第04讲 绝对值与相反数（8大核心考点）-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）

第04讲 绝对值与相反数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能借助数轴说出数的绝对值和相反数的意义； 2．会求已知数的绝对值和相反数。 3.会用绝对值比较两个负数的大小； 4.知道绝对值a的含义； 1.认识绝对值 定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值 。 符号： 比如数a的绝对值可记作“” 非负数：任何一个数的绝对值均大于或者等于0 2.认识相反数 问：观察表示4及―4的绝对值的点分别到原点的距离，你发现了什么现象？ 表示2及―2的绝对值的点呢？ 定义：符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数。0的相反数是0. 表示方法：表示一个数的相反数，只要在这个数的前面添一个“－”号。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0； 3.化简中的符号规律 把一个数的多重符号化为单一符号，若该数前面有奇数个”-“号，则化简的结果是负数；如有偶数个则为正数。 4.绝对值的性质 正数的绝对值是本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。 若用符号来表示，则为： 5.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）． （2）互为相反数的两数和为 0 ． （3）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. 6.相关结论 1.一个数的绝对值是是它本书，这个数为非负数； 2.一个数的绝对值是它的相反数，这个数是非正数； 3.绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 7.有理数比较大小 （1）数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． （2）法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 （3）作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b；反之成立． （4）求商法：设a、b为任意正数，若，则a＞b；若，则a＝b；若，则a＜b；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反． （5）倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小． 考点一：相反数的定义 例1．有理数的相反数是（    ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案． 【详解】解：有理数的相反数是2024， 故选：C． 【变式1-1】计算：（         ） A． B．-3 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了求有理数的相反数，根据相反数定义进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D 【变式1-2】 如图，点A、B在数轴上，若，且A、B两点表示的数互为相反数，则点A表示的数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，相反数的概念， 根据题意得到A，B两点到原点的距离相等，然后求出点A到原点的距离为，然后根据点A在原点的左侧求解即可． 【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数互为相反数， ∴A，B两点到原点的距离相等， ∵点A与点B之间的距离为8个单位长度， ∴点A到原点的距离为， ∵点A在原点的左侧， ∴点A表示的数是． 故答案为：． 【变式1-3】已知6个有理数：，0，，，，，按要求完成下列各小题． (1)互为相反数的一组数是________； (2)将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上，并用“＜”将上面的数连接起来． 【答案】(1)，； (2)画图见解析， 【分析】 本题考查的是化简双重符号，求解绝对值，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小； （1）先化简双重符号，求解绝对值，再利用相反数的定义可得答案； （2）先在数轴上表示各有理数，再利用数轴右边的数大于左边的数，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴互为相反数的一组数是，； （2）如图，在数轴上表示各数如下： ∴； 考点二：化简多重符号 例2若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多重符号化简，根据，即可得出结果． 【详解】解：； 故选B． 【变式2-1】化简，结果正确的为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的意义去括号，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B 【变式2-2】若，则 ；若，则 ． 【答案】 5 【分析】本题考查化简多重符号，绝对值的意义，根据多重符号化简和绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：5，． 【变式2-3】在数轴上表示下列各数：，，0，，，，并用“＞”把它们连接起来． 【答案】，数轴见解析． 【分析】本题考查的是多重符号的化简，在数轴上表示有理数，有理数的大小比较，先化简多重符号，再在数轴上表示各数，利用数轴上右边的数大于左边的数，从而可得答案． 【详解】解：，，，，， 在数轴上表示为： ， ∴． 考点三：相反数的应用 例3. 数轴上表示数a和的点到原点的距离相等，则a为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上原点两侧到原点的距离相等的点表示的数互为相反数． 根据相反数的几何意义可知：与互为相反数；再根据互为相反数的两数和为0即可解答． 【详解】解：由题意知： 与互为相反数， ， 解得：． 故选：D． 【变式3-1】如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，熟练掌握数轴的特性是解题的关键； 根据，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据，求出B点所表示的数是多少即可． 【详解】点表示的数为x， 表示的数是， 点和点A表示的数互为相反数， 点所表示的数是， 故选：． 【变式3-2】已知与互为相反数，且的绝对值为8，则的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题考查了相反数和绝对值的定义，根据题意可得，，或，计算即可，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据题意，，或， ∴或， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2021． 【变式3-3】如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【答案】(1) (2)点表示的数是，点表示的数是 【分析】本题考查是数轴与有理数； （1）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解； （2）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点为原点，点表示的数是．    （2）如图，点为原点，点表示的数是，点D表示的数是．    考点四：绝对值的意义 例4．绝对值是2的数是（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． 根据绝对值的定义求解即可． 【详解】绝对值是2的数是． 故选：C． 【变式4-1】若，则一定是（    ） A．负数 B．正数 C．0 D．负数或0 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，熟练掌握其性质是解题的关键．根据绝对值的性质即可求得答案． 【详解】解：∵, ∴a是非正数，即负数或0， 故选：D 【变式4-2】绝对值小于2.5的所有整数是 ，绝对值等于它本身的数是 ． 【答案】 2，1，0，， 0，1 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】绝对值小于2.5的所有整数是2，1，0，，； 绝对值等于它本身的数是0，1． 故答案为：2，1，0，，；0，1． 【变式4-3】数轴上表示有理数a，b，c，d的点的位置如图所示： (1)请将有理数a，b，c，d按从小到大的顺序用“＜”连接起来：______； (2)如果，表示数b的点到原点的距离为6，，c与d距离原点的距离相等，则______，______，______，______． 【答案】(1) (2)，6，，2 【分析】此题主要考查了数轴以及绝对值的性质，正确利用数形结合得出答案是解题关键． （1）利用数轴上a，b，c，d的位置进而得出大小关系； （2）利用绝对值的意义以及结合数轴得出答案 【详解】（1）由题意得：， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵数b的点到原点的距离为6，， ∴， ∵，， ∴， ∵c与d距离原点的距离相等，， ∴． 故答案为：，6，，2． 考点五：化简绝对值 例5 如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的特点；熟练掌握绝对值的意义和数轴上点的特征是解题的关键． ，，则，，；结合选项即可求解 【详解】解：从图可知，， ∴，，，故、错误； ∴，故正确，错误， 故选． 【变式5-1】如果实数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查实数与数轴，解决此题的关键是掌握数轴的特征，再结合加减运算，绝对值的概念判断即可，先根据数轴判断出a、b的正负情况，然后根据有理数的加、减运算法则及绝对值的意义对各选项分析判断求解． 【详解】解：根据题意得：， ， A、，故错误，不符合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查绝对值的代数意义，由题意确定的符号，由绝对值的代数意义化简即可得到答案，熟记绝对值的代数意义是解决问题的关键． 【详解】解：， ，则， ， 故答案为：． 【变式5-3】有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ． 考点六：绝对值的非负性 例6. 若，则是（  ） A．非负数 B．负数 C．正数 D．非正数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．据此解答即可． 【详解】解：， 为非正数， 故选：D． 【变式6-1】若有理数m，n满足，则等于（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．先运用非负数的性质求得m，n的值，再代入求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【变式6-2】a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】已知，求的值． 【答案】，，． 【分析】解：本题考查了非负数的性质，根据几个非负数的和等于，那么这几个非负数都等于，得到，，，解之即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，． 考点七：有理数的比较大小 例7 在实数1，，0，这四个数中，最小的是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．本题考查了有理数的大小比较． 【详解】解：， 最小的数是：． 故选：B． 【变式7-1】若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中，质量最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和正数和负数的应用，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大． 求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：， ∵， ∴从轻重的角度看，最接近标准的是， 故选：C． 【变式7-2】比较大小： （填“”或“”或“” ． 【答案】 【分析】利用绝对值性质及相反数定义将两数计算后进行比较即可．本题考查绝对值性质，相反数的定义及有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 【变式7-3】已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 【答案】(1)，； (2)、、； (3)． 【分析】（）根据点表示的数即可求出，根据是负数且到原点的距离为可以得出的值； （）根据有理数的大小比较法则即可得出答案； （）先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可； 本题考查了有理数的比较大小，相反数，数轴，绝对值等知识点，能熟记有理数的大小法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，， ∵是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为， ∴， 故答案为：，； （2）解：为，，； （3）解：，， 各数在数轴上表示为： 由数轴可得，． 考点八：有理数比较大小的应用 例8.2024年2月8日，某地记录到四个时刻的气温（单位：）分别为，0，5，，其中最低的气温是（    ） A． B．0 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小的比较的实际应用，有理数大小比较法则为：正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小；由此法则比较出两个负数的大小即可完成． 【详解】解：， ， 即最小， 故选：A． 【变式8-1】在标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如下表，其中熔点最低的晶体为（    ） 晶体 钨 萘 冰 固态氢 熔点/℃ 3410 80.5 0 A．钨 B．萘 C．冰 D．固态氢 【答案】D 【分析】根据负数小于0，正数大于0即可得出比较结果．本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：， 熔点最低的晶体为固态氢， 故选：D． 【变式8-2】几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：其中液化温度最低的气体是 . 气体 氧气 氢气 氮气 氦气 液化温度°C 【答案】氦气 【分析】先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可. 【详解】∵, ∴液化温度最低的气体是氦气. 【点睛】本题主要考查有理数比较大小，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键. 【变式8-3】已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 【答案】(1)③ (2)样品①③④ 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的大小比较； （1）直接比较各个选项数据的绝对值，找出最接近标准的即可． （2）找出绝对值大于的不是正品，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，，，，， 而， ∴最符合要求是样品③； （2）∵规定零件误差的绝对值在之内是正品， 而，， ∴②⑤不符合题意； ∴正品是样品①③④． 1．下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和2 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，解答即可． 【详解】解：A、和不互为相反数，故该选项错误； B、，，和不互为相反数，故该选项错误； C、，，和互为相反数，故该选项正确； D、，和2不互为相反数，故该选项错误； 故选：C． 2．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故A不符合题意； ∵，故B不符合题意； ∵，与不互为相反数，故C不符合题意； ∵，， ∴与互为相反数，故D正确； 故选：D． 3．点A、C、O、B在数轴上的位置如图所示，O为原点，，点C对应的有理数是a，若，则点B对应的有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，以及相反数的意义．由点C对应的有理数是a，，根据两点之间的距离求出点A，然后利用相反数的意义即可求解． 【详解】解：∵点C对应的有理数是a，， ∴点A对应的有理数为：， ∵， ∴A，B是一对相反数． ∴点B为， 故选：C． 4．为有理数，若，那么是（    ） A．非正数 B．非负数 C．负数 D．不为0的数 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的性质，一个数的绝对值等于他的相反数，这个数为非正数．根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：为有理数，且， 那么是负数或者， 故选：A． 5．已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故选：D． 6．如果，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值及平方非负性的应用，由题意得是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ 故选：A 7．这四个数中，最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的比较大小，根据绝对值的定义化简，再根据“正数负数”即可得出答案． 【详解】解：， ， 即在这四个数中，最大的数是． 故选：C． 8．2024 年春节前，一轮雨雪降温席卷湘北地区，某地一周最低气温如下表，其中最低气温出现在（   ） 日期 周日 周一 周二 周三 周四 周五 周六 气温（） 0 3 A．周一 B．周二 C．周五 D．周六 【答案】A 【分析】本题考查有理数大小比较的实际应用，根据有理数的大小比较的方法，确定最小的那个数所在的日期即可． 【详解】解：∵， ∴最低气温出现在周一； 故选A． 9．已知为有理数，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 10．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．则代数式的最小值是 ． 【答案】8 【分析】此题考查了运用数形结合思想进行实数运算的能力．根据题目中与的几何意义进行求解． 【详解】解： ， 的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离，的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离， 的几何意义就是数轴上x所对应的点与、所对应的点之间的距离之和， 当时，数轴上x所对应的点与、所对应的点之间的距离之和最短为：， 的最小值是8． 故答案为：8． 11．已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴，若另外两点互相重合，则点表示的数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了数轴上的两点之间的距离，偶次方和绝对值的非负性，熟练掌握相关概念是解题的关键．先根据偶次方和绝对值的非负性，可得和b的值，再按照三种情况分类讨论：①若沿点折叠，点与点重合，②若沿点折叠，点与点重合，③若沿点折叠，点与点重合，分别求得点表示的数即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，； ①若沿点折叠，点与点重合， ∵， ∴点表示的数为：； ②若沿点折叠，点与点重合， ∵， ∴点表示的数为：； ③若沿点折叠，点与点重合， ∵， ∴， 点表示的数为：； 故答案为：或或． 12．求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：．解：当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得，所以原方程的解是或．请你依据上面的方法，求解方程：，得到的解为 ． 【答案】或 【分析】根据绝对值的化简方法计算即可，本题考查了绝对值的化简，正确化简绝对值是解题的关键． 【详解】解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得， 所以原方程的解是或． 故答案为：或． 13．数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；由此可知的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； (1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ (2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到三点的距离之和最小？ (3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到四点的距离之和最小？ (4)①的最小值是_________，此时x的范围是_________； ②的最小值是_________，此时x的值为_________； ③的最小值是_________，此时x的范围是_________． 【答案】(1)、之间 (2)点 (3)之间 (4)①，；②，；③， 【分析】本题考查了绝对值的性质、数轴上两点之间的距离，采用分类讨论是解此题的关键． （1）分三种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点点点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （2）分五种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点在点时；当点在之间时；当点在点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （3）分五种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点在之间时；当点在之间时；当点在点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （3）①根据（1）的结论即可得出答案；②根据（2）的结论即可得出答案；③根据（3）的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点点点的右边时，， 当点在、之间时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； （2）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点在点时，， 当点在之间时，， 当点在点的右边时，， 当点在点时，才能使P到三点的距离之和最小 （3）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点在之间时，， 当点在之间时，， 当点在点的右边时，， 当点在之间时，才能使P到四点的距离之和最小； （4）解：①由（1）可得：当时，有最小值，最小值为， 的最小值，此时x的范围是； ②由（2）可得：这是在求点到，，三点的最小距离， 当时，有最小值，最小值为； ③由（3）可得：这是在求点到，，，四点的最小距离， 当时，由最小值，最小值为． 14．请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】(1)1； (2) (3)3或或1或 【分析】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 绝对值与相反数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能借助数轴说出数的绝对值和相反数的意义； 2．会求已知数的绝对值和相反数。 3.会用绝对值比较两个负数的大小； 4.知道绝对值a的含义； 1.认识绝对值 定义：数轴上表示一个数的点与 的距离，叫做这个数的绝对值 。 符号： 比如数a的绝对值可记作 非负数：任何一个数的绝对值均 或者 2.认识相反数 问：观察表示4及―4的绝对值的点分别到原点的距离，你发现了什么现象？ 表示2及―2的绝对值的点呢？ 定义： 的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数。0的相反数是 . 表示方法：表示一个数的相反数，只要在这个数的前面添一 号。 正数的相反数是 ，负数的相反数是 ，0的相反数是 ； 3.化简中的符号规律 。 4.绝对值的性质 正数的绝对值是本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。 若用符号来表示，则为： 5.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的 相等（这两个点关于原点 ）． （2）互为相反数的两数和为 ． （3）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值 . 6.相关结论 1.一个数的绝对值是是它本书，这个数为 ； 2.一个数的绝对值是它的相反数，这个数是 ； 3.绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值 ；离原点的距离越近，绝对值 ． 7.有理数比较大小 （1）数轴法：在数轴上表示出这两个有理数， 边的数总比 边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． （2）法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号： 同为负号： 两数异号 －数为0 正数与0： 负数与0： （3）作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则 ；若a-b＝0，则 ；若a-b＜0，则 ；反之成立． （4）求商法：设a、b为任意正数，若，则 ；若，则 ；若，则 ；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反． （5）倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而 ． 考点一：相反数的定义 例1．有理数的相反数是（    ） A． B． C．2024 D． 【变式1-1】计算：（         ） A． B．-3 C． D．3 【变式1-2】 如图，点A、B在数轴上，若，且A、B两点表示的数互为相反数，则点A表示的数为 ． 【变式1-3】已知6个有理数：，0，，，，，按要求完成下列各小题． (1)互为相反数的一组数是________； (2)将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上，并用“＜”将上面的数连接起来． 考点二：化简多重符号 例2若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-1】化简，结果正确的为（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-2】若，则 ；若，则 ． 【变式2-3】在数轴上表示下列各数：，，0，，，，并用“＞”把它们连接起来． 考点三：相反数的应用 例3. 数轴上表示数a和的点到原点的距离相等，则a为（    ） A． B．4 C．2 D． 【变式3-1】如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知与互为相反数，且的绝对值为8，则的值为 ． 【变式3-3】如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 考点四：绝对值的意义 例4．绝对值是2的数是（    ） A．2 B． C． D．0 【变式4-1】若，则一定是（    ） A．负数 B．正数 C．0 D．负数或0 【变式4-2】绝对值小于2.5的所有整数是 ，绝对值等于它本身的数是 ． 【变式4-3】数轴上表示有理数a，b，c，d的点的位置如图所示： (1)请将有理数a，b，c，d按从小到大的顺序用“＜”连接起来：______； (2)如果，表示数b的点到原点的距离为6，，c与d距离原点的距离相等，则______，______，______，______． 考点五：化简绝对值 例5 如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】如果实数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】已知，则 ． 【变式5-3】有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 考点六：绝对值的非负性 例6. 若，则是（  ） A．非负数 B．负数 C．正数 D．非正数 【变式6-1】若有理数m，n满足，则等于（　　） A． B．1 C．2 D． 【变式6-2】a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【变式6-3】已知，求的值． 考点七：有理数的比较大小 例7 在实数1，，0，这四个数中，最小的是（    ） A．1 B． C．0 D． 【变式7-1】若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中，质量最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】比较大小： （填“”或“”或“” ． 【变式7-3】已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 考点八：有理数比较大小的应用 例8.2024年2月8日，某地记录到四个时刻的气温（单位：）分别为，0，5，，其中最低的气温是（    ） A． B．0 C．5 D． 【变式8-1】在标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如下表，其中熔点最低的晶体为（    ） 晶体 钨 萘 冰 固态氢 熔点/℃ 3410 80.5 0 A．钨 B．萘 C．冰 D．固态氢 【变式8-2】几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：其中液化温度最低的气体是 . 气体 氧气 氢气 氮气 氦气 液化温度°C 【变式8-3】已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 1．下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和2 2．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．点A、C、O、B在数轴上的位置如图所示，O为原点，，点C对应的有理数是a，若，则点B对应的有理数是（    ） A． B． C． D． 4．为有理数，若，那么是（    ） A．非正数 B．非负数 C．负数 D．不为0的数 5．已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 6．如果，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 7．这四个数中，最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 8．2024 年春节前，一轮雨雪降温席卷湘北地区，某地一周最低气温如下表，其中最低气温出现在（   ） 日期 周日 周一 周二 周三 周四 周五 周六 气温（） 0 3 A．周一 B．周二 C．周五 D．周六 9．已知为有理数，则的最小值为 ． 10．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．则代数式的最小值是 ． 11．已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴，若另外两点互相重合，则点表示的数是 ． 12．求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：．解：当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得，所以原方程的解是或．请你依据上面的方法，求解方程：，得到的解为 ． 13．数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；由此可知的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； (1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ (2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到三点的距离之和最小？ (3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到四点的距离之和最小？ (4)①的最小值是_________，此时x的范围是_________； ②的最小值是_________，此时x的值为_________； ③的最小值是_________，此时x的范围是_________． 14．请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$