精品解析：辽宁省沈阳市沈阳实验中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

2023—2024学年度（下）期中阶段 八年级数学学科教学质量数据采集 考试时间：100分钟 考试分价：120分 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．， ，故本选项不符合题意； B．， ，故本选项不符合题意； C．， ，故本选项不符合题意； D．， ， ，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得出正确答案． 【详解】根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”的原则， 故选项B、C不符合题意， 由于，故不包含空心圆点， 故选项D不符合题意，选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”的原则是解题的关键． 3. 如图，在中，，，，把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】解：把沿的方向平移到的位置，，，， ，，，， ∴， 、、C正确，D错误， 故选：． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键． 4. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：A，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B. 不中心对称图形，故此选项不符合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D.是中心对称图形， 故选：D 【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 5. 下列分式变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质作答． 【详解】解：A、分子分母开平方，等式不成立，原变形错误，故此选项不符合题意； B、分子分母都除以2，符合分式的基本性质，原变形正确，故此选项符合题意； C、分子分母都除以2时，分子有一项没有除以2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意； D、分子分母都减去2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0． 6. 下列现象中属于旋转的是（ ） A. 汽车在急刹车时向前滑动 B. 拧开水龙头 C. 雪橇在雪地里滑动 D. 电梯上升与下降 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案． 【详解】A．汽车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误； B．拧开水龙头属于旋转，故此选项正确； C．雪橇在雪地里滑动不是旋转，故此选项错误； D．电梯的上升与下降不是旋转，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义． 7. 如图，直线，以直线上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线、于点B、C，连接AC、若，则　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 根据题意得：， ， 直线， ， ， ． 故选B. 8. 如图，直线与相交于点，若点的横坐标为，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系， 根据函数图象找到当直线的函数图象在直线的函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的函数图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集为， 故选：B 9. 下面式子从左边到右边变形是因式分解的是（ ） A. x2－x－2＝x(x－1)－2 B. (a＋b)(a－b)＝a2－b2 C. x2+3x+2＝(x＋1)(x+2) D. x－2＝x(1－) 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可． 【详解】A项按因式分解的定义可知不是因式分解，故A项错误； B项按因式分解的定义可知不是因式分解，故B项错误； C项是把一个多项式化为几个整式的积的形式是因式分解，故B项正确； D项变形后含有分式，因此也不是因式分解，故D项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是因式分解的意义，解题的关键是熟练的掌握因式分解的意义． 10. 在平面直角坐标系中，线段的端点A的坐标是，将线段沿x轴正方向平移3个单位长度，得到线段，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形变化，根据题意可知，A的横坐标加3，纵坐标不变，得到点A的对应点的坐标为，即可． 【详解】解：∵A的坐标是，将线段沿x轴正方向平移3个单位长度， ∴横坐标加3，纵坐标不变，得到点A的对应点的坐标为，即， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集为_________________； 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解法即可得出. 【详解】 移项得 系数化为1得， 故答案为： 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解法是解题的关键. 12. 如果分式的值为零，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可得，且，即可求解． 【详解】解:根据题意,得，且， 解得. 故答案为:. 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，利用平方根定义解方程等知识，掌握以上知识是解题的关键． 13. 若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反证法的特点，假设结论的相反意义成立即可． 【详解】在中，若，则，则应假设， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反证法，正确理解反证法的证明思想是解题的关键． 14. 经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 15. 如图，在中，，D是边上的一个动点，连接，并将线段绕点A逆时针旋转后得线段，连接，在点D运动过程中，线段长度的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，在上取点，使，连接，先根据直角三角形的性质、勾股定理可得，根据等腰直角三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据旋转的性质可得，然后根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据垂线段最短可得当时，的长度最小，在中，解直角三角形即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，在上取点，使，连接， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 如图，由垂线段最短可知，当时，的长度最小， 在中，， 即线段长度的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形全等的判定定理与性质、旋转的性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 因式分解 （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解， （1）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解； （2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 利用数轴求出不等式组的解集 【答案】在数轴上表示见解析，． 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出两个不等式的解集，再求其公共解，解题的关键是掌握一元一次不等式组的求解方法． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 在数轴上表示解集为， ∴不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；-2 【解析】 【分析】先计算括号内的分式的减法运算，同时把除法转化为乘法，约分后可得化简的结果，再把代入化简后的代数式计算即可得到答案． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算是解题的关键． 19. 如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形的外部一点，且，过点D作交于点F，交于点E． （1）求证：垂直平分线段； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）由等边三角形，可得，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行证明即可； （2）由题意知，，由平行线的性质可得，则是等边三角形，，，由三角形外角的性质求，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 证明：∵等边三角形， ∴， 又∵， ∴垂直平分线段； 【小问2详解】 解：∵等边三角形， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质是解题的关键． 20. 作图： 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点） （1）画出向下平移3个单位后的 （2）画出关于点O的中心对称图形 （3）连接，请直接写出的长为________ 尺规作图： 作出一个，使得：①是直角三角形；②的周长等于边BC的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；尺规作图：见解析 【解析】 【分析】（1）作出点A、B、C向下平移3个单位后的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）作出点A、B、C关于点O的对称点、、，然后顺次连接即可； （3）根据勾股定理求出的长即可； 尺规作图：在上取点D，过点D作的垂线，在垂线上取点E使，连接，作的垂直平分线，交于点F，则即为所求． 【详解】解：（1）如图：即为所求作的三角形； （2）如图：即为所求作的三角形； （3）的长为； 尺规作图：如图，在上取点D，过点D作的垂线，在垂线上取点E使，连接，作的垂直平分线，交于点F，则即为所求作的三角形． ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平移作图，中心对称作图，尺规作垂线，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质，尺规作垂线． 21. 大连市新中考体育考试，新增专项技能三选一项目考试（足，篮，排），其中篮球项目为：运球绕杆往返．为更好地提高学生篮球专项技能，某校为学生制定了训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑动． 活动二：篮球双手交替运球往返跑动． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 小红在活动一中速度是在活动二中速度的1.4倍，设小红在活动二中的速度为米／秒． （1）假设小红参加两项活动球均未掉落，求小红在两项活动中的用时相差多少秒？（用含的式子表示） （2）若小红在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求小红在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑动． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，小红和小强依次完成活动三后，小强说：“咱俩共用时42秒．”小红说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米．”求这两名同学各跑了多少秒？ 【答案】（1）小红在两项活动中的用时相差秒 （2）小红在活动一的速度为4米/秒 （3）小红同学跑了27秒，小强同学跑了15秒 【解析】 【分析】本题考查分式方程解实际应用题，涉及分式运算、解分式方程等知识，读懂题意，准确列出分式及分式方程，掌握分式方程解法是解决问题的关键． （1）根据题意，得到小红在两项活动中的用时，作差，利用分式减法运算求解即可得到答案； （2）根据题意，得到小红在两项活动中的用时，列出分式方程，求解即可得到答案； （3）根据题意，设小红跑了秒，则小强跑了秒，列出分式方程，求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， 答：小红在两项活动中的用时相差秒； 【小问2详解】 解：， 化简，得， 方程两边同乘，得，解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：小红在活动一速度为4米/秒； 【小问3详解】 解：设小红跑了秒，则小强跑了秒， ， 方程两边同乘，得，解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：小红同学跑了27秒．小强同学跑了15秒． 22. 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容． 已知：如图．是的平分线，P是上任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点M，N分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12；、分别平分和，于点D，若的面积，则长为________． 【答案】问题解决：见解析；（1）见解析；（2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质， [问题解决]利用角角边定理证明，根据全等三角形的性质证明结论； [类比探究]（1）过点P作于E，于F，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过O作与E，于F，利用角平分线的性质可得，，然后再利用面积的计算方法可得答案． 【详解】[问题解决]证明：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， , ∴()， ∴； [类比探究]（1）证明：如图②，过点P作于E，于F， ∵是的平分线，，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）过O作与E，于F， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∵的周长是， ∴ ， ∵的面积为18，且， ∴， 即， 故答案为：3． 23. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“V型函数”．例如：图1就是一次函数关于直线的“V型函数”图象． （1）请在图2中画出函数关于直线的“V型函数”图象． （2）若函数关于直线的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，则 ． （3）如图3，点，以为斜边在x轴上方作等腰，当函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点时，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） （3），或 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图象即可； （2）求得直线与x轴的交点坐标即可求解； （3）分两种情况求解，直线在，以及“V型函数”图象在直线与x轴的交点的左侧，据此求解即可. 【小问1详解】 解：函数关于直线的“V型函数”图象如图所示， ； 【小问2详解】 解：令，则，解得， ∵函数关于直线的“V型函数”图象与x轴只有一个交点， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵等腰中，点， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为， 解方程得， 由（2）知直线与x轴的交点为， ∴当时，函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点， ∵直线与的边已经有两个交点， ∴函数关于直线的“V型函数”图象与的边不能再有交点，即在点的左侧， ∴与点关于对称， ∴时，函数关于直线的“V型函数”图象经过点， ∴当函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点时，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用；理解并运用新定义“V型函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度（下）期中阶段 八年级数学学科教学质量数据采集 考试时间：100分钟 考试分价：120分 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. 已知，下列不等式一定成立是（ ） A. B. C. D. 2. 下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 5. 下列分式变形正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列现象中属于旋转的是（ ） A. 汽车在急刹车时向前滑动 B. 拧开水龙头 C. 雪橇在雪地里滑动 D. 电梯的上升与下降 7. 如图，直线，以直线上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线、于点B、C，连接AC、若，则　　 A. B. C. D. 8. 如图，直线与相交于点，若点的横坐标为，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. x2－x－2＝x(x－1)－2 B. (a＋b)(a－b)＝a2－b2 C. x2+3x+2＝(x＋1)(x+2) D. x－2＝x(1－) 10. 在平面直角坐标系中，线段的端点A的坐标是，将线段沿x轴正方向平移3个单位长度，得到线段，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集为_________________； 12. 如果分式的值为零，那么______． 13. 若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设__________． 14. 经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为________． 15. 如图，在中，，D是边上一个动点，连接，并将线段绕点A逆时针旋转后得线段，连接，在点D运动过程中，线段长度的最小值是_________． 三、解答题（本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 因式分解 （1）； （2）； 17. 利用数轴求出不等式组的解集 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形的外部一点，且，过点D作交于点F，交于点E． （1）求证：垂直平分线段； （2）若，，求长． 20. 作图： 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点） （1）画出向下平移3个单位后的 （2）画出关于点O的中心对称图形 （3）连接，请直接写出的长为________ 尺规作图： 作出一个，使得：①是直角三角形；②的周长等于边BC的长． 21. 大连市新中考体育考试，新增专项技能三选一项目考试（足，篮，排），其中篮球项目为：运球绕杆往返．为更好地提高学生篮球专项技能，某校为学生制定了训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑动． 活动二：篮球双手交替运球往返跑动． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 小红在活动一中速度是在活动二中速度的1.4倍，设小红在活动二中的速度为米／秒． （1）假设小红参加两项活动球均未掉落，求小红在两项活动中的用时相差多少秒？（用含的式子表示） （2）若小红在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求小红在活动一中速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑动． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，小红和小强依次完成活动三后，小强说：“咱俩共用时42秒．”小红说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米．”求这两名同学各跑了多少秒？ 22. 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容． 已知：如图．是平分线，P是上任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点M，N分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12；、分别平分和，于点D，若的面积，则长为________． 23. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“V型函数”．例如：图1就是一次函数关于直线的“V型函数”图象． （1）请在图2中画出函数关于直线的“V型函数”图象． （2）若函数关于直线的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，则 ． （3）如图3，点，以为斜边在x轴上方作等腰，当函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点时，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$