第23讲 锐角三角函数的应用（5大核心考点）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第23讲 锐角三角函数的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题； 2．通过把实际问题转化成有关直角三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想、培养分析问题、解决问题的能力。 1.锐角三角函数揭示了直角三角形的边与角的关系，在许多实际问题中，我们可以根据其中的数量关系或位置关系找出（或构造出）一个直角三角形，利用锐角三角函数的相关知识解决问题。 2.在上一章做题过程中，其实我们已经接触了一点应用，这边再总结一下几个经典的应用类型： （1） 坡度：； 坡角:. 　　　　　 小试牛刀：如图，河堤的堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤底的宽度的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据坡比是，即可求解． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， （2）方位角： 　　　　　 小试牛刀：数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处测得河的北岸点在其北偏东方向，然后向西走80米到达点，测得点在点的北偏东方向，求河宽．（结果精确到，参考数据，，，，，）    【答案】米 【详解】解：过作于，设米，    在中， 即， ， 在中， ， 即， ， 解得分， （米）． 答：河宽大约为72.6米． （3）仰角与俯角： 　　　　　 小试牛刀：如图，热气球在A处测得一栋楼的楼顶端B的仰角，楼底部C的俯角，若点A到这栋楼的距离米，则这栋楼的高度为（   ）（结果精确到米；参考数据：）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：如图，    由题意可知：， ， ， ， 3.用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是： （1）把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系． （2）借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题． （3）当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解。 考点一：仰角、俯角问题 例1．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（    ） A．51米 B．米 C．米 D．米 【变式1-1】某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（    ）米 A．20 B．15 C．12 D． 【变式1-2】智能测量是一款非常有创意且使用性很高的手机测距软件，它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积，测量过程非常简单．如图①，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与雕像垂直于底面，若手机显示，，，则雕像的高度为 ；（结果保留1位小数，参考数据，，，） 【变式1-3】在郑州之林公园内有一座如意雕塑(图1)，它挺拔矗立在前端，展现出了郑东新区的美好蓝图与如意和谐的愿望．综合实践小组想按如图2 所示的方案测量如意雕塑的高度 EF：①在如意雕塑前的空地上确定测量点A，当测量器高度为时，测得如意雕塑最高点E的仰角 ；②保持测量器位置不变，调整测量器高度为 时，测得点E的仰角， 已知点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度．(结果精确到1m ．参考数据： 考点二：方位角问题 例2 ．如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为（     ）． A． B． C． D． 【变式2-2】如图，一艘轮船位于灯塔Р的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔Р的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔Р的距离约为 海里．（参考数据：，，，结果保留整数） 【变式2-3】如图，早上一渔船以海里/时的速度从海港出发沿正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，航行个小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向，同时测得灯塔正东方向的避风港在的北偏东方向上． (1)填空：______； (2)求海港与灯塔之间的距离；（结果保留根号） (3)天气预报显示台风将登陆渔船所在海域，渔船立即沿方向加速驶向避风港．出于安全考虑，渔船至少需要比台风到达所在海域的时刻提前个小时抵达避风港，求渔船加速后的最小速度．（结果精确到，参考数据：，，） 考点三：坡角、坡比问题 例3.如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为（　）． A．米 B． 米 C．米 D． 米 【变式3-1】如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，有一个小山坡，坡比为．已知小山坡的垂直高度，则小山坡斜面的长是 m． 【变式3-3】如图，某路段路旁有一盏路灯，灯杆的正前方有一斜坡，已知斜坡的长为4m，坡度，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为28°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为60°，，点，，，，，在同一平面上． (1)求灯杆的高度；（结果保留根号） (2)求的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，，） 考点四：与圆结合问题 例4．如图，简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了简车的工作原理，简车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆的半径长为6米，．则简车盛水桶到达的最高点C到水面的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】我国魏晋时期的数学家刘徽年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，，割得越细，正多边形就越接近圆．设圆的半径为，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十二边形的周长，计算；那么分割到圆内接正二十四边形后，通过计算可以得到圆周率　 　．（参考数据：， 【变式4-3】如图是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是，高为．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径、以及、组成的轴对称图形，直线为对称轴，点、分别是、的中点，如图，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角，发现并证明了点在上．请你继续跟着小明的思路，完成下列问题吗： (1)请求出所在的圆的半径； (2)计算的长． 参考数据：，，，，，． 考点五：解非直角三角形 例5 ．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 【变式5-1】如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，tan∠ABC＝，AD∥BC，且AD＝2BC．动点P从点B出发以1cm/s的速度沿线段BD向终点D匀速运动，1秒后动点Q从点D出发以2cm/s的速度沿线段DA向终点A匀速运动，设点P运动的时间为t（s）． (1)直接写出当t＝　 　时，△PQD与△ABD相似； (2)点Q出发后，设四边形ACPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数表达式； (3)当PQ⊥AB时，求t的值； (4)若以QD、QP为边作□DQPE，在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠DAB的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 1．如图，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，一根3m长的木头斜靠在垂直于地面的墙上，当端点A离地面的高度为1m时，木头的倾斜角的余弦的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将一扇车门侧开，车门和车身的夹角为，车门的底边长为0.95米，则车门底边上点N到车身的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．0.95米 4．如图，某市准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（    ）    A． B． C． D． 5．某景区为提供更好的游览体验，在景区内修建了观光索道，设计如图所示，以山脚A为起点，沿途修建长度分别为，的两段索道和及观景平台，已知索道与的夹角是，与的延长线的夹角是，则点D到的距离是（   ）（米） A． B． C． D． 6．如图，水库边有一段长300米，高8米的大坝，大坝的横截面为梯形，其中，背水坡坡角．现要对大坝进行维修，维修方案是：将大坝上底加宽2米，并使背水坡坡角为，则维修此大坝需要土石（  ）立方米． A． B． C． D． 7．利用投影灯测量计算坡比．如图，投影灯的下边缘光线落在坡脚点B处，上边缘光线落在斜坡点C处，此时投影灯O离地面距离为1.5m，离坡角B点水平距离为5m．将投影灯往上平移，上下边缘的光线，，恰好落在斜坡D，C处，此时投影灯向上平移了0.9米，现测得，则斜坡的坡比为（    ） A． B． C． D． 8．某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡坡角，斜坡高米，是平行于水平地面的一个平台、小华想利用所学知识测量古塔的高度，她在平台的点处水平放置一平面镜，她沿着方向移动，当移动到点时，刚好在镜面中看到古塔顶端点的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离米，米，米，米，已知，根据题中提供的相关信息，古塔的高度约为（参考数据：）（　　　） A． B． C． D． 9．为了给山顶供水，决定在山脚A处开始沿山坡铺设水管．现测得斜坡与水平面所成角为，为使出水口高度为35m，那么需要准备 长的水管．（结果保留整数）（） 10．如图，已知传送带与地面所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面米高的地方，那么物体所经过的路程为 米． 11．某中学开展综合与实践活动，小宇所在的小组负责测量该校附近的山坡的护坡石坝坝顶与坝脚之间的距离，如图，他们的测量方法如下：小宇将一根长5米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处米）距离地面的高度米，小组其他同学测得石坝与地面的倾斜角．请你根据以上信息，求出石坝坝顶与坝脚之间的距离．（结果保留一位小数；参考数据：，， 12．某型号飞机的机翼形状如图所示，，根据图中数据计算得到的长度是 ．（精确到米，参考数据：，） 13．如图，两座建筑物的水平距离 为，从点测得 点的俯角为 ，测得 点的俯角为 则较低建筑物的高度是 ．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 14．如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为 m．（精确到，参考数据：，，）    15．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过．在一条笔直公路的上方A处有一探测仪，如图所示的平面几何图，，，第一次探测到一辆轿车从点B匀速向点D行驶，测得，2秒后到达C点，测得（，，结果精确到）． (1)求点B，C之间的距离； (2)通过计算，判断此轿车是否超速． 16．如图，在A，B两地之间有一座小山，计划在A，B两地之间修一条隧道，为了测量A，B两地的距离，首先让一无人机从地面的C点出发，竖直向上飞行，当无人机在D点处测得此时离地面垂直高度为，此时C点在直线上，并且测得A点的俯角为，B点的俯角为．请根据测得的数据求A，B两地的距离．（结果精确到，参考数据：，） 17．五一期间，刘老师带领数学兴趣小组的同学们对其中一棵桑树的高度进行了相关测量．如图，他们先在地面上的A处测得桑树树顶C点的仰角为，然后向桑树的正下方前进6米后到达B处，测得桑树树顶C点的仰角为，已知测角仪和的高度为1米，请你根据相关数据计算出桑树的高度．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可） 18．【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图 【问题解决】（1）计算，两点间的距离． （参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形    ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23讲 锐角三角函数的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题； 2．通过把实际问题转化成有关直角三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想、培养分析问题、解决问题的能力。 1.锐角三角函数揭示了直角三角形的边与角的关系，在许多实际问题中，我们可以根据其中的数量关系或位置关系找出（或构造出）一个直角三角形，利用锐角三角函数的相关知识解决问题。 2.在上一章做题过程中，其实我们已经接触了一点应用，这边再总结一下几个经典的应用类型： （1） 坡度：； 坡角:. 　　　　　 小试牛刀：如图，河堤的堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤底的宽度的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据坡比是，即可求解． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， （2）方位角： 　　　　　 小试牛刀：数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处测得河的北岸点在其北偏东方向，然后向西走80米到达点，测得点在点的北偏东方向，求河宽．（结果精确到，参考数据，，，，，）    【答案】米 【详解】解：过作于，设米，    在中， 即， ， 在中， ， 即， ， 解得分， （米）． 答：河宽大约为72.6米． （3）仰角与俯角： 　　　　　 小试牛刀：如图，热气球在A处测得一栋楼的楼顶端B的仰角，楼底部C的俯角，若点A到这栋楼的距离米，则这栋楼的高度为（   ）（结果精确到米；参考数据：）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：如图，    由题意可知：， ， ， ， 3.用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是： （1）把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系． （2）借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题． （3）当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解。 考点一：仰角、俯角问题 例1．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（    ） A．51米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作，延长交的延长线于，由三角函数得 ，，，即可求解；掌握解直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，延长交的延长线于， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (米)， 故选：C． 【变式1-1】某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（    ）米 A．20 B．15 C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，则四边形为矩形，设，而，可得，，结合，再解方程即可． 【详解】解：如图，过作于， 依题意， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，而， ∴， ∵， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 故选B 【变式1-2】智能测量是一款非常有创意且使用性很高的手机测距软件，它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积，测量过程非常简单．如图①，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与雕像垂直于底面，若手机显示，，，则雕像的高度为 ；（结果保留1位小数，参考数据，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造的直角三角形． 过点作与，在中，求出的长，在中，求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作与， 在中，， ∴， ∴， ， 在中，． 故答案为：4.2． 【变式1-3】在郑州之林公园内有一座如意雕塑(图1)，它挺拔矗立在前端，展现出了郑东新区的美好蓝图与如意和谐的愿望．综合实践小组想按如图2 所示的方案测量如意雕塑的高度 EF：①在如意雕塑前的空地上确定测量点A，当测量器高度为时，测得如意雕塑最高点E的仰角 ；②保持测量器位置不变，调整测量器高度为 时，测得点E的仰角， 已知点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度．(结果精确到1m ．参考数据： 【答案】如意雕塑的高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 延长交于，延长交于， 根据矩形的性质得到米，米，，米， 解直角三角形即可得到结论. 【详解】延长交于，延长交于， 则米，米，， ∴米， 设米， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴(米)， ∴(米)， 答：如意雕塑的高度约为米. 考点二：方位角问题 例2 ．如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的计算，结合图象，得出相应的角度，然后依次判断即可 【详解】解：A、根据图象得， ∴，选项错误，不符合题意； B、根据图象得， ∴，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：B 【变式2-1】如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题．过点作于点，依题意，得，，设，根据三角函数得，，再列方程求出的值即可． 【详解】解：如图过点作于点， 由题意，得，，， ， ， ， ， 在中， 在中， ， ，设， ， ，， 解得：， ， 故选：A． 【变式2-2】如图，一艘轮船位于灯塔Р的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔Р的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔Р的距离约为 海里．（参考数据：，，，结果保留整数） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 由题意可得 海里， 则，在中，利用正弦函数求解即可． 【详解】如图所示标注字母， 根据题意得， 海里， ， ， 在中， ， ∴(海里)， 即：此时与灯塔的距离约为海里. 故答案为： . 【变式2-3】如图，早上一渔船以海里/时的速度从海港出发沿正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，航行个小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向，同时测得灯塔正东方向的避风港在的北偏东方向上． (1)填空：______； (2)求海港与灯塔之间的距离；（结果保留根号） (3)天气预报显示台风将登陆渔船所在海域，渔船立即沿方向加速驶向避风港．出于安全考虑，渔船至少需要比台风到达所在海域的时刻提前个小时抵达避风港，求渔船加速后的最小速度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)海里 (3)海里/时 【分析】（1）根据在处测得灯塔在北偏东求解； （2）过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，先证明，算出的值后，通过三角函数可求的值； （3）根据速度路程时间即可求． 【详解】（1）在处测得灯塔在北偏东方向上 故答案为：30 （2）如图，过点、分别作的垂线，交的延长线于点、， ． 在中   ，． 在中   （海里）． 答：海港与灯塔之间的距离是海里； （3） 是等腰直角三角形 ． 加速后的最小速度为：（海里/时） 答：渔船加速后的最小速度海里/时． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数、方位角、等腰三角形的性质以及三角形外角的定义与性质等，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 考点三：坡角、坡比问题 例3.如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为（　）． A．米 B． 米 C．米 D． 米 【答案】A 【分析】本题主要考查了坡度，熟知坡度是坡面的垂直高度和水平距离的比成为解题的关键． 先根据题意画出图形，再根据的坡度即为，然后根据勾股定理列方程即可求出的长． 【详解】解：如图：由题意可知, ∵坡度， ∴, 设，则， ∵, ∴，解得：． ∴． 故选A． 【变式3-1】如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，在中，已知坡面的坡比以及铅直高度的值，通过解直角三角形即可求出斜面的长．正确理解坡比的意义是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴坡面的长度为． 故选：B． 【变式3-2】如图，有一个小山坡，坡比为．已知小山坡的垂直高度，则小山坡斜面的长是 m． 【答案】160 【分析】本题考查了坡度角的知识，勾股定理，根据坡度角求出的长，再利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：小山坡的坡比为，， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】如图，某路段路旁有一盏路灯，灯杆的正前方有一斜坡，已知斜坡的长为4m，坡度，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为28°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为60°，，点，，，，，在同一平面上． (1)求灯杆的高度；（结果保留根号） (2)求的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，，） 【答案】(1)的高度为 (2)的长约为10.1m 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比． （1）延长交于点，过点作于点，根据坡度的概念得到，根据含的直角三角形的性质、勾股定理分别求出、，进而求出，根据正切的定义求出，进而求出； （2）根据正切的定义求出，进而求出． 【详解】（1）解：如图，延长交于点，过点作于点． ∵，坡角为， ∴， ∴． 在中，， ∴，． 由题意可知，四边形是矩形， ∴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴， 即灯杆的高度为． （2）解：在中，，， ∵， ∴． ∵， ∴， 即的长约为10.1m． 考点四：与圆结合问题 例4．如图，简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了简车的工作原理，简车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆的半径长为6米，．则简车盛水桶到达的最高点C到水面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形是解题的关键．由题意和垂径定理得，利用锐角三角函数求得，再由求解即可． 【详解】解：连接并延长交于点E， 由题意得，， 在中，，即， ∴， ∴简车盛水桶到达的最高点C到水面的距离是， 故选：B． 【变式4-1】如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、解直角三角形，三个等圆的圆心分别为，连接、、，作于，交地面于，交上面圆于点，得出，从而得出，再根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，三个等圆的圆心分别为，连接、、，作于，交地面于，交上面圆于点， ， ，，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式4-2】我国魏晋时期的数学家刘徽年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，，割得越细，正多边形就越接近圆．设圆的半径为，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十二边形的周长，计算；那么分割到圆内接正二十四边形后，通过计算可以得到圆周率　 　．（参考数据：， 【答案】3.12 【分析】求出正24边形的周长，再根据计算即可解决问题． 【详解】解：圆内接正二十四边形的周长， 则， 故答案为3.12 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正多边形与圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式4-3】如图是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是，高为．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径、以及、组成的轴对称图形，直线为对称轴，点、分别是、的中点，如图，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角，发现并证明了点在上．请你继续跟着小明的思路，完成下列问题吗： (1)请求出所在的圆的半径； (2)计算的长． 参考数据：，，，，，． 【答案】(1)所在的圆的半径为 (2)的长为 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称的性质、解直角三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）连接，交于点，设直线交于点，根据圆周角定理可得，解，根据，得出，进而求得的长即可； （2）解，根据，得出，进而求得、，根据该图形为轴对称图形，圆凳的上、下底面圆的直径都是，求出，根据、，得出答案即可． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点，设直线交于点， ∵是的中点，点在上， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵直线是对称轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴，即所在的圆的半径为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵该图形为轴对称图形，直线为对称轴，圆凳的上、下底面圆的直径都是， ∴， ∴， ∴． 考点五：解非直角三角形 例5 ．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 【答案】B 【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果． 【详解】如图， 作于，作于， 在Rt中，， 在Rt中，，， ， 在Rt中，设， 在Rt中，， ， 由得， ， ， ， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 【变式5-1】如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得． 【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键． 【变式5-2】如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，tan∠ABC＝，AD∥BC，且AD＝2BC．动点P从点B出发以1cm/s的速度沿线段BD向终点D匀速运动，1秒后动点Q从点D出发以2cm/s的速度沿线段DA向终点A匀速运动，设点P运动的时间为t（s）． (1)直接写出当t＝　 　时，△PQD与△ABD相似； (2)点Q出发后，设四边形ACPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数表达式； (3)当PQ⊥AB时，求t的值； (4)若以QD、QP为边作□DQPE，在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠DAB的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)存在， 【分析】（1）求出，，过点作于，则四边形是矩形，得出，，证明是等腰三角形，得出，，分两种情况： ①当时，，得出，即可得出结果； ②当时，，得出，即可得出结果； （2）连接，过点作于，于，过点作于，则四边形、四边形都是矩形，得出，，，，则，求出，，，，由题意得，且，则，由，即可得出结果； （3）时，求出，代入、的值即可得出结果； （4）延长交于，过点作于，证明，，，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解： ，， ， 设，，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ， ，， 过点作于，如图1所示： 则四边形是矩形， ，， ， ， 是等腰三角形， ，， 分两种情况：①当时，， ， ， ，， ， 解得：； ②当时，， ， ，即， 解得：； 故答案为：或； （2）解：连接，过点作于，于，过点作于，如图2所示： 则四边形、四边形都是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ，， 由题意得：，且， ， ； （3）解：若，则， ， ， ， ，， ， 解得：； （4）解：存在，延长交于，过点作于，如图3所示： 平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数定义、三角形面积的计算、分类讨论等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数定义是解题的关键． 1．如图，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题得关键，在中，由三角函数关系即可得解． 【详解】解：由题意，在中，，由三角函数关系可知， （米）． 故选． 2．如图，一根3m长的木头斜靠在垂直于地面的墙上，当端点A离地面的高度为1m时，木头的倾斜角的余弦的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是将题目中的条件进行转化，得到所求问题需要的条件即的长． 根据题意可以求得的长度，从而可得的值． 【详解】解：由题意可知，在中，， ， ， 故答案为：A． 3．如图，将一扇车门侧开，车门和车身的夹角为，车门的底边长为0.95米，则车门底边上点N到车身的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．0.95米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．过点N作于点H，则的长为车门底边上点N到车身的距离，根据三角函数作答即可． 【详解】解：过点N作于点H，则的长为车门底边上点N到车身的距离， 在中，米，， ∴米， 故选：A． 4．如图，某市准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解答此类题目的关键．在中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边的长度． 【详解】解：在中，， 设，， 则， 又∵， ∴，解得：， ∴； 故选C． 5．某景区为提供更好的游览体验，在景区内修建了观光索道，设计如图所示，以山脚A为起点，沿途修建长度分别为，的两段索道和及观景平台，已知索道与的夹角是，与的延长线的夹角是，则点D到的距离是（   ）（米） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，延长交于H，先解得到，再证明四边形是矩形，米，再解，得到米，则． 【详解】解；如图所示，延长交于H， 在中，， ∴米， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴米， ∴， 故选：A． 6．如图，水库边有一段长300米，高8米的大坝，大坝的横截面为梯形，其中，背水坡坡角．现要对大坝进行维修，维修方案是：将大坝上底加宽2米，并使背水坡坡角为，则维修此大坝需要土石（  ）立方米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，矩形的判定与性质，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，进而求出，根据梯形的面积公式求出梯形的面积，进而求出需要土石的立方数． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 米，米， 在中，，米， 则米， 在中，，米， ， （米）， 米， 维修此大坝需要土石：（立方米）， 故选：D． 7．利用投影灯测量计算坡比．如图，投影灯的下边缘光线落在坡脚点B处，上边缘光线落在斜坡点C处，此时投影灯O离地面距离为1.5m，离坡角B点水平距离为5m．将投影灯往上平移，上下边缘的光线，，恰好落在斜坡D，C处，此时投影灯向上平移了0.9米，现测得，则斜坡的坡比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】勾股定理求出的长，利用平移的性质，推出，得到，求出的长，延长交的延长线于点，作于点，证明，得到，求出的长，进而得到的长，证明，得到，求出的长，再利用坡度等于，求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 延长交的延长线于点，作于点，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 即：斜坡的坡比为； 故选B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，勾股定理以及平移的性质，本题的难度较大，属于压轴题，解题的关键是构造相似三角形． 8．某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡坡角，斜坡高米，是平行于水平地面的一个平台、小华想利用所学知识测量古塔的高度，她在平台的点处水平放置一平面镜，她沿着方向移动，当移动到点时，刚好在镜面中看到古塔顶端点的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离米，米，米，米，已知，根据题中提供的相关信息，古塔的高度约为（参考数据：）（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切定义求出CE，延长GD交AB于点H，则BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），证明△AHG∽△MNG，求出AH的长，则可求出答案． 【详解】解：在Rt△CDE中，tan∠DCE， ∴0.9， ∴CE＝2， 延长GD交AB于点H， 则BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米）， ∵∠AHG＝∠MNG＝90°，∠AGH＝∠MGN， ∴△AHG∽△MNG， ∴， 即， ∴AH＝19.5（米）， ∴AB＝AH+HB＝21.3（米）． 答：古塔的高度AB为21.3米． 故选：C． 【点睛】此题考查了解直角三角形应用﹣坡度坡角问题，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 9．为了给山顶供水，决定在山脚A处开始沿山坡铺设水管．现测得斜坡与水平面所成角为，为使出水口高度为35m，那么需要准备 长的水管．（结果保留整数）（） 【答案】113 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解直角三角形进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：113． 10．如图，已知传送带与地面所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面米高的地方，那么物体所经过的路程为 米． 【答案】 【分析】 此题考查了坡度坡角问题，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义． 根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：由题意得：斜坡的坡度：，米，， ， ， 中，米， 故物体所经过的路程为米． 故答案为：． 11．某中学开展综合与实践活动，小宇所在的小组负责测量该校附近的山坡的护坡石坝坝顶与坝脚之间的距离，如图，他们的测量方法如下：小宇将一根长5米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处米）距离地面的高度米，小组其他同学测得石坝与地面的倾斜角．请你根据以上信息，求出石坝坝顶与坝脚之间的距离．（结果保留一位小数；参考数据：，， 【答案】4.2米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于，根据平行线分线段成比例定理定理求出，再根据正弦的定义求出． 【详解】解：如图，过点作于， 则， ∴ ， 米，米，米， ， 解得：， 在中，， ， （米）， 答：石坝坝顶与坝脚之间的距离约为4.2米． 12．某型号飞机的机翼形状如图所示，，根据图中数据计算得到的长度是 ．（精确到米，参考数据：，） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，以及等腰直角三角形的性质，过点C作交的延长线于点E，过点B作交的延长线于点F．由等腰三角形的性质可得出，由勾股定理求出，解求出，根据即可求出答案． 【详解】如图所示，过点C作交的延长线于点E，过点B作交的延长线于点F． 在中，，， ∴． 在中，， ， ∴ 故答案为：． 13．如图，两座建筑物的水平距离 为，从点测得 点的俯角为 ，测得 点的俯角为 则较低建筑物的高度是 ．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过作于，在和中，利用正切定义可求得和的长度，进而求得的长度． 【详解】解：过点作于，如图所示， 由题意知，四边形为矩形， ，，，． 在中，(米)， 在中，米， 米． 答：建筑物的高度为米． 故答案为：． 14．如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为 m．（精确到，参考数据：，，）    【答案】17 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于点H，则，    由题意知， 在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ， 故答案为：17． 15．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过．在一条笔直公路的上方A处有一探测仪，如图所示的平面几何图，，，第一次探测到一辆轿车从点B匀速向点D行驶，测得，2秒后到达C点，测得（，，结果精确到）． (1)求点B，C之间的距离； (2)通过计算，判断此轿车是否超速． 【答案】(1)点B，C之间的距离为 (2)此轿车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用以及有理数除法的实际应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． （1）在直角三角形与直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出与的长，由求出的长即可； （2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断． 【详解】（1）解：在中，，， ∴，即． 在中，，， ∴，即． ∴． ∴点B，C之间的距离为． （2）根据题意，得． ∵， ∴此轿车没有超速． 16．如图，在A，B两地之间有一座小山，计划在A，B两地之间修一条隧道，为了测量A，B两地的距离，首先让一无人机从地面的C点出发，竖直向上飞行，当无人机在D点处测得此时离地面垂直高度为，此时C点在直线上，并且测得A点的俯角为，B点的俯角为．请根据测得的数据求A，B两地的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】 【分析】本题考查了解三角函数有关仰角俯角的实际应用，熟练掌握解三角形的方法是解题的关键．解求得，解求得，即可求出． 【详解】解：∵， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：，两地的距离约为． 17．五一期间，刘老师带领数学兴趣小组的同学们对其中一棵桑树的高度进行了相关测量．如图，他们先在地面上的A处测得桑树树顶C点的仰角为，然后向桑树的正下方前进6米后到达B处，测得桑树树顶C点的仰角为，已知测角仪和的高度为1米，请你根据相关数据计算出桑树的高度．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意可得：米，米，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：米，米， 设米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴米， ∴， 解得：， ∴米， ∴米， ∴桑树的高度为米． 18．【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图 【问题解决】（1）计算，两点间的距离． （参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形    ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 【答案】（1），两点间的距离为米；（2）② 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题的关键； （1）如图，过作于，先求解，，再求解及即可； （2）由全等三角形的判定方法可得，可得，从而可得答案. 【详解】解：如图，过作于， ∵米，，，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）； 即，两点间的距离为米； （2）∵，，当，，在同一条直线上时， ∴， ∴， ∴， ∴只需测量即可得到长度； ∴乙小组的方案用到了②； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$