第12讲 一元二次方程根的判别式（九大题型）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第12讲 一元二次方程根的判别式（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证. 2、根据根的情况，运用根的判别式求参数. 3、掌握根的判别式与其他模块知识结合及应用 一、情境导入，初步认识 1.用配方法解方程： （1）x2+3x+2=0；（2）2x2-3x+5=0. 2.由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？ 二、思考探究，获取新知 1.用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0） 分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去. 解：移项，得：ax2+bx=-c 因为a≠0，所以方程两边同除以a得： x2+x= 配方，得：x2+x+（）2=+（）2 即（x+）2= ∵a≠0,∴4a2>0 当b2-4ac≥0时，≥0 ∴x+=± 即x= ∴x1=， x2=. 当b2-4ac＜0时，方程无解. 【归纳结论】由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子 x=（b2-4ac≥0） 就可求出方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错.（2）式子b2-4ac≥0是公式的一部分. 2.确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式，注意a，b，c的符号. 3.你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？ 【归纳结论】首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解. 题型1：根据一元二次方程根的判别式符号判断根的情况 1．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 2．关于x的方程（x+1）2﹣3（x+1）＝2的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 3．一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（  ） A．17 B．1 C．－1 D．－17 4．方程的根的判别式Δ＝ ，其根的情况 ． 题型2：根据一元二次方程根的情况求参数范围 5．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（   ） A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1 6．若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 7．如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 8．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 9．已知x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 10．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么m的值为 ． 11．如果关于的方程有两个实数根，那么满足 12．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数是 ． 13．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是 ． 14．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程kx2-（k+2）x+k=0进行了讨论： 甲说：这一定是关于x的一元二次方程； 乙说：这有可能是关于x的一元一次方程； 丙说：当k≥-1时，该方程有实数根； 丁说：只有当k≥-1且k≠0时，该方程有实数根． A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丙说的对 D．乙和丁说的对 题型3：根据条件，判断结论对错 15．以下关于一元二次方程的根的说法中，不正确的是（    ） A．若c＝0，则方程一定有一根为0； B．若，则方程一定有两个实数根； C．若，则方程必有一根为－1； D．若，则方程必有两个不相等的实数根． 16．对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型4：复杂的知根求参，知参求根 17．已知a、b、c为常数，且a（a+b+c）＜0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根 18．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（    ） A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1 C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1 题型5：解答综合题 19．已知关于的一元二次方程． (1)如果是该方程的一个根，求另一个根； (2)如果方程有两个实数根，求的取值范围． 20．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的a、b的值； (2)当时，试判断方程根的情况． 21．已知关于的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 题型6：代数应用（与分式、不等式组等） 22．如果对于分式，存在两个数使分式没有意义，则m的取值范围是 ． 23．如果关于x的方程有正数解，且关于x的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的所有整数a的和是（    ） A． B．0 C．3 D． 24．若关于x的一元二次方程有实数根，且不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的个数是 ． 题型7：分类讨论思想 25．满足方程的整数对有（    ） A．0对 B．2对 C．4对 D．6对 26．关于x的方程，给出下列四个题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根       ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根       ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型8：新定义题 27．新概念运算：运算符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请根据上述规定判断关于x的二阶行列式：根的情况 ． 28．新定义：《，，》为一元二次方程(其中为实数)的“共同体数”，如：的“共同体数”为《1，2，》，以下“共同体数”中能让一元二次方程有两个不相等的实数根的是(    ) A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《，，》 D． 29．对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为快乐数”、例如，，因为，所以是“快乐数”．则最大的“快乐数”是 ：若一个“快乐数”（、b、，a、b、c为自然数），且使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，则k的值为 ． 30．方程的根是（   ） A． B． C． D． 31．已知和是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．6 D． 32．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2024 B．2027 C．2032 D．2035 *题型9：根与系数的关系 33．已知一元二次方程 的两根为、 ，则 ． 34．设、是一元二次方程的两个根，且，则 ． 35．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 36．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 一、单选题 1．下列方程中，无实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 2．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ）． A． B．0 C．1 D．4 3．如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 4．关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 5．若关于x的方程有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 7．若一元二次方程没有实数根，则代数式的值一定是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．小于1 8．小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小1，则原方程的根的情况是（    ） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有另一个根是 D．有两个相等的实数根 9．定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（    ） A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 10．关于的一元二次方程，给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是(  ) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 11．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 12．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是 ． 13．若一元二次方程无解，则c的取值范围为 ． 14．关于x的方程． （1）有实数根，则k的取值范围是 ； （2）无实数根，则k的取值范围是 ； （3）有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ； （4）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 15．关于x的方程x2＋bx＋c=0有两个相等的实数根，x取m和m＋2时，代数式x2＋bx＋c的值都等于n，则n= ． 16．若k为实数，关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5=0有实数根，则实数k的取值范围为 ． 17．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是 ． 18．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①a+c=0，方程ax2+bx+c=0，有两个不相等的实数；②若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根．则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立，其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题 19．若关于x的一元二次方程x2-3x+a-2＝0有实数根． （1）求a的取值范围； （2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解． 20．已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）请选择一个合适的m值，写出这个方程并求出此时方程的根． 21．已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，判断方程两根是否都在－2与0之间 22．已知关于的方程． (1)试判断方程根的情况； (2)若=2是方程的一个根，求的值； (3)是否存在实数，使方程与方程有一个相同的根？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 23．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 24．发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____． (2)探究应用： 请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求的值． 25．材料阅读： 韦达定理： 已知是一元二次方程的两个实数解，则 已知是一元二次方程 的两个实数根， (1)请用含的代数式表示 ___________；___________ (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值：者不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使的值为整数的实数的整数值． 26．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 一元二次方程根的判别式（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证. 2、根据根的情况，运用根的判别式求参数. 3、掌握根的判别式与其他模块知识结合及应用 一、情境导入，初步认识 1.用配方法解方程： （1）x2+3x+2=0；（2）2x2-3x+5=0. 2.由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？ 二、思考探究，获取新知 1.用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0） 分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去. 解：移项，得：ax2+bx=-c 因为a≠0，所以方程两边同除以a得： x2+x= 配方，得：x2+x+（）2=+（）2 即（x+）2= ∵a≠0,∴4a2>0 当b2-4ac≥0时，≥0 ∴x+=± 即x= ∴x1=， x2=. 当b2-4ac＜0时，方程无解. 【归纳结论】由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子 x=（b2-4ac≥0） 就可求出方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错.（2）式子b2-4ac≥0是公式的一部分. 2.确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式，注意a，b，c的符号. 3.你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？ 【归纳结论】首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解. 题型1：根据一元二次方程根的判别式符号判断根的情况 1．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根的判别式的意义对A选项和C选项进行判断；通过解方程对B选项和D选项进行判断． 【解析】A．，方程没有实数解，所以A选项符合题意； B．或，解得，所以B选项不符合题意； C．方程化为一般式为，则，方程有两个不相等的实数解，所以C选项不符合题意； D．，解得，所以D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 2．关于x的方程（x+1）2﹣3（x+1）＝2的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式△＝b2﹣4ac的关系求出△的值，再与0进行比较，即可得出答案． 【解析】解：方程（x+1）2﹣3（x+1）＝2化为一般形式为：x2﹣x﹣4＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0， ∴有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根． 3．一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（  ） A．17 B．1 C．－1 D．－17 【答案】A 【分析】找出方程a，b，c的值，代入b2-4ac中计算即可． 【解析】解：一元二次方程x2-3x-2=0， ∵a=1，b=-3，c=-2， ∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17． 故选：A． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立． 4．方程的根的判别式Δ＝ ，其根的情况 ． 【答案】 12 有两个不相等的实数根 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可求出，再利用“当时，方程有两个不相等的实数根”即可得出方程有两个不相等的实数根． 【解析】解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故答案为：12；有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式的相关性质，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 题型2：根据一元二次方程根的情况求参数范围 5．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（   ） A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1 【答案】D 【分析】利用判别式的意义得到Δ=（-2）2-4m＜0，然后解不等式即可． 【解析】解：根据题意得Δ=（-2）2-4m＜0， 解得m＞1． 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 6．若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式求解即可． 【解析】由题意得： 解得：且 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根． 7．如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【解析】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 8．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为0，根的判别式大于等于0；即可进行解答． 【解析】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根． 9．已知x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】m<3 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ>0，即(-2)2-4m>0，求解即可． 【解析】解：∵x-x+m=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=(-2)2-4m>0 解得：m<3， 故答案为: m<3． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根，Δ>0；当方程有两个相等的实数根，Δ=0；当方程没有实数根，Δ<0”是解题的关键． 10．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么m的值为 ． 【答案】2或/或2 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得到Δ=0，求出m的值即可． 【解析】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根． ∴． 解得． 故答案为：2或． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 11．如果关于的方程有两个实数根，那么满足 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可得． 【解析】解：由题意得：此方程根的判别式， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 12．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分，最后解得可取的最大整数． 【解析】解：已知关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∵，，， ∴， 即， 解得且， ∴其中可取的最大整数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．本题中二次项系数不为零是易错点． 13．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是 ． 【答案】m＜且m≠0/m≠0且m＜ 【分析】根据判别式△＞0时一元二次方程有两个不相等的实数根求解不等式即可． 【解析】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴△=（2m-3）2-4m（-2+m）=-4m+9＞0，且m≠0， 解得：m＜且m≠0， 故答案为：m＜且m≠0． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系是解答的关键，注意二次项系数不为0． 14．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程kx2-（k+2）x+k=0进行了讨论： 甲说：这一定是关于x的一元二次方程； 乙说：这有可能是关于x的一元一次方程； 丙说：当k≥-1时，该方程有实数根； 丁说：只有当k≥-1且k≠0时，该方程有实数根． A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丙说的对 D．乙和丁说的对 【答案】C 【分析】当k=0时，方程为一元一次方程；当k≠0时，当Δ=（k+2）2-4k•k≥0时，方程有两个实数解，解得k≥-1且k≠0，于是可判断k≥-1时，方程有实数解，然后对各说法进行判断． 【解析】解：当k=0时，方程化为-2x=0，解得x=0； 当k≠0时，当Δ=（k+2）2-4k•k=4k+4≥0时，方程有两个实数解，此时k≥-1且k≠0， 所以当k≥-1时，方程有实数解， 所以乙和丙的说法正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 题型3：根据条件，判断结论对错 15．以下关于一元二次方程的根的说法中，不正确的是（    ） A．若c＝0，则方程一定有一根为0； B．若，则方程一定有两个实数根； C．若，则方程必有一根为－1； D．若，则方程必有两个不相等的实数根． 【答案】B 【分析】根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可． 【解析】解：A、若c＝0，则方程为，即， ∴方程一定有一根为0，正确，不符合题意； B、若，则方程为， ∵， ∴只有当ac≤0时，即，方程有两个实数根，故原说法错误，符合题意； C、将x＝－1代入方程可得：， ∴若，则方程必有一根为－1，正确，不符合题意； D、∵ac＜0， ∴Δ＝b2−4ac＞0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根，正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根，Δ＜0⇔方程没有实数根． 16．对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可． 【解析】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ②∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴方程一定有实数根，原说法正确； ③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ④∵， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，原说法错误； 故选：B． 题型4：复杂的知根求参，知参求根 17．已知a、b、c为常数，且a（a+b+c）＜0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根 【答案】C 【分析】利用已知条件得到4a2+4ab+b2＜b2﹣4ac，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解析】解：∵Δ＝（﹣b）2﹣4ac＝b2﹣4ac， ∵a（a+b+c）＜0， ∴a2+ab+ac＜0， 即a2+ab＜﹣ac， ∴4a2+4ab＜﹣4ac， ∴4a2+4ab+b2＜b2﹣4ac， ∴b2﹣4ac＞（2a+b）2， 即Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 18．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（    ） A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1 C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k， ∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0， 又∵ab≠0， ∴a−b−1＝0， 即a＝b＋1， ∴ax2＋2ax＋a＝0， 解得：x1＝x2＝−1， ∴k＝−1， ∵＝， ∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0， 此时＞0，即； 当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0， 此时＜0，即； 故A、C错误； 当时，即＞0， ＞0， 解得：a＞1或a＜0， 故B错误； 当时，即＜0， ＜0， 解得：0＜a＜1， 故D正确 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键． 题型5：解答综合题 19．已知关于的一元二次方程． (1)如果是该方程的一个根，求另一个根； (2)如果方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)另一个根为； (2)k的取值范围是且． 【分析】本题考查了一元二次方程的根、根与系数的关系、根的判别式． （1）将代入，然后解方程即可得到，再根据根与系数的关系求得另一个根； （2）根据一元二次方程的定义得，根的判别式，可求得k的取值范围． 【解析】（1）解：将代入得 ， 解方程得：， 故关于x的一元二次方程为：， 解得：， 故另一个根为； （2）解：∵， ∴， ∵有两个实数根， ∴， 解之得：， 故k的取值范围是且． 20．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的a、b的值； (2)当时，试判断方程根的情况． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)原方程没有实数解 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到，然后取一值，从而得到对应的值； （2）利用和的范围可判断，从而根据根的判别式的意义可判断根的情况； 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【解析】（1）解：根据题意得， 即， 当时，（答案不唯一）； （2）∵ ∴， 即， ∴原方程没有实数解． 21．已知关于的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等， （1）运用根的判别式、平方数的非负性进行判断求证即可； （2）根据等腰三角形的定义，分类讨论，①当时，即方程两根相等；②当或者时，即是原方程的一个根；分析计算求出的三边长，计算得出的周长即可； 熟练掌握解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键． 【解析】（1）解：在关于的一元二次方程中，，，， ∴ ， ∵ ∴无论取何值，这个方程总有两个实数根； （2）解：∵等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根， ①当时，即方程两根相等， ∴， 解得：， ∴方程可化为：， 解得：， ∴， ∴三边为长分别为，，， ∵， ∴不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去； ②当或者时，即是原方程的一个根， 把代入得：， 解得：， ∴原方程可化为：， 解得：或， 即的两腰长为，底边长为， ∴的周长． 题型6：代数应用（与分式、不等式组等） 22．如果对于分式，存在两个数使分式没有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，理解分式有意义的条件是解题的关键． 由存在两个数使分式没有意义，则对于的判别式，据此列不等式求解即可． 【解析】解：∵分式，存在两个数使分式没有意义， ∴有两个解， ∴，解得：， ∴当时，存在两个实数使原式没有意义． 故答案为． 23．如果关于x的方程有正数解，且关于x的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的所有整数a的和是（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的解及解法，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意，建立方程或不等式解题是关键，根据根的判别式可得．且，再根据分式方程的正数解可得，且，再进一步可得答案． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴．且． 解得．且． 解关于x的方程， 去分母，得， 解得． ∵关于x的方程有正数解， ∴且． 解得，且， ∴a的取值范围为．且．， ∴符合条件的整数a的值是，， 即符合条件的所有整数a的和为． 故选D 24．若关于x的一元二次方程有实数根，且不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和根的判别式，能求出a的取值范围是解此题的关键，特别注意．先求出不等式组中不等式的解集，根据不等式组的解集求出a的范围，再根据根的判别式得出，求出a的范围，最后取符合条件的整数a即可． 【解析】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 不等式组的解集为 解得：， 关于的一元二次方程有实数根， 且 解得且， 综上所述，且， 所有满足条件的整数的值是、、2，共4个， 故答案为：4． 题型7：分类讨论思想 25．满足方程的整数对有（    ） A．0对 B．2对 C．4对 D．6对 【答案】C 【分析】利用一元二次方程有解判断出的范围，根据是整数求出的值，进而求出的值，利用也是整数判断即可得出结论． 【解析】解：原方程可化为， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∵是整数， ∴，，，0，1，2，3， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴或， 当时，原方程可化为， ∴或， ∴原方程的整数解为：或或或， 即：方程的整数对为、、，共四对， 故选：C． 【点睛】此题是非一次不定方程，主要考查了一元二次方程的有整数根问题．解题的关键是将原方程变形，利用判别式求解． 26．关于x的方程，给出下列四个题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根       ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根       ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先将分类讨论得到两个方程，然后根据根的判别式得出根的个数即可． 【解析】解:时，或 方程化为：① 时， 方程化为：② 当，即时， 方程①的根为： 方程②的根为： 分析可得时，即：时，有5个不相等的实根 时， 则 中，不符合题意，故有2个实数根 中，，均不符合题意 故时，有2个实数根 共有8个不相等的实数根 当，即时， 方程①的根为：， 方程②的根为：， 故共有4个不相等的实数根 当，即时， 方程没有实数根 综上，方程可能有个、个、个、个实数根 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程跟的情况，相关知识点有：根的判别式、绝对值、分类思想等，分类讨论是本题的解题关键． 题型8：新定义题 27．新概念运算：运算符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请根据上述规定判断关于x的二阶行列式：根的情况 ． 【答案】无解 【分析】根据题意列出方程，然后根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【解析】解：由题意可得： 即， 整理得：， ． ∴方程无解， 故答案为：无解． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 28．新定义：《，，》为一元二次方程(其中为实数)的“共同体数”，如：的“共同体数”为《1，2，》，以下“共同体数”中能让一元二次方程有两个不相等的实数根的是(    ) A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《，，》 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式进行计算，即可求解． 【解析】解：A.当“共同体数”为《3，2，1》时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； B.当“共同体数”为《3，4，5》时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； C.当“共同体数”为《，，》时，一元二次方程为 ∵， ∴有两个不相等实数根，故该选项符合题意； D.当“共同体数”为时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； 故选：C． 29．对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为快乐数”、例如，，因为，所以是“快乐数”．则最大的“快乐数”是 ：若一个“快乐数”（、b、，a、b、c为自然数），且使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据“快乐数”的定义，可求最大的“快乐数”， 由，可得，由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，可得，即，进而可求，由，、b、，a、b、c为自然数，可求，然后作答即可． 【解析】解：由题意知，， ∴是最大的“快乐数”， ∵， ∴， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∵、b、，a、b、c为自然数， ∴， ∴k的值为， 故答案为：；． 30．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程有两根为，． 先把方程化成一般式，再根据一元二次方程根与系数关系求出与的值，判定即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴，． 故选：D． 31．已知和是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用根与系数的关系，可得出，将其代入中，即可求出结论． 【解析】解：∵和是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：D． 32．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2024 B．2027 C．2032 D．2035 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据根与系数的关系和一元二次方程的解的定义得到，，进而得到，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此可得答案． 【解析】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴原式 ， 故选：C． *题型9：根与系数的关系 33．已知一元二次方程 的两根为、 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，熟知“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．先根据题意得出与的值，代入变形后的代数式进行计算即可． 【解析】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 故答案为：54． 34．设、是一元二次方程的两个根，且，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得出，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【解析】解：、是一元二次方程的两个根，且， ， 原方程为， 解得：，， ， 故答案为：． 35．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 【答案】 【分析】由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解． 【解析】由根与系数的关系得，， 所以， 则， 则 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值． 36．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【分析】仿照题意所给的方法，得到原方程为，由此求解即可． 【解析】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴①③正确，②不正确； ∵ ， ∴④不正确， 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意是解题的关键． 一、单选题 1．下列方程中，无实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A． 可变为，∴，∴方程无实数根，故此选项正确；B． 可变形为，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；C． 可变形为，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；D． 可变形为，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故此选项错误． 2．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ）． A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【解析】解：由题意可知：△=4-4a=0， ∴a=1， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 3．如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分类讨论：当m-1=0时，方程为一元一次方程，有解；当m-1≠0时，根据判别式的意义得到△=12-4×（m-1）×1≥0，解得m≤且m≠1，然后综合两种情况就可得到m的取值范围． 【解析】解：当m-1=0时，x+1=0，解得x=-1； 当m-1≠0时，△=12-4×（m-1）×1≥0，解得m≤且m≠1， 所以m的取值范围为m≤. 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 4．关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求的取值范围即可． 【解析】解：当方程为一元二次方程时， ∵关于的方程有实数根， ∴，且 ， 解得，且， 当方程为一元一次方程时，k=1，方程有实根 综上， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键． 5．若关于x的方程有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程可得，计算即可； 【解析】由题意可知， ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了对一元二次方程解的理解，准确计算是解题的关键． 6．已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断． 【解析】解：△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）． ∵a，b，c分别是三角形的三边， ∴a+b＞c． ∴c+a+b＞0，c-a-b＜0， ∴△＜0， ∴方程没有实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2-4（a+b）（a+b）进行因式分解． 7．若一元二次方程没有实数根，则代数式的值一定是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．小于1 【答案】B 【解析】【解答】由题意，得，而，．∴代数式的值一定是正数． 8．小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小1，则原方程的根的情况是（    ） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有另一个根是 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】直接把已知数据代入，进而得出的值，再根据根的判别式判别即可． 【解析】解：小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是， 代入得：， 解得：， ∵核对时发现所抄的比原方程的值小1， 故原方程中， 原方程为， ∴ ∴原方程的根的情况是不存在实数根， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，正确得出的值是解题关键． 9．定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（    ） A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案. 【解析】解：根据新运算法则可得：， 则即为， 整理得：， 则， 可得： ， ； ， 方程有两个不相等的实数根； 故答案选：B. 【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号. 10．关于的一元二次方程，给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是(  ) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】利用c=-a可判断△=b2+4a2＞0，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用c=-（a+b）得到△=b2-4ac=（2a+b）2≥0，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用b=2a+3c得到△=4（a+c）2+5c2＞0，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于b2-5ac＜0，不能判断△=b2-4ac=b2-5ac+ac与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断． 【解析】解：①当a+c=0，即c=-a，则△=b2-4ac=b2+4a2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以①正确； ②当a+b+c=0，即c=-（a+b），则△=b2-4ac=b2+4a（a+b）=（2a+b）2≥0，方程必有两个实数根，所以②正确； ③当b=2a+3c，则△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以③正确； ④当b2-5ac＜0，△=b2-4ac=b2-5ac+ac可能大于0，所以不能判断方程根的情况，所以④错误． 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 二、填空题 11．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，列出关于m的方程，即可求解． 【解析】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系，掌握一元二次方程有两个实数根，则，是解题的关键． 12．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是 ． 【答案】5 【解析】解：x2﹣3x+1＝0 △==（-3）2-4×1×1=9-4=5． 故答案为5． 13．若一元二次方程无解，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到＜0，然后求出c的取值范围． 【解析】解：关于x的一元二次方程无解， ∵，，， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 14．关于x的方程． （1）有实数根，则k的取值范围是 ； （2）无实数根，则k的取值范围是 ； （3）有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ； （4）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 且 【解析】（1）  当，即时，方程化为，解得；当时，，解得且，综上所述，k的取值范围为． （2）  当时，，解得． （3）  当时，，解得． （4）且  当时，，解得且． 15．关于x的方程x2＋bx＋c=0有两个相等的实数根，x取m和m＋2时，代数式x2＋bx＋c的值都等于n，则n= ． 【答案】1 【解析】由已知条件可得m2+bm=m2+4m+4+bm+2b，所以有b=-2m-2，把b=-2m-2分别代入m2+bm+c=n与b2-4c=0可得n=-m2-2m+c与c=m2+2m+1，把最后式子代入其前的式子即可得到解答． 【解析】解：∵关于x的方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根 ∴b2-4c=0 ∵x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n， ∴m2+bm+c=n,(m+2)2+b(m+2)+c=n， ∴m2+bm+c=(m+2)2+b(m+2)+c， 即m2+bm+c=m2+4m+4+bm+2b+c， ∴4m+4+2b=0， 即2m+b+2=0， ∴b=-2m-2， 把b=-2m-2代入m2+bm+c=n，得 m2+(-2m-2)m+c=n， ∴m2-2m2-2m+c=n， ∴n=-m2-2m+c， 把b=-2m-2代入b2-4c=0中，得 (-2m-2)2-4c=0， ∴4m2+8m+4-4c=0， 即4c=4m2+8m+4， ∴c=m2+2m+1， ∵n=-m2-2m+c， ∴n= -m2-2m+m2+2m+1=1， 故答案为1． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程解的意义并灵活运用是解题关键． 16．若k为实数，关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5=0有实数根，则实数k的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】根据二次项系数非零及一元二次方程根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解析】∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5=0有实数根， ∴ ∴且 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 17．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是 ． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式求解即可； 【解析】一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△=4， ∴ 故答案为0 【点睛】本题考查一元二次方程的根的存在性；熟练掌握利用判别式确定一元二次方程的根的存在性是解题的关键． 18．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①a+c=0，方程ax2+bx+c=0，有两个不相等的实数；②若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根．则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立，其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①④ 【分析】①根据根的判别式即可作出判断； ②方程有两个不相等的实数根，则，当c=0时，cx2+bx+a=0为一元一次方程； ③若c是ax2+bx+c=0的一个根，则代入即可作出判断； ④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则方程有实根，判别式，结合m是方程的根，代入一定成立，即可作出判断． 【解析】①根据公式法解一元二次方程可知，若a+c=0，且a≠0，∴a，c异号，∴，故此时有两个不相等的实数根，故选项①正确； ②若c=0，b≠0，则，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，方程cx2+bx+a=0仅有一个解，故选项②错误； ③将x=c代入方程ax2+bx+c=0，可得，即，解得c=0或ac+b+1=0，因此ac+b+c=0不一定成立，故选项③错误； ④∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，此时 ，故选项④正确 故答案为①④． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系． 三、解答题 19．若关于x的一元二次方程x2-3x+a-2＝0有实数根． （1）求a的取值范围； （2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解． 【答案】（1）a≤；（2）x＝1或x＝2． 【分析】（1）根据韦达定理列出关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围； （2）由（1）求出a的值，代入原方程即可得到一个新的方程，解新方程可以得到解． 【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根， ∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0， 解得a≤； （2）由（1）可知a≤， ∴a的最大整数值为4， 此时方程为x2﹣3x+2＝0， 解得x＝1或x＝2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握根的判别式应用及一元二次方程的求解是解题关键 ． 20．已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）请选择一个合适的m值，写出这个方程并求出此时方程的根． 【答案】（1）见解析；（2）， 【分析】（1）要证明此方程总有两个不相等的实数根，只需证明二次函数的判别式△＞0即可． （2）由（1）知方程的根的个数和m的值无关，所以本着计算简洁的要求m的值可选取0，把0代入一元二次方程，计算即可． 【解析】解：（1）∵ ∴ ∴ ∴一元二次方程总有两个不相等的实数． （2）令m＝0 ， 得一元二次方程： 解得一元二次方程的解为：，． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系及解一元二次方程的知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21．已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，判断方程两根是否都在－2与0之间 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【分析】（1）计算判别式得到 ，则可根据判别式的意义得到结论； （2）利用因式分解法求出方程的两个根，，根据得出，进而得出． 【解析】（1）∵，，， ∴ ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2）， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 并， 综上所述： ∴当时，方程的两根都在－2与0之间 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． 22．已知关于的方程． (1)试判断方程根的情况； (2)若=2是方程的一个根，求的值； (3)是否存在实数，使方程与方程有一个相同的根？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）；（3）存在， 【分析】(1)计算的值，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若则方程无解； (2)根据题意，将=2代入方程中，解出的值即可； (3) 先解一元二次方程的根，再将其代入方程，即可解出的值． 【解析】(1) 方程有两个不相等的实数根； (2)将=2代入得， (3)解得， 当时， 当时，此时方程无解， 综上所述，存在使得使方程与方程有一个相同的根． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、方程有相同解等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 23．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【解析】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 24．发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____． (2)探究应用： 请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求的值． 【答案】(1)⑤；2，2，5不能构成三角形 (2)①当时，的周长为；②当为等边三角形时，的值为1． 【分析】（1）根据三角形的三边关系判断； （2）①把的值代入方程，解方程得到，，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算； ②根据一元二次方程根的判别式计算． 【解析】（1）解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形， 故答案为：⑤；2，2，5不能构成三角形； （2）解：①当时，方程为， ，， 当为腰时，， 、、不能构成三角形； 当为腰时，等腰三角形的三边为、、， 此时的周长为， 答：当时，的周长为； ②若为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， △， ， 答：当为等边三角形时，的值为1． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的概念、等边三角形的概念、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 25．材料阅读： 韦达定理： 已知是一元二次方程的两个实数解，则 已知是一元二次方程 的两个实数根， (1)请用含的代数式表示 ___________；___________ (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值：者不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使的值为整数的实数的整数值． 【答案】(1)3；13 (2)不存在，理由见解析 (3)或或． 【分析】（1）根据根与系数的关系可得，再运用完全平方公式变形即可解答； （2）根据根与系数的关系可得，然后根据根与系数的关系、整式的混合运算即可解答； （3）结合（1）并结合分式的加减运算、完全平方公式可得，再根据为整数，可得或或，最后结合即可解答． 【解析】（1）解：， ，解得：， ∴． 故答案为：1，． （2）解：方程有两个实数根， ， 解得： 与矛盾 不存在的值，使成立． （3）解： 的值为整数 或或， 又， ∴或或． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、完全平方公式、根的判别式、分式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 26．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)n的值为0或3或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【解析】（1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$