第01讲 三角形基本概念9大核心考点【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第01讲 认识三角形 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.掌握三角形的基本概念，掌握三角形的分类情况； 2.掌握三角形的三边关系及性质； 3、掌握三角形的内角和定理与外角的性质； 一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 二、三角形的内角和：三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 三、三角形的分类 按角分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 四、三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 五、三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 教材习题01 判断下列各组线段中,哪些首尾相接能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由. (1)a=2.5cm，b=3cm，c=5cm. (2)e=6.3cm，f=6.3cm，g=12.6cm, 解题方法 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，选取最长的一边同剩下两边进行比较 【答案】 （1）∵a=2.5cm，b=3cm，c=5cm 2.5+3=5.5（cm）＞5（cm） ∴三边可以组成三角形 （2）∵e=6.3cm，f=6.3cm，g=12.6cm 6.3+6.3=12.6（cm）=12.6（cm） ∴三边不可以组成三角形 教材习题02 如图，在ΔABC中,AD是ΔABC的高线。AE是ΔABC的角平分线.已知∠BAC=80°.∠C=40°.求∠DAE的大小. 解题方法 计算∠DAE，根据图中的条件，需要用∠DAC减去∠EAC的度数，因为AE是∠BAC的平分线，可以计算∠EAC的度数，因为AD是三角形的高，∠C=40°，根据三角形内角和等于180°可以计算出∠DAC的度数。 【答案】 ∵AE是ABC的角平分线，且∠BAC＝80° ∴∠BAE=∠EAC=40° ∵AD是ABC的高线 ∴∠ADE=90° ∵∠C=40°，三角形内角和等于180° ∴∠DAC=180°-∠C-∠ADC=180°-40°-90°=50° ∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=50°-40°=10° 考点一：三角形的基本概念 例1．三角形是（    ） A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形 D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形 变式1-1．一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．观察下列图形，其中是三角形的是 （    ） A．   B．   C．   D．   考点二：三角形的分类 例2．下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若且，则为锐角三角形 变式2-1．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．在中，，是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 考点三：构成三角形的条件 例3．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式3-1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式3-2．已知一个三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 考点四：三角形三边关系的应用 例4．如图，小明为了估计池塘两岸A、B间的距离，在池塘一侧选取了点O，测得，，那么A、B间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知a、b、c为三角形三边的长，化简： ． 变式4-2．中，，，若第三边c的长为偶数，则的周长为 考点五：三角形高、角平分线、中线的作图 例5．分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 变式5-1．如图四个图形中，线段是的高的图是（    ） A．   B．   C．   D．   考点六：三角形高相关计算 例6．如图，在中，，，，，边上的高长是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　）    A．cm B．3cm C．cm D．4cm 考点七：三角形中线相关问题 例7．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（    ） A．5 B．3 C．4 D．2 变式7-1．如图，是的中线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．如图，与的面积相等，线段应该是的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．不能确定 考点八：三角形角平分线相关问题 例8．如图 ， 为的角平分线，，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 变式8-1．如图，在中，是角平分线，，，的度数为（   ） A． B． C． D． 考点九：三角形内角和定理相关问题 例9．如图，在中，，平分，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式9-1．如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ． 变式9-2．如图，在中，是边上的高，平分，已知，，则 ． 1．在中，边的对角是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．满足下列条件的，其中是直角三角形的有（    ） ① ；②③； ④ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（  ） A． B． C． D． 5．三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 6．下列各图形中，哪个图形中的是的高（    ） A． B． C． D． 7．两根木棒长度分别是厘米和厘米，从下列木棒中再选根与原来根组成一个三角形（根木棒首尾依次相接），应选的木棒长度为（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 8．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，，点E在上，，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 11．已知在中，，这个三角形是 三角形． 12．三角形三个内角的度数比为，则此三角形为 ． 13．已知三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是 ． 14．已知a，b，c是的三边长，则代数式 0（填“＞”，“＜”或“=”）． 15．如图，中，与的平分线相交于．若，则 度． 16．如图，，分别是的高和角平分线，，，则的度数为 ． 17．已知三边分别是、、， 化简 18．已知三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当为最大边时，求三边长． 19．如图，在中，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)探究：小明认为如果不知道与的具体度数，只知道，也能得出的度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由． 20．如图，在中，平分交于点，是的高，与交于点．若，，求的度数． 21．如图，在中，，平分，交于点E．求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 认识三角形 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.掌握三角形的基本概念，掌握三角形的分类情况； 2.掌握三角形的三边关系及性质； 3、掌握三角形的内角和定理与外角的性质； 一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 二、三角形的内角和：三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 三、三角形的分类 按角分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 四、三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 五、三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 教材习题01 判断下列各组线段中,哪些首尾相接能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由. (1)a=2.5cm，b=3cm，c=5cm. (2)e=6.3cm，f=6.3cm，g=12.6cm, 解题方法 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，选取最长的一边同剩下两边进行比较 【答案】 （1）∵a=2.5cm，b=3cm，c=5cm 2.5+3=5.5（cm）＞5（cm） ∴三边可以组成三角形 （2）∵e=6.3cm，f=6.3cm，g=12.6cm 6.3+6.3=12.6（cm）=12.6（cm） ∴三边不可以组成三角形 教材习题02 如图，在ΔABC中,AD是ΔABC的高线。AE是ΔABC的角平分线.已知∠BAC=80°.∠C=40°.求∠DAE的大小. 解题方法 计算∠DAE，根据图中的条件，需要用∠DAC减去∠EAC的度数，因为AE是∠BAC的平分线，可以计算∠EAC的度数，因为AD是三角形的高，∠C=40°，根据三角形内角和等于180°可以计算出∠DAC的度数。 【答案】 ∵AE是ABC的角平分线，且∠BAC＝80° ∴∠BAE=∠EAC=40° ∵AD是ABC的高线 ∴∠ADE=90° ∵∠C=40°，三角形内角和等于180° ∴∠DAC=180°-∠C-∠ADC=180°-40°-90°=50° ∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=50°-40°=10° 考点一：三角形的基本概念 例1．三角形是（    ） A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形 D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形 【答案】B 【分析】根据三角形的定义解答即可． 【详解】解：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的定义，熟知由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形是解题的关键． 变式1-1．一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的概念，由三条线段首尾顺次连接构成的图形叫做三角形，据此进行判断即可． 【详解】解：三角形是由三条线段首尾顺次连接构成的，则C选项符合三角形概念， 故选：C 变式1-2．观察下列图形，其中是三角形的是 （    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据三角形的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知， 是三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键在于熟练掌握：平面上不共线的三点及其每两点连结的线段所组成的封闭图形是三角形． 考点二：三角形的分类 例2．下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若且，则为锐角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理、三角形的分类，举出适当的反例，即可得出答案． 【详解】解：A、当，，时，满足，但不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； B、，，，，则为直角三角形，故原说法错误，不符合题意； C、若，则为等边三角形，即为锐角三角形，故原说法正确，符合题意； D、若，，满足且，则，故不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 变式2-1．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是直角，因此是直角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 变式2-2．在中，，是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的分类，三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度求出即可得到是直角三角形． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴是直角三角形， 故选：B． 考点三：构成三角形的条件 例3．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是三角形三边关系，解题关键是熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系对各选项进行逐一判断即可． 【详解】、，不能组成三角形； 、，能组成三角形； 、不能组成三角形； 、不能组成三角形；． 故选： 变式3-1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析解． 本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：、， 不能构成三角形，不符合题意； B、， 不能构成三角形，不符合题意； C、， 不能构成三角形，不符合题意； D、， 能构成三角形，符合题意． 故选：D． 变式3-2．已知一个三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来求出，再结合选项的值，来进行作答即可． 【详解】解：设第三边的长为， ∵一个三角形的两边长分别为和， ∴， 即， 观察A、B、C、D四个选项，只有C选项的在范围内， 故选：C． 考点四：三角形三边关系的应用 例4．如图，小明为了估计池塘两岸A、B间的距离，在池塘一侧选取了点O，测得，，那么A、B间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边，根据三角形的三边关系列出不等式，通过解不等式判断即可． 【详解】解：在中，，， 则，即， ∴A、B间的距离不可能是， 故选：D． 变式4-1．已知a、b、c为三角形三边的长，化简： ． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系，结合绝对值的定义进行化简． 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长，， 又， ， ， ， ． 变式4-2．中，，，若第三边c的长为偶数，则的周长为 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，这是判断第三边范围的主要依据．先根据已知两边求得第三边的范围，再根据第三边为偶数求得第三边的长，最后计算三角形的周长即可． 【详解】解： ，， ，即， 第三边c的长为偶数， ， 的周长为， 故答案为：10． 考点五：三角形高、角平分线、中线的作图 例5．分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高的一些基本画图方法．根据题意画出三线即可 【详解】如图为中线， 为角平分线，为高 变式5-1．如图四个图形中，线段是的高的图是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形的高线的定义是解题的关键； 三角形的高是从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段，据此求解即可． 【详解】解：根据三角形高的定义可知四个选项中只有D选项中线段是的高， 故选：D． 考点六：三角形高相关计算 例6．如图，在中，，，，，边上的高长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积，灵活运用等面积法是关键； 由三角形等面积法直接求斜边上的高． 【详解】 ， ， 故选：D 变式6-1．如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　）    A．cm B．3cm C．cm D．4cm 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握面积法是解题的关键．要求高长，只需分别以和为底边，利用面积相等即可求解． 【详解】解： ，， ， ， ， ， 故选：A． 考点七：三角形中线相关问题 例7．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（    ） A．5 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴与的周长之差为， 故选：A． 变式7-1．如图，是的中线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．根据三角形的中线的定义即可判断． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 故选：B． 变式7-2．如图，与的面积相等，线段应该是的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形面积计算，过点A作于E，根据三角形面积计算公式得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于E， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴线段应该是的中线， 故选：B． 考点八：三角形角平分线相关问题 例8．如图 ， 为的角平分线，，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 由三角形的外角的性质可得，进而得到，最后根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：∵是的外角， ∴，即， ∵ 为的角平分线， ∴， ∴． 故选A． 变式8-1．如图，在中，是角平分线，，，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和的定理，根据可得出，根据角平分线的定义可得出，利用平角的定义求出，最后利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 在中， ， 故选：C． 考点九：三角形内角和定理相关问题 例9．如图，在中，，平分，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．先求出，再根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：C． 变式9-1．如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和以及角平分线的定义是解题的关键．首先根据三角形的内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求得的度数，则可以求解，然后在中，利用内角和定理即可求得的度数． 【详解】，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 变式9-2．如图，在中，是边上的高，平分，已知，，则 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，根据角平分线定义得出，最后根据，求出结果即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：36． 1．在中，边的对角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案． 【详解】解：如图， 在中，边的对角是， 故选：A． 2．如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据高线求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 3．满足下列条件的，其中是直角三角形的有（    ） ① ；②③； ④ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理，直角三角形的判定，根据三角形的内角和定理结合有一个角是直角的三角形的是直角三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴是钝角三角形，故②错误； ∵，， ∴， ∴是直角三角形，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴是直角三角形，故④正确； 故选A． 4．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，长度是的线段不能组成三角形，故A不符合题意； B、，长度是的线段能组成三角形，故B符合题意； C、，长度是的线段不能组成三角形，故C不符合题意； D、，长度是的线段不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 5．三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性 故选：B． 6．下列各图形中，哪个图形中的是的高（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高的概念，能够正确作三角形一边上的高．根据三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段即为该边上的高线，解答即可． 【详解】解：过点A作直线的垂线段， 即画边上的高，正确的是D． 故选：D． 7．两根木棒长度分别是厘米和厘米，从下列木棒中再选根与原来根组成一个三角形（根木棒首尾依次相接），应选的木棒长度为（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边的关系，根据三角形三边关系求出应选木棒长度的取值范围即可求解，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：应选取的木棒的长的范围是：， 即， ∴满足条件的只有， 故选：． 8．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高，中线，角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高，中线，角平分线的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、 是的中线， ，原结论正确，不符合题意； B、 是的角平分线， ，原结论正确，不符合题意； C、 是的中线， ， ，原结论错误，符合题意； D、 是的高， ，原结论正确，不符合题意； 故选：C． 9．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 【详解】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； ∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意； ∵，是高， ∴ ∴，故⑥正确 综上，符合题意的有4个， 故选：C 10．如图，，点E在上，，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角的定义、三角形内角和． 根据邻补角的定义求出即可判断①； 根据平行线的性质及等量代换即可判断②； 根据平行线的性质和邻补角的定义即可判断③； 根据三角形内角和求出，再根据平行线的性质及等量代换即可判断④． 【详解】解： ， ，故①成立； ，故②不一定成立； ，故③成立； 由①知， ，故④成立； 故选D． 11．已知在中，，这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解本题的关键是用方程的思想解决问题．根据比设、、分别为、、，然后根据三角形的内角和等于列式求出，作出判断即可． 【详解】解：设、、分别为、、， 则， 解得， 所以，， 这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 12．三角形三个内角的度数比为，则此三角形为 ． 【答案】钝角三角形 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的分类，先求解三角形的最大内角，再判断即可． 【详解】解：由题意，得：最大的角为：； ∴此三角形为钝角三角形； 故答案为：钝角三角形． 13．已知三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即． 故答案为：． 14．已知a，b，c是的三边长，则代数式 0（填“＞”，“＜”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用和三角形三边关系．先将原式变形为，，，是的三边长，可得：，，因此，即可得出结果． 【详解】解：； ，，是的三边长， ，， ，， ， 代数式， 故答案为：． 15．如图，中，与的平分线相交于．若，则 度． 【答案】115 【分析】本题主要利用了角平分线的性质和三角形的内角和，根据角平分线的性质和三角形的内角和定理求解，熟练利用相关性质求解是解题的关键． 【详解】解：， ． 与的平分线相交于， ， ． 故答案为：． 16．如图，，分别是的高和角平分线，，，则的度数为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线和高等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形内角和定理可得的值，结合角平分线的性质可得，再根据是的高解得的值，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵是的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 17．已知三边分别是、、， 化简 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解． 【详解】解：∵、、分别为的三边长， ∴，， ∴，，， ∴ 故答案为：． 18．已知三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当为最大边时，求三边长． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形三边关系，首先设边的长度分别是a、b、c，则；然后根据三边长都是整数且互不相等，由三边关系得出，即可判断出，判断出三边长分别是5、3、4；再分情况讨论即可． 【详解】解：设边的长度分别是a、b、c， 的周长为12， ； 为最大边， ， ， 三边长都是整数且互不相等， ，即， ，且， 或， 或． 19．如图，在中，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)探究：小明认为如果不知道与的具体度数，只知道，也能得出的度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)可以， 【分析】本题考查角平分线定义、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线定义即可解答； （2）先利用三角形内角和定理可得，然后根据角的和差即可解答； （3）用表示出、，然后根据角的和差可得，最后将代入即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴. ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ （3）解：可以，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 若，则． 20．如图，在中，平分交于点，是的高，与交于点．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及角平分线的定义．由平分，利用角平分线的定义，可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，由是的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，再将其代入中，即可求出的度数． 【详解】解：平分， ． 在中，，， ． 是的高， ， ， ． 21．如图，在中，，平分，交于点E．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及垂直的定义，解题关键是掌握三角形内角和定理，角平分线的定义及垂直的定义．根据三角形内角和定理求出°，利用角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求出，根据垂直的定义可知，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：的度数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$