第12章 专题一 三角形全等的判定与性质&专题二“一线三等角”全等型-【优课堂给力A+】2023-2024学年八年级数学上册课前课中（人教版）

第12章全等三角形 第6课时专题一三角形全等的判定与性质 裸前预习 针对训练 1.如图，要测量河岸相对两点A,B间的距 1.全等三角形的判定方法 离，先从B点出发与AB成90°角方向，向 SSS,SAS,ASA,AAS,HL. 前走25米到C点处立一根标杆，然后方 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应角相 向不变继续朝前走25米到点D处，在点 等，对应边相等，对应高相等，对应中线相 D处转90°沿DE方向走17米，到达点E 等，对应角平分线相等 处，使点A,C,E在同一直线上，通过计算 3.学习指导：我们要根据已知条件正确选用三 可得A,B之间的距离为 米 角形全等的判定方法.如果没有全等三角 形，有时候需要作铺助线，构造全等三角形. 裸堂探究 探究一综合应用全等三角形的判定与性质 1题图 2题图 例1如图，已知∠1=∠2，P为BN上的 2.如图，已知AD∥BC,AD=BC.那么∠B 一点，PF⊥BC于点FPA=PC 与∠D相等吗？请说明理由. 求证：∠PCB+∠BAP-180°. 【思路点拨】过点P作PE⊥BA于点E,根据 △PBE与△PBF全等，可得PE=PF,然后利用 HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三 角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB,再根据平角 的定义解答。 3.在△ABC中，AB=5,AC=7,AD是BC 边上的中线.求中线AD的取值范围. 解答图 证明：如解答图，过点P作PE⊥BA于点E, :∠1=∠2，PF⊥BC于点F, .∠PEA=∠PFB=90°， 在△PBE与△PBF中， 「∠PEB=PFB, ∠1=∠2. ,.△PBE≌△PBF(AAS), PB=PB. ∴PE=PF,在Rt△PEA与R1△PFC中， (PA-PC, ∴.Rt△PEA≌Rt△PFC(HL), PE=PF. ∴.∠PAE=∠PCB, :∠BAP+∠PAE=180. ..∠PCB+∠BAP=180° ·16 已」优课堂作)A+·八年级数学（上） 第7课时 专题二“一线三等角”全等型 ● 1.如图1，正方形ABCD中，有一个直角的顶 裸前预习 点在边AB上 1.“一线三等角”是一个常见的几何模型 2.“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在 同一条直线上构成的形状相同的图形，如果 有一组对应边相等，那么这两个三角形全 图1 图2 图3 等.这个等角可以是直角，也可以是锐角或 2.如图2，等边三角形ABC,有一个60°角的顶 钝角.不同地区对此有不同的称呼，“K形 点在边AB上. 图”、“三垂直”、“弦图”等。 3.如图3，等腰直角三角形ABC,有一个45角 裸堂探究 的顶点在边AB上， 一、模型原型 四、模型应用 如图∠1=∠2=∠3，且它们的顶点在直 “一线三等角”应用的三种情况： 线AB上，CE=CF(或AE=BC),求证： 1.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模 △AEC≌△BCF 型解题： 2.图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构 造模型解题： 3.图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构 造模型解题. 证明：，∠1=∠2=∠3， 例I已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC .∠ACE+∠AEC=∠CBF+∠BFC=∠ACE =90°，AB=AC,D是BC边上一点，∠ADE= +∠BCF, 45°，AD=DE.求证：BD=EC ∴.∠ACE=∠CFB,∠AEC=∠FCB, :CE=CF(或AE=BC), 【思路点拨】根据∠BAC=90°，AB=AC,求得 ∴.△AEC≌△BCF. ∠BAD+∠ADB=135.利用等量代换可得 二、模型变化 ∠BAD=∠EDC,然后求证△ABD≌△DCE 1.等角在直线同侧 即可， 证明：：∠BAC-90°，AB =AC. ∴.∠B=∠C=45, ∴.∠BAD+∠ADB 2.等角在直线异侧 -135°. ∠ADE=45°，∴.∠ADB+∠EDC=135, ∴.∠BAD=∠EDC. ∠BAD=∠CDE 在△ABD和△DCE中， ∠B=∠C, AD-DE. ∴.△ABD≌△DCE. 三、模型常见背景 ∴.BD=EC “一线三等角”的背景图形一般为正方形、 等边三角形、等腰三角形等等. ·17. 第12章全等三角形 针对训练 3.如图，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点 1.如图，在△ABC中，AB=AC,D,A,E三 D在边BC上，点E,F在线段AD上， 点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC DF=2AF,∠1=∠2=∠BAC.若BE的 =∠BAC=a,其中a为任意锐角或钝角. 长为5，求AD的长. 请问结论DE-BD+CE是否成立？如成 立，请你给出证明：若不成立，请说明理由. 4.如图，已知B,C,D三点在同一条直线上， △ABC与△ECD均为等边三角形，连接 AD,BE,分别交CE于点N,交AC于点 M,求证：CM=CN. 2.已知：如图，在矩形ABCD中，E,F分别是 边BC,AB上的点，且EF=ED,EF⊥ ED.求证：AE平分∠BAD. ·18·２．证明:∵BE＋AC＝AB, BE＋AE＝AB, ∴AE＝AC, ∵ ∠BAC的平分线AF 交CD 于点F, ∴ ∠EAF＝ ∠ACF, 在△AEF与△ACF中, AE＝AC, ∠EAF＝ ∠CAF, AF＝AF, ì î í ïï ï ∴△AEF≌△ACF(SAS),∴ ∠AEF＝ ∠ACD, ∵ ∠ACD＝ ∠ABC,∴ ∠ABC＝ ∠AEF, ∴EF∥BC． 第４课时　１２􀆰２全等三角形的判定(３) 课前预习 １．对应相等　角边角　ASA ２．对边　角角边　AAS 针对训练 １．证明:∵ ∠３＝ ∠４,∠１＝ ∠２, ∴ ∠３－ ∠１＝ ∠４－ ∠２, 即 ∠CAB＝ ∠DAB, 在△ABC和△ABD 中, ∠１＝ ∠２, AB＝AB, ∠CAB＝ ∠DAB, ì î í ïï ï ∴△ABC≌△ABD(ASA)． ２．D ３．证明:∵CF∥AB, ∴ ∠B＝ ∠FCD,∠BED＝ ∠F, ∵AD 是BC 边上的中线, ∴BD＝CD, 在△BDE和△CDF中, ∠B＝ ∠FCD, ∠BED＝ ∠F, BD＝CD, ì î í ïï ï ∴△BED≌△CDF(AAS)． 第５课时　１２􀆰２全等三角形的判定(４) 课前预习 １．斜边　斜边、直角边　HL 针对训练 １．D　２．A ３．证明:在 Rt△ABE和Rt△CBF中, ∵ AE＝CF, AB＝CB,{ ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)． ４．证明:∵AD 平分 ∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于 点F, ∴DE＝DF, ∴在 Rt△DBE和 Rt△DCF中, DE＝DF, DB＝DC,{ ∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL), ∴EB＝FC． ５．C　６．AAS ７．△ABC≌△DCB　HL　△ABO≌△DCO　　AAS ８．证明:∵AB＝AC, 点D 是BC 的中点, ∴ ∠ADB＝９０°, ∵AB平分 ∠DAE, ∴ ∠DAB＝ ∠EAB, 在△ADB和△AEB中, ∠ADB＝ ∠E＝９０°, ∠DAB＝ ∠EAB, AB＝AB, ì î í ïï ï ∴△ADB≌△AEB(AAS), ∴AD＝AE． ９．(１)证明:∵AD⊥CE,BE⊥CE, ∴ ∠ADC＝ ∠CEB＝９０°, 又∵ ∠ACB＝９０°, ∴ ∠ACD＝ ∠CBE＝９０°－ ∠ECB． 在△ACD 与△CBE中, ∠ADC＝ ∠CEB, ∠ACD＝ ∠CBE, AC＝BC, ì î í ïï ï ∴△ACD≌△CBE(AAS); (２)解:∵△ACD≌△CBE, ∴CD＝BE＝３,AD＝CE, 又∵CE＝CD＋DE＝３＋５＝８, ∴AD＝８． 第６课时　专题一　三角形全等的判定与性质 针对训练 １．１７ ２．解:∠B与 ∠D 相等．理由如下: 连接A,C,∵AD∥BC,∴ ∠DAC＝ ∠BCA, 在△ABC和△CDA 中, BC＝AD, ∠BCA＝ ∠DAC, AC＝CA, ì î í ïï ï ∴△ABC≌△CDA(SAS)．∴ ∠B＝ ∠D． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３ ３．解:延长AD到E,使AD＝DE,连接BE,如解答图, 解答图 ∵AD 是△ABC的中线,∴BD＝CD, 在△ADC与△EDB中, BD＝CD, ∠ADC＝ ∠BDE, AD＝DE, ì î í ïï ï ∴△ADC≌△EDB(SAS),∴EB＝AC, 根据三角形的三边关系,得 AC－AB＜AE＜AC＋AB, ∴２＜AE＜１２,∵AE＝２AD,∴１＜AD＜６． 第７课时　专题二　“一线三等角”全等型 针对训练 １．解:成立,理由如下: ∵ ∠BDA＝ ∠AEC＝ ∠BAC＝α, ∴ ∠BAD＋ ∠CAE＝１８０°－α, 且 ∠DBA＋ ∠BAD＝１８０°－α, ∴ ∠DBA＝ ∠CAE, 在△ABD 和△CAE中, ∠BDA＝ ∠CEA, ∠ABD＝ ∠CAE, AB＝AC, ì î í ïï ï ∴△ABD≌△CAE(AAS), ∴BD＝AE,CE＝DA, ∴DE＝AE＋DA＝BD＋CE． ２．证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠B＝ ∠C＝ ∠BAD＝９０°,AB＝CD, ∴ ∠BEF＋ ∠BFE＝９０°． ∵EF⊥ED,∴ ∠BEF＋ ∠CED＝９０°, ∴ ∠BFE＝ ∠CED,∴ ∠BEF＝ ∠EDC． 在△EBF与△DCE中, ∠BFE＝ ∠CED, EF＝ED, ∠BEF＝ ∠EDC, ì î í ïï ï ∴△EBF≌△DCE(ASA), ∴BE＝CD,∴BE＝AB, ∴ ∠BAE＝ ∠BEA＝４５°, ∴ ∠EAD＝４５°,∴ ∠BAE＝ ∠EAD, ∴AE平分 ∠BAD． ３．解:∵ ∠１＝ ∠２＝ ∠BAC,且 ∠１＝ ∠BAE＋ ∠ABE, ∠２＝ ∠FAC＋ ∠FCA,∠BAC＝ ∠BAE＋ ∠FAC, ∴ ∠BAE＝ ∠FCA,∠ABE＝ ∠FAC, 在△ABE和△CAF中, ∠ABE＝ ∠FAC, AB＝AC, ∠BAE＝ ∠FCA, ì î í ïï ï ∴△ABE≌△CAF(ASA), ∴BE＝AF＝５,∴DF＝２AF＝１０, ∴AD＝AF＋DF＝１５． ４．证明:∵△ABC与△ECD 均为等边三角形, ∴AC＝BC,EC＝CD,∠ACB＝ ∠ECD＝６０°, ∴ ∠ACB＋ ∠ACE＝ ∠ECD＋ ∠ACE, 即 ∠ACD＝ ∠BCE, 在△ACD 和△BCE中, AC＝BC, ∠ACD＝ ∠BCE, CD＝CE ì î í ïï ï ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴ ∠CAD＝ ∠CBE, ∵ ∠ACB＝ ∠ECD＝６０°, ∴ ∠ACE＝６０°, 在△ACN 和△BCM 中, ∠CAN＝ ∠CBM, AC＝BC, ∠ACN＝ ∠BCM, ì î í ïï ï ∴△ACN≌△BCM(ASA), 则CM＝CN． 第８课时　１２􀆰３角平分线的性质(１) 课前预习 １．两边 针对训练 １．B　２．B　３．C　４．３ 第９课时　１２􀆰３角平分线的性质(２) 课前预习 １．两边距离相等 针对训练 １．在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角平分 线上 ２．证明:∵BD⊥AC,∴ ∠BDC＝９０°, ∵ ∠ABC＝９０°,∴ ∠ABD＋ ∠DBC＝９０°, ∵ ∠DBC＋ ∠C＝９０°,∴ ∠ABD＝ ∠C, ∵AE平分 ∠BAC,∴ ∠BAE＝ ∠CAE, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４