第7讲 随机变量及其分布（十大题型）-2023-2024学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲与精练（人教A版2019）

第7讲 随机变量及其分布 【复习目录】 一、条件概率 二、全概率公式 三、求离散型随机变量的均值 四、均值的性质 五、由离散型随机变量的均值求参数 六、离散型随机变量的方差与标准差 七、二项分布及其均值与方差 八、超几何分布及其均值与方差 九、正态分布 十、随机变量及其分布的综合应用 【知识归纳】 1．条件概率 (1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下， 事件B发生的条件概率，简称条件概率． (2)两个公式：①利用古典概型，P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)． 2．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n， 则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，我们称这个公式为全概率公式． 3．离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 4．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 5．离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 6．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 7．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 8、伯努利试验与二项分布 1．伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数， 则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 9、超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r， 其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}， 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 10、正态分布 1．定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·，x∈R，其中，μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． 2．正态曲线的特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (2)曲线在x＝μ处达到峰值. (3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 3．3σ原则 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 4．正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 【题型归纳】 题型一、条件概率 1．（23-24高二上·江西萍乡·期末）某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（    ） A．22.5% B．30% C．40% D．75% 3．（23-24高三上·江西吉安·期中）小明参加某项答题闯关游戏，每答对一道题则进入下一轮，某次答题时小明从A、B两块题板中任选择一个答题，已知他答对A题板中题目概率为0.8，答对B题板中题目的概率为0.3，假设小明不了解每块题板背后的题目，即小明随机等可能地从A、B两块题板中任选一个作答，现已知小明进入了下一轮，则他答的是A题板中题目的概率是（    ） A． B． C． D．1 题型二、全概率公式 4．（23-24高二下·江苏泰州·期末）一个不透明的袋子中有5个红球、4个黑球，从中随机地取出一个，观察颜色后再加上3个同色的球放回袋中，再次从袋子中取出一个球，则第二次取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型三、求离散型随机变量的均值 7．（22-23高二下·吉林白城·期末）元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球．若摸出的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二下·浙江台州·期末）在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25.为了减少随机选择也得分的影响，某次考试单项选择题采用选错扣分的规则，选对得6分，选错扣分.若随机选择时得分的均值为0分，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2023·河北·模拟预测）2022年7月24日14时22分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭成功发射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为，；B通过初赛、复赛的概率分别为，，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X元，则X的数学期望为（    ） A．300元 B．元 C．350元 D．元 题型四、均值的性质 10．（22-23高二下·重庆·期末）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二下·重庆·期末）已知随机变量的期望为，则（    ） A．9 B．11 C．27 D．29 12．（22-23高二下·河南开封·期中）已知随机变量，随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型五、由离散型随机变量的均值求参数 13．（20-21高二下·天津河北·期末）某随机变量的取值为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2021·四川南充·三模）随机变量的分布列为 若，则（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高二下·江苏连云港·期中）随机变量X的分布列如表所示，若，则（    ） X 0 1 P a b A．3 B． C．5 D．9 题型六、离散型随机变量的方差与标准差 16．（22-23高二下·陕西渭南·期末）已知随机变量的分布列如下，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．11 17．（22-23高二下·河北张家口·期末）设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则当从0增大到1时（    ） 0 1 2 A．增大 B．减小 C．先减后增 D．先增后减 18．（23-24高二上·上海·期末）已知，随机变量、相互独立，随机变量的分布为，的分布为，则当在内增大时（    ） A．减小，增大 B．减小，减小 C．增大，增大 D．增大，减小 题型七、二项分布及其均值与方差 19．（23-24高二下·河北沧州·期中）已知随机变量，若，，则（    ） A．15 B． C． D． 20．（22-23高二下·辽宁·阶段练习）已知某种疾病的某种疗法的治愈率为80%．若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D．存在，使得成立 21．（22-23高二下·辽宁·期末）已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．存在，使得成立 题型八、超几何分布及其均值与方差 22．（22-23高二下·山东枣庄·期末）某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 23．（21-22高二下·广东广州·期末）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量服从二项分布 C．随机变量服从超几何分布 D． 24．（21-22高二下·天津河西·期中）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（    ） A．二项分布，且 B．两点分布，且 C．超几何分布，且 D．超几何分布，且 题型九、正态分布 25．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知随机变量，则（    ） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则． A．0.97725 B．0.84135 C．0.7786 D．0.34135 26．（2024·广东广州·二模）已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布，其中果实横径落在的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（    ）（若，则，） A．0.6827 B．0.8186 C．0.8413 D．0.9545 27．（23-24高二上·山东德州·期末）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中错误的是（    ） A．该物理量在一次测量中大于100的概率为0.5 B．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 C．该物理量在一次测量中小于99.9与大于100.1的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 题型十、随机变量及其分布的综合应用 28．（2024·广西南宁·二模）2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球中国队以3：0战胜日本队夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人．现从这7人中随机抽取3人参与传球训练 (1)求抽到甲参与传球训练的概率； (2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为，求的分布列及期望； (3)若恰好抽到甲，乙，丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为，假设球一直没有掉地上，求经过n次传球后甲接到球的概率． 29．（23-24高二下·辽宁大连·期中）清明小长假期间，大连市共接待客流322.11万人次，游客接待量与收入达到同期历史峰值，其中到东港旅游的人数达到百万之多.现对到东港旅游的部分游客做问卷调查，其中的人只游览东方水城，另外的人游览东方水城和港东五街.若某位游客只游览东方水城，记1分，若两项都游览，记2分.视频率为概率，解答下列问题. (1)从到东港旅游的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从到东港旅游的游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从到东港旅游的游客中随机抽取10人，其中两处景点都去的人数为.记两处景点都去的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？ 30．（23-24高二上·山东德州·期末）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近500天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：，并绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从的正态分布，经计算近似为近似为150． ①利用该正态分布，求； ②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数（结果保留整数）． (2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案． 方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：时，奖励50元；时，奖励80元；时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表： 奖金 50 100 概率 小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？ 附：，若，则． 【专题强化】 一、单选题 31．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知随机变量.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二下·浙江·期末）甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 33．（2024·江苏·二模）羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球，其中甲袋中有1个红球，2个白球和2个黑球，乙袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事件和分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件表示从乙袋中取出的球是红球，则（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二下·河南·期中）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（    ） A． B．2，1 C．3，1 D． 36．（23-24高二上·广东广州·期末）泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二上·河南南阳·期末）为了检测自动包装线生产的罐装咖啡，检验员每天从生产线上随机抽取罐咖啡，并测量其质量（单位：）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条包装线在正常状态下，每罐咖啡的质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的罐咖啡中质量在之外的罐数，若的数学期望，则的最小值为（    ） 附：若随机变量服从正态分布，则. A．10 B．11 C．12 D．13 38．（23-24高二上·河南·期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小､质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高三上·河北保定·期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（    ） （附：若，则， A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865 二、多选题 40．（23-24高二下·山东青岛·期中）下列说法中正确的是（    ） A．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是 B．已知随机变量服从二项分布，若，则 C．已知随机变量服从正态分布，若，则 D．已知随机事件A，B满足，则 41．（2024·全国·模拟预测）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件，“乙骰子正面向上的点数为偶数”为事件，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件，则下列判断正确的是（    ） A．为相互独立事件 B．为互斥事件 C． D． 42．（23-24高二上·山东德州·期末）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球；分别以和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．事件B与事件相互独立 D． 43．（23-24高三上·山东聊城·期末）尊重自然、顺应自然、保护环境，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求，近年来，各地区以一系列卓有成效的有力措施逐步改善生态环境，我国生态文明建设发生了历史性、全局性的变化.一地区的科研部门调查某绿色植被培育的株高（单位：）的情况，得出，则下列说法正确的是（    ） A．该地植被株高的均值为100 B．该地植被株高的方差为10 C．若，则 D．随机测量一株植被，其株高在以上的概率与株高在以下的概率一样 44．（23-24高二上·吉林长春·期末）盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件“第次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”，．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 45．（22-23高二下·广西桂林·期末）近年来，国家相关政策大力鼓励创新创业，某农业大学毕业生小佟贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布和，且当随机变量X服从正态分布时，有．则下列正确的是（    ） A．白玫瑰的日销售量在范围内的概率约为0.3413 B．白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售量更集中 C．红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售量更集中 D．若红玫瑰的日销售量范围在的概率是0.6826，则红玫瑰的日销售量的平均数约为250 三、填空题 46．（23-24高二下·吉林·期末）已知随机变量，则 ， . 47．（23-24高二下·河南濮阳·期末）甲盒中装有6个红球和2个黑球，乙盒中装有3个红球和5个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从甲､乙两个盒子中随机选1个盒子，再从该盒子中随机取出1个球，若摸出的球是黑球，则选中的盒子为甲盒的概率是 ． 48．（23-24高二下·安徽·阶段练习）某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为 ． 49．（23-24高二下·重庆·期中）已知随机变量X服从正态分布，即：，若，，则实数 ． 50．（23-24高二下·福建福州·期中）某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.4，50.6)的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为 ．(若，则，) 51．（2024·辽宁·三模）一个书包中有标号为“”的张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为，则 . . 四、解答题 52．（2024·湖北·模拟预测）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试．面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分． (1)根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分服从正态分布，要求满足为达标．现有1000人参加应聘，求进入面试环节的人数．（结果四舍五入保留整数） (2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列与数学期望． 附：若，则， 53．（2024·广东梅州·一模）某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望； (2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位:小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值. 54．（2024·海南·模拟预测）某大型公司进行了新员工的招聘，共有来自全国各地的10000人参加应聘.招聘分为初试与复试.初试为笔试，已知应聘者的初试成绩.复试为闯关制：共有三关，前两关中的每一关最多可闯两次，只要有一次通过，就进入下一关，否则闯关失败；第三关必须一次性通过，否则闯关失败.若初试通过后，复试三关也都通过，则应聘成功. (1)估计10000名应聘者中初试成绩位于区间内的人数； (2)若小王已通过初试，在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别为，且每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响，求小王应聘成功的概率. 附：若随机变量，则. 55．（2024·河北保定·二模）单位面积穗数､穗粒数､千粒重是影响小麦产量的主要因素，某小麦品种培育基地在一块试验田种植了一个小麦新品种，收获时随机选取了100个小麦穗，对每个小麦穗上的小麦粒数进行统计得到如下统计表： 穗粒数 穗数 4 10 56 22 8 其中同一组中的数据用该组区间的中点值作代表.从收获的小麦粒中随机选取5组，每组1000粒，分别称重，得到这5组的质量（单位：）分别为：. (1)根据抽测，这块试验田的小麦亩穗数为40万，试估计这块试验田的小麦亩产量（结果四舍五入到）； 公式：亩产量亩穗数样本平均穗粒数. (2)已知该试验田穗粒数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若小麦穗粒数不低于28粒的穗数超过总体的，则称该小麦品种为优质小麦品种，试判断该试验田中的小麦品种是否为优质小麦品种. 参考数据：若近似服从正态分布，则. 56．（23-24高二下·福建·期中）某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束．最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一：继续投掷之前抽取的那枚硬币；方案二，不使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中随机抽取一枚投掷．不管选择方案一还是方案二，如果掷出正面向上，则获奖 (1)求第一次投掷后，向上的面为正面的概率； (2)若已知某顾客进入了最终挑战，求他抽到的硬币是正常硬币的概率； (3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获奖的概率，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适． 57．（23-24高二下·浙江·期中）19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为:对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为. (1)若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的， ①当时，求； ②为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值； (2)若每次发射信号“”和“”的可能性是，已知在2024次发射中，信号“”发射次的概率最大，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7讲 随机变量及其分布 【复习目录】 一、条件概率 二、全概率公式 三、求离散型随机变量的均值 四、均值的性质 五、由离散型随机变量的均值求参数 六、离散型随机变量的方差与标准差 七、二项分布及其均值与方差 八、超几何分布及其均值与方差 九、正态分布 十、随机变量及其分布的综合应用 【知识归纳】 1．条件概率 (1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下， 事件B发生的条件概率，简称条件概率． (2)两个公式：①利用古典概型，P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)． 2．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n， 则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，我们称这个公式为全概率公式． 3．离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 4．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 5．离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 6．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 7．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 8、伯努利试验与二项分布 1．伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数， 则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 9、超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r， 其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}， 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 10、正态分布 1．定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·，x∈R，其中，μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． 2．正态曲线的特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (2)曲线在x＝μ处达到峰值. (3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 3．3σ原则 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 4．正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 【题型归纳】 题型一、条件概率 1．（23-24高二上·江西萍乡·期末）某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性，利用全概率公式求出的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性， 由题意可知，，， 所以， 现在某人的化验结果呈阳性，则此人是癌症患者的概率为：. 故选：D 2．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（    ） A．22.5% B．30% C．40% D．75% 【答案】C 【分析】由条件概率的公式计算即可得. 【详解】设事件为“抽到喜欢文学阅读的学生”，设事件为“抽到喜欢科普阅读的学生”， 则，， 则， 即在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为. 故选：C. 3．（23-24高三上·江西吉安·期中）小明参加某项答题闯关游戏，每答对一道题则进入下一轮，某次答题时小明从A、B两块题板中任选择一个答题，已知他答对A题板中题目概率为0.8，答对B题板中题目的概率为0.3，假设小明不了解每块题板背后的题目，即小明随机等可能地从A、B两块题板中任选一个作答，现已知小明进入了下一轮，则他答的是A题板中题目的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用条件概率、全概率公式求进入了下一轮情况下答的是A题板中题目的概率. 【详解】设事件表示选题板中题目，事件表示选题板中题目，事件表示进入下一轮比赛， 由题意，，，， 又. 故选：C 题型二、全概率公式 4．（23-24高二下·江苏泰州·期末）一个不透明的袋子中有5个红球、4个黑球，从中随机地取出一个，观察颜色后再加上3个同色的球放回袋中，再次从袋子中取出一个球，则第二次取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用全概率公式进行求解即可. 【详解】设事件表示第一次抽取的是红球，，， 事件表示第二次抽取的是红球，因此有， 所以， 故选：C 5．（2024·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可 【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为 故选：C 6．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由全概率公式即可得解. 【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为，，， 从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为， 则 ， 解得，则的最大值为6． 故选：C. 题型三、求离散型随机变量的均值 7．（22-23高二下·吉林白城·期末）元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球．若摸出的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出，再利用期望的性质可求得结果. 【详解】的可能取值为0，1，2，则 ，，， 所以， 故． 故选：A． 8．（22-23高二下·浙江台州·期末）在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25.为了减少随机选择也得分的影响，某次考试单项选择题采用选错扣分的规则，选对得6分，选错扣分.若随机选择时得分的均值为0分，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据随机变量的均值概念列出方程，然后解方程即可. 【详解】选对得6分，选错扣分.， 则有，则. 故选：B. 9．（2023·河北·模拟预测）2022年7月24日14时22分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭成功发射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为，；B通过初赛、复赛的概率分别为，，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X元，则X的数学期望为（    ） A．300元 B．元 C．350元 D．元 【答案】B 【分析】求出X的可能取值及对应的概率，得到数学期望. 【详解】由题知X的所有可能取值为150，250，350，450， ， ， ， ， 所以数学期望（元）． 故选：B． 题型四、均值的性质 10．（22-23高二下·重庆·期末）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望计算公式以及的关系式即可求得结果. 【详解】随机变量，， 又，解得：. 故选：B. 11．（22-23高二下·重庆·期末）已知随机变量的期望为，则（    ） A．9 B．11 C．27 D．29 【答案】B 【分析】根据期望的性质计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：B 12．（22-23高二下·河南开封·期中）已知随机变量，随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，结合期望和方差的性质即可求解. 【详解】因为，所以，， 因为，所以，解得， 又，即，解得. 故选：B 题型五、由离散型随机变量的均值求参数 13．（20-21高二下·天津河北·期末）某随机变量的取值为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，则由，，列出方程组，求出，． 【详解】解：设，， ①， 又，② 由①②得，，， 所以 故选：B. 14．（2021·四川南充·三模）随机变量的分布列为 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列性质和数学期望公式可求得的值，由方差的公式可计算得到结果. 【详解】由分布列性质知：，解得：； ，； . 故选：A. 15．（22-23高二下·江苏连云港·期中）随机变量X的分布列如表所示，若，则（    ） X 0 1 P a b A．3 B． C．5 D．9 【答案】C 【分析】由，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果． 【详解】，由随机变量X的分布列得： ，解得， ， . 故选：C． 题型六、离散型随机变量的方差与标准差 16．（22-23高二下·陕西渭南·期末）已知随机变量的分布列如下，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．11 【答案】B 【分析】根据均值和方差公式求出与，再利用方差的性质进行求解即可． 【详解】由题意可得， 此时， 所以． 故选：B． 17．（22-23高二下·河北张家口·期末）设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则当从0增大到1时（    ） 0 1 2 A．增大 B．减小 C．先减后增 D．先增后减 【答案】D 【分析】首先根据期望公式得，再根据方差计算公式得的表达式，最后利用二次函数的性质即可得到答案. 【详解】由分布列可得, 则， 因为，所以先增后减， 故选：D. 18．（23-24高二上·上海·期末）已知，随机变量、相互独立，随机变量的分布为，的分布为，则当在内增大时（    ） A．减小，增大 B．减小，减小 C．增大，增大 D．增大，减小 【答案】C 【分析】利用数学期望和方差的性质直接求解. 【详解】由题意可得：，， 所以. 所以当在内增大时，增大. ；. 所以. 所以当在内增大时，增大. 故选：C 题型七、二项分布及其均值与方差 19．（23-24高二下·河北沧州·期中）已知随机变量，若，，则（    ） A．15 B． C． D． 【答案】A 【分析】由随机变量的期望和方差公式解方程组计算即可. 【详解】因为，， 所以， 即，所以， 所以． 故选：A． 20．（22-23高二下·辽宁·阶段练习）已知某种疾病的某种疗法的治愈率为80%．若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D．存在，使得成立 【答案】D 【分析】根据二项分布的概率公式、期望与方差公式计算即可逐一判定. 【详解】由题意可得，由二项分布的概率公式得，即B正确； 若，则，与条件矛盾，即D错误； 由二项分布的期望与方差公式得：，即A、C正确； 故选：D 21．（22-23高二下·辽宁·期末）已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．存在，使得成立 【答案】B 【分析】根据二项分布的概率公式、期望与方差公式及期望与方差的性质计算即可逐一判定. 【详解】由题意可得， 则， 所以，，故AC错误； 由二项分布的概率公式得，故B正确； ， 若， 则， 化简得，解得，与条件矛盾，即D错误. 故选：B. 题型八、超几何分布及其均值与方差 22．（22-23高二下·山东枣庄·期末）某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出X的可能值及对应的概率，再利用期望的定义及性质计算作答. 【详解】依题意，X的可能值为，则， 因此， 所以. 故选：B 23．（21-22高二下·广东广州·期末）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量服从二项分布 C．随机变量服从超几何分布 D． 【答案】C 【分析】由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可． 【详解】解：由题意知随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确； 的取值分别为0，1，2，3，4，则，， ，，， ， 故A，D错误． 故选：C． 24．（21-22高二下·天津河西·期中）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（    ） A．二项分布，且 B．两点分布，且 C．超几何分布，且 D．超几何分布，且 【答案】C 【分析】利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解. 【详解】解：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得服从超几何分布，所以. 故选：C 题型九、正态分布 25．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知随机变量，则（    ） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则． A．0.97725 B．0.84135 C．0.7786 D．0.34135 【答案】B 【分析】利用正态分布的性质及区间概率值，即可求得指定区间概率. 【详解】由已知得随机变量，可得， 由对称性可知，， 又由正态分布的性质可知: , 所以， 故选：B. 26．（2024·广东广州·二模）已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布，其中果实横径落在的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（    ）（若，则，） A．0.6827 B．0.8186 C．0.8413 D．0.9545 【答案】B 【分析】根据正态分布三段区间的概率值以及正态分布的性质求解即可． 【详解】因为所种植沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布， 其中，所以果实横径在的概率为 . 故选：B． 27．（23-24高二上·山东德州·期末）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中错误的是（    ） A．该物理量在一次测量中大于100的概率为0.5 B．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 C．该物理量在一次测量中小于99.9与大于100.1的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量大于100的概率为0.5，故A正确； 对于B，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于100.1的概率与小于99.9的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选：D 题型十、随机变量及其分布的综合应用 28．（2024·广西南宁·二模）2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球中国队以3：0战胜日本队夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人．现从这7人中随机抽取3人参与传球训练 (1)求抽到甲参与传球训练的概率； (2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为，求的分布列及期望； (3)若恰好抽到甲，乙，丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为，假设球一直没有掉地上，求经过n次传球后甲接到球的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）利用选取组合数公式，立即可得到； （2）其的可能取值为0，1，2，3，并且满足超几何分布列，利用超几何分布的概率公式求解即可； （3）解法一：假设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为，，，结合题意得到，从而构造成是等比数列，再用累加法可求得通项，即求得结果；解法二：利用递推数列思想，假设经过次传球后，排球被甲接到球的概率为，从而可得递推关系，然后构造等比数列求出概率通项公式. 【详解】（1）设“抽到甲参与传球训练”记为事件，则. （2）由题意知的可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 即. （3）解法一：设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为，，， 易得：，， 当时，，，， 则， 由，得，， 代入，得， 则，即， 所以是首项为，公比为的等比数列， ， 则时：，，， 由累加法得： ，可得， 又令时，，满足， 所以. 解法二：经过次传球后，排球被甲接到球的概率为． 则，即 而， 所以是首项为，公比为的等比数列， 则，则 【点睛】关键点点睛：第三问构造递推关系，即先假设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为，，，然后根据要传给某一个人，则必须由前一次球传给另两个人的事件概率，再利用全概率公式就可得到传给这个人的概率如：，，；如果是假设经过次传球后，排球被甲接到球的概率为，则有，只有找到递推关系，再利用构造成等比数列来研究通项，还可以利用累加法来研究通项. 29．（23-24高二下·辽宁大连·期中）清明小长假期间，大连市共接待客流322.11万人次，游客接待量与收入达到同期历史峰值，其中到东港旅游的人数达到百万之多.现对到东港旅游的部分游客做问卷调查，其中的人只游览东方水城，另外的人游览东方水城和港东五街.若某位游客只游览东方水城，记1分，若两项都游览，记2分.视频率为概率，解答下列问题. (1)从到东港旅游的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从到东港旅游的游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从到东港旅游的游客中随机抽取10人，其中两处景点都去的人数为.记两处景点都去的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？ 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)，7. 【分析】（1）由题意确定X的可能取值，求出每个对应的概率，即可得分布列；由期望公式，即可求得数学期望. （2）人中只有1人两项都游览可得，再利用错位相减法求和即得答案. （3）利用二项分布的概率求出，再借助最大概率问题列出不等式组求解即得. 【详解】（1）的可能取值为，则， ， 所以的分布列为： 3 4 5 6 数学期望. （2）由人的合计得分为分，得其中只有1人两项都游览，则， 设， 则， 两式相减得， 所以. （3）依题意，， 设最大，则，即， 整理得，即，解得，而，因此， 所以当时，. 30．（23-24高二上·山东德州·期末）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近500天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：，并绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从的正态分布，经计算近似为近似为150． ①利用该正态分布，求； ②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数（结果保留整数）． (2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案． 方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：时，奖励50元；时，奖励80元；时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表： 奖金 50 100 概率 小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？ 附：，若，则． 【答案】(1)①0.8186；②1637（天） (2)小张选择方案二更有利 【分析】（1）①由正态分布概率公式计算可得答案．②根据①计算出的概率乘以2000可得答案； （2）设小张每日可获得的奖金为X元，求出X的可能取值及对应的概率可得，设小张每日可获得的奖金为Y元，求出Y的所有可能取值及对应的概率可得，比较大小可得答案. 【详解】（1）①由题意，其中， ． ②故该物流公司2000天内日货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数为： （天）； （2）易知， 对于方案一，设小张每日可获得的奖金为X元，则X的可能取值为50，80，120， 其对应的概率分别为0.33，0.57，0.10， 故， 对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值为50，100，150，200， 故， ， 所以， 因为，所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利． 【专题强化】 一、单选题 31．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知随机变量.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项分布的概率公式探讨的取值，再将等价为求解即得. 【详解】由，则， ， 且， 构造函数，其导函数为， 由于，，故函数在区间上单调递增； 当时，取最小值；当时，函数值为； 所以； 故选：B. 32．（23-24高二下·浙江·期末）甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意只需前5场甲赢3场，再利用独立事件的乘法公式求解． 【详解】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜， 则甲以4比2获胜的概率为． 故选：D． 33．（2024·江苏·二模）羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】由于甲、乙、丙三人的比赛水平相当，所以第二局乙或丙担任裁判的概率都是， 第二局若是乙当裁判，则第三局甲或丙担任裁判的概率都是， 第二局若是丙当裁判，则第三局甲或乙担任裁判的概率都是， 由全概率公式可知，如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为. 故选：C. 34．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球，其中甲袋中有1个红球，2个白球和2个黑球，乙袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事件和分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件表示从乙袋中取出的球是红球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率公式先求得的值，其中分别表示在先从甲袋中随机取出一球是红球和不是红球并放入乙袋的条件下，再从乙袋中取出的球是红球的概率，再结合全概率公式即可得解. 【详解】设分别表示在先从甲袋中随机取出一球是红球和不是红球并放入乙袋的条件下，再从乙袋中取出的球是红球的概率， 由题意， 结合全概率公式可知 . 故选：D. 35．（23-24高二下·河南·期中）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（    ） A． B．2，1 C．3，1 D． 【答案】C 【分析】利用二项分布的概率公式及离散型随机变量的期望公式、方差公式一一计算即可. 【详解】白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为， 则向左的次数服从二项分布. 因为，， 所以，. 故选：C 36．（23-24高二上·广东广州·期末）泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用给定的信息，求出，再利用概率公式计算即得.. 【详解】依题意， ，，泊松分布可作为二项分布的近似， 此时，则， 于是, ,， 所以次品率小于的概率约为. 故选：C 37．（23-24高二上·河南南阳·期末）为了检测自动包装线生产的罐装咖啡，检验员每天从生产线上随机抽取罐咖啡，并测量其质量（单位：）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条包装线在正常状态下，每罐咖啡的质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的罐咖啡中质量在之外的罐数，若的数学期望，则的最小值为（    ） 附：若随机变量服从正态分布，则. A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据已知可推得，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以， 故， 所以，解得， 因为，故的最小值为11. 故选：B. 38．（23-24高二上·河南·期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小､质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案. 【详解】①从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为的可能取值是， 则， 故随机变量的概率分布列为 0 1 2 3 则数学期望为， 方差为. ②从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则，故，， 故. 故选：D. 39．（23-24高三上·河北保定·期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（    ） （附：若，则， A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865 【答案】B 【分析】正态随机变量的均值方差可由二项分布的均值方差公式来近似，根据题中所给数据运算即可得解. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，设硬币正面向上的次数为， 则. 由题意，且， 因为，即， 所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为. 故选：B. 二、多选题 40．（23-24高二下·山东青岛·期中）下列说法中正确的是（    ） A．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是 B．已知随机变量服从二项分布，若，则 C．已知随机变量服从正态分布，若，则 D．已知随机事件A，B满足，则 【答案】BD 【分析】对A，根据超几何分布可计算判断；对B，由二项分布的均值和方差公式计算判断；对C，根据正态分布的对称性求出概率判断；对D，根据全概率和条件概率的计算公式求解. 【详解】对于A，从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为，故A错误； 对于B，，，解得，故B正确； 对于C，，则正态曲线的对称轴为，根据正态曲线的对称性可得，故C错误； 对于D，，， 所以，故D正确. 故选：BD. 41．（2024·全国·模拟预测）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件，“乙骰子正面向上的点数为偶数”为事件，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件，则下列判断正确的是（    ） A．为相互独立事件 B．为互斥事件 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据可以判定是否相互独立，事件是否可以同时发生且概率和为1来判定互斥事件，条件概率则由条件概率公式计算即可. 【详解】解：由题得：， 因为，所以为相互独立事件，A正确； 可以同时发生，故B错误； 由，C正确； ，D正确； 故选：ACD． 42．（23-24高二上·山东德州·期末）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球；分别以和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．事件B与事件相互独立 D． 【答案】ABD 【分析】根据全概率公式计算判断A，根据独立事件的乘法公式判断C，根据条件概率公式计算判断BD. 【详解】因为，，， 若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以， 若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以， 若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以， 所以 ，故A正确； 因为，所以，故B正确； 所以，所以事件与事件不是相互独立，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD 43．（23-24高三上·山东聊城·期末）尊重自然、顺应自然、保护环境，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求，近年来，各地区以一系列卓有成效的有力措施逐步改善生态环境，我国生态文明建设发生了历史性、全局性的变化.一地区的科研部门调查某绿色植被培育的株高（单位：）的情况，得出，则下列说法正确的是（    ） A．该地植被株高的均值为100 B．该地植被株高的方差为10 C．若，则 D．随机测量一株植被，其株高在以上的概率与株高在以下的概率一样 【答案】AC 【分析】由于，所以，从而可直接判断A，B，对于CD，利用正态分布的对称性分析判断. 【详解】解：因为，所以， 对于A，因为，所以均值为100，所以A正确; 对于B，因为，所以方差为100，所以B错误； 对于C，因为，所以，解得，所以C正确； 对于D，因为， ， 所以随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率大， 所以D错误 故选：AC. 44．（23-24高二上·吉林长春·期末）盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件“第次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”，．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用古典概型的概率公式及排列组合数，求出，，，，，，再利用条件概率公式即可判断各个选项. 【详解】对A，，，所以,故A正确； 对B，事件“第次取球，取到正品”，，故B错误； 对C，事件“第次取球，取到正品且第次取球，取到白球”，包括（正白，正白），（正白，次白），（正黄，正白），（正黄，次白），共有种情况， ，故C错误； 对D，事件“第次取球，取到白球且第次取球，取到正品”，包括（白正，白正），（白正，黄正），（白次，白正），（白次，黄正），共有种情况， ，又因为，,故D正确； 故选：AD. 45．（22-23高二下·广西桂林·期末）近年来，国家相关政策大力鼓励创新创业，某农业大学毕业生小佟贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布和，且当随机变量X服从正态分布时，有．则下列正确的是（    ） A．白玫瑰的日销售量在范围内的概率约为0.3413 B．白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售量更集中 C．红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售量更集中 D．若红玫瑰的日销售量范围在的概率是0.6826，则红玫瑰的日销售量的平均数约为250 【答案】AC 【分析】根据正态分布的对称性结合给定区间的概率判断A，D；根据方差的大小判断B，C，即得答案. 【详解】对于A，设白玫瑰的日销售量为X，则, 故，A正确； 对于B，C，由于红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布和， 故红玫瑰的日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差， 即红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售量更集中，B错误，C正确； 对于D，红玫瑰的日销售量范围在的概率是0.6826， 则，D错误； 故选：AC 三、填空题 46．（23-24高二下·吉林·期末）已知随机变量，则 ， . 【答案】 3 6 【分析】先根据二项分布的性质求出，再根据期望和方差的性质可求得结果. 【详解】因为， 所以， 故1）. 故答案为：3，6 47．（23-24高二下·河南濮阳·期末）甲盒中装有6个红球和2个黑球，乙盒中装有3个红球和5个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从甲､乙两个盒子中随机选1个盒子，再从该盒子中随机取出1个球，若摸出的球是黑球，则选中的盒子为甲盒的概率是 ． 【答案】 【分析】（1）设出事件,运用全概率公式和条件概率公式求解即可. 【详解】记取到甲盒子为事件，取到乙盒子为事件，取到黑球为事件B. 由全概率公式得， 由条件概率公式得 故答案为: . 48．（23-24高二下·安徽·阶段练习）某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为 ． 【答案】 【分析】先用古典概型计算公式求每次每组对的题数之和是3的倍数的概率，设第次由甲组答题的概率为，由全概率公式得到与的递推公式，根据递推公式求数列的通项公式，令，可得问题答案. 【详解】记答题的两位同学答对的题数分别为，，则， 当时，是3的倍数， 故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为，两位同学答对的题数之和不是3的倍数的概率为． 记第n次由甲组答题的概率为，则由乙组答题的概率为，，即， 进一步有， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以. 令，则． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设表示第n次由甲组答题的概率，由全概率公式得，得到数列的递推公式是解决该题的关键. 49．（23-24高二下·重庆·期中）已知随机变量X服从正态分布，即：，若，，则实数 ． 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性列式计算即可. 【详解】因为， 所以，根据对称性可得， 又， 所以. 故答案为：. 50．（23-24高二下·福建福州·期中）某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.4，50.6)的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为 ．(若，则，) 【答案】 【分析】根据题意利用正态分布性质分别计算出技术改造前后的优品率，可得结果. 【详解】技术改造前，易知， 则其优品率为； 技术改造后，其中， 则其优品率为； 所以优品率之差为. 故答案为： 51．（2024·辽宁·三模）一个书包中有标号为“”的张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为，则 . . 【答案】 / 【分析】先求出他手中3张单张卡片含有张相同卡片的概率，进而得出和间的递推关系，用累乘方法求解即可. 【详解】张卡片选取张卡片的选法共有：种， 事件“手中这张单张卡片中含有张相同卡片”的选法共有：种； 由古典概型的计算公式可得其概率为：， 若书包中张卡片全部被拿走的概率为， 将这两张相同的卡片拿掉以后，相当于从对相同的卡片中已拿出一张卡， 事件“书包中张卡片全部被拿走”发生需保证事件“书包中卡片全部被拿走”发生， 且书包中卡片全部被拿走概率为， 因而，且， 则， ， 故答案是：（或），. 【点睛】思路点睛：本题主要考查递推数列与概率知识的交汇问题，解决该类问题应该注意的事项有： （1）做好互斥事件的划分，正确进行独立事件概率的计算； （2）借助待定系数方法建立不同事件概率间的递推关系，即构建递推数列； （3）正确运用数列求通项公式或求和的方法解决问题. 四、解答题 52．（2024·湖北·模拟预测）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试．面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分． (1)根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分服从正态分布，要求满足为达标．现有1000人参加应聘，求进入面试环节的人数．（结果四舍五入保留整数） (2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列与数学期望． 附：若，则， 【答案】(1)159 (2)分布列见解析， 【分析】（1）由正态分布曲线的性质求得对应概率，即得对应人数； （2）由题可知的可能取值为，求得对应的概率以及分布列，进一步由期望公式求解即可. 【详解】（1）因为服从正态分布，所以． 因为，所以， 所以． 因此，进入面试的人数约为159． （2）由题意可知，的可能取值为， 则； ； ． 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 所以． 53．（2024·广东梅州·一模）某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望； (2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位:小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值. 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2) 【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，求出的值，由频率分布直方图求出这500名学生中参加公益劳动时间在，，三组内的学生人数分别为50人，40人，10人，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取4人，现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列，由分布列即可计算期望； （2）根据独立重复试验的概率公式得到不等式组，解得的取值范围，即可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图得: 解得 这500名学生中参加公益劳动时间在三组内的学生人数分别为:人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从参加公益劳动时间在14，16内的学生中抽取:人， 现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3， 的分布列为: 0 1 2 3 则其期望为 （2）由（1）可知参加公益劳动时间在的概率 所以 依题意，即， 即，解得 因为为非负整数，所以， 即当最大时， 54．（2024·海南·模拟预测）某大型公司进行了新员工的招聘，共有来自全国各地的10000人参加应聘.招聘分为初试与复试.初试为笔试，已知应聘者的初试成绩.复试为闯关制：共有三关，前两关中的每一关最多可闯两次，只要有一次通过，就进入下一关，否则闯关失败；第三关必须一次性通过，否则闯关失败.若初试通过后，复试三关也都通过，则应聘成功. (1)估计10000名应聘者中初试成绩位于区间内的人数； (2)若小王已通过初试，在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别为，且每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响，求小王应聘成功的概率. 附：若随机变量，则. 【答案】(1)1359 (2) 【分析】（1）由，利用正态分布三段区间的概率值公式算出概率，即可估计初试成绩位于区间内的人数； （2）根据规分别计算,复试时，小王通过第一关，第二关，第三关的概率，再利用独立事件的概率乘法公式计算即得. 【详解】（1）因为， 所以. 因为，所以， 则可估计10000名应聘者中，初试成绩位于内的人数约为. （2）设复试时小王通过第一关的概率为，通过第二关的概率为，通过第三关的概率为. 由题意可得， 因每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响，即复试通过第一关，通过第二关，通过第三关相互独立， 故小王应聘成功的概率. 55．（2024·河北保定·二模）单位面积穗数､穗粒数､千粒重是影响小麦产量的主要因素，某小麦品种培育基地在一块试验田种植了一个小麦新品种，收获时随机选取了100个小麦穗，对每个小麦穗上的小麦粒数进行统计得到如下统计表： 穗粒数 穗数 4 10 56 22 8 其中同一组中的数据用该组区间的中点值作代表.从收获的小麦粒中随机选取5组，每组1000粒，分别称重，得到这5组的质量（单位：）分别为：. (1)根据抽测，这块试验田的小麦亩穗数为40万，试估计这块试验田的小麦亩产量（结果四舍五入到）； 公式：亩产量亩穗数样本平均穗粒数. (2)已知该试验田穗粒数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若小麦穗粒数不低于28粒的穗数超过总体的，则称该小麦品种为优质小麦品种，试判断该试验田中的小麦品种是否为优质小麦品种. 参考数据：若近似服从正态分布，则. 【答案】(1)； (2)该试验田中的小麦为优质小麦品种. 【分析】（1）用每组区间的中点值乘以穗数求和除以100得到样本平均穗粒数，再由题所给数据得到样本平均千粒重，代入所给公式即可； （2）先根据数据求得，再由，根据正态分布的原则，求得概率即可判断. 【详解】（1）该试验田样本平均穗粒数为， 样本平均千粒重为， 所以这块试验田的小麦亩产量的估计值为， （2）由（1）得， 所以， 由得：， 故：， 所以该试验田中的小麦为优质小麦品种. 56．（23-24高二下·福建·期中）某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束．最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一：继续投掷之前抽取的那枚硬币；方案二，不使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中随机抽取一枚投掷．不管选择方案一还是方案二，如果掷出正面向上，则获奖 (1)求第一次投掷后，向上的面为正面的概率； (2)若已知某顾客进入了最终挑战，求他抽到的硬币是正常硬币的概率； (3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获奖的概率，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适． 【答案】(1) (2) (3)选择方案一的概率为，选择方案二的概率为，选择方案一获奖概率更高更合适. 【分析】（1）根据全概率公式，即可求解； （2）利用全概率公式和条件概率公式，即可求解； （3）根据两种不同的方案，结合题意，求出不同的概率，比较后即可判断. 【详解】（1）设第一次抽到正常硬币为事件，抽到双面都印着字的硬币为事件， 抽到双面都印着花的硬币为事件， 第一次投掷出正面向上为事件， 第二次投掷出正面向上为事件， 选择方案一进行第三次投掷并正面向上事件， 选择方案二进行第三次投掷并证明向上为事件， 由全概率公式可得，， ， （2）由题意知：连续两次都是正面的概率为： ， 所以， 所以； （3）若选择方案一，设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 第三次投掷出正面向上为事件， 则 ， ，， 如选择方案二，设第三次投掷后最终获得礼券为元， 第三次投掷出正面向上为事件， ①如果第一次抽到的是正常硬币，设第二次抽到正常硬币为事件， 第二次抽到两面都是字的硬币为事件，第二次抽到两面都是花的硬币为事件， 则 ； ②如果第一次抽到的两面都是字的硬币，设第二次抽到正常硬币为事件， 第二次抽到两面都是字的硬币为事件，第二次抽到两面都是花的硬币为事件， 则 ； 所以，， ， 综上（一）（二）可得，，所以选择方案一的获奖概率更高更适合. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并正确使用条件概率公式和全概率公式，求解概率. 57．（23-24高二下·浙江·期中）19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为:对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为. (1)若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的， ①当时，求； ②为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值； (2)若每次发射信号“”和“”的可能性是，已知在2024次发射中，信号“”发射次的概率最大，求的值. 【答案】(1)①；②1250次； (2) 【分析】（1）①依题意可知，则，利用二项分布的概率公式计算可得；②由，即可得到、，结合切比雪夫不等式计算可得； （2）依题意可得，根据二项分布的概率公式计算，求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）①由题意， 所以. ； ②由题意，则，， 若，则， 所以， 又，解得，即发射次数至少为次. （2）依题意， 则， ， ，解得， ，解得， 又，所以当时，最大. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$