第06讲 二次根式 单元综合检测（难点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第06讲 二次根式 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中． 【解析】解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中， 二次根式有：（x＞0），，，共3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中． 2．在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可． 【解析】解：不能再化简，是最简二次根式； ，不是最简二次根式， ，不是最简二次根式， 不能再化简，是最简二次根式； ，不是最简二次根式， 即最简二次根式有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质、最简二次根式的概念是解题的关键． 3．下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可． 【解析】A.，不是互为倒数，选项错误； B.若，由于，则，选项错误； C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确； D.由可得，结合可得，，则，选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键． 4．下列各题计算中，正确的是（   ） A． B．- C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的双重非负性判断A、B；利用二次根式混合运算法则判断C、D. 【解析】A.，若a＜b，则，故A选项错误； B. -，故B选项错误； C. ，故C选项错误；     D. ，正确； 故选D 【点睛】本题考查二次根式相关知识点，熟练掌握二次根式的双重非负性以及二次根式混合运算法则是解题关键. 5．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题． 【解析】 ∴a的小数部分为， ∴b的小数部分为， ∴， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答． 6．若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【解析】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 二、填空题 7．若代数式 有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据二次根式的意义、分式有意义的条件列不等式组求解即可；掌握二次根式的被开方数大于等于零，分式的分母不等于零是解题的关键． 【解析】解：由题意可得：，解得：且． 故答案为：且． 8．若是正整数，则整数可取的最小值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了二次根式的性质，整理，再结合“是正整数”以及“是整数”，进行作答． 【解析】解：依题意，得， ∵是正整数，且是整数， ∴整数可取的最小值为15， 故答案为：15． 9．如果，那么等式成立的条件是 . 【答案】/ 【分析】 本题主要考查了二次根式的性质，求不等式组的解集，解题的关键是根据二次根式的性质得出，，再求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴等式成立的条件是：， 故答案为：． 10．将根号外的因式移到根号内： 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，得，结合乘方的性质，推导得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【解析】根据题意，得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘方、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 11．若 ，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，，再根据二次根式的性质，即可化简． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，，． 12．如果，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题关键．先根据二次根式的分母有理化可得，从而可得，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可得． 【解析】解：， ， ， ． 故答案为：． 13．已知，求的取值范围 【答案】 【分析】根据二次根式性质先化简，再由去绝对值的代数意义分类讨论求解即可得到答案． 【解析】解：， ， 当时，，原式，不合题意； 当时，，原式，符合题意； 当时，，原式，不合题意； 综上所述，当时，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式性质及去绝对值运算，熟记二次根式性质及绝对值代数意义是解决问题的关键． 14．已知，化简 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质得，然后利用x的范围去绝对值后合并即可 【解析】， 原式 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键． 15．已知 ， 且，则 ． 【答案】 【分析】先根据，且，判断出x、y的关系代入求出算式的值是多少即可． 【解析】∵， ∴， 又，， ∴，， ∴，即， 当时， 原式 ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 16．已知是两两不相等的实数，且满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，确定出，，代入原式即可解决问题． 【解析】解：，，是两两不相等的实数且满足， 又， ，，，， 原式． 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的性质、解题的关键是根据条件确定出，，记住二次根式的被开方数是非负数这个隐含条件，属于中考常考题型． 17．满足等式的正整数对的个数有 个 【答案】8 【分析】先将等式变为，得出，从而得出，写出正整数对即可得出答案． 【解析】解：等式可变为： ， ∵， ∴， 即， ∴， 则正整数对可以是： ，，，，，，，， ∴满足已知等式的正整数对共有8个． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是的得到． 18．定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为， 即：当为非负整数时，如果，则． 如：，，， 试解决下列问题： ① ；② ； ③ ． 【答案】 2 3 /0.9995044599 【分析】①直接根据新定义，即可求解； ②根据题意，先推导出等于什么，再比较与的大小关系，可得，即可求解； ③根据，原式可变形为，即可求解． 【解析】解：①； ②∵， ∴， 当时，； 当为正整数时，∵， ∴， ∴， ∴：， ∴， ∴． ③∵， ∴ ． 故答案为①2；② 3；③ ． 【点睛】解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n为非负整数时，，从而得到；解题③的要点是：当n为正整数时，． 三、解答题 19．计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)当，时，原式；当，时，原式 (3)当时，原式；当时，原式 【分析】（1）先将二次根式进行化简，然后去括号计算加减即可； （2）先将二次根式化简，然后分情况讨论即可； （3）先将二次根式化简，然后分情况讨论即可． 【解析】（1）解：原式 ； （2）原式 当，时，原式， 当，时，原式； （3）原式 当时，原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和计算，注意对字母取值范围的讨论． 20．计算：（）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式乘除法和性质，先根据二次根式的乘除法运算法则计算，再利用性质化简即可求解．掌握二次根式的运算法则是解答的关键． 【解析】解： ． 21．（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）解方程：； （5）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【分析】（1）利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式，即得； （2）利用二次根式的性质，二次根式的乘除法法则进行计算； （3）利用平方差公式，负整数指数幂的法则，分母有理化，合并同类二次根式，即得； （4）利用解一元一次方程的一般步骤去分母，去括号，移项合并同类项，系数化成1，即得； （5）利用二次根式的性质，分母有理化，0指数幂性质化简，合并同类二次根式，即得． 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化成1得，； （5） ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解一元一次方程．熟练掌握二次根式的性质，二次根式混合运算的顺序和各种运算的法则，分母有理化，0指数幂性质，负整数幂性质，一元一次方程的解法，是解决问题的关键． 22．将下列式子化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a的符号，再根据化简即可. （2）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a的符号，再化简即可. （3）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a-1的符号，再化简即可. 【解析】（1）      ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号． 23．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）根据二次根式运算法则，先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律计算，最后分母有理化即可得解； （2）根据二次根式运算法则，先将除法转化为乘法，再利用二次根式的乘法计算即可得解； （3）先将除法转化为乘法，再根据二次根式乘法，再计算二次根式的加法即可得解． 【解析】（1）原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． 24．已知，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，求出原式为，然后代入求值即可． 【解析】解：∵， ∴ ． 25．化简求值：当时， (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1)；20 (2)； 【分析】（1）利用完全平方公式分解因式，再代入数据即可求解； （2）利用完全平方公式和提公因式分解因式，再代入数据即可求解． 【解析】（1）解：， ∵， ∴原式 ； （2）解：， ∵， ∴原式． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式分母有理化的能力． 26．在数学学习中，小明遇到一道题：已知，求的值．小明是这样解答的：∵，．请你根据小明的解题过程，解决下列问题： (1)填空：_______，_______； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算： （1）先分子和分母都乘进行分母有理化即可；分子和分母都乘进行分母有理化即可； （2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【解析】（1）解：， ， 故答案为：；； （2）解： ． 27．观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，验证见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式． （1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：． 【解析】（1） 验证： ； （2）． 验证： ． 28．材料：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径．恒等变形，是代数式求值的一个重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 如：当时，求的值．若直接把代入所求的式中进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答． 方法：将条件变形，由，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算． 由，平方得，整理可得：，即． 所以 请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题： (1)若，则_____________，_____________； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)2；2 (2)8 (3)2022 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，完全平方公式，分式的化简求值： （1）根据完全平方公式求出，把代入计算求出； （2）把进行恒等变形，从而得到，代入计算即可； （3）先进行分母有理化，可得，从而得到，进而可得，然后再代入计算即可； 掌握代数式的恒等变形方法是解题的关键． 【解析】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：2；2． （2）， ，，， ， ， ． （3）， ， ， ， ， ， ． 29．【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，，    ∴， ∴． ∴时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)用一段长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少； (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； (2)菜园的长为50m，宽为m时，面积最大为； (3)四边形面积的最小值为． 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （2）设垂直于墙的一边为xm，利用矩形的面积公式得到菜园的面积关于x的关系式，再利用非负数的性质求解即可； （3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【解析】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （2）解：设一边为xm，则另一边长为m， ∴菜园的面积， 又∵， ∴当时，菜园的面积有最大值为1250， 答：菜园的长为50m，宽为m时，面积最大为； （3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为， 又∵、的面积分别是2和3， ∴，， ∴， ∴ ∵． ∴当且仅当时，取等号，即的最小值为， ∴四边形面积的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二次根式 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 4．下列各题计算中，正确的是（   ） A． B．- C． D． 5．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若代数式 有意义，则的取值范围是 ． 8．若是正整数，则整数可取的最小值为 ． 9．如果，那么等式成立的条件是 . 10．将根号外的因式移到根号内： 11．若 ，，则 ． 12．如果，则 ． 13．已知，求的取值范围 14．已知，化简 ． 15．已知 ， 且，则 ． 16．已知是两两不相等的实数，且满足，则的值为 ． 17．满足等式的正整数对的个数有 个 18．定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为， 即：当为非负整数时，如果，则． 如：，，， 试解决下列问题： ① ；② ； ③ ． 三、解答题 19．计算下列各式： (1) (2) (3) 20．计算：（）． 21．（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）解方程：； （5）计算：． 22．将下列式子化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 23．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 24．已知，求代数式的值． 25．化简求值：当时， (1)求的值； (2)求的值 26．在数学学习中，小明遇到一道题：已知，求的值．小明是这样解答的：∵，．请你根据小明的解题过程，解决下列问题： (1)填空：_______，_______； (2)化简：． 27．观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 28．材料：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径．恒等变形，是代数式求值的一个重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 如：当时，求的值．若直接把代入所求的式中进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答． 方法：将条件变形，由，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算． 由，平方得，整理可得：，即． 所以 请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题： (1)若，则_____________，_____________； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 29．【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，，    ∴， ∴． ∴时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)用一段长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少； (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$