第05讲 三角形一边的平行线（第2课时）（十一大题型，含七种构造平行的技巧）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第05讲 三角形一边的平行线（第2课时）（十一大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（十一大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握三角形一边的平行线的性质中间比代换； 2、学会构造平行的七种技巧； 3、掌握重心的概念及性质。 一、知识引入（三角形的重心及性质） 例题 已知：如图24-19,BE、CF 是△ABC 的中线，交于点G .求证 ： 图24-19 分析 要证明 只要证明 EF//BC. 根据已知条件，可知 EF是 △ABC的中位线，由此可推出所要证明的结论. 证明 联 结 EF. 由 BE 、CF是△ABC的中线，可知EF是 △ABC的中位线. ∴EF//BC，，即 ∵EF//BC, (三角形一边的平行线性质定理的推论). . ∴ 在图24-19中，如果△ABC的另一条中线AD与 BE相交于点G', 如图24-20所示，那么这个交点G'与交点G是否同一个点? 图24-20 通过联结 DE,运用例题的证明方法，可得 因为点G'与点G同在中线 BE 上 ，,所以点G '与点G是同一点.这就是说，三角形的三条中线交于一点. 二、三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. (1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍. （2）重心的画法：两条中线的交点. 三、三角形一边的平行线的六种解题技巧： ①中间比代换法证比例式；②等积代换法证比例式；③等比代换法证比例中项； ④平行法证比例式；⑤等比过渡法证线段相等；同分母的中间比代换法。 4、 构造平行 ①连接两点构造平行；②作三角形一边的平行线；③截长补短法；④构造平行四边形.......... 题型1：在梯子型中构造平行 1. 如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，，求的长． 题型2：连接两点构造平行 2. 如图，点、分别在的边、上，若，点在上，，连接并延长交于点，则等于　　 A． B． C． D． 题型3：作三角形一边的平行线 3. 如图，已知点在上，且，点是延长线上一点，，连接与交于点，求的值． 题型4：截长补短法 4. 如图，点是等腰的斜边上的一点，，于点交于点． （1）求证：是的中点； （2）求的值； （3）求的值． 题型5：作三角形的中位线 5. 如图，在中，，是边上的两个三等分点，是的中点，分别交，，于，，，求． 6. 如图， 中，是边上的点，且，是边上的点，且，分别交于，则等于（　　） A.3:2:1 B. 5:3:1 C.25;12:5 D.51:24:10 题型6：构造平行四边形 7. 如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、， 求证：． 8. 已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 题型7：其他辅助线作法 9. 如图， 在中，，，． 连接交于点， 求的值 ． 10. 已知：如图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，，，相交于点，过点作交于点，则： （1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出，和间的关系式，并给出证明． 题型8：三角形一边的平行线—中间比代换 11．如图，，，则下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）    A．； B．； C．； D．． 13．如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（  ） A． B． C． D． 题型9：三角形的重心概念及性质 15．三角形的重心正确的叙述是（　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中垂线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 16．如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 17．如图，在中，与交于点G，点G为的重心，点M、N分别在边、上，若，则的值为 ． 18．如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GFAB交BC于点F，若EF＝2，那么BC长为 ． 题型10：三角形重心的性质的几何应用 19．已知G是等腰直角的重心，若，则线段CG的长为 ． 20．如图，在中，中线相交于点G，下列说法错误的是（  ）    A．点G为的重心 B． C．当为等边三角形时， D． 21．如图，点为的重心，连接，则 ．    22．如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果，，那么线段CE的长是 ．    题型11：由三角形重心的性质求点的坐标 23．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则重心的坐标是 ． 一、单选题 1．对于以下判断：①线段的中点是线段的重心；②三角形的重心是它的中线的一个三等分点；③三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；④平行四边形的重心是它的两条对角线的交点．其中正确的有（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，P是重心，且经过点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点P是的重心，若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，为的重心，过点作交于点，交于点，若，则四边形的面积为（    ） A． B．1.5 C．2 D．3 5．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，，则下列比例式中错误的是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，，，已知，则的长是　　 A． B．3 C． D．4 7．如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于F，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，点为的中点，连接，交、分别为点、点，则下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，M是AC的中点，P,Q为BC边上的点，且BP=PQ=CQ，BM与AP,AQ分别交于D,E点，则BD∶DE∶EM等于 A．3∶2∶1 B．4∶2∶1 C．5∶3∶2 D．5∶2∶1 10．已知正方形的边长为，延长到点，使，取的中点，连接、，与的延长线相交于点，则的长为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 11．△ABC中，AB=AC=10，重心G到底边BC的距离为2，那么AG= ． 12．如图，已知点O是△ABC的重心，过点O作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝ ．   13．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 ．    14．如图的中线AD、BE相交于点G，过点G作交BC于点H，如果，那么 ． 15．如图，的中线、交于点，点在边上，，那么的值是 .    16．如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为 ． 17．如图，在中，点是边的中点，直线交边于点，交的延长线于点，如果，那么的值为 ．（用含、的式子表示） 18．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 三、解答题 19．中，点是重心，//，+=7.2cm，求． 20．如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8． （1）求的值； （2）当AD=5，CF=19时，求BE的长． 21．如图，中，是中线，点在上，且，的延长线交于，求的值． 22．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． （1）求EC的值； （2）求证：AD•AG=AF•AB． 23．如图，MN经过ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E． （1）求证：DE∥BC； （2）联结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长． 24．已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段DC上，EF∥AB交边AC于点F，EG∥AC交边AB于点G，FE的延长线与AD的延长线交于点H． 求证：GF = BH． 25．如图，G为的重心．    (1)当时，求的面积； (2)当时，求证：． 26．在中，，，点为直线上一个动点（点不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接，    (1)如图1，若点在线段上， ①依题意补全图1； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明 (2)若点在线段的延长线上，且，设，，直接写出的长（用含，的式子表示）； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 三角形一边的平行线（第2课时）（十一大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（十一大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握三角形一边的平行线的性质中间比代换； 2、学会构造平行的七种技巧； 3、掌握重心的概念及性质。 一、知识引入（三角形的重心及性质） 例题 已知：如图24-19,BE、CF 是△ABC 的中线，交于点G .求证 ： 图24-19 分析 要证明 只要证明 EF//BC. 根据已知条件，可知 EF是 △ABC的中位线，由此可推出所要证明的结论. 证明 联 结 EF. 由 BE 、CF是△ABC的中线，可知EF是 △ABC的中位线. ∴EF//BC，，即 ∵EF//BC, (三角形一边的平行线性质定理的推论). . ∴ 在图24-19中，如果△ABC的另一条中线AD与 BE相交于点G', 如图24-20所示，那么这个交点G'与交点G是否同一个点? 图24-20 通过联结 DE,运用例题的证明方法，可得 因为点G'与点G同在中线 BE 上 ，,所以点G '与点G是同一点.这就是说，三角形的三条中线交于一点. 二、三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. (1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍. （2）重心的画法：两条中线的交点. 三、三角形一边的平行线的六种解题技巧： ①中间比代换法证比例式；②等积代换法证比例式；③等比代换法证比例中项； ④平行法证比例式；⑤等比过渡法证线段相等；同分母的中间比代换法。 4、 构造平行 ①连接两点构造平行；②作三角形一边的平行线；③截长补短法；④构造平行四边形.......... 题型1：在梯子型中构造平行 1. 如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，，求的长． 【解析】解：（1）， ， ，，， ， ． （2）过点作，交于点，交于点， 则， ， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 题型2：连接两点构造平行 2. 如图，点、分别在的边、上，若，点在上，，连接并延长交于点，则等于　　 A． B． C． D． 【解析】解：如图，作交于． ， ， 可以假设，则， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解 决问题，属于中考常考题型． 题型3：作三角形一边的平行线 3. 如图，已知点在上，且，点是延长线上一点，，连接与交于点，求的值． 【解析】解：过点作，交于点， ， ， ， ， 即， ， ， ， ． 即． 证法二、连接、， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目． 题型4：截长补短法 4. 如图，点是等腰的斜边上的一点，，于点交于点． （1）求证：是的中点； （2）求的值； （3）求的值． 【解析】（1）证明：作交的延长线于，如图1， ， ， ， ， ， ， 而， ， ， ， 而， ， 在和中， ， ， ， ， 是的中点； （2）解：， ， ， 而， ； （3）解：作交于，如图2， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了三角形全等的判定与性质． 题型5：作三角形的中位线 5. 如图，在中，，是边上的两个三等分点，是的中点，分别交，，于，，，求． 【解析】解：过作，交于，于， 为中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， ，， ． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 6. 如图， 中，是边上的点，且，是边上的点，且，分别交于，则等于（　　） A.3:2:1 B. 5:3:1 C.25;12:5 D.51:24:10 【解析】 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 题型6：构造平行四边形 7. 如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、， 求证：． 【解析】证明：延长、，设交点为，则四边形为平行四边形， 是的中点， 的延长线必过点，且． ， ． ， ． ． 又， ． ，． ． ． 即． 【点评】综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理． 8. 已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 【解析】证明：过点分别作，， 得到四边形是平行四边形， ， ， ，（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例） ， ， ， 设，则，，， ， ， （如果一条直线截三角形的两边的延长线，所得的对应线段成比例）， ， ， ， ， 即． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 题型7：其他辅助线作法 9. 如图， 在中，，，． 连接交于点， 求的值 ． 【解析】解： 如图， 连接、， 则， ，，， ，，，， ． 【点评】本题主要考查比例线段的基本性质， 根据共高两三角形的底边之比等于面积比将线段 的比转化为面积的比是解题的关键． 10. 已知：如图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，，，相交于点，过点作交于点，则： （1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出，和间的关系式，并给出证明． 【解析】（1）成立． 证明： ； （2）关系式为： 证明如下：分别过作于，过作于，过作交的延长线于 由题设可得： 即 又， ． 【点评】此题考查平行线分线段成比例定理的运用． 题型8：三角形一边的平行线—中间比代换 11．如图，，，则下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【解析】 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 12．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）    A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】抓住已知条件：GE∥BD， GF∥AC，利用平行线分线段成比例以及中间比代换，对各选项一一判断即可求解. 【解析】∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，A选项正确； ∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，B选项错误； ∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，C选项错误； ∵GE∥BD，∴，D选项错误； 故选：A 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用中间比是解题的关键. 13．如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【解析】 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 14．如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例的定理去求出各个线段的比例关系，选出正确选项． 【解析】解：A选项错误， ∵点D、点E是AB的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则； B选项错误，无法证明； C选项正确， ∵， ∴， ∵， ∴， 则； D选项错误， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用这个定理求出线段的比例关系． 题型9：三角形的重心概念及性质 15．三角形的重心正确的叙述是（　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中垂线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【答案】C 【分析】根据三角形重心定义判断即可得解． 【解析】三角形的重心是三角形三条中线的交点， 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形重心，熟记三角形重心的定义是解题的关键． 16．如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，熟记重心的性质是解题的关键．根据重心性质可得，从而可得答案． 【解析】解：∵是边上的中线，点是重心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 17．如图，在中，与交于点G，点G为的重心，点M、N分别在边、上，若，则的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】过点B作分别交，于点E，F点，过点D作交于P点，通过构造平行线，灵活运用和这条中线，逐步求解即可． 【解析】如图，过点B作分别交，于点E，F点，过点D作交于P点， ∴为的中位线， ∴点P为的中点， ∵，且， ∴， ∵点G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形重心和平行线对应边成比例，能够运用三角形的重心将三角形的中线所在的线段分为两部分是解答本题的关键． 18．如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GFAB交BC于点F，若EF＝2，那么BC长为 ． 【答案】12 【分析】由三角形的重心及GFAB可知，然后可得BF=4，则有BE=6，进而问题可求解． 【解析】解：∵点G是△ABC的重心，GFAB， ∴， ∵EF＝2， ∴BF=4， ∴BE=6， ∵AE是BC边上的中线， ∴BC=2BE=12， 故答案为12． 【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 题型10：三角形重心的性质的几何应用 19．已知G是等腰直角的重心，若，则线段CG的长为 ． 【答案】 【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可． 【解析】解：如图，∵G是等腰直角△ABC的重心，AC＝BC＝2， ∴CD＝， ∴CG＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 20．如图，在中，中线相交于点G，下列说法错误的是（  ）    A．点G为的重心 B． C．当为等边三角形时， D． 【答案】D 【分析】根据三角形的重心性质可判断选项A、B；根据等边三角形的性质得到，可判断选项C；根据三角形的中线将三角形的面积平分可判断选项D． 【解析】解：A、∵的中线相交于点G， ∴点G为的重心，故选项A正确，不符合题意； B、∵点G 为的重心， ∴，即，故选项B正确，不符合题意； C、∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故选项C正确，不符合题意； D、∵， ∴，则， ∴，故选项D错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的重心性质、等边三角形的性质、三角形的中线性质，解答的关键是熟练掌握三角形的中线性质和重心性质：三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 21．如图，点为的重心，连接，则 ．    【答案】 【分析】三角形的重心是三边中线的交点，根据重心分中线的线段关系（即）即可求解． 【解析】解：∵点为的重心，即是的中线， ∴， 如图所示，过点作于点，    ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形中线，三角形重心的知识的综合，掌握三角形重心的定义和性质是解题的关键． 22．如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果，，那么线段CE的长是 ．    【答案】 【分析】根据题意得到点G是△ABC的重心，根据重心的性质得到DG=AD，CG=CE，BG=BF，D是BC的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得BC=5，再根据勾股定理求出GC即可解答.． 【解析】解：延长AG交BC于D点，    ∵中线BF、CE交于点G， ∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G， ∴点G是△ABC的重心，D是BC的中点， ∴AG=AD，CG=CE，BG=BF， ∵，， ∴,. ∵CE⊥BF，即∠BGC=90°， ∴BC=2DG=5， 在Rt△BGC中，CG=， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．理解三角形重心的性质是解题的关键. 题型11：由三角形重心的性质求点的坐标 23．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则重心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、坐标与图形性质等知识点，根据三角形的重心的概念作出重心，根据重心的性质得到，然后根据平行线分线段成比例定理计算即可．掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴点O是的中点， 如图：连接，作中线交于G，则点G是的重心， ∴， 如图：作于E，于F，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴△ABC重心的坐标是， 故答案为． 一、单选题 1．对于以下判断：①线段的中点是线段的重心；②三角形的重心是它的中线的一个三等分点；③三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；④平行四边形的重心是它的两条对角线的交点．其中正确的有（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据重心的定义和特殊图形的性质求解． 【解析】解：线段中点到线段两个端点的距离相等，为线段的重心，故①正确； 三角形的重心是它的中线的一个三等分点，故②正确； 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心，故③正确； 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点，故④正确， 故选：D． 【点睛】此题考查了常见图形的重心，正确理解重心的定义及常见图形的性质是解题的关键． 2．如图，P是重心，且经过点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据重心可得，结合可得，即可得到答案； 【解析】解：∵P是重心， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查平行线所截线段对应成比例，三角形重心的性质，解题的关键是熟知三角形重心到顶点距离与到顶点对边中点的距离比为． 3．如图，点P是的重心，若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式即可求解． 【解析】解：∵点P是的重心， ∴， ∴，， ∴的面积的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的重心的性质，结合重心性质得出三角形的面积公式找到三角形的面积比是解题的关键． 4．如图，为的重心，过点作交于点，交于点，若，则四边形的面积为（    ） A． B．1.5 C．2 D．3 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点D，连接，先根据三角形重心是三条中线的交点，可知是的中线，平分三角形的面积可得，由重心的性质可得， 根据平行线分线段成比例定理可得，由同高三角形面积的关系可得，证明四边形是平行四边形，可得结论． 【解析】解：连接并延长，交于点D，连接， ∵为的重心， ∴是的中线，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积是， 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键． 5．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，，则下列比例式中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【解析】A、∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴，不符合题意； B、∵， ∴， ∴，不符合题意； C、∵， ∴， ∴，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， 故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线判定三角形的相似和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 6．如图，在中，，，已知，则的长是　　 A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】由于D、E、F和G、H、I分别是AB、AC的四等分点，则DG∥EH∥FI，根据平行线分线段成比例定理，即可求出DG、EH、FI和BC的比例关系，由此可求出DG+EH+FI的长． 【解析】∵AD=DE=EF=FB，AG=GH=HI=IC， ∴DG∥EH∥FI； ∴，即DG=BC； 同理可得：EH=BC，FI=BC； ∴DG+EH+FI=BC+BC+BC=BC=3； 故选B． 【点睛】此题主要考查的是平行线分线段成比例定理的应用． 7．如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于F，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作交于，根据是中点可得,根据平行线分线段成比例可得,有已知条件可得,进而可得． 【解析】解：作交于， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中线的性质，比例的性质，添加辅助线是解题的关键． 8．如图，平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，点为的中点，连接，交、分别为点、点，则下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴故A正确，不符合题意； ∵， ∴， 又∵． ∴，故B正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵与不一定相等，不一定等于， 而，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】考核知识点∶ 相似三角形的判定与性质．理解性质是关键． 9．如图，在△ABC中，M是AC的中点，P,Q为BC边上的点，且BP=PQ=CQ，BM与AP,AQ分别交于D,E点，则BD∶DE∶EM等于 A．3∶2∶1 B．4∶2∶1 C．5∶3∶2 D．5∶2∶1 【答案】C 【分析】过A作AF∥BC交BM延长线于F，设BC=3，则BP=PQ=QC=；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD、BE、BM的长度，再来求BD，DE，EM三条线段的长度，即可求得答案． 【解析】过A作AF∥BC交BM延长线于F，设， 则； ∵，∥， ∴， ∴， ∵∥， ∴， ∴， ∵∥， ∴， ∴，即， ∵∥， ∴， ∴，即， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质，正确作出辅助线是关键． 10．已知正方形的边长为，延长到点，使，取的中点，连接、，与的延长线相交于点，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，连接，根据平行线等分线段定理的推论证得，在中，根据勾股定理可求出，，再在中根据勾股定理即可求出． 【解析】解：过点作，交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为，， ∴，， ∴， ， ， ∴，， ∴． 故选：B．    【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正方形的性质，等边对等角，勾股定理，中点的定义等知识．通过作辅助线并根据平行线等分线段定理证明是解题关键． 二、填空题 11．△ABC中，AB=AC=10，重心G到底边BC的距离为2，那么AG= ． 【答案】4 【分析】过点D作交AC于点E，首先利用重心的概念和平行线分线段成比例得出，然后代入计算即可． 【解析】如图，过点D作交AC于点E， ∵G是△ABC重心， ∴AD，BF都是△ABC的中线， ． ， ， ． ， ． ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握重心的概念和平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 12．如图，已知点O是△ABC的重心，过点O作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝ ．   【答案】4 【分析】连接AO并延长交BC于Q，利用重心性质得AO：OQ=2：1，则AO：AQ=2：3，再证明△AEF∽△ABC，△AEO∽△ABQ，然后根据相似三角形的性质求解． 【解析】解：∵连接AO并延长交BC于Q， ∵O是△ABC的重心， ∴AO：OQ=2：1， ∴AO：AQ=2：3， ∵EF∥BC， ∴△AEO∽△ABQ，△AEF∽△ABC， ∴ ∵BC＝6， ∴EF=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了相似三角形的判定与性质． 13．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 ．    【答案】8 【分析】连接BG并延长交AC于H，根据重心的性质可得2，根据平行四边形的定义,可证四边形DECF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得CE＝DF＝4，利用平行线分线段成比例定理列出比例式,即可求出BE. 【解析】解：连接BG并延长交AC于H，    ∵G为ABC的重心， ∴2， ∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴CE＝DF＝4， ∵GE∥CH， ∴2， ∴BE＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行四边形的判定及性质,平行线分线段成比例定理，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键． 14．如图的中线AD、BE相交于点G，过点G作交BC于点H，如果，那么 ． 【答案】6 【分析】根据三角形重心的性质和平行线分线段成比例解答即可． 【解析】解：的中线AD、BE相交于点G， ， ， ， ， 故答案为6 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例和三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 15．如图，的中线、交于点，点在边上，，那么的值是 .    【答案】 【分析】根据三角形的重心和平行线分线段成比例解答即可． 【解析】∵△ABC的中线AD、CE交于点G， ∴G是△ABC的重心， ∴， ∵GF∥BC， ∴， ∵DC=BC， ∴ ， 故答案为：. 【点睛】此题考查三角形重心问题以及平行线分线段成比例，解题关键是根据三角形的重心得出比例关系． 16．如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为 ． 【答案】 【分析】过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的长，过点F作FO⊥AC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【解析】∵ ∴AB==10， 过点E作EG⊥AB，垂足为G， ∵是的角平分线， ∴∠CBE=∠GBE， ∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE， ∴△CBE≌△GBE， ∴BC=BG=6，EC=EG， 设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4, 在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得， 即， 解得x=3， ∴CE=3，AE=5， 过点F作FO⊥AC，垂足为O，， ∴FO∥BC， ∴， ∴即FO=2OE， ∵AD是中线，BC=6， ∴CD=3， ∵FO∥DC， ∴， ∴， 解得OE=， 在直角三角形OEF中，， ∴EF==． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键． 17．如图，在中，点是边的中点，直线交边于点，交的延长线于点，如果，那么的值为 ．（用含、的式子表示） 【答案】 【分析】过点B作BH∥AC交EF于点H，先证明△BDH≌△CDF，得出BH=CF，再根据得出即可得解． 【解析】解：过点B作BH∥AC交EF于点H， ∴，∠C=∠DBH, ∵点是边的中点， ∴BD=CD， ∵∠BDH=∠CDF， ∴△BDH≌△CDF， ∴BH=CF， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确作出辅助线． 18．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 【答案】20 【分析】延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【解析】如图，延长交的延长线于点G． 四边形为平行四边形， ． ，． 点E为边的中点， ． 在和中，， ， ． ，， ． ， ． ， ，即， 解得． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明． 三、解答题 19．中，点是重心，//，+=7.2cm，求． 【答案】4.32． 【分析】连接，并延长交于点，根据三角形重心的性质可得，继而由平行线分线段成比例得到，再设，根据题意列式解出的值即可解题． 【解析】解：连接，并延长交于点， 是重心， 设 则 ． 【点睛】本题考查三角形重心、平行线分线段成比例等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 20．如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8． （1）求的值； （2）当AD=5，CF=19时，求BE的长． 【答案】（1）；（2）11 【分析】（1）根据ADBECF可得，由此计算即可； （2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果． 【解析】解：（1）∵ADBECF， ∴， ∵AB=6，BC=8， ∴， 故的值为； （2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G， ∵AGDF，ADBECF， ∴AD=HE=GF=5， ∵CF=19， ∴CG=CF-GF=14， ∵BECF， ∴， ∴， 解得BH=6， ∴BE=BH+HE=11． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键． 21．如图，中，是中线，点在上，且，的延长线交于，求的值． 【答案】的值为． 【分析】作DH∥AC交BE于H，如图，根据平行线分线段成比例，由DH∥CE得到，则CE=2DH，由DH∥AE得到，则AE=DH，然后计算AE：EC的值． 【解析】解：作DH∥AC交BE于H，如图， ∵DH∥CE， ∴， ∴CE=2DH， ∵DH∥AE， ∴， ∴AE=DH， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质． 22．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． （1）求EC的值； （2）求证：AD•AG=AF•AB． 【答案】（1）6；（2）证明见解析． 【分析】（1）由平行可得 ，可求得AC，且EC=AC-AE，可求得EC； （2）由平行可知 ，可得出结论． 【解析】解：（1）∵DE∥BC， ∴， 又，AE=3， ∴， 解得AC=9， ∴EC=AC-AE=9-3=6； （2）∵DE∥BC，EF∥CG， ∴， ∴AD•AG=AF•AB． 23．如图，MN经过ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E． （1）求证：DE∥BC； （2）联结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）由平行线分线段成比例结合条件可证得，可证得结论； （2）由（1）的结论，结合平行线分线段成比例可得到，结合条件可求得，可求得AM，可求出MN． 【解析】（1）证明：∵，∴，． ∵，∴． ∴． （2）∵，，．∴ ∴，∴． ∴ ∵，∴． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质和判定，掌握线段对应成比例⇔两直线平行是解题的关键． 24．已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段DC上，EF∥AB交边AC于点F，EG∥AC交边AB于点G，FE的延长线与AD的延长线交于点H． 求证：GF = BH． 【答案】见解析 【分析】由于EF∥AB，根据平行线分线段成比例，可得到，，从而推出，再由EG∥AC根据平行线分线段成比例，得到，即可推出HF = BG，最后根据一组对边平行且相等判定四边形BGFH是平行四边形，得到GF = BH． 【解析】证明：∵ AD是边BC上的中线，∴ BD = DC． ∵ HF∥AB，∴ ， ∴ ， 即， ∵ EG∥AC，∴ ， ∴ ， ∴ HF = BG， 又∵ HF∥BG，∴ 四边形BGFH是平行四边形， ∴ GF = BH． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例和平行四边形的判定，属于综合题，根据平行线分线段成比例，得出相关线段的比例式是关键. 25．如图，G为的重心．    (1)当时，求的面积； (2)当时，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）延长到，与相交于D，使，即可证明，则有，结合重心得性质得，，利用勾股定理逆定理即可判定是直角三角形，可求得，结合即可求得答案． （2）延长，，分别交，，于点D，E，F，由重心的性质可知，点D，E，F是中点，且，，，结合题意有，化简得，同理：，利用勾股定理得，结合可得，即可证． 【解析】（1）解：延长到，与相交于D，使，如图，    则，， ∴， ∴， ∵G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）延长，，分别交，，于点D，E，F，如图，    由重心的性质可知，点D，E，F分别是，，的中点，且，，， ∵， ∴，则，化简得， 同理：， ∵， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴，化简得， ∴． 【点睛】本题主要考查重心的性质，涉及全等三角形的判定和性质、勾股定理逆定理和勾股定理，解题的关键是熟悉重心的性质和勾股定理的逆定理． 26．在中，，，点为直线上一个动点（点不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接，    (1)如图1，若点在线段上， ①依题意补全图1； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明 (2)若点在线段的延长线上，且，设，，直接写出的长（用含，的式子表示）； 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据题意补充图形，即可求解； ②过点作交于点，证明，得出，进而即可求解； （2）过点作交的延长线于点，同（1）的方法证明，得出，进而根据平行线分线段成比例得出，则，进而在中，勾股定理即可得出结论． 【解析】（1）解：①如图所示，    ②， 证明：如图所示，过点作交于点，    ∵在中，，， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得线段，则， ∴，， ∴ ∴ ∴ 即 （2）解：如图所示，过点作交的延长线于点，    ∵在中，，， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得线段，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， 在中，，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$