第11讲 用公式法求解一元二次方程【六大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第11讲 用公式法求解一元二次方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程； 2．会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围； 知识点一．公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 知识点二、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即； （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 考点一：利用用公式法还原一元二次方程 例1．（23-24八年级下·全国·假期作业）在用求根公式解方程的过程中，，，的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】略 【变式1-1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 【变式1-2】（2024八年级下·浙江·专题练习）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定，，的值；求出的值（若，方程无实数根）；在的前提下，把的值代入公式进行计算求出方程的根，解题的关键是掌握去根公式． 【详解】解：、中，，不合题意； 、中，，不合题意； 、中，，不合题意； 、中，x，符合题意； 故选：． 【变式1-3】（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故选：D 考点二：求一元二次方程中判别式的值 例2.（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，先化为一元二次方程的一般形式，将的值代入，即可求解． 【详解】解：，即 ∴， 故选：B． 【变式2-1】（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）用公式法解一元二次方程时，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的系数的带、、的值，再将其代入求值即可得到结果． 【详解】解：在一元二次方程中， ，，， ， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的系数与根的判别式，熟练掌握基本知识是解题关键． 【变式2-2】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）当用公式法解方程时，的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 【答案】C 【分析】 本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键．将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论． 【详解】 解：原方程可变形为， ，，， ． 故选：C 【变式2-3】（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．4 C．32 D．64 【答案】D 【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出、、的值，最后求出判别式的值即可． 【详解】解：， ， ，，， ； 故选：D． 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，解此题时首先要化简．还要注意熟练应用公式． 考点三：用公式法求解一元二次方程 例3.（23-24八年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的解法是解题关键．本题直接利用公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据公式法，按步骤求解即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 【变式3-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 【变式3-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 考点四：用公式法解一元二次方程的错题复原问题 例4. （2024九年级下·全国·专题练习）小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，．第四步 (1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答． 【答案】(1)一； (2)正确的解答见解析． 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． （1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了； （2）方程化为一般式得到，，，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）小明的解答是从第一步开始出错的， 故答案为：一； （2）解：方程化为一般式为， ，，， ， ， ，． 【变式4-1】（23-24八年级下·全国·假期作业）解方程，某位同学的解答过程如下： 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，. 请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果. 【答案】见解析 【详解】解：有错误，的值应为. 将方程化为一般形式，得. ∵，，， ∴， ∴， ∴，. 【变式4-2】（22-23九年级下·河北邢台·开学考试）嘉淇在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程 解：                （第一步）                 （第二步） ∴原方程无实数根                （第三步） (1)嘉淇的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________； (2)请你写出此题的正确的求解过程． 【答案】(1)一，原方程没有化成一般形式 (2)见解析 【分析】（1）运用公式法的前提是将一元二次方程化成一般形式； （2）将一元二次方程化成一般形式，即可代入公式法求解． 【详解】（1）解：确定各项系数时，应将一元二次方程化成一般形式 故答案为：一；原方程没有化成一般形式； （2）解：原方程化成一般形式是： ∵，， ∴ ∴ 即， 【点睛】本题考查利用公式法求解一元二次方程．注意求解过程中的易错点：未将一元二次方程化成一般形式，直接使用公式法． 【变式4-3】（22-23八年级下·北京门头沟·期末）阅读材料，并回答问题： 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：∵，，                ① ∴        ②                     ③ ∴此方程无解 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）； (2)发生错误的原因是： ； (3)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【答案】(1)③ (2)计算错误 (3)见解析 【分析】根据公式法的步骤判断和求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：从③步开始出现了错误 故答案为：③； （2）计算错误（负数乘以负数得负数）； （3）∵，，， ∴， ∴， 解得：，． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的计算步骤． 考点五：根据判别式判断一元二次方程根的情况 例5.（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程两个不相等的实数根． 故选A． 【变式5-1】（2024·河南周口·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算根的判别式的值得到，再由非负数的性质可判断，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 【变式5-2】（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 【变式5-3】（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：A、可化为： ， 方程有两个不相等的实数根； B、 ， 方程有两个相等的实数根； C、 ， 方程有两个不相等的实数根； D、可化为： ， 方程没有实数根； 故选：D． 考点六：根据一元二方程根的情况求参数 例6. （2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用配方法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为， 配方，得， 解得； （2）解：∵该方程有实数根， ∴， 解得， 即若该方程有实数根，的取值范围是． 【变式6-1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，请用配方法求出此时方程的解． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及用配方法解方程， （1）由关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且，即，两个不等式的公共解即为的取值范围； （2）求出的值，用配方法解方程即可； 解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）∵且，且m为正整数， ∴， ∴原方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时方程的解为：，． 【变式6-2】（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为是解题的关键． （1）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可解答； （2）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可得到m的最小整数值． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， 可得， 当，即时，此方程没有实数根； （2）解：∵有两个实数根， ∴， ∴； ∴m的最小整数值为． 【变式6-3】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根； (2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2)的周长为11或10． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根据根的情况求参数和等腰三角形的性质. （1）先计算出，然后根据非负数的性质即可证明． （2）分两种情况计算，当腰长为4时，代入方程，求出k值，得出方程，进而求得方程的另一个根，当底边长为4时，此时方程有两个相等的实数根，根据得出k的值，把k值代入方程，解方程即可求的的腰长． 【详解】（1）证明：， ∵，即， ∴无论取任何实数，方程总有实数根． （2）当腰长为4时，把代入， 得，， 解得； 方程化为， 则其另一个解为， 此时的周长为． 当底边长为4时，则方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，此时方程化为， 即, 解得：， 此时的周长为． 综上所述，的周长为11或10． 一、单选题 1．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）用求根公式解方程时，，的值是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】将方程化为一般形式即可得到a，b，c的值． 【详解】解：∵， ∴， 则，，． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式：，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，掌握判别式是解题的关键．计算出方程的进行判断即可，当时，方程有两个实数根，时，方程无实数根． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，方程有两个实数根，即，根据一元二次方程的求根公式，反推出一元二次方程各项的系数，即可得到答案． 【详解】解：设一元二次方程为， 则方程的根为：， ， ，，， 该一元二次方程为， 故选：D． 4．（23-24九年级上·河北保定·期中）已知方程的两根是等腰三角形的两条边长，则等腰三角形的周长是（    ） A．15 B．12 C．9 D．12或15 【答案】A 【分析】题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：解方程得， 因为， 所以等腰三角形的两腰为6、6，底边长为3， 所以三角形周长． 故选A． 5．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 二、填空题 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】选择公式法求解即可． 【详解】， 整理，得， ∵ ∴， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解方程，选择适当的方法求解是解题的关键． 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，其中求得的的值是 ． 【答案】64 【分析】先将方程化为一般式，准确找出a、b、c的值，代入计算即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， 故答案为：64． 【点睛】本题主要考查了求一元二次方程根的判别式，解题的关键是将方程化为一般式，准确找出二次项系数，一次项系数，常数项． 8．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根． 【答案】有两个不相等的 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的． 9．（2024·江苏连云港·二模）若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 【答案】两或2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一次函数的图象和性质等知识点，先根据一次函数的性质得到，再计算判别式的值得到，则，然后根据判别式的意义判断方程根的情况，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵一次函数（k、b为常数）的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：两． 10．（2024·甘肃定西·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得，且， 故答案为：且． 三、解答题 11．（21-22八年级上·上海静安·期末）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先求解，再利用求根公式解方程即可． 【详解】解：， ， ， 则， ∴原方程的根为. 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)， (2)，. (3) 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴，即，. （2）移项，得， ∴，，， ∴， ∴，即，. （3）∵，，， ∴， ∴，即. 13．（2024·江西·一模）课堂上，刘老师展示了一位同学用配方法解的过程，如下： 解：原方程可化为，第一步 配方，得，第二步 即，第三步 直接开平方，得，第四步 所以，．第五步 (1)这位同学的解题过程从第______步开始出现错误； (2)请你正确求解该方程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）利用配方法或公式法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】（1）第二步配方时应方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即， ∴这位同学的解题过程从第二步开始出现错误； （2）配方法： 解得，． 公式法： ，，， ， ， 解得，． 14．（22-23八年级下·山东济南·期末）定义：如果关于的一元二次方程中常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，则的值为______； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于的方程． （1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可． 【详解】（1）解： 关于的方程是常数根一元二次方程， 方程的一个根为， 代入方程得，， 解得或； （2）解：关于的方程是常数根一元二次方程， 方程的一个根为， 代入方程得，， 整理得，， 解得或． 15．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）已知关于的方程． (1)求证：对于任何实数，该方程总有两个实数根； (2)若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况、三角形的三边关系： （1）直接利用即可求证； （2）先求得该方程的两根，然后利用三角形的三边关系即可求解. 【详解】（1）解： ∵ ∴对于任何实数，该方程总有两个实数根. （2）解： ， ∴. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 用公式法求解一元二次方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程； 2．会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围； 知识点一．公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 知识点二、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即； （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 考点一：利用用公式法还原一元二次方程 例1．（23-24八年级下·全国·假期作业）在用求根公式解方程的过程中，，，的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024八年级下·浙江·专题练习）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 考点二：求一元二次方程中判别式的值 例2.（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 【变式2-1】（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）用公式法解一元二次方程时，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）当用公式法解方程时，的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 【变式2-3】（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．4 C．32 D．64 考点三：用公式法求解一元二次方程 例3.（23-24八年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【变式3-1】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）用公式法解方程：． 【变式3-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 【变式3-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 考点四：用公式法解一元二次方程的错题复原问题 例4. （2024九年级下·全国·专题练习）小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，．第四步 (1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答． 【变式4-1】（23-24八年级下·全国·假期作业）解方程，某位同学的解答过程如下： 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，. 请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果. 【变式4-2】（22-23九年级下·河北邢台·开学考试）嘉淇在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程 解：                （第一步）                 （第二步） ∴原方程无实数根                （第三步） (1)嘉淇的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________； (2)请你写出此题的正确的求解过程． 【变式4-3】（22-23八年级下·北京门头沟·期末）阅读材料，并回答问题： 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：∵，，                ① ∴        ②                     ③ ∴此方程无解 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）； (2)发生错误的原因是： ； (3)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 考点五：根据判别式判断一元二次方程根的情况 例5.（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式5-1】（2024·河南周口·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式5-2】（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 考点六：根据一元二方程根的情况求参数 例6. （2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 【变式6-1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，请用配方法求出此时方程的解． 【变式6-2】（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 【变式6-3】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根； (2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长． 一、单选题 1．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）用求根公式解方程时，，的值是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河北保定·期中）已知方程的两根是等腰三角形的两条边长，则等腰三角形的周长是（    ） A．15 B．12 C．9 D．12或15 5．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）方程的解是 ． 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，其中求得的的值是 ． 8．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根． 9．（2024·江苏连云港·二模）若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 10．（2024·甘肃定西·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 三、解答题 11．（21-22八年级上·上海静安·期末）用公式法解方程：． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3). 13．（2024·江西·一模）课堂上，刘老师展示了一位同学用配方法解的过程，如下： 解：原方程可化为，第一步 配方，得，第二步 即，第三步 直接开平方，得，第四步 所以，．第五步 (1)这位同学的解题过程从第______步开始出现错误； (2)请你正确求解该方程． 14．（22-23八年级下·山东济南·期末）定义：如果关于的一元二次方程中常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，则的值为______； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值． 15．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）已知关于的方程． (1)求证：对于任何实数，该方程总有两个实数根； (2)若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$