专题03 整式的乘除与因式分解5大核心考点【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

专题03 整式的乘除与因式分解 目录 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、幂的运算 2、整式的乘除 3、乘法公式 4、整式的化简 5、因式分解 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 同底数幂的运算 2023·浙江湖州·中考真题 整式的乘法，平方差公式 2023·浙江金华·中考真题 整式的乘法，整式化简 2022·浙江丽水·中考真题 用平方差公式分解因式 2023·浙江杭州·中考真题 用平方差公式分解因式 2023·浙江嘉兴·中考真题 提公因式法分解因式 2023·浙江温州·中考真题 同底数幂的运算 2023·浙江宁波·中考真题 一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：am·an = am+n(m,n为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：（am)n =amn(m,n为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：（ab)n =anbn((n为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：am÷an=am - n((a≠0, m,n为正整数，并且m＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 特别说明：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 二、整式的乘除 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 三、乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 四、因式分解 1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。 2.因式分解的方法 （1）提取公因式法： （2）运用公式法： 平方差公式：；完全平方公式： （3）十字相乘法： （4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。 （5）运用求根公式法：若的两个根是、，则有： 3.因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。 （4）最后考虑用分组分解法。 1.完全平方公式的常用变形： a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab. ab＝. (a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)． (a＋b)2－(a－b)2＝4ab. (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab. (a－b)2＝(a＋b)2－4ab. ab＝－. 2.因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 3.因式分解 十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 4.因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 真题感知 1．（2023·浙江杭州·中考真题）分解因式：（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）下列运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ． 6．（2023·浙江金华·中考真题）已知，求的值． 7．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 提升专练 1．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B．1 C． D．2 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．某电子计算机每秒可进行次运算，则秒可进行运算的次数为（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．我们可以用图形中的面积关系解释很多代数恒等式．能用下面图形的面积关系解释的代数恒等式是（     ） A． B． C． D． 7．将再加上一项，使它成为的形式，小南想到了以下几种情况：①；②；③．请问正确的有几个？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知展开式中不含的一次项，则其展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 9．我们规定，例如，已知，则代数式的值是（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 10．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 11．若实数m，n满足，则 ． 12．分解因式： ． 13．若是完全平方式，则的值是 ． 14．已知， 计算的值 15．若定义  表示，  表示，则运算  的结果 ． 16．如图所示，将一张长为，宽为的长方形纸片沿虚线剪成个直角三角形，拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙），若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，则原长方形纸片的周长是 ． 17．（1）计算： （2）简便计算： 18．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 19．先化简，再求值：，其中 20．完全平方公式：，是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题 例如：若，，求的值． 解：． 根据以上信息回答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值； (3)如图，长方形的面积为6，．在长方形外分别以，为边作正方形和正方形，在长方形内以，为边分别作正方形和正方形．若阴影部分的周长为38，求阴影部分的面积． 21．若两个正整数a，b，满足．k为自然数，则称a为b的“k级”数．例如，，，则2为3的“11级”数． (1)5是6的“________”级数；正整数n为1的“________”级数（用关于n的代数式表示）； (2)若m为4的“”级数，求m的值； (3)是否存在a，b的值，使得a为b的“级”数？若存在，请举出一组a，b的值；若不存在请说明理由． 22．在化简的过程中，小明有以下三种方法来进行化简： 解法一：…（ ） 原式 解法二：…（ ） 原式 解法三：…（ ） 原式      小明发现三种解答的结果不同，请你帮小明来判断上述解法是否正确，对的在括号里打“√”，并在错误处划“_____”或写出错误原因．若三种解答都错误，请你再写出正确的解答过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 整式的乘除与因式分解 目录 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、幂的运算 2、整式的乘除 3、乘法公式 4、整式的化简 5、因式分解 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 同底数幂的运算 2023·浙江湖州·中考真题 整式的乘法，平方差公式 2023·浙江金华·中考真题 整式的乘法，整式化简 2022·浙江丽水·中考真题 用平方差公式分解因式 2023·浙江杭州·中考真题 用平方差公式分解因式 2023·浙江嘉兴·中考真题 提公因式法分解因式 2023·浙江温州·中考真题 同底数幂的运算 2023·浙江宁波·中考真题 一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：am·an = am+n(m,n为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：（am)n =amn(m,n为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：（ab)n =anbn((n为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：am÷an=am - n((a≠0, m,n为正整数，并且m＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 特别说明：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 二、整式的乘除 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 三、乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 四、因式分解 1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。 2.因式分解的方法 （1）提取公因式法： （2）运用公式法： 平方差公式：；完全平方公式： （3）十字相乘法： （4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。 （5）运用求根公式法：若的两个根是、，则有： 3.因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。 （4）最后考虑用分组分解法。 1.完全平方公式的常用变形： a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab. ab＝. (a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)． (a＋b)2－(a－b)2＝4ab. (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab. (a－b)2＝(a＋b)2－4ab. ab＝－. 2.因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 3.因式分解 十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 4.因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 真题感知 1．（2023·浙江杭州·中考真题）分解因式：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方差公式分解即可． 【详解】． 故选：A． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂的乘法法则解题即可． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）下列运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，逐一判断即可解答． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，熟知计算法则是解题的关键． 4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平方差公式或完全平方公式等知识解答即可． 【详解】解：∵，因式分解后有一个因式为， ∴这个多项式可以是（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键． 5．（2023·浙江湖州·中考真题）计算：（a+1）（a﹣1）= ． 【答案】a2﹣1 【分析】符合平方差公式结构，直接利用平方差公式计算即可． 【详解】（a+1）（a﹣1）=a2﹣1， 故答案为：a2﹣1. 【点睛】此题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握，即可解题. 6．（2023·浙江金华·中考真题）已知，求的值． 【答案】 【分析】原式利用平方差公式、单项式乘多项式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式 ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干的规律求解即可； （2）根据题干的规律求解即可； （3）将因式分解，展开化简求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律． 提升专练 1．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方等知识，根据相应运算法则即可得出答案，牢记积的乘方的运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选：A． 2．计算：（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，能灵活运用积的乘方进行计算是解此题的关键．先根据幂的乘方逆运算法则变形，再根据积的乘方进行计算，再求出即可． 【详解】解： ， 故选：C． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂相乘，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂相乘、幂的乘方和合并同类项法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘的法则计算并判定A；根据幂的乘方法则计算并判定B；根据合并同类项法则计算并判定C、D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，计算正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意；； 故选：B． 4．某电子计算机每秒可进行次运算，则秒可进行运算的次数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算．根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解：由题意可知：它工作时的运算次数为：， 故选：A． 5．已知 ，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的混合运算，利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 故选：B． 6．我们可以用图形中的面积关系解释很多代数恒等式．能用下面图形的面积关系解释的代数恒等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据图形即可求解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：根据图形可知，解释的代数恒等式是， 故选：． 7．将再加上一项，使它成为的形式，小南想到了以下几种情况：①；②；③．请问正确的有几个？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式的判断，根据完全平方公式，逐项判断即可，注意公式中和可为正数也可为负数，熟练理解完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：①，则，故①正确； ②，则，故②正确； ③，则，故③正确； ∴正确的有3个， 故选：D． 8．已知展开式中不含的一次项，则其展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的法则． 根据多项式乘多项式的法则计算，根据一次项系数为零求解即可． 【详解】 ， ∵展开式不含的一次项， ∴， ∴， ∴常数项． 故选：A． 9．我们规定，例如，已知，则代数式的值是（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据新定义可得，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：D 10．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式分解成为几个因式相乘的形式，由此即可求解． 【详解】A、是整式乘法计算，故该选项错误； B、是因式分解，故该选项正确； C、中不是整式，故该选项错误； D、不是分解为整式的乘积形式，故该选项错误； 故选：B． 11．若实数m，n满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查同底数幂除法和幂的乘方，利用法则把原式变形为，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 12．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 13．若是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解： 是完全平方式，即， ． 故答案为：． 14．已知， 计算的值 【答案】8 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据题意可得，再根据同底数幂的乘法运算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 15．若定义  表示，  表示，则运算  的结果 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整单项式除法运算，先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可．根据新定义列出整式是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 16．如图所示，将一张长为，宽为的长方形纸片沿虚线剪成个直角三角形，拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙），若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，则原长方形纸片的周长是 ． 【答案】20 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．由拼图可知，，由此可得，，得则，即，再根据完全平方构造的，求得（负值舍去），进而求得，即可求得原长方形纸片的周长． 【详解】解：∵正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为， ∴，，， ∴，（负值舍去）， 则，即， ， ， ， ∴（负值舍去）， ∴， 原长方形的周长为， 故答案为：20． 17．（1）计算： （2）简便计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是关键． （1）根据多项式乘多项式及单项式乘多项式运算法则展开合并即可； （2）将转化成运算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式． （1）利用完全平方公式进行求解即可； （2）结合（1）进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解： ． 19．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查整式的乘法-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将a的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．完全平方公式：，是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题 例如：若，，求的值． 解：． 根据以上信息回答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值； (3)如图，长方形的面积为6，．在长方形外分别以，为边作正方形和正方形，在长方形内以，为边分别作正方形和正方形．若阴影部分的周长为38，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用完全平方公式的变形求解即可； （2）先得到，再利用平方根的含义解方程即可； （3）设长方形的长，宽，可得，，结合完全平方公式可得：，再求解的值，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵，， ； （2）解：∵，， ， ； （3）解：设长方形的长，宽， ， ∵正方形和正方形，正方形和正方形，阴影部分的周长为38， ，即， ， ， ∵，即，则， ， 由①②可得：，， 阴影部分的面积为：； 【点睛】本题考查的是利用完全平方公式的变形求值，二元一次方程组的应用，利用平方根的含义解方程，掌握以上基础知识是解本题的关键. 21．若两个正整数a，b，满足．k为自然数，则称a为b的“k级”数．例如，，，则2为3的“11级”数． (1)5是6的“________”级数；正整数n为1的“________”级数（用关于n的代数式表示）； (2)若m为4的“”级数，求m的值； (3)是否存在a，b的值，使得a为b的“级”数？若存在，请举出一组a，b的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)23， (2)6 (3)不存在a，b的值，使得a为b的“级”数 【分析】本题主要考查了因式分解及其运用，解题关键是理解新定义的含义，熟练掌握几种常见的分解因式的方法． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算或分解因式即可； （2）根据已知条件中新定义列出关于m的方程，解方程求出m的值即可； （3）假设存在a，b的值，使得a为b的“级”数，根据新定义列出算式，进行分解因式，然后再根据a，b为正整数，k为自然数，求出的取值，从而判断假设是否成立即可． 【详解】（1）解：∵， ∴5是6的“23级”数， ∵， ∴正整数n为1的“”级数， 故答案为：23，； （2）解：由题意可得：， ， ， ， ； （3）解：假设存在a，b的值，使得a为b的“级”数， 则， ， ， ， ， ∵a，b是正整数， ∴，， ∴，， ∴， 这与假设产生矛盾， ∴不存在a，b的值，使得a为b的“级”数． 22．在化简的过程中，小明有以下三种方法来进行化简： 解法一：…（ ） 原式 解法二：…（ ） 原式 解法三：…（ ） 原式      小明发现三种解答的结果不同，请你帮小明来判断上述解法是否正确，对的在括号里打“√”，并在错误处划“_____”或写出错误原因．若三种解答都错误，请你再写出正确的解答过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查整式的乘法和因式分解，按照整式乘法和因式分解的运算法则求解即可． 【详解】解法一：× 原式     错误原因：提公因式后未变号 解法二：× 原式      错误原因：计算时未变号 解法三：× 原式         错误原因：完全平方公式计算错误 正确计算步骤如下： 原式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$