第06讲 有理数的加减运算【八大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

第06讲 有理数的加减运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解有理数加法和减法法则，将减法转化成加法，初步培养学生数学的归一思想； 2．能利用加法和减法法则进行简单的有理数的加法、减法运算； 3．能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算. 知识点1 ：加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. ⑶一个数同0相加，仍得这个数. 知识点2：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a＋b=b＋a； （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）； 知识点3 ：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b 考点一：有理数的加法运算 例1．（2023·天津河西·统考二模）计算的结果等于（    ） A．5 B．3 C． D． 【变式1-1】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）计算：（    ） A．1 B． C．5 D． 【变式1-2】（2023·江苏南通·统考一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·江苏·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点二：有理数加法运算律 例2.（2023·全国·七年级假期作业）计算： 【变式2-1】（2023·全国·九年级专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式2-2】（2023秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）计算题： (1)． (2)． 【变式2-3】（2023·浙江·七年级假期作业）计算 (1)； (2)． 考点三：有理数加法在生活中的应用 例3. （2023·全国·七年级假期作业）学校为了备战校园足球联赛，一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：（单位：米）． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？ (3)守门员全部练习结束后一共跑了多少米？ 【变式3-1】（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）教育部门要求初中生每天睡眠时间应达到小时．如果规定睡眠时间超过小时的记为正数，不足小时的记为负数，若小明同学某天的睡眠时间记为小时，则小明同学的实际睡眠时间为__________小时． 【变式3-2】某天下午，出租车司机小王从公司出发，在东西向的公路上接送乘客．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)最后一名乘客送到目的地时，小王与公司的距离有多远？ (2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？ 【变式3-3】（2023·江苏·七年级假期作业）小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：．（单位：） (1)小虫最后是否回到出发地O？为什么？ (2)小虫离开O点最远时是多少？ (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 考点四：有理数的减法运算 例4. （2023·浙江绍兴·统考中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．1 D．3 【变式4-1】（2023·山东临沂·统考中考真题）计算的结果是（    ） A． B．12 C． D．2 【变式4-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）下列计算结果与的结果不相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式4-4】（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点五：有理数的加减混合运算 例5.（2022秋·广东河源·七年级校考期中）计算：． 【变式5-1】（2023·全国·七年级假期作业）计算 (1) (2) 【变式5-2】（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1) (2) 【变式5-3】（2023·江苏·七年级假期作业）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 考点六：有理数的加减中的简便运算 例6. （2023·江苏·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式6-1】（2023·浙江·七年级假期作业）计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 【变式6-2】（2023·全国·七年级假期作业）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式6-3】（2023·浙江·七年级假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 考点七：新定义下的有理数加减混合运算 例7. （2023·全国·九年级专题练习）对于任意有理数m、n，定义新运算：，则________________． 【变式7-1】用“”定义一种新运算，对于任意有理数a、b，都有，则的值为_____． 【变式7-2】（2023·全国·九年级专题练习）规定一种新运算：，如，那么的值是____． 【变式7-3】（2022秋·安徽合肥·七年级校考阶段练习）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定：． (1)计算的值； (2)计算的值； 考点八：有理数的加减混合运算的应用 例8. （2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）一只蚂蚁在一根横木上从某点出发，以笔直的线路来回爬行，规定向右爬行记为正，爬行轨迹记录如下：（单位：厘米）． (1)蚂蚁最后是否回到了出发点？ (2)蚂蚁离开出发点最远是______厘米？ (3)在爬行过程中，如果蚂蚁每爬行1厘米奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻？ 【变式8-1】（2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）某公路养护小组乘车沿东西方向进行公路巡视维护，某天早晨从A地出发，晚上最后到达B地，规定向东为正方向，当天的行驶记录如下（单位：千米）： ． (1)B地在A地的什么位置？ (2)若汽车行驶每千米耗油m升，求该天共耗油多少升？ 【变式8-2】（2023·全国·七年级假期作业）现有10包棉签，以每包100根为标准，超过的根数记作正数，不足的根数记作负数，每包数据记录如下：，，，，，，，，，． 回答下列问题： (1)这包棉签根数最多的有　　　根，最少的有　　　根； (2)这包棉签一共有多少根？ 【变式8-3】一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站、下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数． 停靠 站 起点站 中间 第1站 中间 第2站 中间 第3站 中间 第4站 中间 第5站 中间 第6站 终点 站 上下车 人数 0 0 (1)中间第4站上车人数是________人，下车人数是________人； (2)中间的6个站中，第_____站没有人上车，第______站没有人下车； (3)中间第2站开车时车上人数是_____人，第5站停车时车上人数是_____人； 一、单选题 1．（2024·山西朔州·模拟预测）计算：的结果是（    ） A．1 B． C． D．4047 2．（2024·天津南开·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22七年级上·河北石家庄·阶段练习）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是相反数等于本身的数，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 5．（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末）规定符号表示两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如：，，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·江苏扬州·二模）扬州某天的最高温度是，最低温度是，那么这一天的温差是 ． 7．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）如图，在数轴上点表示的数是1，则点表示的数是 ． 8．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是 ． 9．（23-24六年级下·全国·假期作业）若，且，则 ． 10．（23-24六年级下·全国·假期作业）规定图形表示运算，图形表示运算，则+ = ．（直接写出答案） 三、解答题 11．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 12．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 13．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）阅读下面的解题过程，并解决问题． 计算：． 解：原式 ． (1)第①步经历了哪些转变：_____，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用了哪些运算律：_______． (2)根据以上解题技巧进行计算：． 14．（23-24七年级上·河南许昌·期中）秋天流行病多发，某位病人早晨8时的体温是．下面是护士站记录该病人一天中的体温变化． 时间 11时 14时 17时 20时 23时 2时（次日） 5时 8时 体温变化 (1)这位病人的体温最低是多少摄氏度？ (2)若正常体温是，那么从体温变化看，这位病人的病情是在恶化还是好转？请说明原因． 15．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：．（单位：） (1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？ (2)如果这艘核潜艇每上升或下降，核动力装置所提供的能量相当于汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 16．（23-24六年级下·上海长宁·期中）某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 0 1 2 回答下面问题： (1)这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克． (2)以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的加减运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解有理数加法和减法法则，将减法转化成加法，初步培养学生数学的归一思想； 2．能利用加法和减法法则进行简单的有理数的加法、减法运算； 3．能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算. 知识点1 ：加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. ⑶一个数同0相加，仍得这个数. 知识点2：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a＋b=b＋a； （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）； 知识点3 ：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b 考点一：有理数的加法运算 例1．（2023·天津河西·统考二模）计算的结果等于（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数加法法则计算即可． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题考查有理数加法，熟练掌握同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加是解题的关键． 【变式1-1】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）计算：（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了有理数的加法，要熟练掌握，解答此题的关键是要弄清楚有理数加法法则． 【变式1-2】（2023·江苏南通·统考一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用有理数加法的计算方法进行求解即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了有理数加法的运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算． 【变式1-3】（2023·江苏·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3)0 (4) 【分析】（1）根据两个负数相加的运算法则进行计算即可； （2）根据绝对值不相等的异号的两数相加进行计算即可； （3）根据互为相反数的两数相加的法则进行计算即可； （4）根据一个数与0相加的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算，“两数相加时，应先判断两数的类型，然后根据所对应的法则来确定和的符号与绝对值”是解本题的关键． 考点二：有理数加法运算律 例2.（2023·全国·七年级假期作业）计算： 【答案】8 【分析】运用有理数加法结合律计算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查有理数加减运算，熟练掌握有理数加减法法则是解题的关键． 【变式2-1】（2023·全国·九年级专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把同号的两数先加，再按照绝对值不相等的异号两数相加的法则进行运算即可； （2）把和为整数的两个数先加，再通分，再按照绝对值不相等的异号两数相加的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算，有理数的加法运算律的应用，掌握“有理数的加法运算法则”是解本题的关键． 【变式2-2】（2023秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）计算题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握加法运算律是解答本题的关键． 【变式2-3】（2023·浙江·七年级假期作业）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)3 【分析】（1）利用加法交换律与加法结合律，把互为相反数的两数相加，另两数相加； （2）利用加法交换律与加法结合律，把小数部分相同的两数相加，互为相反数的两数相加． 【详解】（1）解： （2） 【点睛】本题主要考查加法运算，加法交换律，加法结合律，根据加数的特点，选择互为相反数的两数相加，小数部分相等的两数相加等可以简便运算． 考点三：有理数加法在生活中的应用 例3. （2023·全国·七年级假期作业）学校为了备战校园足球联赛，一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：（单位：米）． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？ (3)守门员全部练习结束后一共跑了多少米？ 【答案】(1)是 (2)12米 (3)56 【分析】（1）将所有数据相加，根据和的情况进行判断即可； （2）求出每一次离开球门线的距离，即可得出结果； （3）将所有数据的绝对值进行相加即可得出结论． 【详解】（1）解：， ∴守门员回到了球门线的位置； （2）解：守门员每次离开球门的距离为：7米，米，米，米，米，米，米， ∴离开球门的最远距离为米； 答：守门员离开球门的位置最远是12米； （3）解：（米）， 答：守门员一共跑了56米． 【点睛】本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用．理解并掌握正负数的意义，熟练掌握有理数的加法法则，是解题的关键． 【变式3-1】（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）教育部门要求初中生每天睡眠时间应达到小时．如果规定睡眠时间超过小时的记为正数，不足小时的记为负数，若小明同学某天的睡眠时间记为小时，则小明同学的实际睡眠时间为__________小时． 【答案】 【分析】根据正负数的意义，以及有理数的加减进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，小明同学的实际睡眠时间为小时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正负数的意义，以及有理数的加减，根据题意列出算式是解题的关键． 【变式3-2】某天下午，出租车司机小王从公司出发，在东西向的公路上接送乘客．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)最后一名乘客送到目的地时，小王与公司的距离有多远？ (2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)千米 (2)这天下午汽车共耗油升 【分析】（1）根据有理数的加法进行计算即可得； （2）先计算出路程，再乘单位耗油量，即可得． 【详解】（1）解：（千米） 答：最后一名乘客送到目的地时，小王与公司的距离是3千米； （2）解： （升）， 答：这天下午汽车共耗油升． 【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的加法，绝对值，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，正确计算． 【变式3-3】（2023·江苏·七年级假期作业）小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：．（单位：） (1)小虫最后是否回到出发地O？为什么？ (2)小虫离开O点最远时是多少？ (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫最后回到了出发地O，理由见解析 (2)向右 (3)54粒 【分析】题目中给出的各数由两部分组成：一是性质符号，表示的爬行的方向，二是绝对值部分，表示爬行的路程大小．所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义：方向和路程大小；若只把它们的绝对值相加，则最后结果只表示路程的大小． 【详解】（1）解：， ， ， ， 根据题意，0表示最后小虫又回到了出发点O 答：小虫最后回到了出发地O． （2）解：； ； ； ； ； ． 因为绝对值最大的是，所以小虫离开O点最远时是向右； （3）， 所以小虫爬行的总路程是， 由（粒） 答：小虫一共可以得到54粒芝麻． 【点睛】本题考查了利用有理数的加减混合运算解决实际问题，绝对值的概念，熟练计算是解题的关键． 考点四：有理数的减法运算 例4. （2023·浙江绍兴·统考中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的减法，解题的关键是掌握有理数的减法计算法则．减去一个数等于加上它的相反数． 【变式4-1】（2023·山东临沂·统考中考真题）计算的结果是（    ） A． B．12 C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 【点睛】本题考查有理数的减法，熟练掌握减一个负数等于加上它的相反数，是解题的关键． 【变式4-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）下列计算结果与的结果不相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减运算法则、绝对值的计算进行即可． 【详解】原式， 选项A，，故不符合题意； 选项B，，符合题意； 选项C，，故不符合题意； 选项D，，故不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了有理数加减法运算，绝对值计算，掌握有理数加减运算法则是关键． 【变式4-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)﹣ (5) (6) 【分析】根据有理数的加法法则计算即可，有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． （5）解：． （6）解：原式． 【点睛】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解答本题的关键． 【变式4-4】（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)3.6； (3)； (4) 【分析】（1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的减法法则计算即可； （4）根据有理数的减法法则计算即可； 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） 【点睛】本题主要考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟练掌握有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 考点五：有理数的加减混合运算 例5.（2022秋·广东河源·七年级校考期中）计算：． 【答案】 【分析】根据有理数加减法法则进行计算即可． 【详解】解：===． 【点睛】本题主要考查了有理数加减运算，熟练掌握有理数加减法法则是解答本题的关键． 【变式5-1】（2023·全国·七年级假期作业）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合相反数的定义，根据整数的加减运算法则直接求解即可得到答案； （2）结合相反数的定义，根据有整数的加减运算法则直接计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算．熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【变式5-2】（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据有理数加减计算法则求解即可； （2）根据有理数加减计算法则求解即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式5-3】（2023·江苏·七年级假期作业）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据有理数的减法进行计算； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算； （3）根据有理数的加减混合运算进行计算； （4）根据有理数的加减混合运算进行计算； （5）根据有理数的加减混合运算进行计算； （6）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了有理数数的加减混合运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 考点六：有理数的加减中的简便运算 例6. （2023·江苏·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）先把减法统一为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律进行计算即可； （2）先把减法统一为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律进行计算即可； （3）先把减法统一为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，先把减法统一成加法，省略加号后，运用加法运算律，简化运算，求出结果．其中互为相反数的两数先结合；能凑成整数的各数先结合．另外，同号各数先结合；同分母或易通分的各数先结合．方法总结：（1）为使运算简便，可适当运用加法的结合律与交换律．在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．（2）注意同分母分数相加，互为相反数相加，凑成整数的数相加，这样计算简便．（3）当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便． 【变式6-1】（2023·浙江·七年级假期作业）计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的加法法则计算，即可解答； （2）根据有理数的加减运算法则计算，即可解答； （3）利用加法的结合律和交换律，即可解答； （4）利用加法的结合律和交换律，即可解答． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算法，解决本题的关键是利用加法运算律进行简算． 【变式6-2】（2023·全国·七年级假期作业）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)17 (3) (4)10 【分析】（1）先去括号、化简绝对值，再计算有理数的减法即可得； （2）先去括号，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得； （3）先将小数化为分数，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得； （4）先去括号，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数加减法的运算法则和运算律是解题关键． 【变式6-3】（2023·浙江·七年级假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 (5) (6)5 【分析】（1）先去绝对值，再按照有理数的加法运算顺序计算． （2）先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算． （3）先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算． （4）先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算． （5）先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算． （6）先去小括号，后去中括号，再按照有理数的加法运算顺序计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．是解答此题的关键． 考点七：新定义下的有理数加减混合运算 例7. （2023·全国·九年级专题练习）对于任意有理数m、n，定义新运算：，则________________． 【答案】 【分析】根据新运算展开，再求出即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式7-1】用“”定义一种新运算，对于任意有理数a、b，都有，则的值为_____． 【答案】0 【分析】由题目中给出的新运算方法，即可推出原式，通过计算即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算和绝对值是解题的关键． 【变式7-2】（2023·全国·九年级专题练习）规定一种新运算：，如，那么的值是____． 【答案】6 【分析】根据新运算，把、代入计算即可． 【详解】解：根据题意得 ∵， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，熟练运用法则是解题的关键． 【变式7-3】（2022秋·安徽合肥·七年级校考阶段练习）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定：． (1)计算的值； (2)计算的值； 【答案】(1)8 (2)8 【分析】（1）根据新定义规定的运算公式列式计算即可； （2）根据新定义规定的运算公式列式先计算，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握新定义规定的运算公式是解决问题的关键． 考点八：有理数的加减混合运算的应用 例8. （2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）一只蚂蚁在一根横木上从某点出发，以笔直的线路来回爬行，规定向右爬行记为正，爬行轨迹记录如下：（单位：厘米）． (1)蚂蚁最后是否回到了出发点？ (2)蚂蚁离开出发点最远是______厘米？ (3)在爬行过程中，如果蚂蚁每爬行1厘米奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)蚂蚁最后回到了出发点 (2)小虫离开出发点O最远是厘米 (3)小虫共可得到芝麻粒 【分析】（1）把爬行记录相加，然后根据正负数的意义解答； （2）根据正负数的意义分别求出各记录时与出发点的距离，然后判断即可； （3）求出所有爬行记录的绝对值的和，继而可得答案． 【详解】（1）， ∴蚂蚁最后回到了出发点； （2）根据记录，小虫离开出发点O的距离分别为 ∴故小虫离开出发点O最远是厘米； （3）爬行距离（厘米）， 则小虫共可得到芝麻（粒）． 【点睛】此题考查正数和负数以及有理数的混合运算，此题的关键是读懂题意，理清正数和负数的意义． 【变式8-1】（2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）某公路养护小组乘车沿东西方向进行公路巡视维护，某天早晨从A地出发，晚上最后到达B地，规定向东为正方向，当天的行驶记录如下（单位：千米）： ． (1)B地在A地的什么位置？ (2)若汽车行驶每千米耗油m升，求该天共耗油多少升？ 【答案】(1)地在A地的西方，它们相距4千米． (2)78． 【分析】（1）首先把当天的行驶记录数据相加，然后根据结果的正负即可确定B地在A地何方，相距多少千米； （2）把所给的数据的绝对值相加，然后乘以m即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意，可得 答：地在A地的西方，它们相距4千米； （2）根据题意，汽车共行驶了 （千米） （升） 答：该天共耗油升． 【点睛】此题考查了正负数的意义，有理数加法的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【变式8-2】（2023·全国·七年级假期作业）现有10包棉签，以每包100根为标准，超过的根数记作正数，不足的根数记作负数，每包数据记录如下：，，，，，，，，，． 回答下列问题： (1)这包棉签根数最多的有　　　根，最少的有　　　根； (2)这包棉签一共有多少根？ 【答案】(1)106；95 (2)这10盒棉签一共有1003根． 【分析】（1）根据正、负数的意义解答； （2）把所有记录相加，再加上标准根数计算即可得解． 【详解】（1）解：根数最多的是（根）， 最少的是（根）； 故答案为：106；95； （2）解：（根）， （根）． 答：这10盒棉签一共有1003根． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【变式8-3】一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站、下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数． 停靠 站 起点站 中间 第1站 中间 第2站 中间 第3站 中间 第4站 中间 第5站 中间 第6站 终点 站 上下车 人数 0 0 (1)中间第4站上车人数是________人，下车人数是________人； (2)中间的6个站中，第_____站没有人上车，第______站没有人下车； (3)中间第2站开车时车上人数是_____人，第5站停车时车上人数是_____人； 【答案】(1)1，7； (2)6，3； (3)24，22． 【分析】（1）直接根据表格得出答案； （2）直接根据表格得出答案； （3）根据有理数的加减列式求解即可； 【详解】（1）解：根据题意，得：中间第4站上车1人、下车7人； 故答案为：1，7； （2）解：中间第6站没有人上车，中间第3站没有人下车； 故答案为：6，3； （3）解：中间第2站开车时车上人数是：（人），第5站停车时车上人数是：（人）； 故答案为：24，22． 【点睛】此题考查了有理数加减法的实际应用，进一步认识负数的意义，理解正负数的意义是解题的关键． 一、单选题 1．（2024·山西朔州·模拟预测）计算：的结果是（    ） A．1 B． C． D．4047 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，负数加正数的计算规则是：符号取绝对值较大的加数的符号，数值取“用较大的绝对值减去较小的绝对值”的所得值． 【详解】解：， 故选B． 2．（2024·天津南开·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、绝对值，利用有理数的减法法则，绝对值的意义对每个选项的运算进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项正确，符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数加减计算化简．根据题意利用“同号得正，异号得负”即可化简该式． 【详解】解：， 故选：C． 4．（21-22七年级上·河北石家庄·阶段练习）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是相反数等于本身的数，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意确定出的值，即可求出所求式子的值； 此题考查了有理数的加减混合运算，相反数，以及有理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【详解】根据题意得：， 则 故选：A． 5．（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末）规定符号表示两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如：，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了新定义，有理数的加减； 根据新规定求出，然后计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 二、填空题 6．（2024·江苏扬州·二模）扬州某天的最高温度是，最低温度是，那么这一天的温差是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，直接用该天的最高气温减去最低气温即可得到答案． 【详解】解：， ∴这一天的温差是， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）如图，在数轴上点表示的数是1，则点表示的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查数轴，数轴上两点间的距离，根据数轴，可以理解为点A向左运动2个单位，再向右运动3个单位到达点B，列式计算即可得到点B表示的数． 【详解】解：由图可以理解为点A向左运动2个单位，再向右运动3个单位到达点B， 点表示的数是1， ， 点表示的数是2， 故答案为：2． 8．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【详解】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， 图中表示的计算过程为． 故答案为：． 9．（23-24六年级下·全国·假期作业）若，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数减法和绝对值，解题关键是先根据绝对值的意义确定字母的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时，； 当时，； 故答案为：或． 10．（23-24六年级下·全国·假期作业）规定图形表示运算，图形表示运算，则+ = ．（直接写出答案） 【答案】0 【分析】本题考查了有理数运算，解题关键是根据题意列出算式，准确进行计算即可． 【详解】 解：规定图形表示运算，图形表示运算， 所以，+ =， 故答案为：0． 三、解答题 11．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】（）根据有理数的加法运算法则计算即可； （）根据有理数的加减运算法则计算即可； （）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可； （）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可； （）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ， ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ， ； （5）解：原式 ， ． 12．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）阅读下面的解题过程，并解决问题． 计算：． 解：原式 ． (1)第①步经历了哪些转变：_____，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用了哪些运算律：_______． (2)根据以上解题技巧进行计算：． 【答案】(1)去括号，省略加号；加法交换律、结合律 (2) 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加减运算，运用有理数的加减运算进行计算，即可． （1）根据有理数的加减运算步骤，进行计算，即可； （2）根据（1）中的运算法则，进行计算，即可． 【详解】（1）由解题过程可知，第①步去括号，省略加号；第②步运用加法交换律、结合律计算， 故答案为：去括号，省略加号；加法交换律、结合律． （2） ． 14．（23-24七年级上·河南许昌·期中）秋天流行病多发，某位病人早晨8时的体温是．下面是护士站记录该病人一天中的体温变化． 时间 11时 14时 17时 20时 23时 2时（次日） 5时 8时 体温变化 (1)这位病人的体温最低是多少摄氏度？ (2)若正常体温是，那么从体温变化看，这位病人的病情是在恶化还是好转？请说明原因． 【答案】(1) (2)好转，理由见解析 【分析】本题主要考查有理数的加减运算的应用，准确的计算是解题的关键． （1）首先利用有理数的加减法计算出每个时刻的体温，然后进行比较即可得出答案； （2）通过分析（1）中的体温，即可得出体温的变化趋势，从而得出答案． 【详解】（1）解：11时的体温是； 14时的体温为； 17时的体温是； 20时的体温为； 23时的体温是； 2时的体温是； 5时的体温是； 8时的体温是， ∵， ∴体温最低是次日的凌晨5时，是； （2）根据（1）求出的数据分析，该病人在逐渐好转，因为体温与正常体温的差越来越小． 15．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：．（单位：） (1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？ (2)如果这艘核潜艇每上升或下降，核动力装置所提供的能量相当于汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 【答案】(1)615 (2)5325 【分析】本题考查正负数的意义和有理数加法的实际应用．熟练掌握正负数的意义和有理数加法法则，是解题的关键． （1）将所有数据相加，根据最终结果确定核潜艇处在什么位置； （2）将所有数据的绝对值相加，再即可得解． 【详解】（1）解： ； 答：核潜艇处在海平面下米位置； （2）解： (升)； 答：在这一时段内核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量． 16．（23-24六年级下·上海长宁·期中）某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 0 1 2 回答下面问题： (1)这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克． (2)以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ 【答案】(1)千克 (2)不足千克 (3)元 【分析】本题考查了有理数在实际中的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于熟练掌握负数的含义并正确的运算． （1）根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解，然后作答即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：千克， 答：第8筐白萝卜实际质量为千克． （2）解：千克， 答：10筐白萝卜总计不足千克． （3）元， 答：售出这筐白萝卜可得元． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$