第06讲 相似三角形的判定（第1课时）（八大题型）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第06讲 相似三角形的判定（第1课时）（八大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（八大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、了解相似三角形的概念； 2、掌握相似三角形的判定-预备定理，判定定理1、2； 3、会自主证明相似三角形的判定定理。 一、相似三角形 相似三角形：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形 在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边.两个三角形是相似三角形，也可以表述为“两个三角形相似”,或“一个三角形与另一个三角形相似” .如在和中，如我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于” 【方法规律】①相似三角形的对应角相等、对应边成比例. ②两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比( 或相似系数 ). ③当两个相似三角形的相似比k=1时，这两个相似三角形就成为全等三角形；全等三角形是相似三角形的特例. ④设△ABC与 △A'B'C'的相似比为k,△A'B'C'与△ABC的相似比为k’, 则 2、 相似三角形的判定 ①利用定义判定相似三角形 例 △ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由． 解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°. 因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°. 所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E. 又因为＝，＝，＝＝， 所以＝＝.所以△ABC∽△DFE. 【方法规律】判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上． ②预备定理 △ABC中，D是AB上任意一点，过D作DE∥BC,交AC边于E，那么△ADE与△ABC是否相似？ 【分析】判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得，通过度量发现，所以可以判断出△ADE与△ABC相似. 思考 （1）你能否通过演绎推理证明你的猜想？ （2）若是DE∥BC,DE与BA、CA延长线交于E、D，那么△ADE与△ABC还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式. 由DE∥BC,得(三角形一边平行线的性质的推论)，∠ADE=∠B,∠AED=∠C.又∠DAE=∠BAC,因此△ADE∽△ABC. 【归纳结论】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. ③．相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 分析 相似三角形的预备定理，给我们提供了证明两个三角形相似的一条思路和依据.由此考虑移动其中一个三角形，构造出 具有预备定理的图形特征的图形， ④．判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 类似证明判定定理1的分析，分别在射线 AB 、AC上截取AD=A₁B₁,AE=A₁C₁,构造△ADE,则△ADE≌△A₁B₁C₁如果所得图形中有相似三角形预备定理条件中的平行线，那么这个图形就具有预备定理的图形特征. 【方法规律】　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 题型1：预备定理证三角形相似 1．如图，相交于点．求证∶ 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，由平行线的性质，得出，再结合两个对应角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． 【解析】证法1：证明∶， ， ． 证法2：详见基础知识全梳理 题型2：两角对应相等证三角形相似 2．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′． 【答案】证明见解析 【分析】在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，可证△ADE∽△ABC；再证△ADE≌△A′B′C′即可． 【解析】证明：在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠ADE=∠B，△ADE∽△ABC． ∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′， ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的证明，解题关键是通过作辅助线，构建全等三角形进行证明． 3．已知：如图所示，相交于点O，连接，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据判断两个三角形相似． 【解析】证明：∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在AC边上，交BC于点E．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由，∠B=90°可得出，再由公共角相等，即可证得． 【解析】∵，∠B=90°， ∴． 又∵∠C=∠C， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，常用的判定两个三角形相似的方法有1、定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似．3、两角分别相等的两个三角形相似．4、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 5．如图，在中，，于D． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可． 【解析】证明：∵于D． ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明． 6．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．求证：△ACD∽△BEC 【答案】见解析 【分析】根据AD⊥AB，BE⊥AB，有∠DAC=90°=∠EBC，∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，再根据∠DCE=90°，有∠DCA+∠ECB=90°，即有∠D=∠ECB，则结论得证． 【解析】证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB， ∴∠DAC=90°=∠EBC， ∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°， ∵∠DCE=90°， ∴∠DCA+∠ECB=90°， ∴∠D=∠ECB， ∵∠DAC=90°=∠EBC， ∴△ACD∽△BEC． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键． 题型3：结合其他几何知识，用两角对应相等证三角形相似 7．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形性质得出∠B＝∠C＝60°，根据三角形外角性质得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根据∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可证∠1＝∠2即可． 【解析】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB＝∠2＋60°， ∴∠1＝∠2， ∴△ADC∽△DEB． 【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定，掌握等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定是解题关键． 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC． 【答案】证明见解析． 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ABC． 【解析】证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴△ADC是直角三角形， ∵点E为AC的中点， ∴ED＝EC， ∴△ECD是等腰三角形， ∴∠EDC＝∠C， ∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠ABC＝∠AEF， ∵∠EAF＝∠BAC， ∴△AEF∽△ABC． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键． 9．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E． (1)求证： (2) ， ． 【答案】(1)见解析 (2)ADG，AFE，ACD 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 【解析】（1）解：证明：如下图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． （2）∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2， 又，，， ∴∠ABC=∠ADG=∠AFB=90°， ∴ADGAFE， ∴∠3=∠AGD=∠AEF， ∴∠ADC=∠CGD=∠AEB， 又根据直角三角形两锐角互余可得∠5=∠C， ∴ 故答案为：ADG，AFE，ACD． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 题型4：两边对应成比例且夹角相等证三角形相似 10．已知：D、E是的边、上的点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据已知线段长度求出，再根据推出相似即可． 【解析】证明：在和中， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 11．如图，在中，，D是边上一点，．求证． 【答案】详见解析 【分析】由题中线段长度得出，结合相似三角形的判定定理即可证明． 【解析】证明：∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 12．如图，与交于点，，，，，求证：． 【答案】见解析. 【分析】根据两边对应成比例，两三角形相似即可证明. 【解析】解：∵，， ∴， ∵∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题型，熟知两边对应成比例，两三角形相似的判定方法是解此题的关键. 13．如图，P是的边上的一点． （1）如果，与是否相似？为什么？ （2）如果，与是否相似？为什么？如果呢？ 【答案】（1）相似．因为，；（2）相似，因为，；不相似．因为虽然两边成比例，但它们的夹角不相等． 【分析】（1）直接根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可求证； （2）直接根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解． 【解析】解：（1）相似，理由如下： ∵，， ∴； （2）相似，理由如下： ∵，， ∴； 不相似，理由如下： 因为虽然，但它们的夹角 与 不相等， 所以与不相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 14．如图，已知E是的中线AD上一点，且.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据三角形中线性质得，故，可进一步得. 【解析】证明：∵AD是的中线， ∴. ∵， ∴， 即， 又∵， ∴. 【点睛】考核知识点：相似三角形的判定.理解“两边成比例且夹角相等”的判定方法是关键. 15．如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40． 求证：△ABC∽△AED．    【答案】证明见解析. 【分析】由∠BAE=∠CAD知∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，再根据线段的长得出，据此即可得证． 【解析】∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD， ∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40， ∴， ∴△ABC∽△AED． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 16．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解析】证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 题型5：在特殊平行四边形中证三角形相似 17．如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质得出，根据题意，等量代换得出，进而根据公共角，即可得证． 【解析】证明：四边形为菱形，为对角线， ． ， ． 又， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 18．如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先判断出，再利用角平分线判断出，即可得出结论； （2）由三角形的内角和定理可求，可得结论． 【解析】（1）证明：由旋转可知：， ． 平分， ， ， ， ； （2）证明：，， ． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 19．如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）证明，即可； （2）根据平行得到，再根据，即可得证． 掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴． 题型6：添加一个条件使三角形相似 20．如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 【答案】（答案不唯一），见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解． 【解析】解：（答案不唯一） 证明：在和中， ∴．（有两角对应相等的两个三角形相似） 21．如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    【答案】（答案不唯一），理由见解析 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应相等，且它们的夹角也相等的两三角形相似，据此添加条件并证明即可. 【解析】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 22．已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 【答案】（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理“有两个角相等的两个三角形相似；有两边成比例，且这两边夹角相等的两个三角形相似”即可解答． 【解析】解：①当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ②当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ③当添加时，证明如下： ∵，， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 23．如图，在中，点在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．    【答案】（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，添加，结合，即可得证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【解析】解：添加， 证明：∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 题型7：能使三角形相似的条件综合辨析 24．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断判定即可． 【解析】∵， ∴， A.若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B.添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C.添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，项符合题意； D.添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，灵活运用相似三角形的判定定理判定两三角形相似是解题的关键． 25．如图，在中，D是上一点，下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键． 【解析】解：A. ，，不能得到，故符合题意； B.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C.，，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 26．如图，下列条件能使△BPE和△CPD相似的有（   ） ①∠B=∠C；②；③∠ADB=∠AEC；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据“两角相等的两个三角形相似”判断①；根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”证明，可得，进而判断④，即可说明②；根据平角定义得，再结合“两角相等的两个三角形相似”判断③即可；最后根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”判断⑤即可． 【解析】∵，， ∴， 所以①符合题意； ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， 所以④符合题意，②不符合题意； ∵， ∴． ∵， ∴， 所以③符合题意； ∵，， ∴， 所以⑤符合题意． 则符合题意的有4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 题型8：判断与已知三角形相似的三角形个数 27．如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（    ） A．1 B．4 C．8 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【解析】∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 28．如图，在中，，是边的中点，于点，交边于点，连接，则图中与相似的三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定定理可得出答案． 【解析】解：，是边的中点， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 图中与相似的三角形共有3个：，，． 故选：B 一、单选题 1．如图，下列四个三角形中，与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据两角对应相等或者三边成比例、夹角相等，两边成比例等方法证明相似，进行逐项分析，即可作答． 【解析】解：∵，， ∴ ∴ A、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； B、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； C、两边成比例，夹角相等，故该选项是正确的； D、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； 故选：C 2．如图，下列条件中，不能判定的是(　　)    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形，根据相似三角形的判定即可求出答案． 【解析】解：A、∵， ∴，故A能判定； B、∵， ∴，故B能判定； D、∵，， ∴，故D能判定； 故选：C． 3．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法“两组角对应相等的两个三角形相似”，“两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似”是解决问题的关键． 【解析】解：在和中，， 如果，需满足的条件有： ①或平分； ②； 故选：A． 4．下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（    ） A．∠A＝∠D＝40°，∠B＝∠E＝60°，AB＝DE B．∠A＝∠D＝60°，∠B＝ 40°，∠E＝80° C．∠A＝∠D＝50°，AB＝3 ，AC＝5 ，DE＝6 ，DF＝10 D．∠B＝∠E＝70°，AB：DE＝AC：DF 【答案】D 【解析】略 5．如图，在中，、分别是边、上的点，下列命题中，假命题是（ ） A．若，则与相似 B．若，则与相似 C．若，则与相似 D．若，则与相似 【答案】A 【分析】三角形相似的判定方法:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似;两角对应相等的两个三角形相似;根据三角形相似的判定方法容易得出结论. 【解析】解:若,不满足三角形相似的判定方法,不一定相似,A是假命题; 若,则DE∥BC，△ADE~ △ACB B正确; 若又∠A=∠A,△ADE~△ACB, C正确; 若∠ADE=∠B,又∠A=∠A, △ADE~△ABC, D正确; 所以选A. 【点睛】本题考查相似三角形的判定方法;熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键. 6．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意，推出，再根据相似三角形的判定条件即可得到答案． 【解析】解：， ，，， ，， ，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题关键． 7．如图，在中，.CD是斜边AB上的高，若得到这个结论可证明(    )    A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】根据CD是高可得到，再根据得，从而可以判定． 【解析】根据题意可得，结合可得. 故选：C 【点睛】本题考查的知识点三角形相似的判定，关键是根据等积式写成比例式，然后根据比例式的特点准确的找到相对应的两个相似的三角形． 8．中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解． 【解析】解：①，，可证，故①符合题意； ②，，可证，故②符合题意； ③，，可证，故③符合题意； ④，，不能证明，故④不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键． 9．如图，，，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中的相似三角形共有（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，则图中△BFH、△BAG、△CEG、△CDH任意两个三角形都相似． 【解析】​解：∵，， ∴△BFH∽△BAG， △BAG∽△CEG， △BFH∽△CEG， △BFH∽△CDH， △CEG∽△CDH， △CDH∽△BAG. ∴相似三角形共有6对. 故选C. 【点睛】本题主要考查平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，以及n个图形任意两个都相似，共有几对相似的计算方法. 10．如图，在正方形中，为中点，，连接，那么下列结论中：与相似；与相似；与相似：与相似；；其中错误的有（        ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定，根据正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定逐一判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【解析】解：设正方形的边长为，则， ∵为中点，， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形，，故正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴和不相似，故错误； ④正确； ∴正确的有：①②④⑤，错误的有1个， 故选：B． 二、填空题 11．图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）. 【答案】是 【分析】先根据三角形的内角和定理求得第一个三角形的第三个内角的度数，根据相似三角形的判定即可解答． 【解析】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为， 根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似， 故答案为：是 【点睛】本题考查相似三角形的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． 12．如图，D是的边上一点，若，要使，只需添加条件________（只添一个即可）． 【答案】 【分析】因为，则，所以只要再找到另一组对应角相等即可． 【解析】解：只需添加条件使，证明如下： 因为，则， 当，则（两组对应角相等的三角形相似）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是三角形相似的判定内容，正确掌握证明三角形相似的方法是解题的关键． 13．如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（写出一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行求解即可：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，有两个角对应相等的两个三角形相似． 【解析】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 14．如图，在中，，过边上一点D作直线交边于点E，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作 条． 【答案】2 【分析】本题可分2种情况：①作，则，因此符合所求直线的要求；②依据预备定理，过D作，那么符合所求直线的要求． 【解析】解：如图； ①作； ∵，， ∴； ②作． ∵， ∵， ∴ 因此共有2种作法， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 15．如图，在中，点在边上，如果，那么图中一定相似的三角形是 ． 【答案】和 【分析】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，以此为依据判定即可； 【解析】解：∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：和 【点睛】本题考查了相似三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 16．如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对． 【答案】3 【分析】根据相似三角形的判定即可判断． 【解析】图中三角形有：，，， ∵， ∴ 共有3个组合分别为：∴，， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 17．如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 【答案】乙和丁 【解析】． 【易错点分析】容易误认为，条件中，是，是，不是两个三角形的对应边成比例，所以不能判定． 18．如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．    （1）若平分，则与是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）图中与相似的三角形有 （写出两个即可） 【答案】 是 ， 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论； （2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出． 【解析】（1）如图，    ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：是； （2）∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； 故答案为：，． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，等边对等角．熟练掌握矩形的性质，是解题的关键． 三、解答题 19．如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】题考查了相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【解析】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定问题，由两个角相等可判定其相似，而题中而公共角，所以再求解一对应角相等即可，根据已知条件，即求解． 【解析】证明：，， ， 又∵为公共角， ． 21．如图，点D为边上一点，请用尺规作图法，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图﹣相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．若，则，根据作一个角等于已知角的方法，作，交于点E即可． 【解析】解：如图，点E即为所求． ． 22．如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，结合外角定理可得，即可证明； 【解析】证明：∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴ 23．已知是等腰三角形，过底边的中点作，垂足为，并延长到，使得，连接． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判定与性质，根据是等腰三角形，点是底边的中点得，，利用证明，得，，根据得，则，即可得，根据，得，根据可得，即可得；掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【解析】证明：∵是等腰三角形，点是底边的中点， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵ ∴， ∴． 24．如图，经过点的直线l与双曲线交于点，直线分别交曲线和于点M、N，点在直线上．连接、． (1)求n的值及直线l的解析式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）将代入，解得，，待定系数法求直线l的解析式即可； （2）由在直线上，可得，解得：，即，然后求，；则 ，，由勾股定理得，，，根据，，证明即可． 【解析】（1）解：将代入得，，解得，， 设直线l的解析式是， 将，，代入得， 解得， ∴直线l的解析式是， ∴，直线l的解析式是； （2） 证明：∵在直线上， ∴， 解得：， ∴， 把代入，得，即； 把代入，得，即； ∴ ，， ∵，，， 由勾股定理得，，， ∴， 又∵， ∴； 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定等知识．熟练掌握反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定是解题的关键． 25．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求证：△ADP∽△BDF； （3）如图2，若PE＝BE，PC＝，求CF的值． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）CF＝﹣1， 【分析】（1）根据SAS证明即可； （2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．易证△APE≌△HPF（AAS），得PE＝PF，再证△DEF是等腰直角三角形，得∠EDP＝∠FDP＝45°，进而得∠DAP＝∠DBF，∠ADP＝∠BDF即可得到结论； （3）如图2，作PH⊥BC于H．首先证明∠EFB＝30°，由PC＝，得：HF＝，进而求出CF，即可解决问题． 【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°， ∵AE＝CF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）； （2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠FCH＝45°， ∵AB∥FH， ∴∠HFC＝∠ABC＝90°， ∴∠FCH＝∠H＝45°， ∴CF＝FH＝AE， ∵∠PAE＝∠H＝45°，∠APE＝∠FPH， ∴△APE≌△HPF（AAS）， ∴PE＝PF， ∵△ADE≌△CDF， ∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF， ∴∠EDF＝∠ADC＝90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∵EP＝PF， ∴∠EDP＝∠FDP＝45°， ∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDF＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°， ∴∠ADP＝∠BDF， ∵∠DAP＝∠DBF＝45°， ∴△ADP∽△BDF； （3）如图2中，作PH⊥BC于H． ∵∠ACB＝45°，PC＝， ∴PH＝CH＝1． 由（2）得：BE＝PE＝PF， ∴BE＝EF， ∴∠BFE＝30°， ∴PF＝2， ∴HF＝， ∴CF＝﹣1， 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，正方形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质定理以及含30°角的直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造全等三角形和含30°角的直角三角形，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 相似三角形的判定（第1课时）（八大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（八大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、了解相似三角形的概念； 2、掌握相似三角形的判定-预备定理，判定定理1、2； 3、会自主证明相似三角形的判定定理。 一、相似三角形 相似三角形：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形 在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边.两个三角形是相似三角形，也可以表述为“两个三角形相似”,或“一个三角形与另一个三角形相似” .如在和中，如我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于” 【方法规律】①相似三角形的对应角相等、对应边成比例. ②两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比( 或相似系数 ). ③当两个相似三角形的相似比k=1时，这两个相似三角形就成为全等三角形；全等三角形是相似三角形的特例. ④设△ABC与 △A'B'C'的相似比为k,△A'B'C'与△ABC的相似比为k’, 则 2、 相似三角形的判定 ①利用定义判定相似三角形 例 △ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由． 解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°. 因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°. 所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E. 又因为＝，＝，＝＝， 所以＝＝.所以△ABC∽△DFE. 【方法规律】判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上． ②预备定理 △ABC中，D是AB上任意一点，过D作DE∥BC,交AC边于E，那么△ADE与△ABC是否相似？ 【分析】判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得，通过度量发现，所以可以判断出△ADE与△ABC相似. 思考 （1）你能否通过演绎推理证明你的猜想？ （2）若是DE∥BC,DE与BA、CA延长线交于E、D，那么△ADE与△ABC还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式. 由DE∥BC,得(三角形一边平行线的性质的推论)，∠ADE=∠B,∠AED=∠C.又∠DAE=∠BAC,因此△ADE∽△ABC. 【归纳结论】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. ③．相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 分析 相似三角形的预备定理，给我们提供了证明两个三角形相似的一条思路和依据.由此考虑移动其中一个三角形，构造出 具有预备定理的图形特征的图形， ④．判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 类似证明判定定理1的分析，分别在射线 AB 、AC上截取AD=A₁B₁,AE=A₁C₁,构造△ADE,则△ADE≌△A₁B₁C₁如果所得图形中有相似三角形预备定理条件中的平行线，那么这个图形就具有预备定理的图形特征. 【方法规律】　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 题型1：预备定理证三角形相似 1．如图，相交于点．求证∶ 题型2：两角对应相等证三角形相似 2．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′． 3．已知：如图所示，相交于点O，连接，且，求证：． 4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在AC边上，交BC于点E．求证：． 5．如图，在中，，于D． 求证：． 6．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．求证：△ACD∽△BEC 题型3：结合其他几何知识，用两角对应相等证三角形相似 7．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB． 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC． 9．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E． (1)求证： (2) ， ． 题型4：两边对应成比例且夹角相等证三角形相似 10．已知：D、E是的边、上的点，，求证：． 11．如图，在中，，D是边上一点，．求证． 12．如图，与交于点，，，，，求证：． 13．如图，P是的边上的一点． （1）如果，与是否相似？为什么？ （2）如果，与是否相似？为什么？如果呢？ 14．如图，已知E是的中线AD上一点，且.求证：. 15．如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40． 求证：△ABC∽△AED．    16．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 题型5：在特殊平行四边形中证三角形相似 17．如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．求证：． 18．如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：    (1)； (2)． 19．如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 题型6：添加一个条件使三角形相似 20．如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 21．如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    22．已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 23．如图，在中，点在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．    题型7：能使三角形相似的条件综合辨析 24．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（    ） A． B． C． D． 25．如图，在中，D是上一点，下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 26．如图，下列条件能使△BPE和△CPD相似的有（   ） ①∠B=∠C；②；③∠ADB=∠AEC；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型8：判断与已知三角形相似的三角形个数 27．如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（    ） A．1 B．4 C．8 D．2 28．如图，在中，，是边的中点，于点，交边于点，连接，则图中与相似的三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 一、单选题 1．如图，下列四个三角形中，与相似的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，下列条件中，不能判定的是(　　)    A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（    ） A． B． C．平分 D． 4．下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（    ） A．∠A＝∠D＝40°，∠B＝∠E＝60°，AB＝DE B．∠A＝∠D＝60°，∠B＝ 40°，∠E＝80° C．∠A＝∠D＝50°，AB＝3 ，AC＝5 ，DE＝6 ，DF＝10 D．∠B＝∠E＝70°，AB：DE＝AC：DF 5．如图，在中，、分别是边、上的点，下列命题中，假命题是（ ） A．若，则与相似 B．若，则与相似 C．若，则与相似 D．若，则与相似 6．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，.CD是斜边AB上的高，若得到这个结论可证明(    )    A． B． C． D．无法判断 8．中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 9．如图，，，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中的相似三角形共有（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 10．如图，在正方形中，为中点，，连接，那么下列结论中：与相似；与相似；与相似：与相似；；其中错误的有（        ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）. 12．如图，D是的边上一点，若，要使，只需添加条件________（只添一个即可）． 13．如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（写出一个即可）    14．如图，在中，，过边上一点D作直线交边于点E，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作 条． 15．如图，在中，点在边上，如果，那么图中一定相似的三角形是 ． 16．如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对． 17．如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 18．如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．    （1）若平分，则与是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）图中与相似的三角形有 （写出两个即可） 三、解答题 19．如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 20．如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 21．如图，点D为边上一点，请用尺规作图法，使．（保留作图痕迹，不写作法） 22．如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    23．已知是等腰三角形，过底边的中点作，垂足为，并延长到，使得，连接． 求证：． 24．如图，经过点的直线l与双曲线交于点，直线分别交曲线和于点M、N，点在直线上．连接、． (1)求n的值及直线l的解析式； (2)求证：． 25．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求证：△ADP∽△BDF； （3）如图2，若PE＝BE，PC＝，求CF的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$