第07讲 相似三角形的判定（第2课时）（六大题型）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第07讲 相似三角形的判定（第2课时）（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握相似三角形的判定定理3及证明； 2、判断网格中的相似三角形； 3、了解直角三角形相似的判定定理；掌握相似三角形判定定理综合。 1． 相似三角形判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 在△ABC与△A₁B₁C₁中，如果 ,那么△ABC 与△A₁B₁C₁相似吗?为什么? 【方法规律】要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2． 网格中相似三角形的判定 例 如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是哪一个图形？ 解：由甲图可知AC＝＝，BC＝2，AB＝＝. 同理，图①中，三角形的三边长分别为1，，2； 同理，图②中，三角形的三边长分别为1，，； 同理，图③中，三角形的三边长分别为，，3； 同理，图④中，三角形的三边长分别为2，，. ∵＝＝＝， ∴图②中的三角形与△ABC相似． 【方法规律】(1)各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否对应成比例来判断两个三角形是否相似；(2)判定三边是否对应成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似． 3.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 如图24-39,在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，∠C=∠C₁=90°,.,△ABC与△A1B1C1相似吗?为什么? 题型1：三边对应成比例证两三角形相似 1．如图中的两个三角形是否相似？为什么？ 2．如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ 3．和符合下列条件，其中使与不相似的是（    ） A．，， B．，，，，， C．，，，， D．，，，，， 题型2：网格中的相似三角形判定 4．如图，与相似吗？为什么？ 5．如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．无法确定 6．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的3三角形（阴影部分）与相似的是（ ）． A．B． C． D． 7．如图，在由相同的小正方形组成的的网格中，点、、、、、、都在小正方形顶点上，则图中能用字母表示（不再添加辅助线）的三角形中，与相似的三角形的个数是（　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型3：直角三角形中相似三角形的判定 8．在中，．在中，，则和相似吗？为什么？ 9．在与中，，，，，，，试问与相似吗？请说明理由. 10．如图，已知．求证：．    11．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽ 12．已知：和中，、分别为与的高线，且．求证：∽． 题型4：相似三角形的判定综合辨析 13．如图，在与中，、分别为边、上的中线，且．求证：∽．      14．下列命题中正确的个数是（    ） （1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似 （2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似 （3）两个等边三角形一定相似 （4）任意两个矩形一定相似 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，，添加一个条件：① ；② ；③；④．其中能判定 的是（   ）．    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 16．如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（    ） A． B． C．是的中点 D． 17．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，，那么有（    ）    A． B． C． D． 18．如图，下列条件能使△BPE和△CPD相似的有（   ） ①∠B=∠C；②；③∠ADB=∠AEC；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型5：尺规作图有关的相似三角形判定 19．如图，在中，平分，按如下步骤作图：分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，分别交于两点M，N；作直线分别与，交于点E，F，交于点O，连按，．根据以上作图，一定可以推得的结论是（    ） A．是的中位线 B．点O为的重心 C． D． 20．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（    ） A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBA C． D． 21．请用直尺，圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知在中，． (1) 在的延长线上有一点，连接，使得（尺规作图）； (2)在（1）的情况下，求证： ． 题型6：“手拉手”等特殊模型中的相似三角形判定 22．如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（　　） A．甲与丙相似，乙与丁相似 B．甲与丙相似，乙与丁不相似 C．甲与丙不相似，乙与丁相似 D．甲与丙不相似，乙与丁不相似 23．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是 ． 题型7：添加一个条件使三角形相似 24．如图，∠ACB=∠BDC=Rt∠，我们知道图中两个直角三角形不一定会相似．请你添加一个条件，使这两个直角三角形一定相似，你认为该添加的一个条件是 ． 25．如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有 种情况． 题型8：相似三角形的对数 26．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有 对． 27．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 题型9：相似三角形的判定—分类讨论动点问题 28．如图，在中， cm， cm，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t. （1）用含t的代数式表示：________， （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少. 29．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF⊥AE 于 F． （1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由； （2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA＝x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由． 一、单选题 1．下列两个三角形不一定相似的是（　　） A．有一个内角是的两个等腰三角形 B．有一个内角是的两个等腰三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 2．已知的三边长分别是，，，的三边长如以下四个选项所列，若要使，则的三边长分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　） A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④ 4．含角的直角三角板与含角的直角三角板如图放置，它们的斜边与斜边相交于点E．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，下列条件不能判定的是（   ） A．， B．， C． D．， 6．如图，在纸片中，，将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是（    ）    A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 7．如图，点、分别是等边三角形的两边、上两点， 、相交于点，连结．若 ，则下列结论错误的是(   ) A． B． C． D． 8．如图，已知，下列添加的条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，中，，垂足为，，垂足为点，与交于点，则图中与不相似的三角形是（ ） A． B． C． D． 10．如图所示，在中，，点P在边上（点P不与B，C重合，且，将沿翻折变为，交于点M，交于点N．则下列结论中，不一定正确的是（    ）    A．平分 B． C． D． 二、填空题 11．如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（写出一个即可）    12．如图，，是边上的两个点，要使，添加一个条件是 （只写一个）． 13．如图，在中，是边上一点，连接，要使与相似，应添加的条件是 ．    14．如图，，，在、、、、、中写出一对相似三角形 ． 15．如图，点E在▱ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角形共有 对． 16．的边长分别为的边长分别，则与 （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似 17．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC= 度 18．将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 三、解答题 19．在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似． 20．如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    21．如图，点，在线段上，且是等边三角形，，，．求证：． 22．请用直尺，圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知在中，． (1) 在的延长线上有一点，连接，使得（尺规作图）； (2)在（1）的情况下，求证： ． 23．如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且． 求证： (1)； (2)． 24．如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 25．（1）如图1，在四边形中，，连接，过点A作交的延长线于点E，求证：．    （2）如图2，在四边形中，，（1）中的其它条件不变，点M，N分别是的中点，连接，．    ①求证：﹔ ②求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 相似三角形的判定（第2课时）（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握相似三角形的判定定理3及证明； 2、判断网格中的相似三角形； 3、了解直角三角形相似的判定定理；掌握相似三角形判定定理综合。 1． 相似三角形判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 在△ABC与△A₁B₁C₁中，如果 ,那么△ABC 与△A₁B₁C₁相似吗?为什么? 【方法规律】要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2． 网格中相似三角形的判定 例 如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是哪一个图形？ 解：由甲图可知AC＝＝，BC＝2，AB＝＝. 同理，图①中，三角形的三边长分别为1，，2； 同理，图②中，三角形的三边长分别为1，，； 同理，图③中，三角形的三边长分别为，，3； 同理，图④中，三角形的三边长分别为2，，. ∵＝＝＝， ∴图②中的三角形与△ABC相似． 【方法规律】(1)各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否对应成比例来判断两个三角形是否相似；(2)判定三边是否对应成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似． 3.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 如图24-39,在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，∠C=∠C₁=90°,.,△ABC与△A1B1C1相似吗?为什么? 题型1：三边对应成比例证两三角形相似 1．如图中的两个三角形是否相似？为什么？ 【答案】（1）相似，因为三边成比例；（2）相似，因为两边成比例，夹角相等． 【分析】（1）先标字母，再按大小顺序对应求出两边的比值，根据相似三角形的判定定理进行判断即可； （2）先求两对应边的比值，可得两边对应成比例，夹角为对顶角，根据相似三角形的判定定理进行判断即可． 【解析】解：（1）相似，理由如下： 标字母如图， ∵，，， ∴， ∴∽； （2）相似，理由如下： ∵，， ∴， 又∵∠ACB=∠ECD， ∴∽． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 2．如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ 【答案】（1）不相似，理由见解析；（2）相似，理由见解析． 【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断即可． 【解析】解：（1）不相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴与不相似； （2）相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴∽． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 3．和符合下列条件，其中使与不相似的是（    ） A．，， B．，，，，， C．，，，， D．，，，，， 【答案】D 【分析】依据选项提供条件，选择对应的方法进行判断即可． 【解析】解：A、∵,，， ∴， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B、∵，，，，，， ∴ ∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，， ∴， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、三边对应比例不相等，故两个三角形不相似，故此选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件． 题型2：网格中的相似三角形判定 4．如图，与相似吗？为什么？ 【答案】相似，理由见解析 【分析】根据网格求出三角形的边长，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可得出结论． 【解析】解：△ABC与△EFG相似，理由是： 设小正方形的边长为1，则AC＝5，AB＝，BC＝，EF＝2，GF＝，EG＝， ∵，， ∴， ∴△ABC∽△EFG． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：三组对应边的比相等的两个三角形相似． 5．如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查的是相似三角形的判定，掌握其判定定理是解决此题的关键． 根据两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，即可解答． 【解析】解：设网格中每个小正方形的边长为1， ①中的三角形的各边长分别为2，，， ③中的三角形的各边长分别为，2，， ， 这两个三角形的三边对应成比例 ①中的三角形和③中的三角形相似， 故选C. 6．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的3三角形（阴影部分）与相似的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【解析】解：∵小正方形的边长为1， ∴在中，， A．三边各为：3，，与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似； B．三边各为：1，，与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似； C．三边各为：1，，与中的三边对应成比例，故两三角形相似； D．三边各为：2，，与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似． 故选：C． 7．如图，在由相同的小正方形组成的的网格中，点、、、、、、都在小正方形顶点上，则图中能用字母表示（不再添加辅助线）的三角形中，与相似的三角形的个数是（　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，且，根据相似三角形的判定进行判断，即可求解． 【解析】解：根据图形可得，， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ 综上所述，与相似的三角形的个数是3个， 故选：B． 题型3：直角三角形中相似三角形的判定 8．在中，．在中，，则和相似吗？为什么？ 【答案】．理由见解析． 【分析】直接利用直角三角形的性质得出AC、DE的长，再利用相似三角形的判定方法得出答案． 【解析】解：相似，理由如下： 在中，，由勾股定理得． 在中，，由勾股定理得． ∴有， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 9．在与中，，，，，，，试问与相似吗？请说明理由. 【答案】相似.理由见解析. 【分析】根据三组对应边的比相等的两个三角形相似；证. 【解析】相似.理由如下： ∵， ，， ∴. ∴. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 10．如图，已知．求证：．    【答案】 【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得到； 【解析】证明：， 在中， ， , 在中， 在△ABC和△DEF中，三边对应成比例, ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三边对应成比例的两个三角形相似，熟悉运用相似三角形的判定与性质即可进行证明． 11．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽ 【答案】见解析 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等进行证明即可． 【解析】证明：设， 在正方形ABCD中， ， ，， ， ∽． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，要熟练掌握，根据已知条件灵活运用． 12．已知：和中，、分别为与的高线，且．求证：∽． 【答案】见解析. 【分析】在Rt△ABD与Rt△A'B'D'中，由直角边和斜边对应成比例得到△ABD∽△A'B'D'，所以∠B=∠B'，再根据两组对边成比例且夹角相等，判定△ABC∽△A'B'C'. 【解析】证明：在Rt△ABD与Rt△A'B'D'中， ∵， ∴△ABD∽△A'B'D'， ∴， 又， ∴∽． 【点睛】本题考查相似三角形判定和性质，熟练掌握判定定理是解决此类问题的关键. 题型4：相似三角形的判定综合辨析 13．如图，在与中，、分别为边、上的中线，且．求证：∽．      【答案】见解析. 【分析】根据可得，则可证明∽，即可推出，再根据，则可证明∽． 【解析】解：∵，、分别为边、上的中线， ∴， ∴∽ ∴． 又∵， ∴∽． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 14．下列命题中正确的个数是（    ） （1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似 （2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似 （3）两个等边三角形一定相似 （4）任意两个矩形一定相似 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理对前三个命题进行判定，根据相似图形的定义对第四个命题进行判定即可． 【解析】解：（1）有一个锐角相等，再加上一个直角相等可以利用两角对应相等的两三角形相似判定相似，故（1）正确； （2）斜边和一直角边对应成比例满足直角三角形有一直角边和斜边对应成比例的两直角三角形相似；故（2）正确； （3）两个等边三角形满足三边对应成比例，能判定相似，故（3）正确； （4）任意的两个矩形满足对应角相等但不一定满足对应边的比相等，故不一定相似，故（4）错误； 故正确命题有（1）（2）（3）一共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及相似多边形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理及相似多边形的定义． 15．如图，，添加一个条件：① ；② ；③；④．其中能判定 的是（   ）．    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理“两角分别对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”， 先根据，得出，再由相似三角形的判定定理对各项逐一判断即可． 【解析】解：，， ①添加，则，本项符合题意； ②添加，则，本项符合题意； ③添加；无法判断，本项不合题意； ④添加；则，本项符合题意； 故选：B． 16．如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（    ） A． B． C．是的中点 D． 【答案】C 【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可． 【解析】A．，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到∽，不合题意； B.，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到，从而有∽，不合题意； C．P是BC的中点，无法判断与相似，符合题意； D． ，根据正方形性质得到，又∵∠B=∠C，则∽，不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键． 17．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，，那么有（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定． 【解析】解：∵， ∴， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质． 18．如图，下列条件能使△BPE和△CPD相似的有（   ） ①∠B=∠C；②；③∠ADB=∠AEC；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据“两角相等的两个三角形相似”判断①；根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”证明，可得，进而判断④，即可说明②；根据平角定义得，再结合“两角相等的两个三角形相似”判断③即可；最后根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”判断⑤即可． 【解析】∵，， ∴， 所以①符合题意； ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， 所以④符合题意，②不符合题意； ∵， ∴． ∵， ∴， 所以③符合题意； ∵，， ∴， 所以⑤符合题意． 则符合题意的有4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 题型5：尺规作图有关的相似三角形判定 19．如图，在中，平分，按如下步骤作图：分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，分别交于两点M，N；作直线分别与，交于点E，F，交于点O，连按，．根据以上作图，一定可以推得的结论是（    ） A．是的中位线 B．点O为的重心 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定、平行线分线段成比例等知识，本题中根据作图方法判断出“是线段的垂直平分线”是解题的关键． 根据作法得到是线段的垂直平分线，则，所以，再结合可得，则，同理，所以即，据此即可解答． 【解析】解：根据作法可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，同理：， ∴， ∴，即D选项一定成立，符合题意； ∵，但点E不一定是的中点，则不一定是的中位线，故A选项不符合题意； 平分，二重心是三角形三边中线的交点，故B选项不符合题意； 不能说明点F是的中点,故C选项不符合题意． 故选D． 20．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（    ） A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBA C． D． 【答案】D 【分析】根据作图可知是的角平分线，，根据证明，可得，，根据面积法可得，可得即可判断D选项正确，其他选项无法证明． 【解析】解：根据作图可知是的角平分线，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． A,B,C选项无法证明． 故选：D． 【点睛】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，证明两三角形相似，垂直平分线的性质，理解基本作图是解题的关键． 21．请用直尺，圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知在中，． (1) 在的延长线上有一点，连接，使得（尺规作图）； (2)在（1）的情况下，求证： ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在的右侧作，连接交的延长线上有点即可； （2）根据已知条件得到即可证明． 【解析】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，以长度为半径画弧，两弧相交于点，连接交的延长线上有点，如图，则． （2） 证明：如上图， ∵，， ∴， 在和中，，， ∴． 题型6：“手拉手”等特殊模型中的相似三角形判定 22．如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（　　） A．甲与丙相似，乙与丁相似 B．甲与丙相似，乙与丁不相似 C．甲与丙不相似，乙与丁相似 D．甲与丙不相似，乙与丁不相似 【答案】A 【分析】利用已知条件得到即，加上对顶角相等，则可判断△AOB∽△COD；再利用比例性质得到，而∠AOC＝∠BOD，所以△AOC∽△BOD． 【解析】解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3， 即， 而∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∵， ∴， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC∽△BOD． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 23．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是 ． 【答案】①② 【分析】由两个等边三角形容易证明△DAC≌△BAE，则可得①正确，同时有∠ADC＝∠ABE，利用三角形内角和即可得②正确，再由AB≠AC及AC=AE，得AB≠AE，从而可得∠ABE≠∠AEB，则易得∠DBO≠∠OCE，从而得③不正确． 【解析】∵△ABD、△AEC都是等边三角形， ∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°， ∴∠DAC＝∠BAC＋60°， ∠BAE＝∠BAC＋60°， ∴∠DAC＝∠BAE， ∴△DAC≌△BAE， ∴BE＝DC． ∴∠ADC＝∠ABE， ∵∠BOD＋∠BDO＋∠DBO＝180°， ∴∠BOD＝180°﹣∠BDO﹣∠DBO ＝180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°＋∠ABE）＝60°， ∵△DAC≌△BAE， ∴∠ADC＝∠ABE，∠AEB＝∠ACD， ∵∠DBO＝∠ABD＋∠ABE＝60°＋∠ABE，∠OCE＝∠ACE＋∠ACO＝60°＋∠ACD， ∵AE=AC， ∴AB≠AE， ∴∠ABE≠∠AEB， ∵∠AEB＝∠ACD， ∴∠ABE≠∠ACD， ∴∠DBO≠∠OCE， ∴两个三角形的最大角不相等， ∴△BOD不相似于△COE； 即③不正确； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，说明③不正确是本题的难点，许多学生无从下手． 题型7：添加一个条件使三角形相似 24．如图，∠ACB=∠BDC=Rt∠，我们知道图中两个直角三角形不一定会相似．请你添加一个条件，使这两个直角三角形一定相似，你认为该添加的一个条件是 ． 【答案】∠A=∠CBD（答案不唯一） 【分析】利用相似三角形的判定可求解． 【解析】解：添加∠A=∠CBD， ∵∠A=∠CBA，∠ACB=∠BDC=Rt∠， ∴△ACB∽△BDC， 故答案为：∠A=∠CBA（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 25．如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有 种情况． 【答案】3 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断． 【解析】①当∠ACP=∠B， ∵∠A=∠A， ∴， ∴①符合题意； ②当∠APC=∠ACB， ∵∠A=∠A， ∴， ∴②符合题意； ③当， 即， ∵∠A=∠A ∴， ∴③符合题意； ④∵当，即， 而∠PAC=∠CAB， 以上条件不能判断△APC和△ACB相似， ∴④不符合题意； 即有①②③这三种情况可得出， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 题型8：相似三角形的对数 26．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有 对． 【答案】3 【分析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角． 【解析】解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C， ∴△PCF∽△BCP． ∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D， ∴△APD∽△PGD． ∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B+∠C，∠BFP＝∠CPD+∠C ∴∠APG＝∠BFP， ∴△APG∽△BFP． 则图中相似三角形有3对， 故答案为：3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角． 27．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，得到直角和平行线，利用相似三角形的判定和性质进行推理判断即可． 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠EDP=∠FCP=90°， ∵∠EPD=∠FPC， ∴△EDP∽△FCP； ∵∠FEB=∠FCP=90°， ∵∠F=∠F， ∴△FEB∽△FCP； ∴△FEB∽△EDP； ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°， ∵∠BEF=90°， ∴∠AEB+∠DEP=90°，∠AEB+∠ABE=90°， ∴∠DEP=∠ABE， ∴△EDP∽△BAE； ∴△FCP∽△BAE； ∴△FEB∽△BAE； 共有6对， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 题型9：相似三角形的判定—分类讨论动点问题 28．如图，在中， cm， cm，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t. （1）用含t的代数式表示：________， （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少. 【答案】（1）2t，（2）运动时间为s或4s 【分析】（1）利用速度公式求解； （2）由于∠PAQ=∠BAC，利用相似三角形的判定，当时，△APQ∽△ABC，即；当时，△APQ∽△ACB，即，然后分别解方程即可． 【解析】（1）2t , ; （2）连接PQ，∵，∴当时，，此时，解得； ∵，∴当时，，此时，解得. ∴运动时间为s或4s. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,关键是能灵活运用. 29．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF⊥AE 于 F． （1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由； （2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA＝x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，x的值为 4或20. 【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE； （2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式． 【解析】(1)证明：∵AD∥BC, ∴∠PAF=∠AEB. ∵∠PFA=∠ABE=90°， ∴△PFA∽△ABE. (2) 若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB. 如图，连接PE,DE, ∴PE∥AB. ∴四边形ABEP为矩形. ∴PA=EB=4，即x=4. 如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE, 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB. ∵∠PAF=∠AEB， ∴∠PEF=∠PAF. ∴PE=PA. ∵PF⊥AE， ∴点F为AE的中点. ∵AE=， ∴EF=AE=. ∵， ∴PE=20，即x=10. ∴满足条件的x的值为4或10. 【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线. 一、单选题 1．下列两个三角形不一定相似的是（　　） A．有一个内角是的两个等腰三角形 B．有一个内角是的两个等腰三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定方法分别判断得出答案． 【解析】解：A、有一个内角是的两个等腰三角形，因为是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意； B、有一个内角是的两个等腰三角形都是等边三角形，则两个三角形一定相似，故此选项不符合题意； C、有一个内角是的两个等腰三角形是等腰直角三角形，则两个三角形一定相似，故此选项不符合题意； D、有一个内角是的两个等腰三角形，则底角均为，则两个三角形一定相似，故此选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的最常用的方法判断方法是解题的关键． 2．已知的三边长分别是，，，的三边长如以下四个选项所列，若要使，则的三边长分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三边对应成比例的三角形相似逐项进行判断即可． 【解析】解：A．∵， ∴的三边长不可能是，，，故A错误； B．∵， ∴的三边长可能是，，，故B正确； C．∵， ∴的三边长不可能是，，，故C错误； D．∵ ∴的三边长不可能是，，，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三边对应成比例的三角形相似． 3．如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　） A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，求出所有三角形的边长是解题的关键．先利用勾股定理求出所有三角形的边长，由相似三角形的判定可求解． 【解析】解：图形①的三边为：； 图形②的三边为：； 图形③的三边为：； 图形④的三边为：； ∵， ∴①与③相似， 故选：A． 4．含角的直角三角板与含角的直角三角板如图放置，它们的斜边与斜边相交于点E．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定方法，进行判断即可． 【解析】解：由图可知：， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 5．如图，下列条件不能判定的是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两三角形相似，有两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两三角形相似，据此逐一判断即可， 【解析】解：A、由可得，再由，可证明，故A不符合题意； B、由可得，再由，可证明，故B不符合题意； C、由，可证明，故C不符合题意； D、由可得，再由，不可证明，故D符合题意； 故选：D． 6．如图，在纸片中，，将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是（    ）    A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【解析】解：图①中，∵， ∴相似； 图②中，只有，不符合相似三角形的判定，不能推出和相似； 图③中，， ∴； 图④中，只有，不符合相似三角形的判定， 不能推出和相似； 综上所述，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故D正确． 故选：D． 7．如图，点、分别是等边三角形的两边、上两点， 、相交于点，连结．若 ，则下列结论错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形出的性质与判定，等边三角形的性质，相似三角形的判定；先证明，根据全等三角形的性质，以及三角形的外角的性质即可得出的度数是，进而根据，证明，即可求解． 【解析】如图，在等边中，，， 在与中， ， ；故B选项正确 ， ， 即的度数是，故C选项正确， ， ，故D选项正确， 无法判断，故A选项错误 故选：A． 8．如图，已知，下列添加的条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定定理判断求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故C不符合题意； 由，，不能判定， 故D符合题意； 故选：D． 9．如图，中，，垂足为，，垂足为点，与交于点，则图中与不相似的三角形是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【解析】解：A．∵，， ∴， ∵， ∴，选项正确，不符合题意； B．∵，， ∴， ∵， ∴，选项正确，不符合题意； C．条件不足，无法证明：与相似，选项错误，符合题意； D．由B知：， ∴， ∵， ∴，选项正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 10．如图所示，在中，，点P在边上（点P不与B，C重合，且，将沿翻折变为，交于点M，交于点N．则下列结论中，不一定正确的是（    ）    A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据翻折的性质可得，，，再根据三角形外角的性质得，即可得，判断A；然后根据两个角相等的两个三角形相似判断B；根据三角形内角和定理判断C；最后根据和的关系判断D即可． 【解析】根据翻折的性质可得，，． ∵是的外角，是的外角， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 可知A正确； ∵， ∴． ∵， ∴∽. 则B正确； ∵，，且，， ∴． 可知C正确； 无法确定和的关系， ∴无法确定和的关系． 可知D不正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定，三角形内角和等，理解翻折的性质是解题的关键． 二、填空题 11．如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（写出一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行求解即可：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，有两个角对应相等的两个三角形相似． 【解析】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，，是边上的两个点，要使，添加一个条件是 （只写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，已知，根据相似三角形的判定定理即可求得答案． 【解析】∵，， ∴， 故添加条件即可求得． 同理可得：或可以得出． 故答案为： 或或． 13．如图，在中，是边上一点，连接，要使与相似，应添加的条件是 ．    【答案】或或或． 【分析】根据公共角，若两个三角形相似，则需添加一组对应角相等，或夹的两组对应边成比例． 【解析】∵公共角， 当或时，； 当时，， 故答案为：或或或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是正确理解如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 14．如图，，，在、、、、、中写出一对相似三角形 ． 【答案】 【分析】设AP，求得AB=，由相似三角形的判定定理可求解． 【解析】解：设AP， ∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD， ∴AP=PB=BC=CD， ∴AB=， ∴，， ∴， 又∵∠ABC=∠DBA， ∴△ABC∽△DBA， 故答案为：△ABC∽△DBA． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 15．如图，点E在▱ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角形共有 对． 【答案】6 【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可． 【解析】解：∵ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AB∥DC ∵△ABG∽△CEG，△AGF∽△CGB，△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF，△ABF∽△EBC五对，还有一对特殊的相似即△ABC≌△ADC， ∴共6对． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型． 16．的边长分别为的边长分别，则与 （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似 【答案】不一定 【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可． 【解析】解：∵的边长分别为的边长分别， ∴两个三角形对应边的比分别为： ， 当a=b=c时，，这两个三角形相似， 当a≠b≠c时，，这两个三角形不相似， ∴与不一定相似， 故答案为：不一定． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键． 17．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC= 度 【答案】145 【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C，则△ABD与△DBC全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解. 【解析】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD， △ABD与△DBC相似，但不全等， ∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C. 又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°， ∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°， ∴∠ADB+∠BDC=145°， 即∠ADC=145°. 【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键. 18．将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 【答案】2或 【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况讨论． 【解析】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况： ①时， ， 又∵， ∴ 解得； ②时， ， ， 而，即 解得． 故的长度是2或 故答案为：2或 三、解答题 19．在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似． 【答案】见解析 【分析】根据三边对应成比例的三角形相似进行解答即可． 【解析】证明：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18c m，B′C′＝24cm，A′ C′＝30cm， ∴，， ∴ ∴△ABC∽△A′B′C′． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 20．如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定．等边对等角，得到，利用外角的性质，推出，即可得证．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 【解析】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．如图，点，在线段上，且是等边三角形，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定和等边三角形的性质，先证明，然后由为等边三角形可证明，从而可证明． 【解析】证明：为等边三角形， ，， ， ． ． 22．请用直尺，圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知在中，． (1) 在的延长线上有一点，连接，使得（尺规作图）； (2)在（1）的情况下，求证： ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在的右侧作，连接交的延长线上有点即可； （2）根据已知条件得到即可证明． 【解析】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，以长度为半径画弧，两弧相交于点，连接交的延长线上有点，如图，则． （2） 证明：如上图， ∵，， ∴， 在和中，，， ∴． 23．如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用证明即可； （2）根据得出，，根据，，得出，利用相似三角形的判定得出结论即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 24．如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)相似，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质可得,，再根据可得，进而说明，再结合，即可证明结论； （2）设，利用E为边的中点，，得到，则可计算出,由勾股定理逆定理可得以及再说明即可证明结论． 【解析】（1）解：∵正方形， ∴, ∵， ∴， ∵点F在上， ∴, ∴, ∵, ∴． （2）解：与相似，理由如下： 设， ∵E为边的中点，， ∴， ∴，,, ∴,即, ∴, ∵, ∴, ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理逆定理等知识点，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键． 25．（1）如图1，在四边形中，，连接，过点A作交的延长线于点E，求证：．    （2）如图2，在四边形中，，（1）中的其它条件不变，点M，N分别是的中点，连接，．    ①求证：﹔ ②求证：． 【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解，②证明见详解 【分析】（1）由，通过角的转换即可证明； （2）①证即可证明； ②由①中结论可得，则 ，进而可证明； 本题主要考查三角形的全等判定及性质，相似三角形的证明，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【解析】证明（1）∵， ∴， ∴． （2）①∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． ②∵， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$