12.3角平分线的性质（1、2）学案2024-2025学年人教版数学八年级上册

滨江初中八年级数学（上）活动单 课题：角的平分线的性质（1） 【学习目标】 1．会用尺规作图作角平分线； 2．知道角平分线的性质，并会运用角平分线性质解决问题． 【活动设计】 活动一、探究角平分线作法． 1．思考：如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 2．这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法． 已知：∠AOB． 求作：∠AOB的平分线． 活动二、探究角的平分线的性质 1．实验： （1）画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P； （2）分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D，E； （3）测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系； 2．思考与总结：通过以上测量，你发现了角的平分线有什么性质？请用自己的语言总结出来. 归纳： 3．你能通过几何推理证明PD＝PE吗？ 如图，已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D，E； 求证：PD=PE． 4．思考：一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即： （1） ； （2） ； （3） ； 活动三、运用知识，解决问题 1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为分别为E，F． 求证：EB=FC． 2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2． 求：（1）点D到AB的距离； （2） △ABD的面积． 3．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN． 【总结与反思】 1． 如何作角平分线？ 2． 角平分线的性质； 3． 证明一个几何命题的基本步骤． 课题：角的平分线的性质（1课堂测试） 1．小丽同学要画∠AOB的平分线，却没有量角器和圆规，于是她用三角尺按下面方法画角平分线： ①在∠AOB的两边上，分别取OM=ON； ②分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P； ③画射线OP，则OP为∠AOB的平分线． （1）请问：小丽的画法正确吗？试证明你的结论； （2）如果你现在无刻度的直尺和圆规，能否画一个角的角平分线？请你在备用图中试一试．（不写作法，但要保留作图痕迹） 2．如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF． 3．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD=CD． （1）图中与△BDE全等的三角形是　 　，请加以证明； （2）若AE=6cm，AC=4cm，求BE的长． 课题：角的平分线的性质（1课后作业） 1．用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的识别方法是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则D到AB的距离是（　　 A．2 B．6 C．8 D．10 3．如图，在△ABC中，∠C=90°． （1）作∠BAC的平分线AD，交BC于D； （2）若AB=10cm，CD=4cm，求△ABD的面积． 4．如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点E在BD上，连接AE，CE，DF⊥AE，DG⊥CE，垂足为分别为F，G． 求证：DF=DG． 5．已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论． 课题：角的平分线的性质（2） 【学习目标】 1．知道角平分线性质定理的逆定理内容，并会运用进行推理论证； 2．注意区别角平分线性质定理的逆定理的条件和结论，能熟练运用解题． 【活动方案】 活动一 复习角平分线的性质 1．角平分线性质定理的内容是什么？ 如图，请写出推理形式： ∵ ∴ 2．如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P． 求证点P到三边AB、BC、CA的距离相等． 想一想：我们知道： 角平分线上的点到 距离相等； 那么到角两边距离相等的点是否也在这个角平分线上呢？ 活动二 探究角平分线性质定理的逆定理 求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 （画出图形，写出已知和求证，再加以证明）. 活动三、运用知识，解决问题 1．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，OB＝OC． 求证：∠OAB＝∠OAC． 2．已知△ABC的外角平分线BD、CE相交于点P ． 求证：点P在∠A 的平分线上． 3．要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 4．如图，在△ABC中，BD=CD，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC． 【总结与反思】 1．角平分线的性质 2．解题技巧有哪些？ 课题：角的平分线的性质（2课堂作业） 1．如图，在直线MN上求作一点P，使得点P到射线OA与OB的距离相等． （不要求写出作法，但要保留作图痕迹，写出结论） 2．如图：在△ABC中，∠B=∠C=50°，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC． （1）求证：AD是∠BAC的角平分线． （2）∠B=∠C=50°，求∠BAD的度数． 4．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF、EF，求证: DF＝EF． 5．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，,求证：AE平分∠DAB． 课题：角的平分线的性质（2课后作业） 1．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 2．有三条公路、、两两相交，要选择一地点建一座加油站，使加油站到三条公路的距离相等，不考虑其他因素，则符合条件的地点有 个． 3．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=　 　． ( （第1题） ) ( （第 2 题） ) ( （第 3 题） ) 4．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD交BE于点O． （1）若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上； （2）若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB． 5．如图，BE=CF，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且BD=CD． 求证：AD平分∠EAC． 学科网（北京）股份有限公司 $$