精品解析：重庆市沙坪坝区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

重庆市沙坪坝区2023–2024学年下期期中调研测试 八年级数学试题卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数中，自变量x的取值范围是【 】 A. B. C. D. 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的运算结果应在（ ） A. 2到3 B. 3到4 C. 4到5 D. 5到6 5. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 有一个角是直角菱形是正方形 6. 如图，用正方形按规律依次拼成下列图案．由图知，第①个图案中有2个正方形；第②个图案中有4个正方形；第③个图案中有7个正方形．按此规律，第8个图案中有（　　）个正方形． A. 16 B. 22 C. 29 D. 37 7. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 9. 如图，在正方形中，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，，若，则（ ） A B. C. D. 10. 将自然数1，2，3，4，5，6分别标记在6个形状大小质地等完全相同卡片上，随机打乱之后一一摸出，并将摸出的卡片上的数字分别记为，，，，，，记，以下3种说法中：①A最小值为3；②A的值一定是奇数；③A化简之后一共有5种不同的结果．说法正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：______． 12. 已知一次函数的图象经过，，若，则______（填“”“”或“”）． 13. 如图，对角线、相交于点，为中点，，，则的周长为______． 14 如图，矩形中，对角线、相交于点O，且，则______． 15. 如图，两个边长均为的正方形、正方形有一部分堆叠在一起，恰为中点，则图中阴影部分的面积为______． 16. 若关于的一次函数的图象经过第二象限，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 17. 如图，将一个长为9，宽为3的长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则EF的长为___________． 18. 若一个四位自然数，满足A，B，C，D互不相同且，若，规定． （1）当，且为整数时，______； （2）若，且是一个立方数(即某一个整数的立方)，则满足条件的M的最小值为______． 三、解答题（本大题8个小题，19题8分，其余题各10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，四边形是矩形，连接交于点平分交于点． （1）用尺规完成基本作图：作角平分线交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法与结论） （2）求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴　①　， ∵平分平分， ∴， ∴　②　． ∵在和中， ， ∴， ∴　④　　， 又∵， ∴四边形是平行四边形（　⑤　）． 21. 已知在中，，，，，过点作于点． （1）求的长； （2）求的长． 22. 随着人口的增加和城市化进程的加快，为了预防污水排放量不断增加而导致水体污染，高新区进行了污水治理，现需铺设一段全场为4600米的污水排放管道，铺了1600米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原来提高了，共用50天完成了全部任务． （1）求原来每天铺设多少米管道？ （2）若承包商安排工人加班后每天支付给工人工资增加了，完成整个工程后承包商共支付工人工资224000元，请问安排工人加班前每天需支付工人工资多少元？ 23. 如图，在中，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线运动（含端点），在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动时间为x秒，点P到直线的距离与点P到点A的距离之和记为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）请直接写出当y为3时x的值． 24. 如图，在中，，是边上的中线，为右侧一点，连接、，恰好满足，连接交于． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． （1）求直线的函数解析式； （2）若点C是直线上一点，且，求点C的坐标； （3）点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 26. 正方形对角线，相交于点，为线段上一点，连接． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，为上一点，连接，为上一点，连接，，若，，，求证：； （3）如图3，若正方形边长为，延长交于，在上截取，连接交于，连接交于，连接，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市沙坪坝区2023–2024学年下期期中调研测试 八年级数学试题卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判定，熟练掌握满足最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含开得尽方的因数或因式是解题的关键．根据最简二次根式的定义判定即可． 【详解】A、是最简二次根式，故选项A符合题意； B、，故不是最简二次根式，故选项B不符合题意； C、，故不是最简二次根式，故选项C不符合题意； D、被开方数含分母，故不是最简二次根式，故选项D不符合题意； 故选：A． 2. 函数中，自变量x的取值范围是【 】 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解． 【详解】根据题意得，x+3⩾0， 解得x⩾−3. 故选B. 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则和平方差公式是解此题的关键．根据二次根式的运算法则分别进行计算判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误，不合题意； B、，故选项B错误，不合题意； C、，故选项C正确，符合题意； D、，故选项D错误，不合题意； 故选：C． 4. 估计的运算结果应在（ ） A 2到3 B. 3到4 C. 4到5 D. 5到6 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出的值，然后进行估算出即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，无理数的估算，正确计算出的值是解题的关键． 5. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断． 【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误； D、有一个角是直角的菱形是正方形，故D选项正确； 故选：D． 6. 如图，用正方形按规律依次拼成下列图案．由图知，第①个图案中有2个正方形；第②个图案中有4个正方形；第③个图案中有7个正方形．按此规律，第8个图案中有（　　）个正方形． A. 16 B. 22 C. 29 D. 37 【答案】D 【解析】 【分析】观察发现每一个图形中正方形个数，总结出个数规律为1+1+2+3+…+n，利用此规律求解即可． 【详解】解：第①个图案中有1+1=2个正方形， 第②个图案中有1+1+2=4个正方形， 第③个图案中有1+1+2+3=7个正方形， 第④个图案中有1+1+2+3+4=11个正方形， …， 按此规律排列下去，则第n个图案中黑色三角形的个数为1+1+2+3+…+n=1+， ∴第⑧个图案中黑色三角形的个数为1+1+2+3+…+8=1+=37， 故选：D． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中正方形的个数为1+1+2+3+…+n=1+． 7. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0， ∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 8. 如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，根据已知条件以及勾股定理可得，根据正方形的面积可得到结果，正确应用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， ∴， ∵正方形A、C、D的面积依次为4、5、20， ∴， 故选：D． 9. 如图，在正方形中，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点H，首先证明出四边形是矩形，得到，，然后证明出，是等腰直角三角形，得到，然后证明出，得到，然后利用角度的等量代换求解即可． 【详解】如图所示，延长交于点H， ∵四边形是正方形，是对角线 ∴， ∵， ∴四边形是矩形 ∴， ∴， ∴ ∵四边形是正方形，是对角线 ∴ ∴ ∴，是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线，证明出． 10. 将自然数1，2，3，4，5，6分别标记在6个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱之后一一摸出，并将摸出的卡片上的数字分别记为，，，，，，记，以下3种说法中：①A最小值为3；②A的值一定是奇数；③A化简之后一共有5种不同的结果．说法正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，数的奇偶性，先根据，，，即可判断①，再判断总的奇偶性，两两组合相减，总的奇偶性共两种情况：第一种：奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-偶数=偶数，第二种：奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数，即可判断②，根据，可得A的最大值一定为9，故结合①②可判断③，问题得解． 【详解】根据题意可知，，，，，，指代自然数1，2，3，4，5，6， ∴，，， ∴，故①正确； ∵1，2，3，4，5，6包含三个奇数和三个偶数， 则两两组合相减，总的奇偶性共两种情况： 第一种：奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-偶数=偶数， 则最终A的答案为：偶数+奇数+偶数=奇数； 第二种：奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数， 则最终A的答案为：奇数+奇数+奇数=奇数； ∴A的值一定是奇数，故②正确， ∵， ∴A的最大值一定为9， 又∵A最小值为3，且为奇数， ∴A的值只可能是3、5、7、9， ∴A化简之后不可能有5种不同的结果， 故③错误， 正确的有2个， 故选：B． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据二次根式的性质和零指数幂的意义计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知一次函数的图象经过，，若，则______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征的应用，能理解一次函数的性质是解此题的关键．根据一次函数的解析式得出随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：在中，， 随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 13. 如图，对角线、相交于点，为中点，，，则周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．首先证明，再由为中点，推出，然后计算周长即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，其对角线、相交于点， ， 为中点，， ，是中位线， ， 的周长为， 故答案为：． 14. 如图，矩形中，对角线、相交于点O，且，则______． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，即矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分，即可得到结果，正确理解矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，两个边长均为的正方形、正方形有一部分堆叠在一起，恰为中点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积．连接，证明，得阴影部分的面积等于的面积，再由的面积与正方形的面积的关系求得结果． 【详解】解：如图，连接， 四边形和四边形是正方形， ，，，， 为中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 若关于的一次函数的图象经过第二象限，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据一次函数图象经过第二象限可以判断出，从而得出的取值范围，其次根据分式方程有解，用表示，并根据不是增根判断出，最后根据为整数，为非负整数，求出可取的值，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数经过第二象限， ∴，即． ∵分式方程有解， ∴且， ∵取整数，为非负整数， ∴当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意． ∴满足条件的整数之和是：． 故答案为：． 【点睛】本题既考查了一次函数常数项与图象的关系，又考查了解分式方程．是本题容易忽略的地方，做题时一定要考虑全面． 17. 如图，将一个长为9，宽为3长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则EF的长为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：是四边形EFCD与EFGA的对称轴 又 设，则 计算得出 则 又四边形ABCD是矩形, 过E点作于H, 故答案为：． 18. 若一个四位自然数，满足A，B，C，D互不相同且，若，规定． （1）当，且为整数时，______； （2）若，且是一个立方数(即某一个整数的立方)，则满足条件的M的最小值为______． 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】（1）先化简出，再根据为整数可知，从而得到； （2）先求出的上限，并推导它是偶数，再根据是一个立方数得出，即，再分类讨论得解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵，且A、B、C、D都是0到9的整数，A不为0， ∴， 要使得为整数时，则为5的倍数， ∴， ∴， （2）由（1）得： ， ∵D可以作千位， ∴， ∵，， ∴ ∵最大的互不相应的数字是6，7，8，9， ∴当，或，时 ∴， 又∵是一个立方数， ∴或8或27， 又∵， ∴是偶数， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴或2或3或4，或1或2或3或4，(且C、D不相等) ①当时， 令，则，解得：， (不合题意，舍去)； 令，则，解得：， ∴， ∴； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； ②当时， 令，则，解得：， (不合题意，舍去)； 令，则，解得：， ∴， ∴； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； ③当时， 令，则，解得：(不合题意，舍去)； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； ③当时， 令，则，解得： ∴， ∴； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； 综上所述：或或， ∴的最小值为：； 故答案为：10；． 【点睛】本题考查整数的混合运算，整除相关知识，运用分类讨论解题是解题的关键． 三、解答题（本大题8个小题，19题8分，其余题各10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和法则是解题关键． （1）先算乘除，再算加减即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 20. 如图，四边形是矩形，连接交于点平分交于点． （1）用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法与结论） （2）求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴　①　， ∵平分平分， ∴， ∴　②　． ∵在和中， ， ∴， ∴　④　　， 又∵， ∴四边形是平行四边形（　⑤　）． 【答案】（1）作图见解析 （2）①；②；③；④；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据基本尺规作图-作角平分线的方法即可得到答案； （2）由矩形性质得到，再由角平分线定义得到，进而结合三角形全等判定与性质得到，再结合，根据平行四边形的判定定理即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：①；②；③；④；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查特殊平行四边形综合，涉及基本尺规作图-作角平分线、矩形性质、角平分线定义、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定等知识，熟练掌握基本尺规作图及相关几何性质与判定是解决问题的关键． 21. 已知在中，，，，，过点作于点． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理； （1）中，由勾股定理得，进而根据，即可求解； （2）根据等面积法，即可求解． 【小问1详解】 解：，，， 中，由勾股定理得：， ． 【小问2详解】 ， ， ， ． 22. 随着人口的增加和城市化进程的加快，为了预防污水排放量不断增加而导致水体污染，高新区进行了污水治理，现需铺设一段全场为4600米的污水排放管道，铺了1600米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原来提高了，共用50天完成了全部任务． （1）求原来每天铺设多少米管道？ （2）若承包商安排工人加班后每天支付给工人工资增加了，完成整个工程后承包商共支付工人工资224000元，请问安排工人加班前每天需支付工人工资多少元？ 【答案】（1）80米 （2）4000元 【解析】 【分析】本题考查分式方程、一元一次方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设原来每天铺设米管道，由题中等量关系得到，解分式方程即可得到答案； （2）设安排工人加班前每天应支付工人元，由题中等量关系得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设原来每天铺设米管道，由题意得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原来每天铺设80米管道； 【小问2详解】 解：设安排工人加班前每天应支付工人元，由题意得，解得， 答：安排工人加班前每天应支付工人4000元． 23. 如图，在中，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线运动（含端点），在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动时间为x秒，点P到直线的距离与点P到点A的距离之和记为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）请直接写出当y为3时x的值． 【答案】（1） （2）图象见解析，性质：当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大（不唯一） （3）2或5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形，求分段函数，函数的性质，利用函数图象求一元一次方程解集，求出函数解析式是解题的关键． （1）分点在上和点在上两种情况进行讨论，分别求出点P到直线的距离和点P到点A的距离，相加即可； （2）通过描点，连线可画出图形，即可得出性质； （3）直接根据图象时，得出的值． 【小问1详解】 解：当点在上时，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在上，即时， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 函数图象如图所示： 性质：当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大（不唯一）； 【小问3详解】 根据图象当时，或， 所以当y为3时x的值或． 24. 如图，在中，，是边上的中线，为右侧一点，连接、，恰好满足，连接交于． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理； （1）根据题意得四边形是平行四边形，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，得出，在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， 四边形是平行四边形； ，是边上的中线， ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 如图，连接交于， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 为中点，， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． （1）求直线的函数解析式； （2）若点C是直线上一点，且，求点C的坐标； （3）点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出的坐标，中点得到点的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）过点作轴，交直线于点，设，则：， 分割法得到，结合，进行求解即可； （3）分点在点左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴时，，时，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴设直线的解析式为，把，代入，得：； ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 过点作轴于点，交直线于点，设，则：， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点坐标为：或 【小问3详解】 当点在点右侧时：将直线沿着轴向上平移个单位，得到直线：， 此时， ∴， 当时，， ∴， 当点在点左侧时，作的中垂线，交于点，连接交x轴于点P，则：， ∴， 设， 则：， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴； 综上：或． 26. 正方形对角线，相交于点，为线段上一点，连接． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，为上一点，连接，为上一点，连接，，若，，，求证：； （3）如图3，若正方形边长为，延长交于，在上截取，连接交于，连接交于，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，由正方形的性质可得，推出为等腰直角三角形，推出，再根据勾股定理求出即可求解； （2）过点作直线，交延长线于，交延长线于，连接，结合题意推出，得到，由可得，可证明，得到，，推出，进而可证明四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质可证明，得到，为中点，根据直角三角形的中线定理即可证明； （3）取中点，连接、，结合正方形的性质可得，由勾股定理得到，根据垂直平分线的性质可推出，证明，得到，进而得到，推出，得到，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 四边形为正方形， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点作直线，交延长线于，交延长线于，连接， 四边形是正方形， ，，，， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在与中， ， ， ，为中点， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图，取中点，连接、， 正方形边长为， ， ， ， 在正方形中， ，， ， ， ，，， ， ， 又， ，即， ， ， ， ， ， 则， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的斜边中线定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$