第02讲 一元二次方程的解法（配方法和公式法）（5大核心考点）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第02讲 一元二次方程的解法（配方法和公式法） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程； 2．会用公式法解数字系数的一元二次方程，并通过公式的推导，体会转化的思想。 1.解下列方程 （x+1）²=16 解：x+1=4或x+1=-4 ∴x1=3 x2=-5 2.再尝试一下下列方程 x²+2x=15 思路：去凑完全平方的形式 解： x²+2x=1=15+1 （两边同时架上1） （x+1）²=16 （写成完全平方公式） x+1=4或x+1=-4 ∴x1=3 x2=-5 3.配方法：把一个一元二次方程变形为（x+h）²=k（h，k为常数）的形式，当k≥0时，就可以用直接开平放法求出方程的解，这种一元二次方程的解法叫做配方法。 配方法的解题步骤： 步骤 方法 举例（2x²-7x+3=0） 一化 二次项系数化1 左、右两边同时除以二次项系数 二移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 四开 开平方求根 直接开平方法 4.用配方法求 解： 我们把（b²-4ac≥0）称为一元二次方程的求根公式。，把一元二次方程中各项系数a、b、c的值直接代入这个公式，就可以求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 5.公式法的步骤 步骤 方法 举例（2x²-7x=-3） 第一步 把方程化为一般形式 确定a、b、c的值； 先变成2x²-7x+3=0 ∵a=2 b=-7 c=3 第二步 求出b²-4ac的值 b²-4ac=49-24=25＞0 第三步 当b²-4ac≥0时，把a、b及b²-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；当b²-4ac＜0，方程没有实数根。 6.根的判别式 式子b²-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用它可以直接判断一元二次方程的根的情况。 的根的情况 回答方式 b²-4ac＞0 有两个不相等的实数根 X1= ，X2= b²-4ac=0 有两个相等的实数根 X1=X2= b²-4ac＜0 没有实数根 原方程无解 考点一：配方法 例1．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 故选：A． 【变式1-1】用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法进行计算即可求解，熟练掌握配方法是解题关键． 【详解】解： ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-2】把关于的一元二次方程 配方，得 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方得，进而得出，即可求解． 【详解】解： 配方，得 ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（1）解方程：； （2）用配方法解方程：． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解法和配方法，熟练其解法是解题的关键． （1）由得，或，即可求解； （2）将，配方得，即，开方后即可求解； 【详解】解：（1）， 或， 解得：，； （2）， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． 考点二：根的判别式 例2．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算根的判别式的值得到，再由非负数的性质可判断，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 【变式2-1】一元二次方程解的情况，下列说法正确的是（    ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程无实数根 D．方程有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是正确理解一元二次方程的根与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的值判断根的情况． 【详解】解：由得：， ，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【变式2-2】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴ 解得，， 故答案为： ． 【变式2-3】已知关于的方程． (1)若方程的一个实根是3，求实数的值． (2)求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）将代入方程，进行求解即可； （2）求出判别式的符号，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）∵， ∴ ； ∴无论取什么实数，方程总有实数根． 考点三：根据根的情况求解 例3.已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 【变式3-1】关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式与方程解的情况的关系，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根，即，得出关于m的一元一次不等式，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴ 解得． 故选：B． 【变式3-2】若关于x的一元二次方程有两个不等实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，根的判别式大于0， “二次项系数不为0”，是解决问题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到且，解不等式即可． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 【变式3-3】已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用配方法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为， 配方，得， 解得； （2）解：∵该方程有实数根， ∴， 解得， 即若该方程有实数根，的取值范围是． 考点四：公式法 例4．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 【变式4-1】对于实数，，定义运算“※”：※，如※．若※，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据新定义算法，得到，即可求解， 本题考查了，新定义运算，解一元二次方程，解题的关键是：理解新定义运算法则． 【详解】解：※， 即：，解得：或， 故选：． 【变式4-2】欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则的长是该方程的一个正根．当，时，的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的应用，将，代入中，解方程即可得解，熟练掌握求根公式法解方程是解本题的关键． 【详解】将，代入中得， 解方程得，， ∵的长是方程的一个正根， ∴的长为：， 故答案为：． 【变式4-3】解方程 (1)； (2) 【答案】（1）  （2）， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法， （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法． 【详解】解：（1） 解得：； （2） ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ，． 考点五：配方法的应用 例5．已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，把变形为，即可求解． 【详解】解：点是反比例函数图象上一点， ，， ， ， 当，时，有最小值为， 故选：A． 【变式5-1】问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴所以的最小值为， 故选：B． 【变式5-2】若，则M的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解和配方法，将原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式进行进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 当时，原式取最小值2， 故答案为：2． 【变式5-3】阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)已知：，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用， （1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （2）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，即可得解． 掌握非负数性质及完全平方公式是解题的关键，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【详解】（1）解：∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴代数式的最大值为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 1．若一元二次方程有实数根，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系：①当 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当 时，方程有两个相等的两个实数根；③当 时，方程无实数根，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系即可得出答案． 【详解】原方程可变形为， 方程有实数根， ， 故选：B 2．关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A 3．关于x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后求出不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故选：B． 4．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故选：D． 5．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．1 B．11和13 C．11或8 D．13 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边的关系，先解方程求出方程的解，然后利用三角形的三边关系判断解得情况，并计算三角形的周长即可． 【详解】解方程得或， 当时，，不能构成三角形； 当时，这个三角形的周长是， 故选D． 6．如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、于E，F两点，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于（    ） A．24 B．18 C．16 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，一元二次方程的解法，如图，延长交轴于，求解反比例函数为：，证明，设正方形的边长为，可得，再解方程可得答案．熟练的利用图形面积建立方程是解本题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， 设正方形的边长为，， ∴，， ∴， 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴正方形的面积为． 故选：C． 7．对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（   ） ①若，则有两个相等的实数根； ②存在三个实数，使得； ③若与方程的解相同，则． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程，根据根的判别式判断①；根据一元二次方程(为常数)最多有两个解判断②；将方程的解代入即可判断③． 【详解】解：①， 方程有两个相等的实数根． ①正确； ②一元二次方程（为常数）最多有两个解， ②错误； ③方程的解为， 将代入得，即：， 将代入得，即：， ∴，则， 即： ③正确． 故选：B． 8．方程不相等的实数根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，将作为一个整体，解方程，再根据根的判别式，进行判断，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 当时，，方程由两个相等的实数根； 当时，，方程没有实数根； 故选A． 9．已知是关于的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】根据是关于的一元二次方程的一个根得到的值，进而解答即可．本题考查了一元二次方程的根，因式分解解一元二次方程，掌握一元二次方程的根的概念是解题的关键 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴解得：， ∴一元二次方程的一般式为， ∴解得，， ∴这个方程的另一个根为， 故答案为． 10．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即的取值范围为． 故答案为： 11．用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．根据配方法的一般步骤，将配方为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即 ∴． 故答案为：20． 12．已知实数、满足等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想． 将看作一个整体，然后用换元法解方程即可． 【详解】解：设，则有： ， 解得，； ， 故． 故答案为：4． 13．对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】根据新定义，分类计算即可． 本题考查了新定义运算，正确理解运算是解题的关键． 【详解】当时， 变形得， 整理，得， 解得（舍去）． 当时， 变形得， 解得（舍去）． 故答案为：3． 14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于 A、B两点上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，在反比例函数第三象限的图象上存在一点P，使点P到直线的距离最短，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次根式的运算，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据反比例函数确定点A、B坐标，利用待定系数法求出次函数解析式，过点点P作直线，当直线与反比例函数只有一个交点时，点P到直线的距离最短，联立求解将问题转化为一元二次方程，利用判别式，构建方程求解即可． 【详解】解：反比例函数过点A、B，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1， ，， 一次函数过点A、B， ， 解得， 一次函数解析式为， 过点P作直线， 当直线与反比例函数只有一个交点时，点P到直线的距离最短，设直线的解析式为， 点P为直线与反比例函数的交点， ，即， ， 即，解得（不合题意，舍去）或， ，解得， 当时，， 点P的坐标为． 15．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法或公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 配方，得：， 即， 开方，得， ∴，； （2）， 移项，得：， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据判别式大于0即可求出答案． （2）先求出的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ； （2）解：由（1）可知：， 此时方程为：， ， ，． 17．附加题 (1)试用一元二次方程的求根公式，探索方程的两根互为相反数的条件是　　． (2)已知、为实数，，则　　． (3)在直角梯形中，，度，，，，动点从点出发，沿线段方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点从点出发，在线段以每秒1个单位长度的速度向点运动．点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． ①设的面积为，求和之间的函数关系式； ②当为何值时，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形？（分类讨论） 【答案】(1)，且，异号 (2) (3)①；②或，、、三点为顶点三角形是等腰三角形 【分析】本题考查了根与系数的关系；根式和完全平方式的意义；三角形面积公式及勾股定理的应用． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，可求出； （2）先将原式变形为，再根据二次根式与平方都是非负数，即可求得，，即可求得． （3）①作，则，根据三角形的面积公式即可求解． ②若以、、三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：第一种：；第二种：；第三种：若．根据勾股定理可求得或，、、三点为顶点三角形是等腰三角形． 【详解】（1）解：依题意可知：， ． 并且判别式△，则，异号． 故方程的两根互为相反数的条件是：，且，异号． 故答案为：，且异号； （2）解：， 即， ，， ，， ． 故答案为：； （3）解：①作，垂足为．则四边形为矩形． ， ． ②由①可知，， 若以、、三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： 第一种：，在中， 则，解． 第二种：，在中，， 则， 整理得， ∵， ∴方程无实根， ． 第三种：若，由得，解得，（舍去） 综上可知：或，、、三点为顶点三角形是等腰三角形． 18．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值是7 (3)， 【分析】本题考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式． （1）利用配方法，把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式，再利用平方差公式进行分解因式即可； （2）利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次方的非负性，求出答案即可； （3）利用分组法把等式的左边分解因式，然后根据偶次方非负性，列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， 当时，多项式有最大值，最大值是7； （3）解：， ， ， ，， 解得，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一元二次方程的解法（配方法和公式法） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程； 2．会用公式法解数字系数的一元二次方程，并通过公式的推导，体会转化的思想。 1.解下列方程 （x+1）²=16 2.再尝试一下下列方程 x²+2x=15 思路：去凑完全平方的形式 解： （两边同时架上1） （写成完全平方公式） 3.配方法：把一个一元二次方程变形为（x+h）²=k（h，k为常数）的形式，当k≥0时，就可以用直接开平放法求出方程的解，这种一元二次方程的解法叫做配方法。 配方法的解题步骤： 步骤 方法 举例（2x²-7x+3=0） 一化 二次项系数化1 左、右两边同时除以二次项系数 二移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 四开 开平方求根 直接开平方法 4.用配方法求 解： 我们把（b²-4ac≥0）称为一元二次方程的求根公式。，把一元二次方程中各项系数a、b、c的值直接代入这个公式，就可以求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 5.公式法的步骤 步骤 方法 举例（2x²-7x=-3） 第一步 把方程化为一般形式 确定a、b、c的值； 先变成2x²-7x+3=0 ∵a=2 b=-7 c=3 第二步 求出b²-4ac的值 b²-4ac=49-24=25＞0 第三步 当b²-4ac≥0时，把a、b及b²-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；当b²-4ac＜0，方程没有实数根。 6.根的判别式 式子b²-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用它可以直接判断一元二次方程的根的情况。 的根的情况 回答方式 b²-4ac＞0 有两个不相等的实数根 X1= ，X2= b²-4ac=0 有两个相等的实数根 X1=X2= b²-4ac＜0 没有实数根 原方程无解 考点一：配方法 例1．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式1-2】把关于的一元二次方程 配方，得 ，则 ． 【变式1-3】（1）解方程：； （2）用配方法解方程：． 考点二：根的判别式 例2．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式2-1】一元二次方程解的情况，下列说法正确的是（    ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程无实数根 D．方程有一个实数根 【变式2-2】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【变式2-3】已知关于的方程． (1)若方程的一个实根是3，求实数的值． (2)求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 考点三：根据根的情况求解 例3.已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式3-2】若关于x的一元二次方程有两个不等实数根，则k的取值范围是 ． 【变式3-3】已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 考点四：公式法 例4．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】对于实数，，定义运算“※”：※，如※．若※，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式4-2】欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则的长是该方程的一个正根．当，时，的长为 ． 【变式4-3】解方程 (1)； (2) 考点五：配方法的应用 例5．已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【变式5-1】问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【变式5-2】若，则M的最小值为 ． 【变式5-3】阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)已知：，，求代数式的值． 1．若一元二次方程有实数根，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 3．关于x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 4．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 5．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．1 B．11和13 C．11或8 D．13 6．如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、于E，F两点，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于（    ） A．24 B．18 C．16 D．12 7．对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（   ） ①若，则有两个相等的实数根； ②存在三个实数，使得； ③若与方程的解相同，则． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．方程不相等的实数根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知是关于的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根为 ． 10．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为 ． 11．用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是 ． 12．已知实数、满足等式，则 ． 13．对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ． 14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于 A、B两点上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，在反比例函数第三象限的图象上存在一点P，使点P到直线的距离最短，则点P的坐标为 ． 15．解方程： (1)； (2)． 16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 17．附加题 (1)试用一元二次方程的求根公式，探索方程的两根互为相反数的条件是　　． (2)已知、为实数，，则　　． (3)在直角梯形中，，度，，，，动点从点出发，沿线段方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点从点出发，在线段以每秒1个单位长度的速度向点运动．点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． ①设的面积为，求和之间的函数关系式； ②当为何值时，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形？（分类讨论） 18．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$