺 第n个图案中五角星的个数为１＋３×n＝３n＋１, 故答案为:１０,１３,３n＋１; (２)当３n＋１＝２０２２时,得n＝６７３２３ , ∵n只能是正整数, ∴按上面的规律继续摆放,不存在某个图案,其 中恰好含有２０２２个五角星． １．　　　　　　　　　　　　　　　９ 如图,用围棋子按某种规律摆成的一行 “七”字,按照这种规律,第n个“七”字中的 围棋子个数是　５n＋２　． １０．关于x,y的两个多项式２mx２－２x＋y与 －６x２＋２x－３y的差中不含二次项,则m ＝　－３　． １１．若 －１２m ２na－１和２３m b－１是同类项,a是c 的相反数的倒数,求代数式(３a２ －ab＋７) －(５ab－４a２＋７)－４c的值． 解:∵ －１２m ２na－１和２３m b－１是同类项, ∴b－１＝２,∴b＝３,∴a－１＝０,∴a＝１, ∵a是c的相反数的倒数,∴c＝ －１, ∴(３a２ －ab＋７)－(５ab－４a２ ＋７)－４c ＝３a２ －ab＋７－５ab＋４a２ －７－４c ＝７a２ －６ab－４c ＝７×１－６×１×３－４×(－１)＝ －７． １２．杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教 育家,如图是杨辉在公元１２６１年的著作 «详解九章算法»里面的一张图,即“杨辉 三角”,该图中有很多规律,请仔细观察, 解答下列问题: (１)根据构成规律,第９行中从左边数第 ４个数是　５６　; (２)在第n 行中,从左边数第２个数为 　n－１　; (３)探索出第n行中所有数字之和． 解:(３)找规律:第１行数字和为１＝２１－１, 第２行数字和为２＝２２－１, 第３行数字和为４＝２３－１, 􀆺 第n行数字和为２n－１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１４􀅰 --(a+b)+(b-2)-(c-a)-(2- ) 例3 解:(1)-2(a-b)* --a-b+b-2-+a-2+ =-4 (2)'-2y-5. 针对训练 5.3a ():a-2-3,2b-c--5,c--1$0 6.解;(1)A-2B-2r+3xy+2y-1-2+2y '.-c=-22-d-5. -5ry+2y-1. *2(-c)+2(2b-d)-2(2b- ) 由(+1)+ly-2l-0,得x--1,y-2, -2$(-2)+2×5-2X(-5 则原式--10+4-1=-7: --4+10+10-16. (2)由题意,得5x+2-0. 针对训练 3.解:易知:a?+a-1. +2a+2022-+a+a +202 25 -(a+a)+a+2022 第9课时 专题三 整式的化简与求值 -+a+2022 课前预习 -1+2022-2023. 1.同类项 过0 第10课时 3.5探索与表达规律 2.不变 符号与原来相反 课前预习 例1 解:由图知c<a<-1<0<b<1. 例1(1C '2a<0.a+c<0. (2)解,分析可得这列式子:正、负相间,且其分母依 1-b>0,-a-b>0. 次是1,2,3.....分子依次是a.a{...根据-1的 原式=-2a+(a+c)-(1-b)+(-a-b 偶次方是1,一1的奇次方是一1,正、负相间一般可 --2a+a+c-1+b-a-b--2a+c-1. 以用一1的幕来区别.第n个式子是(一1)*× 针对训练 r1 1.解:,b<a<0.且lal>c0. ..a+b<0.c-b>0.a+c<0. 针对训练 '.原式=-a十(a+b)十c-b-(a+c) 1.4 2.4 3.4 --a+a+b+c-b-a-c--a. 例2 解:观察图形,可知: 例2 解,A-(3r-mr+4y)-(2x -5x+ny) -5-1x2+1+2-10-2x2+1+2+3 -3-mr+4y-2+5r-ny” a-16-3×2+1+2+3+4.... -+(5-n)x+(4-n)y. '.a=2×9+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=73 .化简后不含一次项和二次项 针对训练 '5-m-0,4-n-0.m-5,n-4. 4.18 '.m+n-25+16-41. 第11课时 回顾与思考 针对训练 1.(1)数 字母 一个数 一个字母 数字因数 指 2.解:(1)-2 数和 ($).M-xy-2r+2y-2=(y-2)x+2y-2.且M与 (2)和 最高的项的次数 字母:的取值无关. 2.(1)字母 指数 (2)相加 过不变 .y-2-0,解得y-2. 4.合并同类项 (1)去括号(2)合并同类项 13 -7t1-6$1 3-4$(-1)--7 十a 12.解:(1)56(2)a-1 (3)找规律:第1行数字和为1-2. 针对训练 第2行数字和为2-2. 1.A 2.A 3.A 4.1 第3行数字和为4-2-1. 例2(1)3 ... (2)解:由 x+1+(y-2)-0,得x--1,y-2. 第n行数字和为2. 原式-2r”y-2xy+3r-3r”y-3ry+3ry 第四章 --ry+ry. 基本平面图形 当x--1.y-2时, 第1课时 4.1线段、射线、直线 原式--(-1)2+(-1)x2--6. 课前预习 针对训练 1.两 一0 5.b 2.一一 两点 6.B 7.11 3.线段 8.解:(1)原式--2a*+a+2; 例1(1)两点之间,线段最短 (2)3 (3)两点确定一条 ($2)原式-a+2a-5b-2a+4b-a-b$ 直线 例3 解:(1)由图可得. 针对训练 第1个图案中五角星的个数为1十3×1-4. 1.1 直线AB或直线7 10 线段AB:AC.AD:AF. 第2个图案中五角星的个数为1+3×2-7; BC.BD,BE.CD.CE,DE 10 第3个图案中五角星的个数为1+3×3-10 例2 解:(1)如解答图所示;(2)13 14 第4个图案中五角星的个数为1+3×4=13. ...... 第n个图案中五角星的个数为1+3xn-3n+1; 故答案为:10.13,3n+1; (2)当3n+1-2022时,得n-673 解答图 .,只能是正整数 ·.按上面的规律继续摆放,不存在某个图案,其中 针对训练 恰好含有2022个五角星 2.解:(1)如解答图1所示;(2)如解答图2所示; 针对训练 (3)如解答图3所示。 9.5i+2 第2课时 4.2比较线段的长短 10.-3 课前预习 11.解:.-和是同类项, 1.叠合法 'b-1-2..b-3..-1-0.=1. 2.相等 .a是c的相反数的倒数...三一1, 例1 BC '.(3a-ab+7)-(5ab-4a+7)-4e 针对训练 -3-b+7-5ab+4a-7-4c 1.ab -7-6a6-4c 2.P 14