第03讲 全等三角形的概念（4大考点）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第03讲 全等三角形的概念 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.能够理解全等三角形的概念及其基本性质 2.能够找准全等三角形的对应边，理解全等三角形的对应边角相等 3.进行简单推理计算，解决一些问题 一、全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 二、全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等； ②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 教材习题01 如图，△AOC 与△BOD 全等.用符号“≌”表示这两个三角形全等. 已知∠A 与∠B 是对应角，写出其余的对应角和各对对应边. 解题方法 主要考察全等三角形的性质，根据三角形全等，并且A和B点对应，结合图像，找到全等三角形的剩下对应的角 【答案】 △AOC≌△BOD. 因为∠A 与∠B 是对应角，所以其余的对应角是： ∠AOC 与∠BOD，∠ACO 与∠BDO； 对应边是：OA 与 OB，OC 与 OD，AC 与 BD 考点一：图形的全等 例1．下列各组给出的两个图形中，全等的是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．下列说法中正确的是（    ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．面积相等的两个图形全等 考点二：将已知图形分割成全等图形 例2．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形． 变式2-1．试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影． 变式2-2．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 考点三：全等三角形的概念 例3．说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 变式3-1．和全等，记作 ． 变式3-2．下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 考点四：全等三角形性质 例4．如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 变式4-1．如图，，若，，则的度数为 ． 变式4-2．如图，已知，点E在上，与交于点F． (1)若，，求的长； (2)若，，求的度数． 1．下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 2．下列各组的两个图形属于全等图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的个数（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②钝角三角形的三条高交于三角形外于一点； ③有公共顶点且相等的角是对顶角； ④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ⑤两个长方形一定是全等图形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，已知，，，则的长度可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．如图，沿边所在直线向右平移得到，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，若≌，且，则 ． 10．如图，，若，则BD的长为 ． 11．如图，将直角三角形沿方向平移一定距离得到三角形，若，，，则图中阴影部分面积为 ． 12．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个． 13．如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形．(要求至少要画出两种方法) ．    14．如阔，已知，，，，求的度数和的长．    15．如图，已知△，、、在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并证明． 16．如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 全等三角形的概念 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.能够理解全等三角形的概念及其基本性质 2.能够找准全等三角形的对应边，理解全等三角形的对应边角相等 3.进行简单推理计算，解决一些问题 一、全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 二、全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等； ②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 教材习题01 如图，△AOC 与△BOD 全等.用符号“≌”表示这两个三角形全等. 已知∠A 与∠B 是对应角，写出其余的对应角和各对对应边. 解题方法 主要考察全等三角形的性质，根据三角形全等，并且A和B点对应，结合图像，找到全等三角形的剩下对应的角 【答案】 △AOC≌△BOD. 因为∠A 与∠B 是对应角，所以其余的对应角是： ∠AOC 与∠BOD，∠ACO 与∠BDO； 对应边是：OA 与 OB，OC 与 OD，AC 与 BD 考点一：图形的全等 例1．下列各组给出的两个图形中，全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查识别全等三角形．根据题意找出两个形状大小完全相同的图形即为本题答案． 【详解】解：∵全等图形即形状和大小完全相同的图形， ∴D选项为全等图形， 故选：D． 变式1-1．下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意； D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； 故选：C． 变式1-2．下列说法中正确的是（    ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．面积相等的两个图形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，垂线的定义，点到直线的距离，全等图形的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意； B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，符合题意； C、直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，原说法错误，不符合题意； D、面积相等的两个图形不一定全等，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 考点二：将已知图形分割成全等图形 例2．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形． 【答案】见解析 【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案． 【详解】共有个小正方形， 被分成四个全等的图形后每个图形有， 如图所示： ， 【点睛】本题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键． 变式2-1．试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影． 【答案】见解析（第一个图答案不唯一） 【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【详解】解：第一个图形分割有如下几种： 第二个图形的分割如下： 【点睛】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点． 变式2-2．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示： 故选B． 【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质. 考点三：全等三角形的概念 例3．说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A错误； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B错误； 两个等边三角形，形状相同，边长不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故选项C错误． 长相等的两个三角形不一定全等，故选项D正确； 故选D． 变式3-1．和全等，记作 ． 【答案】 【分析】根据全等符号：，进行作答即可． 【详解】解：和全等，记作， 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是对全等三角形概念的认识，解答的关键是知道全等符号的写法：，本题属于基础题型，要求学生能够熟练掌握各数学符号． 变式3-2．下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义进行判断作答即可． 【详解】解：两个面积相等的图形，不一定是全等图形，A错误，故不符合要求； 若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，B错误，故不符合要求； 两个等边三角形不一定是全等图形，C错误，故不符合要求； 能够完全重合的两个图形是全等图形，D正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 考点四：全等三角形性质 例4．如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 变式4-1．如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 变式4-2．如图，已知，点E在上，与交于点F． (1)若，，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和的定理． （1）利用全等的性质即可求出，然后根据线段的和差即可求出． （2）利用全等的性质求出，然后根据三角形的内角和定理即可求出，然后利用角的和差即可求出． 【详解】（1）（1）∵，， ∴， ∴． （2）∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴. 1．下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 【答案】B 【分析】 本题考查的是全等三角形的定义和性质，掌握全等形的概念、全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的定义和性质判断即可． 【详解】解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误； B、全等三角形的面积相等，该选项正确； C、面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误； D、等边三角形不一定都是全等三角形，该选项错误． 故选：B． 2．下列各组的两个图形属于全等图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意． 故选：D． 3．下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等图形的定义，根据能够完全重合的两个图形称为全等图形进行逐项判断即可． 【详解】解：A中两个图形不是全等图形，故不符合题意； B中两个图形不是全等图形，故不符合题意； C中两个图形是全等图形，故符合题意； D中两个图形不是全等图形，故不符合题意； 故选：C． 4．下列说法正确的个数（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②钝角三角形的三条高交于三角形外于一点； ③有公共顶点且相等的角是对顶角； ④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ⑤两个长方形一定是全等图形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了全等图形的定义、平行线的性质，高线、平行公理，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故①说法错误，不符合题意； ∵钝角三角形的三条高所在直线交于三角形外于一点， ∴故②说法错误，不符合题意； ∵虽然有公共顶点且相等，但一个角的两边不是另一个角两边的反向延长线，这两个角也不是对顶角 ∴③说法错误，不符合题意； ∵两条直线被第三条直线所截，且被截线互相平行，同旁内角互补， ∴④说法错误，不符合题意； ∵两个长方形对应边不一定相等，两个长方形不一定是全等图形， ∴⑤说法错误，不符合题意； ∴正确的个数为0个， 故选：A． 5．如图，已知，，，则的长度可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的三边关系，根据得出对应边相等，即得出，．结合三角形的三边关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ 即 四个选项满足这个范围的是B选项的3， 故选：B． 6．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的知识．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案． 【详解】解：图中的两个三角形全等 与，与分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角 故选：D． 7．如图，沿边所在直线向右平移得到，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的平移，全等三角形的判定和性质，掌握图形平移的性质是解题的关键． 根据图形平移是改变图形的位置，不改变其大小，对应边相等，对应角相等，由此即可求解． 【详解】解：根据平移，，则A正确，不符合题意； 根据对应角相等，则，则B正确，不符合题意； 根据平移的性质，，则，C正确，不符合题意； 根据平移可得，，与不一定相等，则D错误，符合题意； 故选： D． 8．如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意得出，然后进行等量代换求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故选：B 9．如图，若≌，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．如图，，若，则BD的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如图，将直角三角形沿方向平移一定距离得到三角形，若，，，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】34 【分析】本题考查平移性质、全等性质及图形面积等知识，根据平移性质得到，结合全等性质及图形，数形结合表示出，代值求解即可得到答案，数形结合表示出阴影部分面积是梯形的面积是解决问题的关键． 【详解】解：将直角三角形沿方向平移一定距离得到三角形， ， ，， ；； ， 故答案为：． 12．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形、格点三角形的定义，可以以为公共边和以为公共边分别画出个三角形，以为公共边不可以画出三角形，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图所示： ， 以为公共边可以画出、、三个三角形， 以为公共边可以画出、、三个三角形， 故可以画出个， 故答案为：． 13．如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形．(要求至少要画出两种方法) ．    【答案】答案见解析 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可． 【详解】解：如图所示：    故答案是：见解析 【点睛】本题考查了全等图形的定义以及特征---定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形；特征：形状大小相同，能够完全重合． 14．如阔，已知，，，，求的度数和的长．    【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解答本题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的对应角相等求出，最后根据全等三角形的对应边相等求得，最后根据证得即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即． 15．如图，已知△，、、在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质；根据全等三角形的性质可得根据平行线的性质可得，则，进而根据平角的定义，即可得出，即可得证． 【详解】解：．证明如下： ， ． ， ， ． ， ， ． 16．如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 【答案】(1)其他对应边：和，和；对应角：和，和； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应边和对应角的概念即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得：，结合等量代换即可求解 【详解】（1）解：其他对应边：和，和；对应角：和，和； （2）∵， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等，对应角相等，掌握全等三角形的概念是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$