精品解析：广东省惠州市惠东县2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题

惠东县2023-2024学年第二学期高二年级期中学业质量监测 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，则的值是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 2. 若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ） A B. C. D. 3. 离散型随机变量X分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，代替，分布列如下：则 （ ） 1 2 3 4 5 6 0.21 0.20 0.10 0.10 A. 0.35 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.65 4. 元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B为“取到的2个为事物谜”，则（ ） A. B. C. D. 5. 某同学利用电脑软件将函数，的图象画在同一直角坐标系中，得到如图的“心形线”.观察图形，当时，的导函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 现有5名毕业生去枣庄三中、枣庄八中、滕州一中三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一人，则不同的录取情况种数是（ ） A. 420 B. 390 C. 360 D. 300 8. 如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（ ） A. 24 B. 26 C. 29 D. 36 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为数列的前n项和，已知对任意的，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且各项系数的和为0，则（ ） A. B. 的展开式中的有理项有5项 C. 展开式中偶数项的二项式系数之和为512 D. 除以9的余数为8 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）． A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游客从上山到下山共有______种不同的走法 13. 某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为________． 参考数据：若，则，，． 14. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线在处的切线与直线垂直. （1）求值； （2）若恒成立，求的取值范围. 16. 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． （1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率； （2）记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望； （3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由． 17. 在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球． （1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率； （2）设第次答题后游戏停止的概率为． ①求； ②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由． 19 已知函数，其中． （1）当时，求的极值； （2）讨论当时函数的单调性； （3）若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠东县2023-2024学年第二学期高二年级期中学业质量监测 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，则的值是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质计算即可. 【详解】由题意可知：. 故选:D 2. 若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果. 【详解】随机变量服从两点分布，其中，， ， ， 在A中，，故A正确； B中，，故B正确； 在C中，，故C错误； 在D中，，故D正确. 故选：C. 3. 离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，代替，分布列如下：则 （ ） 1 2 3 4 5 6 0.21 0.20 0.10 0.10 A. 0.35 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.65 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率之和为1得到方程组，求出，得到答案. 【详解】由题意得，解得， ，解得， 故. 故选：B 4. 元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B为“取到的2个为事物谜”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，， 所以， 故选：B. 5. 某同学利用电脑软件将函数，图象画在同一直角坐标系中，得到如图的“心形线”.观察图形，当时，的导函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义判断即可. 详解】，， 所以轴下方的图象为函数的图象， 当时，函数单调递增，所以，故排除CD； 根据导数的几何意义可知，时，函数图象上每点处的切线斜率应先变小，再增大，故排除B，只有A正确. 故选：A 6. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解. 【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立. 令，则，所以在上单调递增，则，所以. 故选:B. 7. 现有5名毕业生去枣庄三中、枣庄八中、滕州一中三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一人，则不同的录取情况种数是（ ） A. 420 B. 390 C. 360 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及平均分组问题求解. 【详解】①当5人中有三人被录取，则不同的录取情况数为， ②当5人中有四人被录取，则不同的录取情况数为， ③当5人全部被录取，则不同的录取情况数为， 综上不同的录取情况数共有种. 故选：B. 8. 如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（ ） A. 24 B. 26 C. 29 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知等比数列求得其前项和，代入，整理得到，要求中的整数项，需使的最末位是1或6，列出数列的相关项，即得的值. 【详解】依题意，题中的等比数列为，故该数列前项和，则， 要使数列中只取得整数项，需使是5的正整倍数即可，即使的最末位是1或6即可， 于是新的数列的项依次为：4，6，9，11，14，16，19，21，24，26，29，31，， 故 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为数列的前n项和，已知对任意的，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，结合前n项和的意义计算判断AC；分析判断BD. 【详解】数列中，对任意的，， ，，AC正确； 由，知的值无法确定，则通项也无法确定，BD错误. 故选：AC 10. 已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且各项系数的和为0，则（ ） A. B. 的展开式中的有理项有5项 C. 的展开式中偶数项的二项式系数之和为512 D. 除以9的余数为8 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项式系数的概念和组合数的性质可判断选项A；结合有理项的概念，根据二项式的通项可判断选项B；由偶数项的二项式系数和可判断选项C；结合二项式定理可判断选项D. 【详解】由的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等可得：， 由组合数的对称性可得：，故选项A错误； 因为的展开式中各项系数的和为0， 所以令可得：，解得：. 则的二项式通项为. 由为整数可得：， 所以的展开式中的有理项有5项，故选项B正确； 因为展开式中偶数项的二项式系数之和为，故选项C错误； 因为 所以除以9的余数为8，故选项D正确. 故选：BD. 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）． A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则． 【答案】BD 【解析】 【分析】求导后讨论单调性可判断A；求导后讨论的单调性，利用零点存在定理判断B；利用常数分离法，构造函数，利用导数分析得的单调性可判断C；利用极值点偏移问题的解法求解，从而可判断D. 【详解】对于选项A，函数的定义域为，函数的导数， 所以在内，，函数单调递减； 在上，，函数单调递增， 所以是的极小值点，故A错误； 对于选项B，由，得， 由于分子判别式小于零，所以恒成立， 所以函数在，上单调递减， 且， 所以函数有且只有1个零点，故B正确； 对于选项C，若，可得， 令，则， 令，则， 所以在内，，函数单调递增； 在上，，函数单调递减， 所以，所以， 所以函数在上单调递减． 又因为当时，， 所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确； 对于选项D，设，即有， ，即为， 化为， 故，所以， 则， 设（），可得， 令，则在上恒成立， 可得，所以，故单调递增， 可得，故成立，故D正确． 故选：BD. 【点睛】方法点睛： （1）函数的极值点与零点可用导数分析单调性后再结合具体函数值分析； （2）对于含参数的函数不等式恒成立问题可分离参数后求导，分析单调性再求参数的范围； （3）极值点平移问题，先构造函数求导，再赋值，最后可得 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游客从上山到下山共有______种不同的走法 【答案】25 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理计算作答. 【详解】依题意，游客上山有5种方法，下山有5种方法，由分步计数乘法原理知，从上山到下山方法共有种， 所以游客从上山到下山共有25种不同的走法. 故答案为：25 13. 某公司定期对流水线上产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为________． 参考数据：若，则，，． 【答案】0.84## 【解析】 【分析】由正态分布的性质可知，有，结合原则即可求解. 【详解】由题意知，该产品服从，则， 所以 ， 又， ， 所以， 所以， 即. 所以抽到“可用产品”的概率为. 故答案为：0.84. 14. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线在处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率关系，即可求导求解， （2）求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解. 【小问1详解】 由于的斜率为，所以， 又,故，解得， 【小问2详解】 由（1）知，所以， 故当时，单调递增， 当时，单调递减， 故当时，取最小值， 要使恒成立，故，解得， 故的取值范围为 16. 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． （1）求选手甲恰好正确作答2个题目概率； （2）记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望； （3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）选手乙，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意选手甲需要从能正确作答其中的6个的题目中正确作答2个题目，在剩余的2个不会的题目中答1个，再求解概率即可； （2）由题意得，，再根据二项分布的性质求解分布列与数学期望即可； （3）分别计算甲乙两人答对2或3个题目的数学概率进行判断即可. 【小问1详解】 设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则． 故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为． 【小问2详解】 由题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，3， ∴，，，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 ∴． 【小问3详解】 设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴可以认为选手乙晋级的可能性更大． 17. 在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质、通项公式和等比中项的应用建立关于d的方程，解之即可求解； （2）由（1）可得，结合裂项相消求和法即可求解. 【小问1详解】 设的公差为d（）， 由，得，即． 由成等比数列可得， 即， 解得或（舍去）， 所以，故． 【小问2详解】 由（1）得， 所以． 18. 有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球． （1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率； （2）设第次答题后游戏停止的概率为． ①求； ②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由． 【答案】（1） （2）①，②存在，最大值 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据题意可得，即可利用作商求解单调性，即可求解最值. 【小问1详解】 记“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一个球”， “第次摸出红球，并且答题正确”，； “第次摸出黑球，并且答题正确”，； “第次摸出红球或黑球，并且答题错误”，， 所以． 又；；， 所以 ． 同理： 所以． 【小问2详解】 ①第次后游戏停止的情况是：前次答题正确恰好为4次，答题错误次，且第次摸出最后一球时答题正确． 所以． ②由①知， 所以． 令，解得；，解得． 所以， 所以的最大值是． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求的极值； （2）讨论当时函数的单调性； （3）若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 【答案】（1）的极大值为，无极小值. （2）答案见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （3）由函数有两个不同的零点、，构造函数利用导数研究函数单调性的最值，结合函数图像求实数的取值范围； 【小问1详解】 当时，的定义域为， 当时，，当时， 在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值， 的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 函数的定义域为， 又． 当时，令则或． ①当，即时，当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减. ②当，即时，在上恒成立，在上单调递增. ③当，即时，当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 【小问3详解】 有两个不同的零点、， 即有两个不同正实根，得有两个不同正实根， 即与有两个交点， 令，则，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 时，取得最大值，且，当时， 得的大致图像如图所示： ，解得，所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$