第04讲 二次根式的加减及混合运算（十一大题型）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第04讲 二次根式的加减及混合运算（十一大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（十一大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、 掌握二次根式的加减及混合运算； 2、 理解分母有理化，会求有理化因式； 3、 了解二次根式混合运算的应用. 1.二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 即： ； 【方法规律】 （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 2.分母有理化 思考：把代数式和中分数线下的式子看作分母，前一个分母是根式，后一个分母是整式，这两个分母之间有什么关系？怎样把转化为3b? 把的分数线上，下两式看作两个数相除，利用除法的性质以及根式乘法的法则可得 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。分母有理化的方法：一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。 3. 有理化因式 思考： 利用平方差公式，得 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。如与互为有理化因式；与也互为有理化因式。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 【方法规律】 (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 5.二次根式的比较大小 1. 能化简成同类二次根式的，化简后比较系数，系数大的二次根式就大； 2. 不能化简成同类二次根式的： （1） 正数大于负数； （2） 同为正数时，进行平方运算，结果大的二次根式就大； 6．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型1：二次根式的加减法-数字型 1．的计算结果是（       ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次根式的运算法则即可求解． =, 故选C． 【点睛】 此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 2．化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】 先进行化简，然后作差求解即可． 解：原式 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的化简与减法运算．解题的关键在于正确的计算． 3．计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】 首先化简二次根式，进而合并求出即可． 解：原式． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 题型2：二次根式的加减法-字母型 4．计算：（1）________；            （2）_________． 【答案】          【解析】 【分析】 根据合并同类二次根式的法则计算即可； 解：（1）， （2）； 故答案为：， 【点睛】 本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握合并同类二次根式的法则是解题的关键 5．计算；（1）________；（2）________． 【答案】          或 【解析】 【分析】 （1）先化简二次根式，然后根据合并同类二次根式的法则计算即可； （2）讨论x和a同时大于0和同时小于0，利用二次根式的性质化简即可． 解：（1）， （2）∵和有意义， ∴ 当，时； 当，时； 故答案为：，或 ． 【点睛】 本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握合并同类二次根式的法则是解题的关键． 6．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________． 【答案】6-2 【解析】 合并同类二次根式得： 5-3-7+9=6-2. 故答案：6-2. 7．的值一定是（       ） A．正数 B．非正数 C．非负数 D．负数 【答案】B 【解析】 【分析】 先化为最简二次根式，然后合并同类项，再根据二次根式有意义确定,，最后确定值的符号即可． 解: = ∵有意义， ∴,， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次根式的化简，及二次根式的加减运算，二次根式有意义条件，熟知此知识点是解题的关键． 题型3：二次根式的混合运算-数字型 8．计算：_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】 先把分子中的二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算． 解：原式＝． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，然后进行二次根式的乘除运算． 9．计算：（       ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式的性质化简括号内的式子，再进行减法运算，最后进行除法运算即可． 原式． 故选C． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简是解题的关键． 10．计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】 根据二次根式的运算法则和零指数的性质进行计算即可． 解：原式 故答案为1． 【点睛】 本题考查了二次根式的运算法则和零指数，解题关键是熟练运用相关法则，准确进行计算． 11．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先化简各个二次根式再合并即可. 解：. 故选A. 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简与同类二次根式的合并是解题的关键. 12．计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】 利用二次根式的混合运算法则计算即可． 解： = =． 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则． 13．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的混合运算法则进行计算即可 原， 故选D． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 题型4：分母有理化 14．计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】 先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． 解： 故答案为：． 【点睛】 本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键． 15．计算：． 【答案】 【解析】 【分析】 分别根据分母有理化、二次根式的乘法和二次根式的性质化简与计算，再合并同类二次根式即可． 解： = =． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先分母有理化，然后合并同类二次根式即可求解． 【解析】解： 17．化简：； 【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算及分母有理化，原式进行分母有理化后再进行计算即可得出答案 【解析】解： 题型5：有理化因式 18．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理化因式的定义，平方差公式，根据有理化因式的定义即可解答． 【解析】解：∵， ∴的一个有理化因式是， 故选：C． 19．的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键． 根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答． 【解析】解：∵， ∴的有理化因式是． 故选：B． 20．下列式子中，是的有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理化因式的特点：单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式．然后根据题意就可以求出其解． 【解析】由题意，得的有理化因式是：， 故选：A． 【点睛】本题考查有理化因式，单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式． 21．写出2﹣n的一个有理化因式： ． 【答案】 【分析】根据平方差公式即可得出答案． 【解析】解：2﹣n的有理化因式2+n， 故答案为2+n． 【点睛】此题考查了有理化因式的定义：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式，及平方差计算公式，熟记有理化因式的定义是解题的关键． 题型6：分母有理化的代数应用 22．式子的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式分母有理化的方法进行化简即可． 【解析】解：的倒数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，解题关键是熟练运用二次根式性质进行分母有理化． 23．已知则a与b的关系是(  ) A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【答案】A 【分析】把的分子分母同乘（），进一步化简与a比较得出结论即可． 【解析】== （）， a=， ∴a与b互为相反数. 故选A. 【点睛】本题考查分母有理化. 24．甲，乙两同学对代数式(m＞0，n＞0)分别作了如下变形： 甲：； 乙：． 关于这两种变形过程的说法正确的是(　　) A．甲，乙都正确 B．甲，乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】甲的做法是先把分母有理化，再约分；乙的做法是先把分子分解因式，再约分．计算过程中，要考虑m=n这种情况． 【解析】甲的做法是先把分母有理化，再约分，如果m=n则化简不成立； 乙的做法是先把分子分解因式，再约分，正确． 故本题选D． 【点睛】本题考查的是分母有理化的计算方法． 25．若a＝，b＝2+，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将a乘以可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能得出的值． 【解析】a＝•＝． ∴． 故选B． 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式． 题型7：二次根式的大小比较 26．请用“，，”符号比较大小：__________． 【答案】＞ 【解析】 【分析】 求出，再比较大小即可． 解：， ∵18＞12， ∴， 故答案为：＞． 【点睛】 本题考查了二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键． 27．比较大小：______；化简：＝______． 【答案】          ## 【解析】 【分析】 根据可推出，从而可比较两数大小；利用平方差公式分母有理化即可． 解：∵， ∴， ∴即， ∴； ， 故答案为：； ． 【点睛】 本题考查实数的大小比较，和二次根式的化简．能正确得出和利用平方差公式分母有理化是解题关键． 28．比较大小：（1）_________； （2）_________； （3）_________； （4）_________． 【答案】     > ，     < ，     > ，     < 【解析】 【分析】 （1）先将，变形为 ，有，即可比较大小； （2）利用作差法，即可比较大小； （3）利用作商法，即可比较大小； （4）先将，化为，，又有，即可比较大小． 解：（1）∵，且， ∴， ∴； （2）∵，又∵， ∴，即， ∴； （3）∵， ∴； （4）∵， ， ， ∴， 即． 故答案为：（1）>；（2）<；（3）>；（4）<． 【点睛】 本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 题型8：二次根式的混合运算-字母型及复合型 29．若m，n为有理数，且，则mn=_____. 【答案】1 【解析】 【分析】 利用二次根式的运算法则将已知等式化简，求出m、n的值，代入mn即可求解. =m+n           3= m+n 4= m+n 16+1=4m+4 n ∴4m=1,       4n=16, ∴m=，   n=4，mn=4= 1. 故答案为1. 【点睛】 本题考查二次根式的化简求值. 30．若a、b为有理数，且，则________，________． 【答案】     0      【解析】 【分析】 先把等式的左边化简，再合并同类二次根式，再利用实数的无理数性质可得答案． 解： ∵， ∴， ∴， ∴a=0，b=． 故答案为：0;． 【点睛】 本题考查的是二次根式的加减运算，实数中无理数的性质，掌握合并同类二次根式与实数中无理数的性质是解题的关键． 31．已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据a与b的值结合选项进行一一比较及计算即可结论． ∵，， ∴，A选项不正确； ∴ ∴B、C选项都不正确； ∴，D选项正确． 故选D． 【点睛】 此题考查了二次根式求值运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键． 32．已知：，，则的值为（       ） A．5 B．-5 C．25 D．5或-5 【答案】A 【解析】 【分析】 首先由a+b=-5，ab=1得出a、b的取值范围，然后使原式分母有理化，再由a、b的取值范围确定所求值的符号，通分化简代入求值； 解：∵ab=1＞0，∴a、b同号， 又∵a+b=-5＜0，∴a＜0，b＜0． ； 故选：A 【点睛】 此题考查的知识点是二次根式的化简求值，关键是体现了整体代入思想，还要注意字母的取值． 33．已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 先把所求代数式通分，再把x、y的值代入进行计算即可． 解：， 将，代入 得：原式=， 故答案为：8． 【点睛】 本题考查了二次根式的化简求值，结合平方差公式以及完全平方公式是解题的关键． 题型9：二次根式的混合运算与分式 34．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】 根据分式的加减乘除法则进行化简，然后代入数值计算即可． 解：原式 当时，原式 ． 【点睛】 本题考查了分式加减乘除的混合运算，分式的化简求值，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确进行化简． 35．已知，则的值． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据分母有理化化简x，再把原式变形即可求解． ∵ ∴． 【点睛】 此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知二次根式、分式及完全平方公式的运算． 36．先化简，再求值： 已知a＝，求的值． 【答案】，3 【解析】 【分析】 先化简得，再将代入即可得． 解：原式= = = 当代入得： ． 【点睛】 本题考查了整式的化简求值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 题型10：复杂的二次根式混合运算 37．计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】 先把二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可求得结果． 解： =． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算． 38．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）先把括号内的二次根式化简及除法运算，再计算二次根式的除法运算，最后合并同类二次根式即可； （2）先计算括号内的二次根式的减法运算，再计算二次根式的除法运算，从而可得答案. (1) 解： (2) 解： 【点睛】 本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键. 39． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据完全平方公式和平方差公式将原式变为，再利用分式的性质和二次根式的加减计算法则进行化简即可． 解： ． 【点睛】 本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，分式的化简，二次根式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 40．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）先化为最简二次根式，再利用二次根式的加减法则进行计算； （2）利用二次根式的乘除法则及分式乘法运算法则进行计算即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，分式的乘法运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 题型11：二次根式混合运算的代数、几何应用 41．一个长方形的长和宽分别是和，这个长方形的长与宽的和=________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据长+宽列式，利用二次根式的性质化简，再进行二次根式的加法计算即可． 解：这个长方形的长与宽的和 = ． 故答案为． 【点睛】 本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简方法． 42．解不等式： 【答案】 【解析】 【分析】 根据解不等式的步骤解不等式即可． 解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得，即． 【点睛】 本题考查了一元一次不等式的解法和分母有理化，本题的易错点是易忽略． 43．解不等式：； 【答案】 【分析】 本题主要考查解一元一次不等式和分母有理化，先将含有x的项移到不等式的左边，不含x的项移到不等式的右边，运用不等式的性质进行解答即可 【解析】解：， ， ， ， ， 解得， 44．如图是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为的小数部分，则输出的数值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可得：程序所代表的代数式为，再由x为的小数部分，可得到，代入即可求解． 解：程序所代表的代数式为， ∵x为的小数部分， ∴， 当时， 输出的值为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的混合运算，根据程序图得到程序所代表的代数式为是解题的关键． 45．宋代数学家秦九韶，古希腊数字家海伦在探究三角形面积的求解过程中发现，若一个三角形的三边长分别为，，，设，则这个三角形面积为：，并进行了严格证明，这个公式叫海伦秦九韶公式，当，，时，三角形边上的高等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意易得，则有，设边上的高为，进而问题可求解． 解：由题意，得：，，； ； ； 设边上的高为，则， ， 故选：． 【点睛】 本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 46．若＝2.5，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 设=a，将原等式变形后可求得a的值，代入所求式子可得结论． 设=a，则24-t2=a2，8-t2=a2-16， ∵−=2.5， a-=， a−＝， 两边同时平方得：(a−)2＝a2−16， 解得：a=， 则， =+， =+， =+， =+， =， 故答案为． 【点睛】 本题是二次根式的化简求值问题，利用换元法，将原方程转化为关于a的方程，解方程可解决问题，计算量大，要细心． 一、单选题 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分母有理化，再根据相反数的定义进行解答即可． 【解析】解：， 则的相反数是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查分母有理化，相反数，解题的关键是熟知相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数． 2．化简得（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则．根据二次根式的运算即可化简求解． 【解析】解：原式 ． 故选：A． 3．已知，下列各式为负值的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分母有理数、二次根式的混合运算等知识点，掌握分母有理化的方法成为解题关键． 先对分母有理化，然后再分别代入各选项计算判断即可． 【解析】解：∵． ∴A.,不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意． 故选C． 4．的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理化因式的定义：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．根据定义即可求解． 【解析】解：∵， 又 ∴ 故的有理化因式为 故选：A． 5．的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可． 【解析】解：∵， ∴的一个有理化因式是． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理化因式的定义：两个含二次根式的非零代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一般地，的有理化因式是；的有理化因式是． 6．估计的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，先根据二次根式的混合运算法则进行计算，并估算无理数的大小即可得出答案． 【解析】解： ， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可． 【解析】A.，不是互为倒数，选项错误； B.若，由于，则，选项错误； C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确； D.由可得，结合可得，，则，选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键． 8．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A．6 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【解析】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2， 三个小正方形的边长分别为、、． 由题图知：大正方形的边长为：． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，用小正方形的边长表示出大正方形的边长是解决本题的关键． 9．已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】将化为，将，代入值进行计算即可得到答案． 【解析】解：， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查求代数式的值，将式子进行配方以及采用整体代入法是解题的关键． 10．对于任意的正数x、y的新定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，二次根式混合．理解新定义和掌握二次根式加减运算法则是解题的关键． 先根据新定义运算，将原式转化成二次根式加减运算，再根据二次根式加减运算法则计算即可． 【解析】解： ． 故选：D． 二、填空题 11．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系再进一步可得答案．先求，，再比较大小，再进一步可得答案． 【解析】解：∵， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 12．计算： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．直接利用二次根式的性质化简，再计算二次根式的加减得出答案． 【解析】解： ． 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式及积的乘方的逆用，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据积的乘方、平方差公式及二次根式的运算法则进行求解． 【解析】解：原式 ； 故答案为． 14．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，利用不等式的基本性质，将不等式未知项和常数项各移到一边，解得的解集，解题的关键是熟悉不等式的基本性质：不等式的两边同时除以负数，不等号的方向发生改变． 【解析】解：由，得： ， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．在数轴上，表示到这个点的距离为的点对应的数是： ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、实数与数轴、二次根式的加减，分两种情况：当这个点在左边时；当这个点在右边时；分别列出式子，计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解析】解：当这个点在左边时，这个点对应的数为：， 当这个点在右边时，这个点对应的数为：， 综上所述，表示到这个点的距离为的点对应的数是：或， 故答案为：或． 16．若的整数部分是，小数部分是，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，估算无理数大小要用逼近法．先求出，再用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 根据，确定a和b的值，然后计算即可． 【解析】解：， ∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分为， ∴ ， 故答案为：． 17．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题关键．先化简分式，再将代入化简后的分式，计算即可． 【解析】 解： ， 将代入得：原式． 故答案为：． 18．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是逐步把代入所求式子进行化简求值． 三、解答题 19．计算： 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算乘法与除法运算，再合并即可． 【解析】解： ； 20．计算：； 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确化简二次根式是计算本题的关键． 先去括号和分母有理化，再进行二次根式的加减运算即可． 【解析】 ． 21．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【解析】解：原式 ． 22．计算： 【答案】 【分析】利用二次根式的混合运算法则及二次根式的性质：即可求解． 【解析】解：原式 【点睛】本题考查二次根式的混合运算、二次根式的性质．掌握相关结论是解题关键． 23．计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，分母不变，分子利用完全平方公式和平方差公式变形，然后化简求解即可．解题的关键是将分子利用完全平方公式和平方差公式变形． 【解析】 ． 24．先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算及分式的约分，掌握分式的约分运算法则是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 25．化简并求值：，其中． 【答案】，4 【分析】 本题主要考查二次根式的化简求值，根据已知条件求出的值，再将原式化简为，最后代入求值即可． 【解析】解： ∵ ∴原式 =． 26．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ； (2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)28或12 (3) 【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b； （2）利用完全平方公式展开可得到，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分别计算即可； （3）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果． 【解析】（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：，； （2）∵， ∴，6=2mn， ∴mn=3． ∵a、m、n均为正整数， ∴m=1，n=3或m=3，n=1． 当m=1，n=3时，； 当m=3，n=1时，． ∴a的值为28或12； （3）令， 则 ∴． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键． 27．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见详解 【分析】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）比较与的大小，即可获得答案． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2） ． 故答案为：； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． 28．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是． 印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数) 根据上述信息解决下列问题： （1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是　　　　　　　　　　　　 （2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．    【答案】（1）；（2） 【分析】(1)根据三角形的面积公式直接代入数据计算即可； 【解析】(1)p=， ∴三角形的面积是： ； (2) ， ∴， ， ∴， ∴ ， 又， ∴， ∴这个零件平面图的面积是． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据题目给出的公式代入计算．还考查了计算能力． 29．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【解析】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次根式的加减及混合运算（十一大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（十一大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、 掌握二次根式的加减及混合运算； 2、 理解分母有理化，会求有理化因式； 3、 了解二次根式混合运算的应用. 1.二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 即： ； 【方法规律】 （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 2.分母有理化 思考：把代数式和中分数线下的式子看作分母，前一个分母是根式，后一个分母是整式，这两个分母之间有什么关系？怎样把转化为3b? 把的分数线上，下两式看作两个数相除，利用除法的性质以及根式乘法的法则可得 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。分母有理化的方法：一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。 3. 有理化因式 思考： 利用平方差公式，得 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。如与互为有理化因式；与也互为有理化因式。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 【方法规律】 (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 5.二次根式的比较大小 1. 能化简成同类二次根式的，化简后比较系数，系数大的二次根式就大； 2. 不能化简成同类二次根式的： （1） 正数大于负数； （2） 同为正数时，进行平方运算，结果大的二次根式就大； 6．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型1：二次根式的加减法-数字型 1．的计算结果是（       ） A．5 B． C． D． 2．化简：______． 3．计算：______． 题型2：二次根式的加减法-字母型 4．计算：（1）________；            （2）_________． 5．计算；（1）________；（2）________． 6．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________． 7．的值一定是（       ） A．正数 B．非正数 C．非负数 D．负数 题型3：二次根式的混合运算-数字型 8．计算：_____________． 9．计算：（       ） A．4 B．5 C．6 D．8 10．计算：________． 11．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 12．计算：______． 13．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 题型4：分母有理化 14．计算：______． 15．计算：． 16．计算： 17．化简：； 题型5：有理化因式 18．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 19．的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 20．下列式子中，是的有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 21．写出2﹣n的一个有理化因式： ． 题型6：分母有理化的代数应用 22．式子的倒数是（    ） A． B． C． D． 23．已知则a与b的关系是(  ) A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 24．甲，乙两同学对代数式(m＞0，n＞0)分别作了如下变形： 甲：； 乙：． 关于这两种变形过程的说法正确的是(　　) A．甲，乙都正确 B．甲，乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 25．若a＝，b＝2+，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型7：二次根式的大小比较 26．请用“，，”符号比较大小：__________． 27．比较大小：______；化简：＝______． 28．比较大小：（1）_________； （2）_________； （3）_________； （4）_________． 题型8：二次根式的混合运算-字母型及复合型 29．若m，n为有理数，且，则mn=_____. 30．若a、b为有理数，且，则________，________． 31．已知，则（       ） A． B． C． D． 32．已知：，，则的值为（       ） A．5 B．-5 C．25 D．5或-5 33．已知，，则______． 题型9：二次根式的混合运算与分式 34．先化简，再求值：，其中． 35．已知，则的值． 36．先化简，再求值： 已知a＝，求的值． 题型10：复杂的二次根式混合运算 37．计算：． 38．计算： (1)； (2)． 39． 40．计算： （1）； （2）． 题型11：二次根式混合运算的代数、几何应用 41．一个长方形的长和宽分别是和，这个长方形的长与宽的和=________． 42．解不等式： 43．解不等式：； 44．如图是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为的小数部分，则输出的数值为_________． 45．宋代数学家秦九韶，古希腊数字家海伦在探究三角形面积的求解过程中发现，若一个三角形的三边长分别为，，，设，则这个三角形面积为：，并进行了严格证明，这个公式叫海伦秦九韶公式，当，，时，三角形边上的高等于（   ） A． B． C． D． 46．若＝2.5，则的值为_____． 一、单选题 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．化简得（　　） A． B． C．2 D． 3．已知，下列各式为负值的是（    ）． A． B． C． D． 4．的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 5．的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 6．估计的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 7．下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 8．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A．6 B．16 C． D． 9．已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 10．对于任意的正数x、y的新定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．比较大小： ． 12．计算： ． 13．计算： ． 14．不等式的解集是 ． 15．在数轴上，表示到这个点的距离为的点对应的数是： ． 16．若的整数部分是，小数部分是，则 ． 17．已知，则 ． 18．已知，则的值为 ． 三、解答题 19．计算： 20．计算：； 21．计算：． 22．计算： 23．计算： 24．先化简，再求值：已知，求的值． 25．化简并求值：，其中． 26．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ； (2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值； (3)化简：． 27．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 28．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是． 印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数) 根据上述信息解决下列问题： （1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是　　　　　　　　　　　　 （2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．    29．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$