期末专题复习 平行线和三角形的综合应用 2023-2024学年苏科版 七年级数学 下册

期末专题复习 平行线和三角形的综合应用（学生版） 期末专题复习 平行线和三角形的综合应用 1．如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O． （1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE的度数． （2）若∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β），则∠DAE的值．（用含α、β的式子表示） 2．在课本第七章第5节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：∠ACD是△ABC的一个外角（如图1），则∠ACD＝∠A+∠B． （1）如图2，线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系 　 　． （2）如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若∠BOF＝120°，运用（1）中得出的数量关系，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 3．已知射线AB∥CD，连接AC． （1）如图1，若AE、CE分别平分∠BAC、∠DCA，AE、CE交于点E，求∠E的度数，并说明理由． （2）如图2，在（1）的条件下，延长CE到F、若点G满足，，试探求∠G与∠EAC的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，延长AC到M，若，CH交GE延长线于点H．求∠G与∠H的度数之和． 4．请解答下列各题： （1）阅读并回答： 科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4． ①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 　 　，∠2＝∠4，依据是 　 　． ②反射光线BC与EF平行，依据是 　 　． （2）解决问题： 如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝　 　；∠3＝　 　． 5．已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D点，点A，B分别在直线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合． （1）如图1，有一动点P在线段CD之间运动时，求证：∠APB＝∠1+∠2； （2）如图2，当动点P在C点之上运动时，猜想∠APB、∠1、∠2有何数量关系，并说明理由． 6．如图，已知长方形ABCD中，AD＝10cm，DC＝6cm，点F是DC的中点，点E从A点出发在AD上以每秒1cm的速度向D点运动，运动时间设为t秒．（假定0＜t＜10） （1）当t＝5秒时，求阴影部分（即三角形BEF）的面积； （2）用含t的式子表示阴影部分的面积； （3）过点E作EG∥AB交BF于点G，过点F作FH∥BC交BE于点H，请直接写出在E点运动过程中，EG和FH的数量关系． 7．在△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别是边AC，AB上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则∠1+∠2＝　 　（用α的代数式表示）； （2）若点P在△ABC的外部，如图（2）所示，则∠α，∠1，∠2之间有何关系？写出你的结论，并说明理由． （3）当点P在边CB的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的∠α，∠1，∠2之间的关系式．（不需要证明） 8．已知，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC． （1）如图1，若AE⊥BC于E，∠C＝32°，求∠DAE的大小； （2）如图2，P为CB延长线上一点，过点P作PF⊥AD于F，求证：∠ABC﹣∠ACB＝2∠P． 9．△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B． （1）①在图1中，若AD⊥BC于D，∠C＝60°、∠B＝40°则∠DAE＝　 　； ②在图2中，若点P是AE上的一动点，过点P作PG⊥BC于G，则∠EPG与∠C、∠B之间的相等关系是　 　； （2）若点P是AE延长线上一点，过点P作PG⊥BC于G，则∠EPG与∠C、∠B之间有何相等关系？画出图并证明你的结论． 10．已知△ABC、△DEF是两个完全一样的三角形，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝∠D＝30°． （1）将它们摆成如图①的位置（点E、F在AB上，点C在DF上，DE与AC相交于点G）．求∠AGD的度数． （2）将图①的△ABC固定，把△DEF绕点F按逆时针方向旋转n°（0＜n＜180） ①当△DEF旋转到DE∥AB的位置时（如图2），n＝　 　； ②若由图①旋转后的EF能与△ABC的一边垂直，则n的值为　 　． 11．如图，A，B分别是∠MON两边OM，ON上的动点（均不与点O重合）． （1）如图1，当∠MON＝58°时，△AOB的外角∠NBA，∠MAB的平分线交于点C，则∠ACB＝　 　°； （2）如图2，当∠MON＝n°时，∠OAB，∠OBA的平分线交于点D，则∠ADB＝　 　°（用含n的式子表示）； （3）如图3，当∠MON＝α（α为定值，0°＜α＜90°）时，BE是∠NBA的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点F．随着点A，B的运动，∠F的大小会改变吗？如果不会，求出∠F的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 12．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 13．[问题背景] （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D． [简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论） （2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD， ①若∠ABC＝28°，∠ADC＝20°，求∠P的度数； ②∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系． [问题探究] （3）如图3，直线BP平分∠ABC的邻补角∠FBC，DP平分∠ADC的邻补角∠ADE， ①若∠A＝30°，∠C＝18°，则∠P的度数为　 　； ②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠A、∠C之间数量关系． [拓展延伸] （4）在图4中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为　 　；（用x、y的代数式表示∠P） （5）在图5中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论　 　． 14．阅读下面的材料，并解决问题． （1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1，∠O＝　 　；如图2，∠O＝　 　；如图3，∠O＝　 　； 如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　 　． （2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°∠A． （3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数． 15．已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）在图1中，请写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 　 　个； （3）在图2中，若∠D＝30°，∠B＝40°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M、N．利用（1）的结论，试求∠P的度数； （4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系：　 　．（直接写出结论即可） （5）①在图3中，AP平分△OAD的外角∠BAE，CP平分△BCO的外角，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系：　 　．（直接写出结论即可） ②在图4中，∠DAB的平分线AM所在直线与△BCO的外角∠DCF的平分线相交于点P，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系：　 　（直接写出结论即可）． 16．已知：如图一：△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分外角∠ACD． （1）①若∠A＝70°，则∠O的度数为　 　； ②若∠A＝130°，则∠O的度数为　 　； （2）试写出∠O与∠A的关系，并加以证明． （3）解决问题：如图二，BA1平分∠ABC，BA2平分∠A1BC，…依此类推，BA2019平分∠A2018BC；CA1平分∠ACD，CA2平分∠A1CD，…依此类推，CA2019平分∠A2018CD，若∠A＝a，请根据第（2）问中得到的结论直接写出∠A2019的度数为　 　． 17．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点D，BD与∠ACB的外角平分线相交于点E． ①若∠A＝80°，求∠BDC的度数； ②写出∠A与∠E之间的数量关系，并证明； （2）如图2，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2021BC与∠A2021CD的平分线相交于点A2022，得∠A2022，直接写出∠A2022的度数 　 　（用含x的代数式表示）． 18．在△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）如图1，若点P在线段BC上，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数； （2）若点P在线段BC延长线上，请借助图2和图3，分别探究∠1、∠2与∠α之间的关系，并说明理由． 19．探究题 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是 　 　； （2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P＝　 　； （3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B＝70°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； （4）如图4，如果∠MCD∠BCD，∠NDE∠ADE，当∠A+∠B＝n°时，则∠M+∠N的度数为 　 　． 20．问题情景：如图①，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：如图①，∠PBC+∠PCB＝　 　度，若∠A＝50°，则∠ABP+∠ACP＝　 　度； （2）类比探究：请类比（1），探究如图①中∠ABP+∠ACP与∠A的关系； （3）延伸探究：如图②，改变直角三角板PMN的位置，使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，则（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出你的结论，并说明理由． 21．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME． （1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由； （2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β． ①当点G在点F的右侧时，若α＝30°，求β的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 22．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动． （1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小． （2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． 23．将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C． （1）如图①，若∠A＝40°时，点D在△ABC内，则∠ABC+∠ACB＝　 　度，∠DBC+∠DCB＝　 　度，∠ABD+∠ACD＝　 　度； （2）如图②，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC内，请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论． （3）如图③，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD、∠ACD、∠A三者之间存在的数量关系． 24．如图，已知OM⊥ON，垂足为O，点A、B分别是射线OM、ON上的一点（O点除外）． （1）如图①，射线AC平分∠OAB，是否存在点C，使得BC所在的直线也平分以B为顶点的某一个角α（0°＜α＜180°），若存在，则∠ACB＝　 　； （2）如图②，P为平面上一点（O点除外），∠APB＝90°，且OA≠AP，分别画∠OAP、∠OBP的平分线AD、BE，交BP、OA于点D、E，试简要说明AD∥BE的理由； （3）在（2）的条件下，随着P点在平面内运动，AD、BE的位置关系是否发生变化？请利用图③画图探究，如果不变，直接回答；如果变化，画出图形并直接写出AD、BE位置关系． 25．探究题． （1）若△ABC中，∠A＝60° ①如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，则∠BOC＝　 　． ②如图2，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，则∠BO1C＝　 　． （2）若△ABC中，∠A＝x° ①如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，则用x表示∠BOC＝　 　度． ②如图2，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，则用x表示∠BO1C＝　 　度． ③如图3，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、……、On﹣1，则用x表示∠BO1C＝　 　度．（结果不需化简） （3）如图，四边形ABCD中，为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角： ①如图4，若设∠A＝140°，∠D＝100°，则∠F＝　 　． ②如图5，若设∠A＝60°，∠D＝50°，请在图中画出∠F，则∠F＝　 　． ③若设∠A＝x°，∠D＝y°，一定存在∠F吗？如有，求出∠F的值（用x、y表示），如不一定，指出x、y满足什么条件时，不存在∠F，并说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$期末专题复习 平行线和三角形的综合应用（教师版） 期末专题复习 平行线和三角形的综合应用 参考答案与试题解析 1．如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O． （1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE的度数． （2）若∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β），则∠DAE的值．（用含α、β的式子表示） 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由AE是角平分线，AD是高，求出∠EAC和∠CAD，最后根据∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD计算即可； （2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由AE是角平分线，AD是高，求出∠EAC和∠CAD，最后根据∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°， ∵AE是角平分线， ∴， ∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°； （2）∵∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β）， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣α﹣β， ∵AE是角平分线， ∴， ∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣β， ∴． 【点评】本题考查了三角形的角平分线和高线的定义，三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的内角和是180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 2．在课本第七章第5节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：∠ACD是△ABC的一个外角（如图1），则∠ACD＝∠A+∠B． （1）如图2，线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系 　∠A+∠C＝∠B+∠D　． （2）如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若∠BOF＝120°，运用（1）中得出的数量关系，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）利用三角形的外角性质即可求解； （2）连接EF，利用（1）中的“8字型”结论进行求解即可． 【解答】解：（1）∵∠BOC是△AOC与△BOD的外角， ∴∠A+∠C＝∠BOC，∠B+∠D＝∠BOC， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D； 故答案为：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）连接EF，如图， 由（1）的结论可得：∠B+∠C＝∠EFO+∠FEO＝∠BOF＝120°， ∠A+∠D＝∠EFD+∠FEA， ∵∠EFD＝∠EFO﹣∠CFD，∠EFA＝∠FEO﹣∠AEB， ∴∠A+∠D＝∠EFO﹣∠CFD+∠FEO﹣∠AEB ＝120°﹣∠CFD﹣∠AEB， 即∠A+∠D+∠CFD+∠AEB＝120°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 3．已知射线AB∥CD，连接AC． （1）如图1，若AE、CE分别平分∠BAC、∠DCA，AE、CE交于点E，求∠E的度数，并说明理由． （2）如图2，在（1）的条件下，延长CE到F、若点G满足，，试探求∠G与∠EAC的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，延长AC到M，若，CH交GE延长线于点H．求∠G与∠H的度数之和． 【考点】平行线的性质．版权所有 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CAB+∠ACD＝180°，再根据角平分线的定义得到，，最后∠E＝180﹣（∠CAE+∠ACE）求出结果； （2）首先得到∠GEF＝∠G+∠GCE，再根据外角的性质推出即可； （3）由（2）得到，求出，从而计算可得． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠CAB+∠ACD＝180°， ∵AE，CE分别平分∠CAB和∠ACD， ∴，， ∴； （2）在△GEC中，∠GEF＝∠G+∠GCE， ∴， ∴∠EAC＝3∠G； （3）由（2）可得：， ∵， ∴， 在△GCE中，∠G+∠H＝180°﹣（∠GCE+∠ECH）＝180°﹣60°＝120°． 【点评】本题考查了平行线的性质，外角的性质，三角形内角和，角平分线，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． 4．请解答下列各题： （1）阅读并回答： 科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4． ①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 　两直线平行，同位角相等　，∠2＝∠4，依据是 　等量代换　． ②反射光线BC与EF平行，依据是 　同位角相等，两直线平行　． （2）解决问题： 如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝　84°　；∠3＝　90°　． 【考点】平行线的性质．版权所有 【分析】（1）根据平行线的判定与性质逐一求解可得； （2）根据入射角等于反射角得出∠1＝∠4，∠5＝∠7，求出∠6，根据平行线性质即可求出∠2，求出∠5，根据三角形内角和求出∠3即可． 【解答】解：（1）①由条件可知：∠1＝∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；∠2＝∠4，依据是：等量代换； ②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行； 故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行． （2）如图， ∵∠1＝42°， ∴∠4＝∠1＝42°， ∴∠6＝180°﹣42°﹣42°＝96°， ∵m∥n， ∴∠2+∠6＝180°， ∴∠2＝84°， ∴∠5＝∠7， ∴∠3＝180°﹣48°﹣42°＝90°． 故答案为：84°，90°． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 5．已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D点，点A，B分别在直线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合． （1）如图1，有一动点P在线段CD之间运动时，求证：∠APB＝∠1+∠2； （2）如图2，当动点P在C点之上运动时，猜想∠APB、∠1、∠2有何数量关系，并说明理由． 【考点】平行线的性质．版权所有 【分析】（1）过点P作PE∥l1，根据l1∥l2可知PE∥l2，故可得出∠1＝∠APE，∠2＝∠BPE．再由∠APB＝∠APE+∠BPE即可得出结论； （2）过P作PE∥AC，依据l1∥l2，可得PE∥BD，进而得到∠2＝∠BPE，∠1＝∠APE，再根据∠BPE＝∠APE+∠APB，即可得出∠2＝∠1+∠APB． 【解答】（1）证明：如图1，过点P作PE∥l1， ∵l1∥l2， ∴PE∥l2， ∴∠1＝∠APE，∠2＝∠BPE． 又∵∠APB＝∠APE+∠BPE， ∴∠APB＝∠1+∠2； （2）解：上述结论不成立，新的结论：∠2＝∠1+∠APB． 理由如下：如图2，过P作PE∥AC， ∵l1∥l2， ∴PE∥BD， ∴∠2＝∠BPE，∠1＝∠APE， ∵∠BPE＝∠APE+∠APB， ∴∠2＝∠1+∠APB． 【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 6．如图，已知长方形ABCD中，AD＝10cm，DC＝6cm，点F是DC的中点，点E从A点出发在AD上以每秒1cm的速度向D点运动，运动时间设为t秒．（假定0＜t＜10） （1）当t＝5秒时，求阴影部分（即三角形BEF）的面积； （2）用含t的式子表示阴影部分的面积； （3）过点E作EG∥AB交BF于点G，过点F作FH∥BC交BE于点H，请直接写出在E点运动过程中，EG和FH的数量关系． 【考点】三角形综合题．版权所有 【分析】（1）当t＝5秒时，求出AE的长，得出DE的长，再由长方形的面积减去3个三角形的面积即可； （2）用含t的式子表示AE和DE的长，再由长方形的面积减去3个三角形的面积即可； （3）求出S△BEFEG•AD，同理S△BEFFH•DC，则EG•AD＝FH•DC，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵长方形ABCD中，AD＝10cm，DC＝6cm，点F是DC的中点， ∴DF＝CF＝3（cm）， 当t＝5秒时，AE＝5×1＝5（cm）， ∴DE＝AD﹣AE＝10﹣5＝5（cm）， ∴S阴影＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DEF﹣S△BCF ＝10×65×65×310×3 ＝60﹣15﹣7.5﹣15 ＝22.5（cm2）； （2）由题意得：AE＝t cm，DE＝（10﹣t）cm， ∵S阴影＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DEF﹣S△BCF ＝10×66t3×（10﹣t）10×3 ＝（30t）（cm2）， 即阴影部分的面积为（30t）cm2； （3）∵四边形ABCD是长方形， ∴AD⊥CD，AB∥CD，AD∥BC， ∵EG∥AB，FH∥BC， ∴EG⊥HF、AD⊥EG、CD⊥HF， ∴DE、AE分别等于△EGF，△EGB的EG边上的高，DF、CF分别等于△EHF、△BHF的FH边上的高， ∴S△BEFEG•DEEG•AEEG（DE+AE）EG•AD， 同理：S△BEFFH•DC， ∴EG•AD＝FH•DC， 即10EG＝6FH， ∴． 【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形面积公式、长方形的性质、平行线的性质以及面积法等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形面积公式和长方形的性质是解题的关键． 7．在△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别是边AC，AB上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则∠1+∠2＝　50°+∠α　（用α的代数式表示）； （2）若点P在△ABC的外部，如图（2）所示，则∠α，∠1，∠2之间有何关系？写出你的结论，并说明理由． （3）当点P在边CB的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的∠α，∠1，∠2之间的关系式．（不需要证明） 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有 【分析】（1）根据∠AEP＝180°﹣∠2，∠ADP＝180°﹣∠1和四边形AEPD的内角和为360°，表示出∠α，∠1，∠2之间的关系； （2）根据三角形外角的性质，∠2﹣∠α＝∠1﹣50°，求出∠α，∠1，∠2之间的关系； （3）画出符合条件的图形，根据图形和（2）的结论解答即可． 【解答】解：（1）∵∠AEP＝180°﹣∠2，∠ADP＝180°﹣∠1， ∴180°﹣∠2+180°﹣∠1+∠α+50°＝360°， 即∠1+∠2＝50°+∠α； （2）根据三角形外角的性质可知， ∠2﹣∠α＝∠1﹣50°， 则∠2﹣∠1＝∠α﹣50°； （3）如图， ①∠2﹣∠α＝∠1﹣50°， 则∠2﹣∠1＝∠α﹣50°； 如图， ②∠1＝50°+∠α+∠2， ∠1﹣∠2＝50°+∠α． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质的综合运用，灵活运用定理进行计算是解题的关键，在画图时，要全面考虑问题，不要只画出一种． 8．已知，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC． （1）如图1，若AE⊥BC于E，∠C＝32°，求∠DAE的大小； （2）如图2，P为CB延长线上一点，过点P作PF⊥AD于F，求证：∠ABC﹣∠ACB＝2∠P． 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有 【分析】（1）求出∠BAC度数，求出∠CAE度数，求出∠CAD，相减即可． （2）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义解决问题即可． 【解答】（1）解：∵∠ABC＝2∠C，∠C＝32°， ∴∠ABC＝64°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣32°﹣64°＝84°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC84°＝42°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∵∠B＝64°， ∴∠BAE＝90°﹣64°＝26°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝42°﹣26°＝16°． （2）证明：∵PF⊥AD， ∴∠PFD＝90°， ∴∠P＝90°﹣∠PDF， ∵∠PDF＝∠C+∠CAD＝∠C（180°﹣∠ABC﹣∠C）， ∴∠P＝90°﹣[∠C（180°﹣∠ABC﹣∠C）]（∠ABC﹣∠C）． ∴∠ABC﹣∠ACB＝2∠P 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9．△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B． （1）①在图1中，若AD⊥BC于D，∠C＝60°、∠B＝40°则∠DAE＝　10°　； ②在图2中，若点P是AE上的一动点，过点P作PG⊥BC于G，则∠EPG与∠C、∠B之间的相等关系是　∠EPG∠C∠B　； （2）若点P是AE延长线上一点，过点P作PG⊥BC于G，则∠EPG与∠C、∠B之间有何相等关系？画出图并证明你的结论． 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有 【分析】（1）①先求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠CAE，根据三角形内角和定理求出∠CAD，代入∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD求出即可； ②先求出∠EFG＝∠DAE，求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠CAE，根据三角形内角和定理求出∠CAD，代入∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD求出∠DAE即可； （2）先求出∠EFG＝∠DAE，求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠CAE，根据三角形内角和定理求出∠CAD，代入∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD求出∠DAE即可； 【解答】解： （1）①如图1，∵∠C＝60°、∠B＝40°， ∴∠CAB＝180°﹣（∠B+∠C）＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC∠BAC80°＝40°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣30°＝10°， 故答案为：10°； ②∠EPG∠C∠B， 理由是：如图2，过A作AD⊥BC于D， ∵PG⊥BC， ∴AD∥PG， ∴∠DAE＝∠GPE， ∵∠CAB＝180°﹣（∠B+∠C）， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC∠BAC[180°﹣（∠B+∠C）]＝90°∠B∠C， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝90°∠B∠C﹣（90°﹣∠C）∠C∠B， ∴∠EPG∠C∠B， 故答案为：∠EPG∠C∠B； （2）∠EG∠C∠B， 证明：如图3，过A作AD⊥BC于D， ∵PG⊥BC， ∴AD∥PG， ∴∠DAE＝∠GPE， ∵∠CAB＝180°﹣（∠B+∠C）， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC∠BAC[180°﹣（∠B+∠C）]＝90°∠B∠C， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝90°∠B∠C﹣（90°﹣∠C）∠C∠B， ∴∠EPG∠C∠B． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似． 10．已知△ABC、△DEF是两个完全一样的三角形，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝∠D＝30°． （1）将它们摆成如图①的位置（点E、F在AB上，点C在DF上，DE与AC相交于点G）．求∠AGD的度数． （2）将图①的△ABC固定，把△DEF绕点F按逆时针方向旋转n°（0＜n＜180） ①当△DEF旋转到DE∥AB的位置时（如图2），n＝　60　； ②若由图①旋转后的EF能与△ABC的一边垂直，则n的值为　60或90或150　． 【考点】三角形的外角性质；垂线；平行线的性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）根据三角形内角和与外交的性质可得∠DEA＝∠DFE+∠D，∠AGD＝∠A+∠DEA； （2）①根据平行线的性质可得∠EFA＝∠E； ②此题要分情况讨论：当EF⊥AC时；当EF⊥AB时；当EF⊥BC时分别进行计算． 【解答】解：（1）∵∠DFE＝90°，∠D＝30°， ∴∠DEA＝30°+90°＝120°， ∴∠A＝30°， ∴∠DGA＝120°+30°＝150°； （2）①∵∠DFE＝90°，∠D＝30°， ∴∠E＝60°， ∵DE∥AB， ∴∠E＝∠EFA＝60°， ∴n＝60； 故答案为：60． ②当EF⊥AC时，n＝180﹣90﹣30＝60； 当EF⊥AB时，n＝90； 当EF⊥BC时，n＝360﹣30﹣90﹣90＝150． 故答案为：60或90或150． 【点评】此题主要考查了三角形内角与外角，以及三角形内角和，平行线的性质，关键是注意要考虑全面，不要漏解． 11．如图，A，B分别是∠MON两边OM，ON上的动点（均不与点O重合）． （1）如图1，当∠MON＝58°时，△AOB的外角∠NBA，∠MAB的平分线交于点C，则∠ACB＝　61　°； （2）如图2，当∠MON＝n°时，∠OAB，∠OBA的平分线交于点D，则∠ADB＝　（90n）　°（用含n的式子表示）； （3）如图3，当∠MON＝α（α为定值，0°＜α＜90°）时，BE是∠NBA的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点F．随着点A，B的运动，∠F的大小会改变吗？如果不会，求出∠F的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 【考点】三角形的外角性质；列代数式；三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠NBA+∠MAB＝180°+58°，根据角平分线的定义计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到∠OBA+∠OAB＝（180﹣n）°，根据角平分线的定义计算即可； （3）根据三角形的外角性质得到∠NBA﹣∠BAO＝∠MON＝α，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可． 【解答】解：（1）∵∠MON＝58°， ∴∠OBA+∠OAB＝122°． ∴∠NBA+∠MAB＝238°． ∵BD、AD分别为∠NBA、∠MAB的平分线， ∴∠DBANBA，∠DAB∠MAB． ∴∠DBA+∠DAB（∠NBA+∠MAB）＝90°58°． ∴∠ADB＝180°﹣（90°58°）＝90°58°＝61°． 故答案为：61． （2）∵∠MON＝n°， ∴∠OBA+∠OAB＝180°﹣n°． ∵BC、AC分别为∠OBA、∠OAB的平分线， ∴∠ABC∠OBA，∠BAC∠OAB， ∴∠ABC+∠BAC（∠OBA+∠OAB）（180°﹣n°）． ∴∠ACB＝180°（180°﹣n°）＝90°n°． 故答案为：（90n）． （3）∠F的大小不变，∠Fα． 理由如下：∵∠NBA﹣∠BAO＝∠MON＝α， 又BE是∠ABN的平分线，AF是∠OAB的平分线， ∴∠EBA∠NBA，∠BAF∠BAO， ∴∠F＝∠EBA﹣∠BAF（∠NBA﹣∠BAO）α． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 12．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在△BQE中，由于∠Q＝90°∠A，求出∠E∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可． 【解答】（1）解：∵∠A＝80°． ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴∠P＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°100°＝130°， （2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q， ∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB） （360°﹣∠ABC﹣∠ACB） （180°+∠A） ＝90°∠A ∴∠Q＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A； （3）延长BC至F， ∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线， ∴∠ACF＝2∠ECF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E， 即∠ACF＝∠ABC+2∠E， 又∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E，即∠E∠A； ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ ∠ABC∠MBC （∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°． 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°； ②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°； ③∠Q＝2∠E，则90°∠A＝∠A，解得∠A＝60°； ④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°∠A），解得∠A＝120°． 综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°． 【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 13．[问题背景] （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D． [简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论） （2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD， ①若∠ABC＝28°，∠ADC＝20°，求∠P的度数； ②∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系． [问题探究] （3）如图3，直线BP平分∠ABC的邻补角∠FBC，DP平分∠ADC的邻补角∠ADE， ①若∠A＝30°，∠C＝18°，则∠P的度数为　24°　； ②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠A、∠C之间数量关系． [拓展延伸] （4）在图4中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为　∠P（3x+y）　；（用x、y的代数式表示∠P） （5）在图5中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论　∠P＝90°∠C∠A　． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可． （2）设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． （3）如图3中，设∠CBJ＝∠JBF＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． （4）如图4中，设∠CAP＝α，∠CDP＝β，则∠PAB＝3α，∠PDB＝3β，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． （5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中， ∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）①如图2中， 设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y， 则有， ∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D， ∴∠P（∠B+∠D）（28°+20°）＝24°； ②2∠P＝∠B+∠D； （3）①如图3中，设∠CBJ＝∠JBF＝x，∠ADP＝∠PDE＝y． 则有， ∴2∠P＝∠A+∠C， ∴∠P（30°+18°）＝24°； 故答案为：24°； ②设∠CBJ＝∠JBF＝x，∠ADP＝∠PDE＝y． 则有， ∴2∠P＝∠A+∠C； （4）如图4中，设∠CAP＝α，∠CDP＝β，则∠PAB＝3α，∠PDB＝3β， 则有， ∴4∠P＝3∠C+∠B， ∴∠P（3x+y）， 故答案为∠P（3x+y）． （5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ＝x，∠ADP＝∠PDE＝y． 则有∠A+2x＝∠C+180°﹣2y， ∴x+y＝90°（∠C﹣∠A）， ∵∠P+x+∠A+y＝180°， ∴∠P＝90°∠C∠A． 故答案为∠P＝90°∠C∠A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，“8字型”四个角之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 14．阅读下面的材料，并解决问题． （1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1，∠O＝　120°　；如图2，∠O＝　30°　；如图3，∠O＝　60°　； 如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　50°　． （2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°∠A． （3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； （3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数． 【解答】解；（1）如图1， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB ∴∠OBC+∠OCB （∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠BAC） （180°﹣60°） ＝60° ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°； 如图2， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD ∴∠OBC∠ABC，∠OCD∠ACD ∵∠ACD＝∠ABC+∠A ∴∠OCD（∠ABC+∠A） ∵∠OCD＝∠OBC+∠O ∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC ∠ABC∠A∠ABC ∠A ＝30° 如图3， ∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD ∴∠OBC∠EBC，∠OCB∠BCD ∴∠OBC+∠OCB （∠EBC+∠BCD） （∠A+∠ACB+∠BCD） （∠A+180°） （60°+180°） ＝120° ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60° 如图4， ∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2 ∴∠O2BC∠ABC，∠O2CB∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C ∴∠O2BC+∠O2CB （∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠BAC） （180°﹣60°） ＝80° ∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100° ∴∠BO2O1∠BO2C＝50° 故答案为：120°，30°，60°，50°； （2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠A） ＝90°∠A． （3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20° ∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20° ∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25° ∴∠ACB＝2∠BCO2＝50° ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70° 或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β， ∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45° ∴α＝20°，β＝25° ∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°， ∴∠A＝70°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． 15．已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）在图1中，请写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 　6　个； （3）在图2中，若∠D＝30°，∠B＝40°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M、N．利用（1）的结论，试求∠P的度数； （4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系：　2∠P＝∠D+∠B　．（直接写出结论即可） （5）①在图3中，AP平分△OAD的外角∠BAE，CP平分△BCO的外角，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系：　2（180°﹣∠P）＝∠D+∠B　．（直接写出结论即可） ②在图4中，∠DAB的平分线AM所在直线与△BCO的外角∠DCF的平分线相交于点P，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系：　2∠P+∠D+∠B＝180°　（直接写出结论即可）． 【考点】三角形的外角性质；规律型：图形的变化类；三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D，在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C，进而求解； （2）交点有点M、N各有1个，交点O有4个，进而求解； （3）由（1）可知，∠DAP+∠D＝∠PCD+∠P，∠BCP+∠B＝∠PAB+∠P，则∠DAP+∠D+∠BCP+∠B＝∠PCD+∠P+∠PAB+∠P，得到2∠P＝∠D+∠B，进而求解； （4）由（1）可知，∠DAP+∠D＝∠PCD+∠P，∠BCP+∠B＝∠PAB+∠P，则∠DAP+∠D+∠BCP+∠B＝∠PCD+∠P+∠PAB+∠P，进而求解； （5）①在四边形PCDA中，∠P+∠D+∠PCD+∠PAD＝360°，则∠P+∠D＝360°﹣（180°﹣α+β），同理可得：∠P+∠B＝360°﹣（180°+α﹣β），进而求解；②同理可解． 【解答】解：（1）在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D， 在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵∠AOD＝∠BOC（对顶角相等）， ∴180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣∠B﹣∠C， ∴∠A+∠D＝∠B+∠C； （2）交点有点M、N各有1个，交点O有4个， 所以，“8字形”图形共有6个， 故答案为：6； （3）由（1）可知，∠DAP+∠D＝∠PCD+∠P，∠BCP+∠B＝∠PAB+∠P， ∴∠DAP+∠D+∠BCP+∠B＝∠PCD+∠P+∠PAB+∠P， ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠DAP＝∠PAB，∠PCD＝∠PCB， ∴2∠P＝∠D+∠B， ∵∠D＝30°，∠B＝40°， ∴2∠P＝30°+40°＝70°， ∴∠P＝35°； （4）由（1）可知，∠DAP+∠D＝∠PCD+∠P，∠BCP+∠B＝∠PAB+∠P， ∴∠DAP+∠D+∠BCP+∠B＝∠PCD+∠P+∠PAB+∠P， ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠DAP＝∠PAB，∠PCD＝∠PCB， ∴2∠P＝∠D+∠B． 故答案为：2∠P＝∠D+∠B； （5）①如图，由题意得：∠BAD＝180°﹣2α，同理，∠BOD＝180°﹣2β， 在四边形PCDA中，∠P+∠D+∠PCD+∠PAD＝360°， 则∠P+∠D＝360°﹣（180°﹣α+β）， 同理可得：∠P+∠B＝360°﹣（180°+α﹣β）， 整理得：2（180°﹣∠P）＝∠D+∠B； 故答案为：2（180°﹣∠P）＝∠D+∠B； ②同理可得：2∠P+∠D+∠B＝180°， 故答案为：2∠P+∠D+∠B＝180°． 【点评】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义，解题关键是善于运用”8字形”的结论． 16．已知：如图一：△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分外角∠ACD． （1）①若∠A＝70°，则∠O的度数为　35°　； ②若∠A＝130°，则∠O的度数为　65°　； （2）试写出∠O与∠A的关系，并加以证明． （3）解决问题：如图二，BA1平分∠ABC，BA2平分∠A1BC，…依此类推，BA2019平分∠A2018BC；CA1平分∠ACD，CA2平分∠A1CD，…依此类推，CA2019平分∠A2018CD，若∠A＝a，请根据第（2）问中得到的结论直接写出∠A2019的度数为　•a　． 【考点】三角形的外角性质；规律型：图形的变化类；三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）设∠ABO＝∠OBC＝x，∠ACO＝∠OCD＝y，构建方程组，可得∠O∠A． （2）见（1）中证明． （3）利用（2）中结论，探究规律解决问题即可． 【解答】解：（1）设∠ABO＝∠OBC＝x，∠ACO＝∠OCD＝y， ∴2y＝2x+∠A ① y＝x+∠O ② ①﹣2×②可得∠A＝2∠O， ∴∠O∠A， 当∠A＝70°时，∠O＝35°， 当∠A＝130°时，∠O＝65°， 故答案为：35°，65°． （2）由（1）可知：∠O∠A． （3）由（1）的求解过程，易知： ∠A3∠A2∠A1易＝∠A ∠A4∠A3∠A1∠A ∠A5∠A4∠A1∠A …， ∴∠A2019•a． 故答案为•a． 【点评】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，正确的找出规律是解题的关键． 17．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点D，BD与∠ACB的外角平分线相交于点E． ①若∠A＝80°，求∠BDC的度数； ②写出∠A与∠E之间的数量关系，并证明； （2）如图2，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2021BC与∠A2021CD的平分线相交于点A2022，得∠A2022，直接写出∠A2022的度数 　　（用含x的代数式表示）． 【考点】三角形的外角性质；列代数式；规律型：图形的变化类；三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）①利用∠A求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的性质求出∠CBD+∠BCD，即可求解； ②利用三角形的外角性质得出∠A+∠ABC＝∠ACF，∠E+∠CBE＝∠ECF，从而可得∠A＝∠ACF﹣∠ABC，∠E＝∠ECF﹣∠CBE，再利用角平分线的性质，即可证明； （2）先求出∠A1，再求出∠A2，观察规律，即可求解． 【解答】（1）①解：∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠CBD+∠BCD（∠ABC+∠ACB）＝50°， ∴∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝130°； ②证明：∵∠A+∠ABC＝∠ACF，∠E+∠CBE＝∠ECF， ∴∠A＝∠ACF﹣∠ABC，∠E＝∠ECF﹣∠CBE， ∵CE平分∠ACF，BE平分∠ABC， ∴∠ECF∠ACF，∠CBE∠ABC， ∴∠E＝∠ECF﹣∠CBE∠ACF∠ABC（∠ACF﹣∠ABC）， ∴∠E∠A； （2）解：由（1）②可知： ∠A1∠A， ∠A2∠A1∠A， …， ∠A2022∠A， ∵∠A＝x°， ∴∠A2022， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质． 18．在△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）如图1，若点P在线段BC上，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数； （2）若点P在线段BC延长线上，请借助图2和图3，分别探究∠1、∠2与∠α之间的关系，并说明理由． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）根据三角形的外角的性质得出∠DPB＝∠1+∠C，∠EPC＝∠2+∠B，两式相加，即可求解． （2）根据三角形的外角的性质结合图形即可求解． 【解答】解：（1）∵∠DPB＝∠1+∠C，∠EPC＝∠2+∠B， ∴∠DPB+∠EPC＝∠1+∠2+∠C+∠B， ∵∠DPE＝∠α， ∴∠α+180°＝∠1+∠2+（180°﹣∠A），∠A＝60°， 即∠1+∠2＝60°+α＝60°+50°＝110°； （2）如图2，设AC，EP交于点F， ∵∠AFE＝∠1+∠α，∠2＝∠A+∠AFE， ∴∠2＝60°+∠1+∠α； 如图3，设AC，EP交于点F， ∵∠AFE＝∠1﹣∠α，∠2＝∠A+∠AFE， ∴∠2＝60°+∠1﹣∠α． 【点评】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 19．探究题 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是 　∠A+∠B＝∠C+∠D　； （2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P＝　90°（∠A+∠B）　； （3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B＝70°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； （4）如图4，如果∠MCD∠BCD，∠NDE∠ADE，当∠A+∠B＝n°时，则∠M+∠N的度数为 　225°n°　． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明； （2）如图2，设∠PCD＝x，∠EDP＝y，根据外角的性质得：∠P＝y﹣x，∠COD＝2y﹣2x，所以∠COD＝2∠P，最后由三角形内角和定理可得结论； （3）如图3，延长CM、DN交于点P，根据（2）的结论，并将∠A+∠B＝70°，代入可得结论； （4）如图4，同理计算可得结论． 【解答】解：（1）如图1，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°， 在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D； 故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，设∠PCD＝x，∠EDP＝y， ∵CP，DP分别平分∠BCD，∠ADE， ∴∠BCD＝2x，∠ADE＝2y， ∵∠P＝∠PDE﹣∠PCD＝y﹣x， ∠COD＝∠ODE﹣∠BCD＝2y﹣2x， ∴∠COD＝2∠P， ∵∠COD+∠A+∠B＝180°， ∴2∠P+∠A+∠B＝180°， ∴∠P＝90°（∠A+∠B）； 故答案为：90°（∠A+∠B）； （3）如图3，延长CM、DN交于点P， 由（2）知：∠P＝90°（∠A+∠B）， ∵∠A+∠B＝70°， ∴∠P＝55°， ∴∠PMN+∠PNM＝125°， ∴∠CMN+∠DNM＝360°﹣125°＝235°； （4）如图4，延长CM、DN交于点P， 设∠PCD＝x，∠ADP＝2y， 同理得：∠P＝y﹣x， ∠COD＝4y﹣4x， ∴∠COD＝4∠P， ∴4∠P+∠A+∠B＝180°， ∵∠A+∠B＝n°， ∴∠P， ∴∠PMN+∠PNM＝180°135°n°， ∴∠CMN+∠DNM＝360°﹣（135°n°）＝225°n°． 【点评】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 20．问题情景：如图①，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：如图①，∠PBC+∠PCB＝　90　度，若∠A＝50°，则∠ABP+∠ACP＝　40　度； （2）类比探究：请类比（1），探究如图①中∠ABP+∠ACP与∠A的关系； （3）延伸探究：如图②，改变直角三角板PMN的位置，使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，则（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出你的结论，并说明理由． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题； （2）根据题意可得∠PBC+∠PCB＝90°，在△ABC中，利用三角形内角和定理即可证明； （3）在△ABC中，利用三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，再由∠PBC+∠PCB＝90°，两式相减，即可． 【解答】解：（1）根据题意得：∠BPC＝90°， ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°； ∵∠A＝50°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∵∠PBC+∠PCB＝90°， ∴∠ABP+∠ACP＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠PBC+∠PCB）＝40°； 故答案为：90；40； （2）根据题意得：∠BPC＝90°， ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°； ∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°， 即90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°； ∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°； ∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A． （3）不成立．结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．理由如下： 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∠MPN＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， ∴（∠ABC+∠ACB）﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A﹣90°＝90°﹣∠A， ∴∠ABC+∠ACP+∠PCB﹣∠ABP﹣∠ABC﹣∠PCB＝90°﹣∠A， ∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关链是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME． （1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由； （2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β． ①当点G在点F的右侧时，若α＝30°，求β的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据角平分线的性质及等量代换证明∠AEM＝∠FME即可． （2）①根据三角形内角和定理得出∠HEN＝60°，根据角平分线的定义，利用平角的定义求出∠GEB的度数，根据平行线的性质求∠BEG，即可解决问题． ②结论：αβ．根据平行线的性质求∠BEG，利用平角的定义表示∠AEG的度数，根据角平分线的定义表示∠HEN即可解决问题． 【解答】解：（1）结论：AB∥CD． 理由：如图1中， ∵EM平分∠AEF交CD于点M， ∴∠AEM＝∠MEF， ∵∠FEM＝∠FME． ∴∠AEM＝∠FME， ∴AB∥CD． （2）①如图2中， ∵HN⊥EM， ∴∠HNE＝90°， ∵α＝30°， ∴∠EHN＝90°﹣∠HEN＝30°． ∴∠HEN＝60°， ∵EH平分∠FEG， ∴∠HEF＝∠HEG， ∵∠AEM＝∠EMF， ∴， ∴∠AEG＝120°，则∠GEB＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠BEG＝∠EGH＝β＝60°； ②猜想：或 理由：1）当点G在F的右侧时， ∵AB∥CD， ∴∠BEG＝∠EGH＝β， ∴∠AEG＝180°﹣β， ∵∠AEM＝∠EMF，∠HEF＝∠HEG， ∴， ∵HN⊥EM， ∴∠HNE＝90°， ∴． （2）当点G在F的左侧时， ∵AB∥CD， ∴∠BEG＝180°﹣∠EGH＝180°﹣β，∠AEG＝∠EGH＝β， ∵∠AEM＝∠EMF，∠HEF＝∠HEG， ∴∠HEN＝∠MEF﹣∠HEF， ∵HN⊥EM， ∴∠HNE＝90°， ∴． 综上所述，或． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键． 22．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动． （1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小． （2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有 【分析】（1）根据三角形内角和定理，求得∠OAB+∠OBA＝90°，根据AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，求得∠BAE+∠ABE＝45°，最后在△ABE中，求得∠AEB＝135°； （2）延长AD、BC交于点F，先求得∠PAB+∠MBA＝270°，再根据AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，求得∠BAD+∠ABC＝135°，进而得出∠F＝45°，再根据三角形内角和定理得到∠FDC+∠FCD＝135°，即∠CDA+∠DCB＝225°，最后根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，得到∠CDE+∠DCE＝112.5°，进而在△CDE中，根据三角形内角和定理求得∠E＝67.5°． 【解答】解：（1）∠AEB的大小不变． 如图1，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， ∴∠BAE∠OAB，∠ABE∠ABO， ∴∠BAE+∠ABE（∠OAB+∠ABO）＝45°， ∴△ABE中，∠AEB＝180°﹣45°＝135°； （2）∠CED的大小不变． 如图2，延长AD、BC交于点F． ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∴∠PAB+∠MBA＝270°， ∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线， ∴∠BAD∠BAP，∠ABC∠ABM， ∴∠BAD+∠ABC（∠PAB+∠ABM）＝135°， ∴∠F＝45°， ∴∠FDC+∠FCD＝135°， ∴∠CDA+∠DCB＝225°， ∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线， ∴∠CDE+∠DCE＝112.5°， ∴△CDE中，∠E＝180°﹣112.5°＝67.5°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 23．将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C． （1）如图①，若∠A＝40°时，点D在△ABC内，则∠ABC+∠ACB＝　140　度，∠DBC+∠DCB＝　90　度，∠ABD+∠ACD＝　50　度； （2）如图②，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC内，请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论． （3）如图③，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD、∠ACD、∠A三者之间存在的数量关系． 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数； （2）根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A＝180°，则∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A． （3）由（1）（2）的解题思路可得：∠ACD﹣∠ABD＝90°﹣∠A． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°， 在△DBC中，∵∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°； 故答案为：140；90；50． （2）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．证明如下： 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A． 在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝90°． ∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣∠A﹣90°． ∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A． （3）∠ACD﹣∠ABD＝90°﹣∠A． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，实际上证明了三角形的外角和是360°，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 24．如图，已知OM⊥ON，垂足为O，点A、B分别是射线OM、ON上的一点（O点除外）． （1）如图①，射线AC平分∠OAB，是否存在点C，使得BC所在的直线也平分以B为顶点的某一个角α（0°＜α＜180°），若存在，则∠ACB＝　45°或135°　； （2）如图②，P为平面上一点（O点除外），∠APB＝90°，且OA≠AP，分别画∠OAP、∠OBP的平分线AD、BE，交BP、OA于点D、E，试简要说明AD∥BE的理由； （3）在（2）的条件下，随着P点在平面内运动，AD、BE的位置关系是否发生变化？请利用图③画图探究，如果不变，直接回答；如果变化，画出图形并直接写出AD、BE位置关系． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【分析】（1）分两种情况讨论：①先根据垂直的定义可得：∠AOB＝90°，再根据角平分线的定义得：∠ABC+∠BAC（∠ABO+∠BAO）＝45°，由三角形内角和定理可得结论；②根据三角形外角的性质和角平分线的定义，可得结论； （2）证明∠OAD＝∠OEB，可得：AD∥BE； （3）先根据∠AOB＝∠APB＝90°，根据角平分线的定义和对顶角的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）存在， 有两种情况：①当BC平分∠ABO时，如图1， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BAO+∠ABO＝90°， ∵AC平分∠BAO，BC平分∠ABO， ∴∠BAC∠BAO，∠ABC∠ABO， ∴∠BAC+∠ABC（∠BAO+∠ABO）＝45°， ∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°； ②如图，当CB平分∠ABN时， ∵∠ABN＝90°+∠BAO， ∵AC平分∠BAO， ∴2∠ABE＝90°+2∠CAB， ∴∠ABE＝45°+∠CAB， ∴∠ACB＝∠ABE﹣∠CAB＝45°， 综上，∠ACB的度数为45°或135°； 故答案为：45°或135°； （2）如图②，∵∠AOB＝∠P＝90°， ∴∠OAP+∠OBP＝180°， ∴∠OAP∠OBP＝90°， ∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP， ∴∠OAD∠OAP＝90°∠OBE∠OBP， ∵∠OBE+∠OEB＝90°， ∴∠OEB＝90°﹣∠OBE＝90°∠OBP， ∴∠OAD＝∠OEB， ∴AD∥BE； （3）∵∠AOB＝∠APB＝90°， 当P在AB的上方时，如图②，有AD∥BE， 当P在AB的下方时，如图3，有AD⊥BE， 理由是：∵∠OAP+∠OBP＝180°， ∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP， ∴∠OAB∠OAP，∠DBE＝∠OBE∠OBP， ∴∠PAD+∠DBE＝90°， ∵∠OEB+∠OBE＝90°， ∴∠OAB＝∠OEB， ∴AD∥BE； 设OA，PB交于H， ∵∠P＝∠AOB＝90°， ∠AHP＝∠BHO， ∴∠PAO＝∠OBP， ∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP， ∴∠OAD∠OAP，∠DBE＝∠OBE∠OBP， ∴∠PAD＝∠EBD， ∵∠ADP＝∠BDG， ∴∠G＝∠P＝90°， ∴AD⊥BE． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定、四点共圆的判定和性质、角平分线、三角形的内角和定理及圆的性质，熟练掌握角平分线的定义是关键． 25．探究题． （1）若△ABC中，∠A＝60° ①如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，则∠BOC＝　120°　． ②如图2，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，则∠BO1C＝　100°　． （2）若△ABC中，∠A＝x° ①如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，则用x表示∠BOC＝　（）　度． ②如图2，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，则用x表示∠BO1C＝　（）　度． ③如图3，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、……、On﹣1，则用x表示∠BO1C＝　（）　度．（结果不需化简） （3）如图，四边形ABCD中，为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角： ①如图4，若设∠A＝140°，∠D＝100°，则∠F＝　30°　． ②如图5，若设∠A＝60°，∠D＝50°，请在图中画出∠F，则∠F＝　35°　． ③若设∠A＝x°，∠D＝y°，一定存在∠F吗？如有，求出∠F的值（用x、y表示），如不一定，指出x、y满足什么条件时，不存在∠F，并说明理由． 【考点】多边形内角与外角；规律型：图形的变化类；三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有 【分析】（1）①由∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O得2∠OBC＝∠ABC，2∠OCB＝∠ACB，由三角形内角和定理得∠A+2∠OBC+2∠OCB＝180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，即可求得∠BOC的值； ②由∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2得，，由三角形内角和定理得，∠BO1C+∠O1BC+∠O1CB＝180°，即可求得∠BO1C的值； （2）①由（1）①求解步骤可得结论； ②由（1）②求解步骤可得结论； ③观察①②，即可得规律：若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On﹣1，则 （3）①先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB＝360°﹣（∠A+∠D），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝180°﹣2∠F，从而得出结论； ②仿照①的步骤求解即可； ③x，y满足x+y＝180°时，∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线平行，可知不存在∠F． 【解答】解：（1）①∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O， ∴2∠OBC＝∠ABC，2∠OCB＝∠ACB，， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠A+2∠OBC+2∠OCB＝180°， ∴， ∵， ∵∠A＝60°， ∴； ②∵∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2， ∴，， ∴， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴， ∴， ∵， ∵∠A＝60°，． 故答案为：120°；100°； （2）①由（1）①得， ∵∠A＝x°， ∴ ②由（1）②得， ∵∠A＝x°， ∴； ③由①②可得，，， ∴若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、……、On﹣1， 则用x表示． 故答案为：； （3）①∵∠ABC+∠DCB＝360°﹣（∠A+∠D）， ∴∠ABC+（180°﹣∠DCE） ＝360°﹣（∠A+∠D） ＝2∠FBC+（180°﹣2∠ECF） ＝180°﹣2（∠ECF﹣∠FBC） ＝180°﹣2∠F， ∴360°﹣（∠A+∠D） ＝180°﹣2∠F， ∴2∠F＝∠A+∠D﹣180°， ∴． ∵∠A＝140°，∠D＝100°， ∴， 故答案为：30°； ②如图， ∵∠ABC+∠DCB＝360°﹣（∠A+∠D）， ∴∠ABC+（180°﹣∠DCE） ＝360°﹣（∠A+∠D） ＝2∠GBC+（180°﹣2∠HCE） ＝180°+2（∠GBC﹣∠HCE） ＝180°+2∠F， ∴360°﹣（∠A+∠D）＝180°+2∠F， ∴； ∵∠A＝60°，∠D＝50°， ∴． 故答案为：35°； ③当x+y＝180°时，不存在∠F， 如图，∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线分别是BG和CF． ∵x+y＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠ABC＝∠DCE． ∵∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线分别是BG和CF， ∴∠GBC＝∠FCE， ∴∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线平行， ∴∠F不存在， ∴当x+y＝180°时，不存在∠F． 【点评】本题考查了三角形内角与外角和角平分线的定义，多边形内角与外角和角平分线的定义，以及平行线的判定与性质，数形结合是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/8 21:33:21；用户：康桥；邮箱：cskangqiao@xyh.com；学号：53550274 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$