第10讲 指数（六大考点）-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第10讲 指数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解n次方根、n次根式的概念. 2、能正确运用根式运算性质化简求值. 3、通过对有理数指数幂 (a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二、根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 知识点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 知识点四、有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 知识点诠释： （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 考点一：由根式的意义求范围 【典例1-1】（2024·高一单元测试）若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·全国·高一专题练习）若有意义，则的取值范围是（    ） A． B．∪ C． D． 【变式1-1】（2024·高一课时练习）若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·江苏·高一专题练习）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高一课时练习）若有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点二：利用根式的性质化简或求值 【典例2-1】（2024·高一·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 【变式2-1】（2024·高一·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式2-3】（2024·高一·新疆乌鲁木齐·阶段练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 考点三：有限制条件的根式的化简 【典例3-1】（2024·全国·高一专题练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·江苏·高一专题练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高一课时练习）若，则等式成立的条件是 A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】（2024·高一单元测试）等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高一课时练习）若，，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 考点四：根式与指数幂的互化 【典例4-1】（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）下列根式与分数指数幕的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式4-1】（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高一·上海闵行·期末）用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 【变式4-3】（2024·高一·上海金山·期中）将表示为有理指数幂的形式，可以表示为 . 【变式4-4】（2024·高一·上海黄浦·期中）已知，将化成有理数指数幂的形式，其结果是 . 考点五：利用分数指数幂的运算性质化简求值 【典例5-1】（2024·高一·河南漯河·期末）计算． (1)； (2)． 【典例5-2】（2024·高一·黑龙江鸡西·期末）计算：. 【变式5-1】（2024·高三·内蒙古通辽·阶段练习）求值或化简 (1)计算：； (2)化简（用分数指数幂表示）： 【变式5-2】（2024·高一·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）化简： 【变式5-3】（2024·高一·全国·专题练习）计算：． 【变式5-4】（2024·高一·重庆云阳·阶段练习）（1）计算：． （2）用分数指数幂表示并计算：． 考点六：整体代换法求分数指数幂 【典例6-1】（多选题）（2024·高一·广西柳州·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知，计算：. 【变式6-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知，求的值． 【变式6-2】（多选题）（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）已知，则下列选项中正确的有（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（多选题）（2024·高一·浙江温州·期中）已知，则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 1．（2024·高一·江苏·单元测试）有下列四个式子： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·江西南昌·阶段练习）若，，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 3．（多选题）（2024·高一·江苏南京·期中）已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·全国·专题练习）若（），则b＝ （用a的分数指数幂表示）. 5．（2024·高一·福建厦门·期中）化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)． 6．（2024·高一·重庆·期中）计算求值 (1) (2)若，且，求代数式的值. 7．（2024·高一·全国·专题练习）已知，，化简并计算：． 8．（2024·高一·广东广州·期中）（1）化简； （2）若已知，，求的值． 9．（2024·高一·山西临汾·期中）（1）计算； （2）化简． 10．（2024·高一·广东汕头·期中）若，求下列各式的值： (1)； (2) 11．（2024·高一·广东广州·期中）化简求值： (1) (2)若，求下列各式的值： ① ； ②. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 指数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解n次方根、n次根式的概念. 2、能正确运用根式运算性质化简求值. 3、通过对有理数指数幂 (a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二、根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 知识点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 知识点四、有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 知识点诠释： （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 考点一：由根式的意义求范围 【典例1-1】（2024·高一单元测试）若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，则有，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【典例1-2】（2024·全国·高一专题练习）若有意义，则的取值范围是（    ） A． B．∪ C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，解得. 故选：D. 【变式1-1】（2024·高一课时练习）若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 可得，即．实数的取值范围是． 故选：． 【变式1-2】（2024·江苏·高一专题练习）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由负分数指数幂的意义可知，， 所以，即，因此的取值范围是． 故选：C. 【变式1-3】（2024·高一课时练习）若有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，且，∴a的取值范围是且． 故选：B． 考点二：利用根式的性质化简或求值 【典例2-1】（2024·高一·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 【典例2-2】（2024·高一·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 【答案】D 【解析】当为奇数时，； 当为偶数时，. 故选：D 【变式2-1】（2024·高一·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，，即， 所以. 故选：B 【变式2-2】（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为，所以. 故选：C 【变式2-3】（2024·高一·新疆乌鲁木齐·阶段练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，即 ， ， . 故选：A . 考点三：有限制条件的根式的化简 【典例3-1】（2024·全国·高一专题练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 【典例3-2】（2024·江苏·高一专题练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，即 ， ， . 故选：A . 【变式3-1】（2024·高一课时练习）若，则等式成立的条件是 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】，，．由 ，得 . 故选C. 【变式3-2】（2024·高一单元测试）等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】等式成立的条件是，即. 故选：D 【变式3-3】（2024·高一课时练习）若，，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，， 则， 所以的值为1. 故选：A 考点四：根式与指数幂的互化 【典例4-1】（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）下列根式与分数指数幕的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对A：，错； 对B：，错； 对C：，对； 对D：，对. 故选：CD 【典例4-2】（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BC 【解析】对于A，（），故A错误； 对于B，（），故B正确； 对于C，（），故C正确； 对于D，，而无意义，故D错误. 故选：BC 【变式4-1】（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】根据根式和分式指数幂的关系进行转化即可.对于A，，左边，右边，故A错误； 对于B，，当时，，故B错误； 对于C，由分式指数幂可得，则，故C正确； 对于D，，故D错误. ∴不正确的是A、B、D. 故选：ABD. 【变式4-2】（2024·高一·上海闵行·期末）用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 【答案】 【解析】由题意可得：. 故答案为：. 【变式4-3】（2024·高一·上海金山·期中）将表示为有理指数幂的形式，可以表示为 . 【答案】 【解析】 故答案为： 【变式4-4】（2024·高一·上海黄浦·期中）已知，将化成有理数指数幂的形式，其结果是 . 【答案】 【解析】. 故答案为：. 考点五：利用分数指数幂的运算性质化简求值 【典例5-1】（2024·高一·河南漯河·期末）计算． (1)； (2)． 【解析】（1） =； （2） . 【典例5-2】（2024·高一·黑龙江鸡西·期末）计算：. 【解析】 . 故答案为：. 【变式5-1】（2024·高三·内蒙古通辽·阶段练习）求值或化简 (1)计算：； (2)化简（用分数指数幂表示）： 【解析】（1） （2）. 【变式5-2】（2024·高一·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）化简： 【解析】（1） ； （2）. 【变式5-3】（2024·高一·全国·专题练习）计算：． 【解析】原式． 【变式5-4】（2024·高一·重庆云阳·阶段练习）（1）计算：． （2）用分数指数幂表示并计算：． 【解析】（1）原式． （2）． 考点六：整体代换法求分数指数幂 【典例6-1】（多选题）（2024·高一·广西柳州·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，所以， 对于A选项，由，可得，故A项错误； 对于B选项，，故B项正确； 对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确； 对于D选项，因故D项正确. 故选：BCD. 【典例6-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知，计算：. 【解析】因为，所以，所以， 所以，所以，即， 所以，所以. 【变式6-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知，求的值． 【解析】因为，所以所以， 所以 故 【变式6-2】（多选题）（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）已知，则下列选项中正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】两边平方得：， 所以，A正确； ， 因为的大小不确定，所以，B正确； ， 因为，所以，C错误； 由立方和公式可得： ， D正确. 故选：ABD 【变式6-3】（多选题）（2024·高一·浙江温州·期中）已知，则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】， ； ， ； 故A正确，B错误； ； ， ， 故C正确，D错误． 故选：AC． 1．（2024·高一·江苏·单元测试）有下列四个式子： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】① 正确；② ，② 错误；③ ，③ 错误；④ ，若，则，若，则，故④ 错误． 故选：A 2．（2024·高一·江西南昌·阶段练习）若，，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，， 则， 所以的值为1. 故选：A 3．（多选题）（2024·高一·江苏南京·期中）已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】,，，故选项A正确; ，，故选项B错误; ,，故选项C正确; ,且 ，，，故选项D正确. 故选：ACD 4．（2024·高一·全国·专题练习）若（），则b＝ （用a的分数指数幂表示）. 【答案】 【解析】因为，所以. 所以，即. 故答案为： 5．（2024·高一·福建厦门·期中）化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)． 【解析】（1）； （2）. 6．（2024·高一·重庆·期中）计算求值 (1) (2)若，且，求代数式的值. 【解析】（1）. （2）当，时，. 7．（2024·高一·全国·专题练习）已知，，化简并计算：． 【解析】 ． 8．（2024·高一·广东广州·期中）（1）化简； （2）若已知，，求的值． 【解析】（1）原式； （2）因为，， 所以. 9．（2024·高一·山西临汾·期中）（1）计算； （2）化简． 【解析】（1）； （2）. 10．（2024·高一·广东汕头·期中）若，求下列各式的值： (1)； (2) 【解析】（1）因为，所以，解得； （2）因为，所以， 因为，所以. 所以. 11．（2024·高一·广东广州·期中）化简求值： (1) (2)若，求下列各式的值： ① ； ②. 【解析】（1）原式 （2）①∵，∴，即，∴， ∴. ②当时，设，则，即，∴， 又∵，∴，∴. ∴或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 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