第04讲 三角形一边的平行线（第1课时）（十大题型）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第04讲 三角形一边的平行线（第1课时）（十大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（十大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论； 2、学会三角形一边的平行线判定定理及推论； 3、了解平行线分线段成比例定理。 一、三角形一边的平行线性质定理及推论 1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例. 2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 【规律方法】(1)主要的基本图形：分A型和X型； A型 X型 （2）常用的比例式： 对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. 二、三角形一边的平行线判定定理及推论 1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 【规律方法】判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例). 三、平行线分线段成比例定理 1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. 2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 【规律方法】 （1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； （2）平行线分线段成比例没有逆定理； (3) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. 题型1：三角形一边的平行线性质定理及推论—A字型 1．如图，在△ABC中，DEBC，若，则等于(        ) A． B． C． D． 2．如图，在中，点、分别在、上，连接，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 3．如图，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 4．已知：如下图，，，，，则 ． 5．如图，在中，，则的长为 ． 6．如图，在中，若，，，则的长是 ． 题型2：三角形一边的平行线性质定理及推论—X字型 7．如图，已知，那么（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，已知，点D，E分别在边，的反向延长线上，且．若，，，则AB为(   ) A．5 B．8 C．10 D．15 9．如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 题型3：三角形一边的平行线性质定理及推论—数学语言描述题 10．在中，点、分别在直线、上，如果，，，，那么 ． 11．在中，点、分别在线段、的延长线上，平行于，，，，那么 ． 题型4：类A、类X字型 12．如图，，，，那么 ． 13．已知，如图，点、和、分别在的边、上，且，若，则 ． 14．如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 题型5：三角形一边的平行线判定定理及推论 5．已知线段、、，求作线段，使，正确的作法是（   ） A． B． C．D． 16．如图，点D、E位于的两边上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 17．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、BC上的点，下列条件中，不一定能得DE∥AC的条件是（     A． B． C． D． 18．在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（    ） A． B． C． D． 19．如图，、相交于点，下列条件中能判断∥的是（ ） A． B． C． D． 题型6：平行线分线段成比例定理—梯子型 20．如图，，则的长为 ．    21．如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，如果，，，那么 ．    题型7：平行线分线段成比例定理—梯子交叉型 22．如图，，，，，则 ．    23．如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，．如果，，那么的值是 ．    24．如图，，，，，那么 ．    题型8：平行线分线段成比例定理—其他类型 25．如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点都在横线上，且两点间的距离为4，那么两点间的距离为 ． 26．如图，梯形中，，，，则 ．    题型9：几何应用 27．如图，在中，，，，点在上（与点、不重合），点在上，，当的周长与四边形的周长相等时，求的长．    28．如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求． 题型10：综合解答题 29．已知线段、、c（如图），求作线段，使．（不要求写作法）    30．如图，已知△ABC中，点E、F分别在△ABC的边AB、AC上，EF∥BC，AE＝2BE，S△ABC＝1，求S△CEF的值． 31．如图，在中，平分交于点，交于点，，，，求和的长． 32．如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，已知，．    (1)求的长； (2)当，时，求的长． 一、单选题 1．如图，在中，，则的长是（    ） A．36 B． C．20 D．15 2．已知：，，，则满足关系式的图形是（　　） A．   B．   C．  D．   3．如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 4．如图，线段BD,CE相交于点A，DE//BC,若BD=6,AD=2,DE=1.5,则BC的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4.5 5．在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知，，，，则的长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，已知直线，直线，与直线，，分别相交于点，，，，，，且，，，则的长为（   ）    A．6 B． C． D． 8．如图，直线，直线分别交、、于点、、，直线分别交、、于点、、，已知，若，则的长是（    ） A． B． C．9 D．6 9．如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点、分别在边、上，，，那么等于（    ）. A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，， ，，那么= ． 12．在中，点、分别在直线、上，如果，，，，那么 ． 13．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，AB=8，AE=6，AC=12，当BD= 时，DE∥BC． 14．如图，，则的长为 ．    15．如图，直线，，分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，如果，，，那么 ．    16．如图，在梯形中，，点E、F分别在边、上，且满足，如果，，那么 ．    17．如图，已知四边形是的内接正方形，于H，且，则 ． 18．如图，在中，．若进行以下操作，在边上从左到右依次取点，过点作的平行线分别交于点；过点作的平行线分别交于点；过点作的平行线分别交于点，则 ． 三、解答题 19．如图，在中，，，，，求．    20．在中，点、分别在边、上，根据下列条件，试判断与是否平行． (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，． 21．如图，已知，与相交于点．若，，求的长． 22．如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且．已知，，，求、的长． 23．如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 24．如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 25．阅读填空：如图①中，是的角平分线，它具有一些和边有关的特殊性质，下面我们一块来研究． (1)如图②，作，，垂足分别为E、F，易得． 如图③，作，垂足为G，易得． 综合图②图③可得中，当平分时，______． (2)如图④，，作交延长线于M，请你利用图④，填空 ∵，∴，，又∵ ∴，∴______，∵， ∴，∴______． (3)应用如图⑤： 在中，，平分，，，则______，______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 三角形一边的平行线（第1课时）（十大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（十大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论； 2、学会三角形一边的平行线判定定理及推论； 3、了解平行线分线段成比例定理。 一、三角形一边的平行线性质定理及推论 1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例. 2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 【规律方法】(1)主要的基本图形：分A型和X型； A型 X型 （2）常用的比例式： 对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. 二、三角形一边的平行线判定定理及推论 1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 【规律方法】判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例). 三、平行线分线段成比例定理 1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. 2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 【规律方法】 （1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； （2）平行线分线段成比例没有逆定理； (3) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. 题型1：三角形一边的平行线性质定理及推论—A字型 1．如图，在△ABC中，DEBC，若，则等于(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵DEBC， ∴， 故选C． 【点睛】考点：平行线分线段成比例． 2．如图，在中，点、分别在、上，连接，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例得出，代入数据即可求解． 【解析】解：∵， ∴， 即， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键． 3．如图，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质可计算出的长． 【解析】解：∵， ∴，即， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 4．已知：如下图，，，，，则 ． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例求出，减去可得结果． 【解析】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是能根据平行线得出正确的比例式． 5．如图，在中，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】根据平行线分线段成比例可得，即，求，根据求即可． 【解析】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6．如图，在中，若，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】利用平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 题型2：三角形一边的平行线性质定理及推论—X字型 7．如图，已知，那么（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例定理，得到；利用AO、BO、CO的长度，求出DO的长度即可解决问题． 【解析】解：∵AB∥CD， ∴； ∵AO=2，CO=6，BO=3， ∴， 解得：DO=4， 故选B. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是读懂题意，掌握平行线分线段成比例. 8．如图，已知，点D，E分别在边，的反向延长线上，且．若，，，则AB为(   ) A．5 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式是解本题的关键． 9．如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理是解本题的关键． 10．在中，点、分别在直线、上，如果，，，，那么 ． 【答案】4 【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可． 【解析】解：作如下图： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理． 题型3：三角形一边的平行线性质定理及推论—数学语言描述题 11．在中，点、分别在线段、的延长线上，平行于，，，，那么 ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可． 【解析】∵ ∴ ∵，，， ∴ ∴ 故答案为：8． 【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理． 题型4：类A、类X字型 12．如图，，，，那么 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质，熟练掌握性质并用其求解是基本要求．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算． 【解析】∵，，， ∴，即 ∴． 故答案为：6． 13．已知，如图，点、和、分别在的边、上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解答本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，于是得到，即可得到结论． 【解析】解：，， ， ， 故答案为：． 14．如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例得比值是解题的关键． 【解析】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 题型5：三角形一边的平行线判定定理及推论 15．已知线段、、，求作线段，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【解析】解：A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键． 16．如图，点D、E位于的两边上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据选项选出能推出对应线段成比例的即可． 【解析】解：∵AD•CE＝AE•BD， ∴， ∴DEBC， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 17．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、BC上的点，下列条件中，不一定能得DE∥AC的条件是（     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 【解析】解：A、，，，选项不符合题意； B、，不能判定，选项符合题意； C、，，选项不符合题意； D、，，，选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟悉相关性质是解题的关键． 18．在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可先假设，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论． 【解析】如图， 可假设， ∵ ∴，故A选项错误， ，故D选项错误； 反过来，当时，不能得到，故B选项错误； 当时，能得到，故C选项正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用． 19．如图，、相交于点，下列条件中能判断∥的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各项分析判断后利用排除法求解. 【解析】A.AO与DO，BO与CO不是对应线段，不能判定CD∥AB，故错误； B.AO与CO，AB与CD不是对应线段，不能判定CD∥AB，故错误； C. 能判定CD∥AB，故错误； D.能判定CD∥AB，正确； 故选D. 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据图形进行分别判断. 题型6：平行线分线段成比例定理—梯子型 20．如图，，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例，得出，进而，即可求解． 【解析】解：∵ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 21．如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，如果，，，那么 ．    【答案】2 【分析】由，可得，再代入数据可得答案． 【解析】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，熟记平行线分线段成比例并灵活应用是解本题的关键． 题型7：平行线分线段成比例定理—梯子交叉型 22．如图，，，，，则 ．    【答案】 【分析】根据已知平行线得到，然后带入求值即可． 【解析】解：， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线找到对应成比例线段是解答本题的关键． 23．如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，．如果，，那么的值是 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入可求得答案． 【解析】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 24．如图，，，，，那么 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，则，然后利用可计算出的长． 【解析】解：∵，，， ∴，即：， ∵，且， ∴， 可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 题型8：平行线分线段成比例定理—其他类型 25．如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点都在横线上，且两点间的距离为4，那么两点间的距离为 ． 【答案】2 【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求解即可． 【解析】解：如下图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点， 则，即， 解得 ． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理，找准等量关系是解题关键． 26．如图，梯形中，，，，则 ．    【答案】4 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算． 【解析】解：∵ ∴ ，，， ， , 故答案为：4． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质． 题型9：几何应用 27．如图，在中，，，，点在上（与点、不重合），点在上，，当的周长与四边形的周长相等时，求的长．    【答案】 【分析】结合的周长与四边形的周长相等，可得，再由勾股定理可得，易得，然后根据“平行线分线段成比例定理”求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 28．如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求． 【答案】3 【分析】设,则可得出，的面积之比，再将的值代入，即可得出答案； 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，又，， ∴， ∴，（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，结合同高的三角形面积比等于底边的比，解题关键结合图形正确写出对应线段． 题型10：综合解答题 29．已知线段、、c（如图），求作线段，使．（不要求写作法）    【答案】见解析 【分析】先作，再在的边上依次截取，，在边上截取，连接，作，角的一边交于，可得，可得，从而得到线段即为所求作的线段． 【解析】解：∵， ∴． 作图如下：     线段就是所求的线段x． 【点睛】本题考查的是作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，平行线的判定，比例的基本性质，平行线分线段成比例，熟练的利用平行线分线段成比例并应用于作图是解本题的关键． 30．如图，已知△ABC中，点E、F分别在△ABC的边AB、AC上，EF∥BC，AE＝2BE，S△ABC＝1，求S△CEF的值． 【答案】 【分析】根据AE＝2BE，S△ABC＝1，便可计算S△AEC的面积，根据平行线分线段成比例定理，可得的比值，最后便可求解． 【解析】解：∵AE＝2BE，S△ABC＝1， ∴S△AEC＝， ∵EFBC， ∴， ∴， 即S△CEF的值为． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，以及三角形面积的求法（当高相同时，三角形的面积等于底之比），属于基础题． 31．如图，在中，平分交于点，交于点，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】根据平行线分线段成比例，可得，求出，从而得到的长．根据等腰三角形的性质得到，再由平行线分线段成比例，可得，得到的长． 【解析】解：， ， 又，，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是找准对应关系，避免错误． 32．如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，已知，．    (1)求的长； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)9 (2)4 【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． (2) 利用平行线性质得到,则，即，可求得的长，然后可求得的长，然后再利用求得的长． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，    ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理与相似三角形的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． 一、单选题 1．如图，在中，，则的长是（    ） A．36 B． C．20 D．15 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【解析】解：∵， ∴， 即， ， 故选：B． 2．已知：，，，则满足关系式的图形是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行求解即可 【解析】解：，即 A、∵， ∴，即，故此选项不符合题意； B、∵， ∴，即，故此选项不符合题意； C、∵， ∴，即，故此选项符合题意； D、∵， ∴，即，故此选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 3．如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理是解本题的关键． 4．如图，线段BD,CE相交于点A，DE//BC,若BD=6,AD=2,DE=1.5,则BC的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4.5 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【解析】解：∵DE∥BC，BD=6，AD=2，DE=1.5， ∴AB=4 ∴，即， 解得：BC=3， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握线段的对应关系． 5．在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应线段成比例，两直线平行，可得出答案． 【解析】A、,不可证明DE∥BC,故本选项正确； B、,可证明DE∥BC,故本选项错误； C、,不可证明DE∥BC,故本选项不正确； D、不可证明DE∥BC,故本选项不正确． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，对应线段成比例，两直线平行． 6．如图，已知，，，，则的长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，关键是找出对应的比例线段，写出比例式，用到的知识点是平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【解析】解：由题意：∵， ∴， 即， ∴， 故选：B 7．如图，已知直线，直线，与直线，，分别相交于点，，，，，，且，，，则的长为（   ）    A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比列式解答即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， 故选：C． 8．如图，直线，直线分别交、、于点、、，直线分别交、、于点、、，已知，若，则的长是（    ） A． B． C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，可得，从而即可得解． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9．如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例，即可得到. 【解析】解：∵a∥b∥c， ∴， ∴； 故选择：B. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 10．如图，在中，点、分别在边、上，，，那么等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得: ,然后根据等高的两三角形的面积比等于底之比,可得: S△ADE:S△BDE=, S△ABE:S△BCE=,设S△ADE=a,可得S△BDE=2a,从而求出S△BCE=6a,即可求出. 【解析】解:∵, ∴ ∵△ADE和△BDE等高 ∴S△ADE:S△BDE=,可设S△ADE=a,可得S△BDE=2a ∴S△ABE= S△ADE＋S△BDE=3a ∵△ABE和△BCE等高 ∴S△ABE:S△BCE= ∴S△BCE=6a 故选B. 【点睛】此题考查的是求三角形的面积比,掌握平行线分线段成比例定理和等高的两三角形的面积比等于底之比是解决此题的关键. 二、填空题 11．如图，， ，，那么= ． 【答案】3 【分析】根据平行线分线段成比例的性质得到，进而可求解． 【解析】解：∵ ∴， ∵BC=9， 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解答的关键． 12．在中，点、分别在直线、上，如果，，，，那么 ． 【答案】4 【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可． 【解析】解：作如下图： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理． 13．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，AB=8，AE=6，AC=12，当BD= 时，DE∥BC． 【答案】12 【分析】由DE//BC，则可得其对应线段成比例，进而再结合题干中的条件，即可得出答案． 【解析】解：如图， 若DE//BC，则， ∵AB=8，AE=6，AC=12， ∴， ∴AD=4， ∴BD=BA+AD=8+4=12． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握是解题的关键，属于中考常考题型． 14．如图，，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例，得出，进而，即可求解． 【解析】解：∵ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 15．如图，直线，，分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，如果，，，那么 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值后解决问题． 【解析】∵， ∴， ，，， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，掌握平行线分线段成比例定理（三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例）是解题关键． 16．如图，在梯形中，，点E、F分别在边、上，且满足，如果，，那么 ．    【答案】6 【分析】根据梯形的性质可得，，可得出，再根据，即可得出的长度，则的长即可求得． 【解析】解：梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 则． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．熟记定理是解题的关键． 17．如图，已知四边形是的内接正方形，于H，且，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例．熟练掌握正方形的性质，平行线分线段成比例是解题的关键． 如图，记的 交点为，证明四边形为矩形，则，由，可得，即，求出的值，根据，作答即可． 【解析】解：如图，记的 交点为， ∵四边形是的内接正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，即，解得，， ∴， 故答案为：4． 18．如图，在中，．若进行以下操作，在边上从左到右依次取点，过点作的平行线分别交于点；过点作的平行线分别交于点；过点作的平行线分别交于点，则 ． 【答案】40400 【分析】由平行线性质到，再相加得到，再根据题意类推问题可解． 【解析】解： ∴ 以此类推，4D2E2+5D2F2=20，…，4D2020E2020+5D2020F2020=20， 4(D1E1 + D2E2 +…+ D2020E2020)+5(D1F1 + D2F2 +…+ D2020F2020)= 故答案为：40400． 【点睛】本题考查平行线的性质以及比例式的探索规律；能够根据平行线的性质和等量代换得到4D1E1+5D1F1=20是解题的关键． 三、解答题 19．如图，在中，，，，，求．    【答案】4 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 20．在中，点、分别在边、上，根据下列条件，试判断与是否平行． (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，． 【答案】(1)平行 (2)平行 (3)不平行 (4)平行 【分析】（1）根据平行线分线段成比例判断即可； （2）同（1）图，根据平行线分线段成比例判断即可； （3）同（1）图，根据平行线分线段成比例判断即可； （4）根据题意得出，，根据平行线分线段成比例判断即可． 【解析】（1）解：如图所示：    ∵， ∴； （2），， ∴； （3），， ∴不相等，不平行； （4）∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】考查三角形一边平行线判定定理的内容，根据比例性质进行相关变形应用是解题关键． 21．如图，已知，与相交于点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出，进而根据，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22．如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且．已知，，，求、的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值后解决问题 【解析】解：∵， ∴ ，，， ∴， 解得：， 则． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，掌握平行线分线段成比例定理（三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例）是解题关键． 23．如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 【答案】(1)4，14 (2)15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出是解决问题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长，得出的长； （2）由平行线分线段成比例定理，得出，由平行线分线段成比例定理得出，再代入求得结果． 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵点G是的中点，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 24．如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论； （2）根据平行线分线段成比例定理进行证明即可． 【解析】（1）证明：由菱形可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 25．阅读填空：如图①中，是的角平分线，它具有一些和边有关的特殊性质，下面我们一块来研究． (1)如图②，作，，垂足分别为E、F，易得． 如图③，作，垂足为G，易得． 综合图②图③可得中，当平分时，______． (2)如图④，，作交延长线于M，请你利用图④，填空 ∵，∴，，又∵ ∴，∴______，∵， ∴，∴______． (3)应用如图⑤： 在中，，平分，，，则______，______． 【答案】(1) (2)；； (3)， 【分析】（1）利用同高三角形的面积比等于底的比进行计算解题； （2）作交延长线于M，则有，根据平行线分线段成比例得到，然后等量代换解题即可； （3）先利用勾股定理求出长，然后利用（1）中结论解题即可． 【解析】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）如图④，，作交延长线于M，请你利用图④，填空 ∵， ∴，， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；；； （3）解：∵，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查三角形的面积，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$