第13讲 一元二次方程的根与系数的关系【六大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第13讲 一元二次方程的根与系数的关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．熟记一元二次方程的根与系数的关系； 2．掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用； 知识点一.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 知识点二.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③； ④；⑤； ⑥；⑦； ⑧；⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 考点一：利用一元二次方程根与系数的关系求值 例1．（2024·湖南岳阳·二模）已知关于 x 的一元二次方程两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，对于一元二次方程的两个根是解题的关键． 直接根据根与系数的关系即可解答． 【详解】解：关于 x 的一元二次方程两个根，则 ． 故答案为． 【变式1-1】（2024·江西吉安·一模）已知方程的两个根分别为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握根与系数的关系公式是解本题的关键． 根据一元二次方程根和系数的关系，得出两根的积即可． 【详解】方程的两个根分别为，， ， 故答案为：． 【变式1-2】（2024·广东深圳·模拟预测）若，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记公式，是解题关键．先求出，，再整体代入即可求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（2024·江西宜春·模拟预测）一元二次方程的两根分别为，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系式：一元二次方程，两根的和等于，两根的积等于，熟记公式是解题的关键.根据一元二次方程根与系数的关系得到，再将代数式化简代入即可得到答案. 【详解】∵一元二次方程的两根分别为，， ∴， ∴， 故答案为：. 考点二：通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值 例2.（2024·湖南长沙·三模）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．由题意知，，，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 【变式2-1】（2024·江苏南京·三模）设是方程的两个根，则 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．根据根与系数关系得到，之后将代入方程中得到，变形为，两式相加即可得到答案． 【详解】解： 是方程的两个根， ，， ， ． 故答案为：2024． 【变式2-2】（2024·山东济宁·一模）设，是一元二次方程的两个根，则 . 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 考点三：利用一元二次方程根与系数的关系求参数 例3. （2024·山东临沂·二模）关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程和根的判别式，利用根与系数的关系求出，，根据则有，最后求解验证即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ， ， ∴，解得或， 当时，，方程无实数根，舍去， ∴ 故答案为：． 【变式3-1】（2024·四川广元·二模）已知关于x的一元二次方程 ，若方程的两个实数根为、，且 ，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．由一元二次方程根与系数的关系可知，，再整体代入中，求出m的值，代入原方程，判断是否有两个实数根即可． 【详解】解：、是的两个实数根， ，， ， ， ， ， ，， 当时，原方程为，， 不合题意，应舍去； 当时，原方程为，， 符合题意； 即m的值为． 故答案为：． 【变式3-2】（2024·江西景德镇·二模）已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是解题的关键．由一元二次方程根与系数的关系可知，，代入可计算出． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别是， 那么，， ， ． 故答案为：． 【变式3-3】（2024·江西南昌·二模）已知，为关于的方程的两个实数根，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根及根的判别式，先根据题意可知，求出k的取值范围，再根据一元二次方程的根及根与系数的关系代入等式，求出答案即可． 【详解】根据题意可知， 即， 解得． ∵，是方程的根， ∴，． ∵， 则， 解得． 故答案为：． 考点四：利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假 例4.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ∴， ∴； 故①正确； 若是方程的一个根，则， ∴或， 故②错误； 若，则， 即有一个根是； 故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C 【变式4-1】（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 【变式4-2】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质．按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，， 是方程的解，①的说法正确； ②若方程无实根，则，∴，对于方程，，则方程无实根；②的说法不正确． ③若方程两根为，且满足， ，， ，， 即可得出方程，必有实根，，③的说法正确； ④由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，那么④不一定正确； ⑤若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ，⑤的说法正确； 综上，①③⑤的说法正确； 故选：D． 【变式4-3】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）规定：对于任意实数a、b、c、d有，如：． ①已知，则，； ②若关于的方程有实数根，则且； ③若实数、满足，，则． 以上结论正确的个数有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识，利用因式分解法解①得到的方程，即可判断①，利用分类讨论即可判断②，利用一元二次方程的根与系数关系和公式法解方程即可判断③． 【详解】解：①∵， ∴， 即， 解得，； 故选项①正确； ②∵ ∴ ∴ 当时，， ∴关于的方程有实数根， 当时，是一元二次方程， ∵关于的方程有实数根， ∴ 解得且； 综上可知，若关于的方程有实数根，则； 故选项②错误； ③∵，， ∴， ∴， 解得或，或， ∵， ∴s和t是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ ∴当时，则， 此时， ∴当时，则， 此时， ∴． 故选项③错误， ∴正确的是①， 故选：B 考点五：利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小 例5. （23-24九年级上·广东深圳·期中）已知，是关于的方程的两根，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得出，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出，结合的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出，结论C错误；D、由，可得出、异号，结论D错误．综上即可得出结论． 【详解】解：A、， ，结论正确，符合题意； B、、是关于的方程的两根， ， 的值不确定， 结论不一定正确，不合题意； C、、是关于的方程的两根， ，结论错误，不合题意； D、， 、异号，结论D错误，不合题意． 故选：A． 【变式5-1】（23-24九年级下·湖南娄底·阶段练习）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（   ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，根据，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵方程的两个根，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 解得：，， ∵， ， 解得：，故， 故选：C． 【变式5-2】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程根系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．根据关于x的方程有两个不相等的实数根，，可以得到a的取值范围，再根据得出，利用根与系数的关系得出，，再利用分类讨论的方法求出a的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 当时，解不等式得：， ∴； 当时，解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：． 故答案为：． 【变式5-3】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）设方程有两个根和，且，那么方程的较大根的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据跟与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论． 【详解】解：方程有两个根和， ，， 设方程的为，， 则，， ，， ， 方程的两根为，， ，， ，， ，，即， 方程的较大根的范围为． 故选：C． 考点六：与一元二次方程根与系数有关的解答证明题 例6. （23-24八年级下·四川成都·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由关于的方程有两个实数根，得到判别式非负，解不等式即可得到答案； （2）根据根与系数关系得到，代入，解方程得或5，再由（1）中即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ，解得； （2）解：由根与系数的关系得， ∴ ∵， ∴， ，解得或5， 由（1）知，则． 【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及由一元二次方程根的情况求参数范围、解不等式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解决问题的关键． 【变式6-1】（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：时，方程变为， 设方程的两个实数根分别为，， ，， ． 【变式6-2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据根的判别式得出，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案． 本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 【详解】（1）证明： ， ∵ 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得，， 由，得， 解得． 【变式6-3】（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键． （1）利用根与系数的关系即可解决问题． （2）将所给代数式转化为m与n的和与积的形式即可解决问题． （3）将s和t看作方程的两个根即可解决问题． 【详解】（1）解：，， 故答案为：， （2）解：根据题意，一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴实数s，t是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 一、单选题 1．（2023·西藏日喀则·一模）如果是一元二次方程的解，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）关于的一元二次方程一个实数根为2，则另一实数根和的值分别为（    ） A．6， B．， C．6，4 D．，4 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．设该方程的两个实数根为和，由根与系数的关系得，，，将代入即可求解． 【详解】解： 设关于的一元二次方程实数根为和， 则：，， ，解得， ，解得， 故选：D． 3．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系. 首先根据正方形的性质得到，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到，进而求出，即可得到正方形的周长． 【详解】∵四边形是正方形 ∴ ∵正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根， ∴， ∴ ∴正方形的周长为． 故选：B． 4．（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ， 解得：或， 当时，原方程为，， 则原方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为，， 则原方程无实数根，不符合题意； 综上：． 故选：A． 5．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）下列说法关于x的一元二次方程，其中正确的有（    ） （1）当，方程有两个实数根； （2）如果方程的两实数根是，，那么； （3）如果方程的两实数根是，，那么； （4）如果方程的两实数根是，，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是根据一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．的两个根，，满足，，逐项进行判断即可． 【详解】（1）∵， ∴；   ∴正确； （2）∵一元二次方程的两根之和等于，即   ∴不正确； （3）∵；   ∴正确； （4）∵ ， ∴正确， 综上分析可知，共3个说法正确． 故选：C． 二、填空题 6．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）若是一元二次方程的两个实数根，则 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得，， 则． 故答案为：． 7．（23-24九年级下·山东泰安·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，和是一元二次方程的两根时，．先将方程化为一般式，再直接利用根与系数的关系，，再代入计算即可求解． 【详解】解：由可得：， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和， ∴，， ∴． 故答案为：． 8．（2024·江苏盐城·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴ ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（23-24九年级下·广东汕头·期中）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，根据新运算，列出代数式，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵方程的解为a、b， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：10． 10．（2024·浙江杭州·二模）关于一元二次方程，有以下命题： ①若，则； ②若该方程的两根为和1，则； ③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根； ④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根． 其中真命题是 ．（只需填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，根据题意得，则，故①是真命题；根据题意得，则②是真命题；由题意得，则方程的判别式：，由于a的符号不确定，故③是假命题；由题意得，且，则，有，可得是的一个根，故④是真命题． 【详解】解：若，则， ∴，故①是真命题； 若该方程的两根为和1，则， ∴， ∴，故②是真命题； 若有两个相等的实数根，则， ∴的判别式：， ∵a的符号不确定， ∴方程根的情况不确定，故③是假命题； 若r是该方程的一个根，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的一个根，故④是真命题； 故答案为：①②④． 三、解答题 11．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的定义，一元二次方程解的定义： （1）根据判别式和一元二次的定义进行求解即可； （2）把代入原方程求出k的值，进而由根与系数的关系得到，再求出，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴且； （2）解：把代入中得：， ∴， ∴原方程为，即， ∴， ∴ ． 12．（22-23八年级下·福建福州·期中）关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式是解题的关键． （1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，，，由，可得，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴的值为． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 【答案】(1)， (2)方程有两个实数解．理由见详解 (3)的值为1或2 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先计算根的判别式的值得到△，利用根的判别式的意义即可解答； （3）先利用公式法解方程得或，由于，所以或，当，则，利用整除性得当时，；当时，；当时，． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， ， 或， ∴，； （2）解：方程有两个实数解． 理由如下： ， 当时，，方程有两个相等的实数解； 当时，，方程有两个不相等的实数解； 综上所述，方程有两个实数解； （3）依题意，解方程得或， ， 或， 当时，， 、为正整数， 当时，；当时，； 当时，， 综上所述，的值为1或2． 14．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为求代数式的值； (3)若，比较M与N的大小． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则． （3）判断的正负即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴方程总有两个不相等的实数根 （2）解：根据韦达定理可得， ∴ （3）解： ∴ 15．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，；根据新定义列出方程即可求解． 【详解】（1）方程是“差积方程”， 证明：， 即， 解得，， ， 是差积方程； （2）解：， 解得方程的解为：，， 是差积方程， ， 即：或． 解得：或， （3）解： ， 解得，， 是差积方程， ， 即， 即． 16．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根； (2)当方程的两个根均为正数时， ①求m的取值范围； ②若分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的边长（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①m的取值范围为；②菱形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，也考查了根的判别式和菱形的性质，灵活运用所学知识是关键． （1）计算判别式的值即可判定方程实数根的情况； （2）①根据根与系数关系可得，即可求出m的取值范围；②根据菱形边长和对角线的关系即可求出，再根据根与系数关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵        ∴不论m为何实数，方程总有实数根。 （2）解：①由题意得：   解得：，   ∴m的取值范围为 ②设菱形的边长为a，则 ∵ ∴ ∴ （舍） 所以，菱形的边长为 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 一元二次方程的根与系数的关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．熟记一元二次方程的根与系数的关系； 2．掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用； 知识点一.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 知识点二.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③； ④；⑤； ⑥；⑦； ⑧；⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 考点一：利用一元二次方程根与系数的关系求值 例1．（2024·湖南岳阳·二模）已知关于 x 的一元二次方程两个根，则 ． 【变式1-1】（2024·江西吉安·一模）已知方程的两个根分别为，，则的值为 ． 【变式1-2】（2024·广东深圳·模拟预测）若，是方程的两个根，则的值为 ． 【变式1-3】（2024·江西宜春·模拟预测）一元二次方程的两根分别为，，则 ． 考点二：通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值 例2.（2024·湖南长沙·三模）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 【变式2-1】（2024·江苏南京·三模）设是方程的两个根，则 ． 【变式2-2】（2024·山东济宁·一模）设，是一元二次方程的两个根，则 . 【变式2-3】（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 考点三：利用一元二次方程根与系数的关系求参数 例3. （2024·山东临沂·二模）关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为 ． 【变式3-1】（2024·四川广元·二模）已知关于x的一元二次方程 ，若方程的两个实数根为、，且 ，则m的值为 ． 【变式3-2】（2024·江西景德镇·二模）已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为 . 【变式3-3】（2024·江西南昌·二模）已知，为关于的方程的两个实数根，若，则 ． 考点四：利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假 例4.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【变式4-1】（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式4-2】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 【变式4-3】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）规定：对于任意实数a、b、c、d有，如：． ①已知，则，； ②若关于的方程有实数根，则且； ③若实数、满足，，则． 以上结论正确的个数有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 考点五：利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小 例5. （23-24九年级上·广东深圳·期中）已知，是关于的方程的两根，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．， 【变式5-1】（23-24九年级下·湖南娄底·阶段练习）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（   ） A． B．1 C．3 D．9 【变式5-2】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ． 【变式5-3】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）设方程有两个根和，且，那么方程的较大根的范围为（    ） A． B． C． D． 考点六：与一元二次方程根与系数有关的解答证明题 例6. （23-24八年级下·四川成都·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【变式6-1】（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【变式6-2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 【变式6-3】（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 一、单选题 1．（2023·西藏日喀则·一模）如果是一元二次方程的解，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）关于的一元二次方程一个实数根为2，则另一实数根和的值分别为（    ） A．6， B．， C．6，4 D．，4 3．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 5．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）下列说法关于x的一元二次方程，其中正确的有（    ） （1）当，方程有两个实数根； （2）如果方程的两实数根是，，那么； （3）如果方程的两实数根是，，那么； （4）如果方程的两实数根是，，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）若是一元二次方程的两个实数根，则 7．（23-24九年级下·山东泰安·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 8．（2024·江苏盐城·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ． 9．（23-24九年级下·广东汕头·期中）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ． 10．（2024·浙江杭州·二模）关于一元二次方程，有以下命题： ①若，则； ②若该方程的两根为和1，则； ③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根； ④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根． 其中真命题是 ．（只需填写序号） 三、解答题 11．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 12．（22-23八年级下·福建福州·期中）关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果是这个方程的两个根，且，求的值． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 14．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为求代数式的值； (3)若，比较M与N的大小． 15．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 16．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根； (2)当方程的两个根均为正数时， ①求m的取值范围； ②若分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的边长（用含m的代数式表示）． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$