第01讲 平行线的性质和判定 讲义-2023-2024学年七年级数学下册期末专题复习《精讲·精练·精测》苏科版

苏科版数学七下期末专题复习 《精讲·精练·精测》 第01讲 平行线的性质和判定 一、知识精讲 考点1：平行线的相关概念 1. 平行线：在同一平面内不相交的两条直线叫平行线. 易错提醒 “在同一平面内”这一条件不能去掉，在判断命题真假时，容易忽略！ 2. 三线八角：同位角、内错角、同旁内角（教材中没有给出明确定义，能从图中正确识别即可） 角的名称 图形 举例 同旁内角 学生易错提醒：同位角、内错角、同旁内角的识别与两条直线是否平行没有关系！ 考点2：平行线性质 性质 图形 数学语言(举例) 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 考点3：平行线的判定方法 判定方法 图形 数学语言(举例) 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 二、方法精讲 问题1：如何快速正确识别三线八角中的截线和被截直线？ 方法点拨：识别三线八角时，有很多时候还需要识别这些角是哪两条直线被哪一条线所截形成的，很多学生容易混淆，尤其是图形比较复杂时，特别易错，我们可以将构成这两个角的边用笔描出来，其中有一条边是公共的，这条公共的线就是截线，另两条直线就是被截直线。如下图： 问题2：平行线的判定还有其它方法吗？ 方法点拨： 判定两条直线平行时也可以用以下两种方法 方法1：平行于同一直线的两直线互相平行． 方法2：垂直于同一直线的两直线互相平行． 问题3：平行线的判定方法这么多，我该如何选择？ 方法点拨： 在判定平行线的问题中通常优先选择同位角和内错角，因为说明角的相等往往比说明互补相对容易；如果没有同位角和内错角，或者有但是不方便说明其相等，再考虑使用同旁内角。 如果出现平行或垂直这一条件，再考虑平行（垂直）于同一直线的两直线互相平行； 三、题型精讲与精练 题型1：三线八角的识别 例1.（1）．（同位角的识别）下列图形中，与是同位角的是（　　） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角的定义，解题时注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．根据同位角的特征，“F”型判断即可． 【详解】解：A、∵与不在两被截线之间， ∴与不是同位角，故A不符合题意； B、∵与无共同的截线， ∴与不是同位角，故B不符合题意； C、∵与符合同位角定义， ∴与是同位角，故C符合题意； D、∵与无共同的截线， ∴与不是同位角，故D不符合题意； 故选：C． 【考点精练】 1．如图中，是同位角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据同位角是形如字母“F”，倒置，旋转或反置，去判断即可．同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 本题考查了同位角，内错角，同旁内角，区分它们的特征是解题的关键． 【详解】解：A．不是“F”型，是内错角，故此选项不符合题意； B．是“F”型，是同位角，故此选项符合题意； C．不是“F”型，是同旁内角，故此选项不符合题意； D．不是“F”型，不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，和不是同位角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角的定义，正确掌握同位角定义是解题关键．同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．根据“三线八角”中同位角的意义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项不符合题意； B、和是同位角，故此选项不符合题意； C、和是同位角，故此选项不符合题意； D、和不是同位角，故此选项符合题意； 故选：D． 3．如图，的同位角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同位角，位于截线的同侧，且都在被截线的同一方，这样的一对角是同位角；根据同位角的概念结合图形判断即可． 【详解】解：由图知，与位于截线的同侧，且都在被截线的同一方，这两个角是同位角； 故选：B． 4．下列图形中，与是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角的定义，解题时注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 【详解】解：根据同位角的定义，可得D选项中，与在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角， 而A选项中，与是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角， B选项中，与是两条直线被第三条直线所截形成的内错角， C选项中，与是对顶角． 故选：D． 例1.（2）．（内错角的识别）下列四个图形中，与互为内错角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内错角，熟练掌握内错角的定义是解题的关键．根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角逐一判断即可． 【详解】解：A．与不是内错角，不符合题意，选项错误； B．与不是内错角，不符合题意，选项错误； C．与是内错角，符合题意，选项正确； D．与不是内错角，不符合题意，选项错误， 故选：C． 【考点精练】 1．如图，的内错角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断． 【详解】解：的内错角是． 故选：B． 2．如图，直线a，b被c所截，则与是（    ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 【答案】B 【分析】由内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角）进行解答． 【详解】解：如图所示， 两条直线a、b被直线c所截形成的角中，与都在a、b直线的之间，并且在直线c的两旁，所以与是内错角． 故选：B． 3．如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内错角的定义判断即可． 【详解】解：的内错角是． 故选：B． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形是解题的关键． 4．如图直线，被所截，图中标注的角为内错角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据内错角的概念解答即可． 【详解】解： 直线，被所截， 内错角应在被截线，之间，在截线两侧， 与互为内错角，与互为内错角． 故选：D． 例1.（3）．（内错角的识别）对于题目：“如图，写出与是同旁内角的所有角” 甲的答案： 乙的答案： 则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙合在一起才正确 D．甲、乙合在一起也不正确 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的定义，根据“两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角”即可得到答案． 【详解】解：的同旁内角有，，， 甲、乙合在一起也不正确， 故选：D． 【考点精练】 1．如图，和的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】C 【分析】本题考查三线八角，根据内错角的特点：“”型，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：和的位置关系是内错角； 故选C． 2．如图，直线b、c被直线a所截，则与是（    ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．根据同旁内角的定义求解． 【详解】解：如图，直线b、c被直线a所截，则与是同旁内角， 故选：C． 3．如图，直线分别被直线和所截，的同位角、的同旁内角和的内错角的个数分别是（    ） A．2个，2个，2个 B．2个，2个，1个 C．3个，2个，2个 D．3个，2个，1个 【答案】C 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“”形，内错角的边构成“”形，同旁内角的边构成“”形．根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行分析即可． 【详解】解：的同位角是，，，共3个， 的同旁内角是，，共2个， 的内错角是，，共2个， 故选：C 4．如图，下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是内错角 【答案】C 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形进行判断即可． 【详解】解：A、与是同位角，原说法正确，故本选项不符合题意； B、与是同旁内角，原说法正确，故本选项不符合题意； C、与不是内错角，原说法错误，故本选项符合题意； D、与是内错角，原说法正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 题型2：由角的关系判定平行线 例2．如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 根据平行线的判定定理，对各项逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不符合题意； B、，根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不符合题意； C、，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，此选项不符合题意； D、，可判定，无法判定，故此选项符合题意； 故选：D． 【考点精练】 1．如图，直线a与两直线，相交，下列条件不能使直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：A. ，根据同位角相等，两直线平行可以使直线，不符合题意； B. ，根据内错角相等，两直线平行可以使直线，不符合题意； C. ，根据同旁内角互补，两直线平行可以使直线，不符合题意； D. ，邻补角互补，不能使直线，符合题意； 故选：D． 2．老师在黑板上画出如图所示的图形，要求添加一个条件使得，以下四位同学的答案不正确的是（    ） A．小亮： B．小唯： C．小欣： D．小敏： 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用． 利用平行线的判定条件进行分析即可． 【详解】解：A、当时，由同位角相等，两直线平行得，故A不符合题意； B、∵，     ∴， ∴，故B不符合题意； C、与属于是同位角，当    时，不能说明，故C符合题意； D、当时，由内错角相等，两直线平行得，故D不符合题意． 故选：C． 3．如图，点E在的延长线上，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定．根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意； B、，根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意； C、，根据内错角相等，两直线平行可判定，无法判定，故此选项符合题意； D、根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故此选项不合题意； 故选：C． 4．如图，下列能判定的条件有（　　）个 （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据各个小题中的条件和平行线的判定方法，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：（1）利用同旁内角互补，判定两直线平行，故（1）正确； （2）利用内错角相等，判定两直线平行，∵，∴，而不能判定，故（2）错误； （3）利用内错角相等，判定两直线平行，故（3）正确； （4）利用同位角相等，判定两直线平行，故（4）正确． 故选：C． 题型3：由平行关系确定角的度数 例3．如图，直线分别交于点B，D，连接，若平分，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握对顶角相等，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，由，可证，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【考点精练】 1．如图，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角．熟练掌握平行线的判定与性质，邻补角是解题的关键． 如图，由，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，，，则、、的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点的平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 作，，根据平行线的性质即可得到、、的关系，整理后即可得解． 【详解】解：如图，作，， ， ， ，，， ，， ， ， 即． 故选：． 3．如图，直线分别与直线相交于点，已知平分交直线于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义以及邻补角等知识，能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质推出，利用补角的定义即可得出答案． 【详解】解：如下图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，作，，则，，由，可得，，由，，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 题型4：添加条件使两条线平行问题 例4．张老师在黑板上画出如图所示的图形，要求添加一个条件使得以下四位同学的答案不正确的是 （    ） A．小鹿： B．小唯： C．小欣： D．小敏： 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行，可以判定，不符合题意； B、∵，， ∴， ∴；不符合题意； C、，无法得到；符合题意； D、，根据内错角相等，两直线平行，可以判定，不符合题意； 故选C． 【考点精练】 1．如图，已知，要使，则可添加（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、，，， ，故该选项正确，符合题意； B、，，故该选项不符合题意； C、不能得到两直线平行，故该选项不符合题意； D、，，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：． 则不能得到的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，得两直线平行；内错角相等，得两直线平行；同旁内角互补，得两直线平行；据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：甲、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，故不符题意； 乙、当时，由内错角相等，两直线平行得，故不符合题意； 丙、当时，由同位角相等，两直线平行得，故不符合题意； 丁、当时，由内错角相等，两直线平行得，故符合题意． 故选：D． 3．如图，添加下列一个条件后，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握判断定理是解题的关键，逐一验证即可． 【详解】A. ，则，不符合题意；     B. ，无法判定，不符合题意； C. ，无法判定，不符合题意； D. ，则，符合题意； 故选D． 4．如图，平分，要使，需添加的条件可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质可得，，当添加条件时，根据平行线的判定方法即可求解． 【详解】解：、添加条件，不能判定，不符合题意； 、添加条件，不能判定，不符合题意； 、添加条件，不能判定，不符合题意； 、添加条件可得，，根据内错角相等，两直线平行，可得到，符合题意； 故选：． 题型5：三角板与平行线问题 例5．如图，将两个含角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角边，根据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，图中的两个的角是一对内错角，而内错角相等，两直线平行，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故选：C 【考点精练】 1．下列各图是由含或的直角三角板组合而成，其中能画出的是（    ） A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（2） D．（2）（4） 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定条件：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是解题关键．结合三角板的特点，根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：图（1），，，符合题意； 图（2），，，符合题意； 图（3），，，与不能平行，不符合题意； 图（4），，，符合题意； 即能画出的是（1）（2）（4）， 故选：B 2．把一副三角板按如图的方式放在桌面上，能够判定的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定．根据内错角相等，两直线平行，作答即可． 【详解】解：由图可知：， ∴（内错角相等，两直线平行）； 故选：B． 3．数学活动中老师要求同学们利用三角板作已知直线的平行线，如图是甲同学和乙同学作图的过程，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定定理，根据平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图， ， （内错角相等，两直线平行）； ， （同位角相等，两直线平行）； 故甲、乙都正确， 故选：A． 4．将一块直角三角板按如图所示放置，其中， A，B两点分别落在直线 m，n上，，要得到，添加的条件可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】 解：由平行线的判定可知，当时，， ，， ， 故选：D． 题型6： 以实际生活为背景的平行问题 例6．如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁，使．若，则应为（    ）度． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，直接根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵ ，， ∴； 故选A． 【考点精练】 1．传统文化如同一颗璀璨的明珠，熠熠生辉．为增强学生体质，同时让学生感受中国传统文化，某校将国家非物质文 化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学 “抖空竹”时的一个瞬间，小红同学把它抽象成数学问题： 如图②，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质求角度的方法是解题的关键． 如图，作，可得，所以，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，   故选：C ． 2．图1是我国80年代的28大杠老款自行车，图2是它的平面示意图，其中，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先由两直线平行，内错角相等得到，则，再由两直线平行，同旁内角互补即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．某品牌椅子的侧面图如图所示，与地面平行．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求角度，涉及平行线的性质、三角形内角和定理等知识，由，利用两直线平行内错角相等得到，求解，再进一步求解即可得到答案，熟记平行线性质及三角形内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ，， ， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当，时，台灯光线最佳，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，过点E作，则，根据平行线的判定和性质可得结论. 【详解】解：过点E作，如图， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 故选：C 题型7： 根据平行求角度问题 例7．如图，，与，分别相交于点M，N，平分，与相交于点H．若，求的度数． 【答案】110度 【分析】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【考点精练】 1．综合与实践 如图，直线，直线与直线，分别交于点，，是射线上的一个动点（不包括端点），，连接，将沿折叠，使顶点落在点处． (1)求的度数； (2)当点恰好落在上时，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，注意分类讨论是解题的关键。 （1）利用平行线的性质，即可解答； （2）利用平行线的性质和折叠的性质，即可解答； （3）分两种情况讨论，点落在上，当点在下方时，利用平行线的性质，进行角度的转换，即可解答。 【详解】（1）解：， ． ， ． （2）解：如图1，点落在上，所以． ， ， ． ， ． （3）图1解：设． ①当点在平行线，之间时（如图2）． ， ， 由折叠可知， ， 解得， ； ②当点在下方时（如图3）． ， ． 由折叠可知， ， 解得， ． 综上所述，符合题意的的度数为或． 2．如图，已知，点C在上，点A、B在上．在中，，，点E、F在直线上，在中，，． (1)图中的度数是 　　°； (2)将沿直线平移，当点D在上时，求的度数； (3)将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 【答案】(1)45 (2)15° (3)或或或 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出答案； （2）根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出，再次利用三角形内角和定理可求出答案； （3）结合题意，画出图形：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，分两种情况进行讨论，画出图形，分别进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45； （2）解：如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：或或或， 理由如下： 分两种情况，Ⅰ．当向上平移时， ①如图所示1：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵， ∴； ②如图2所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵ ∴， ∵， ∴； ③如图3所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时 ∵，， ∴， ∵， ∴； Ⅱ．当向下平移时，如图4所示： ④当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵， ∴， ∴； 综上可知：将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时的度数为或或或． 3．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，与交于点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠的问题，三角形的内角和．熟练掌握折痕为角平分线，对应角相等，是解题的关键．根据折叠的性质，得到，，三角形内角和求出，平行线的性质，得到，即可得解． 【详解】解：∵将长方形纸片沿直线折叠， ∴，， ， ∴， ∴ 4．如图，、分别交于点M、N．，．   (1)吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等， （1）根据对顶角和已知条件得到，则可证明，由平行线的性质推出，即可求证； （2）根据角之间的关系求得，利用平行线的性质求得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 题型8： 根据角度关系判定平行问题 例8．如图，，E是上一点，交于点F，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定定理，熟练掌握各定理是解题的关键： （1）由推出，得到，进而推出； （2）根据角平分线的性质得到，及，求出，再利用平行线的性质求出的度数． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ （2）∵平分，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 【考点精练】 1．如图，已知F，E分别是射线上的点．连接，其中平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练运用相关性质是解题的关键． （1）通过，可得，利用角平分线的定义可得，从而利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）根据已知可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角平分线的定义可得，再利用平角定义可得，最后进行计算可求出，从而求出的度数，即可解答． 【详解】（1）解：如图，， 平分， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 的度数为． 2．在中，是的中点，是上一点，连接并延长使． (1)证明：； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解题关键． （1）证明，由全等三角形的性质可得，然后证明结论即可； （2）证明为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵是的中点，，， ∴，， ∴在中，． 3．如图，已知，，试说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，则问题得解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．已知：如图，于M，于N，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质 （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型9：根据证明过程填写推理依据 例9．如图，，，，，将下列推理过程补充完整： (1)（已知） （ ） (2)（已知） （内错角相等，两直线平行） (3)（已知） ，（ ） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行得出结论； （2）根据内错角相等，两直线平行得出结论； （3）根据同旁内角互补，两直线平行得出结论． 【详解】（1）解：（已知） ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）， ∴（内错角相等，两直线平行）． （3）（已知） ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． 【考点精练】 1．如图，已知直线、被直线所截，平分，求的度数． 将该题解题过程补充完整： 解：（    ） ____________ 平分（已知） ____________ （已知） （      ） （      ） ______ 【答案】平角的定义；∠2；；；50；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；130 【分析】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的定义以及邻补角，根据平行线的判定及性质求角的过程，一步步把求解的过程补充完整即可． 【详解】解：（ 平角的定义） ， 平分（已知） ， （已知） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：平角的定义；∠2；；；50；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；130 2．如图，．将下列推理过程补充完整： (1)因为（已知）， 所以_____ （_______________）． (2)因为（已知）， 所以____________（内错角相等，两直线平行）． (3)因为（已知）， 所以__________（_________________）． 【答案】(1)；同位角相等，两直线平行 (2)； (3)；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定方法．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． （1）根据同位角相等两直线平行作答； （2）根据内错角相等两直线平行作答； （3）根据同旁内角互补两直线平行作答． 【详解】（1）证明：因为（已知）， 所以（同位角相等，两直线平行）； （2）证明：因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）； （3）证明：因为（已知）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 3．请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分，平分，且．求证：． 证明：平分， （___________） 平分（已知）， ___________（___________）． （___________）． 即． （已知）， ___________（___________）． ___________（___________）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及角平分线的定义，由角平分线的定义可得出，结合已知条件即可得出，从而可证明． 【详解】证明：平分（已知）， （角平分线的定义）． 平分（已知）， （角的平分线的定义）． （等式性质）． 即． （已知）， （等量代换）． （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义，，角平分线的定义，等式性质，，等量代换，，同旁内角互补，两直线平行． 4．请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：已知：如图，，则与平行吗？ 解：∵（已知）， 又∵（     ）， ∴ （等量代换）． ∴（     ）， ∴（     ）． ∵（已知）， ∴ （等量代换）， ∴（     ）． 【答案】对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据对顶角相等，平行线的性质与判定，完成证明过程即可． 【详解】解：∵（已知）， 又∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行） 题型10：探索角的数量关系问题 例10．如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)如图①，当点在线段左侧时，求：、、之间的数量关系． (2)如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为 ． (3)若、的平分线交于点，且，则 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等，同旁内角互补；作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键． （1）点作直线，根据平行线性质及角度加减即可得到； （2）点作直线，根据平行线性质及角度加减即可得到； （3）在（1）（2）的基础上作出图形，根据邻补角得、的和，结合角平分线得到两半角之和，根据（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作直线，如图， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：， 理由如下：过点作直线，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：①当点在线左侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； ②当点在线右侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 【考点精练】 1．已知中，，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，求的度数； (2)过点作与边、分别交于点、点（如图，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）是的平分线，是的平分线，可得，，然后由三角形外角的性质求得； （2）由是的平分线，是的平分线与，易证得与是等腰三角形，继而得到线段、、之间的数量关系． 【详解】（1）是的平分线，是的平分线， ，， ； （2）． 理由：是的平分线，是的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 2．如图1，，E，F分别是上的点，点G在之间，连接．用等式表示与的数量关系． 小刚通过观察，实验，提出猜想：． 接着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是： 如图1，过点G作，由，可得，根据平行线的性质，可得，从而证得． 请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题： 已知，E，F分别是上的点，点G在之间，连接． (1)如图2，若，求的度数． (2)如图3，与的平分线交于点Q，用等式表示和的数量关系，并说明理由． (3)如图4，与的平分线交于点Q，直接用等式表示和的数量关系．（四边形内角和为） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）如图，过点G作，易得，再证明，求解 ，从而可得答案； （2）由（1）同理可得：，再证明，从而可得答案； （3）由（1）同理可得： 再证明 从而可得结论． 【详解】（1）解：如图，过点G作， ，， ， ， ． ，， ； （2）解：由（1）同理可得： 与的平分线交于点， ； （3）解：由（1）同理可得： 与的平分线交于点， ． 3．（本题满分10分）综合与实践课上，同学们以“ 一个含 角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线a，b，且，三角形是直角三角形，，，． 操作发现： （1）如图1，若，求 的度数； （2）如图 2，创新小组的同学把直线a 向上平移，并把 的位置改变，发现，请说明理由． 实践探究： （3）缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图 2 中的图形继续变化得到图 3 ， 平分，此时发现与又存在新的数量关系．请写出 与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）见分析；（3），理由见分析． 【分析】本题考查的是角平分线定义、平行线的性质与判定，解题的关键是掌握平行线的性质定理． （1）根据、及的和为可求出，根据平行线的性质解答； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论； （3）过点作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可． 【详解】（1）解：如答图1， ，， ， ， ； （2）解：理由如下： 如答图2，过点B作， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如答图3，过点C作， ， 平分，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 4．【感知】（1）如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求．按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案） 【探究】（2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； 【迁移】（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，在备用图中画出图形，直接写出结论 ①点在线段上； ②点在射线上． 【拓展】（4）我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题，随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．试构造平行线解决以下问题．已知：如图3，三角形，说明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）①；②；（4）见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用、 （1）根据两直线平行，同旁内角互补求出，即可得到答案； （2）利用两直线平行内错角相等得到，，由即可得到结论； （3）①过点P作，则．得到．由即可得到结论． ②过点P作，．则．由即可得到． （4）作平行线，构建平角，可得结论． 【详解】（1）解：过点P作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 故答案为： （2），理由如下： 如图1，过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）①如图2，，理由如下： 过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ②如图3，，理由如下： 过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （4）证明：如图，过点作 ，， ， ． 四、检测 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，与是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】C 【分析】本题考查内错角的概念，根据内错角的概念进行判断即可． 【详解】解：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角， 则∠1与∠2符合内错角的定义，它们是内错角， 故选：C． 2．关于下图中各角的说法不正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是对顶角 D．与是邻补角 【答案】B 【分析】本题考查同位角、内错角、对顶角和邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握三线八角的定义及其区分．根据同位角、内错角、对顶角的定义判断即可求解． 【详解】解：A、与是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意； B、与不是内错角，原说法错误，故此选项符合题意； C、与是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意； D、与是邻补角，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．如图，下列条件中能判断直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可求解， 本题考查了平行线的判定方法，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 【详解】解：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故选：D． 4．如图1，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（    ） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】利用基本作图，平行线的判定定理，等腰三角形的性质；利用同位角相等，两直线平行可判断甲学作法正确；利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作法正确． 【详解】解：利用平行线的判定方法可判断甲同学的作图正确． 根据作图可得，则 利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作图正确； ∵ ∴， ∵是角平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴ 故选：C． 5．过直线外一点作已知直线的平行线的操作方法如图所示，其依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：依据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行． 故选：B． 6．如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定定理．根据平行线的判定定理即可直接作出判断． 【详解】解：A、根据内错角相等，两直线平行即可证得，符合题意； B、根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证，不符合题意； C、根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证，不符合题意； D、根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得，不能证，不符合题意． 故选：A． 7．一把直尺和一个含角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两条直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两条直角边分别交于D，E两点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，根据角的和差关系求出的度数，由平行线的性质，得到，即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故选D． 8．如图，在五边形中，，，，是五边形的外角，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键． 根据两直线平行，同旁内角互补得到以点、点为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：延长，， ， ， 根据多边形的外角和定理可得， ． 故选：A． 9．一副三角尺按如图所示的位置摆放()，其中点D在边上，点E在边上，若，则的度数为（    ） A．75° B．60° C．45° D．30° 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内外角关系、平行线的性质以及平角的定义，寻找角与角之间的关系是解决本题的关键． 根据平行线得到，即可得到，然后利用三角形的外角得到即可得到答案． 【详解】， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选A. 10．如图，已知直线被直线所截，交点为M，N．，．对的说理过程中的理由表述错误的是（    ） A．☆代表已知 B．○代表对顶角相等 C．□代表等量代换 D．△代表两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【分析】根据对顶角以及平行线的判定即可得出结论．本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对平行线的判定条件与性质的掌握与运用． 【详解】解：（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， 故选：D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．在同一平面内，有三条直线a，b，c，下列说法：①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；②若，，则；③若，，则．其中正确命题是 ．（填序号） 【答案】② 【分析】此题主要考查了平行公理和推论，关键是掌握同一平面内两条直线的位置关系．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可． 【详解】解：在同一平面内，有三条直线a，b，c， ①若a与b相交，b与c相交，则a与c不一定相交，故原命题不正确； ②若，，则，故原命题正确； ③若，，则，故原命题不正确． 故答案为：②． 12．如图，要使，只需添加一个条件，这个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行即可得到结论． 【详解】解：需要添加的条件是， ∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条需顺时针旋转的最小度数是 ． 【答案】40 【分析】本题考查了平行线的判定方法，设顺时针旋转的最小度数为x，根据平行线的判定求解即可． 【详解】解：设顺时针旋转的最小度数为x， ，， 要使木条a与b平行，只需， 则， 故答案为：40． 14．如图，已知，，，则的值为 ．    【答案】/30度 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，根据角的和差求解即可得． 【详解】解：如图，过点作，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．有一条长方形纸带，按如图方式折叠，图中的，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，由折叠的性质求出的度数，由长方形纸带的对边平行求出的度数即可．掌握平行线的性质，折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，， 由折叠的性质可得， ∵长方形纸带的对边平行， ∴， ∴。 故答案为：． 16．如图，点E，F为长方形边上两点，为锐角，将长方形沿翻折，点A，B分别落在，处，交边于点G，若图中所有钝角中最大的度数为，则的度数为 °． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠性质，平行线的性质求角度，三角形外角性质，邻补角的相关计算，延长至，根据矩形性质可得，，由折叠可知，从而得到，根据题意分两种情况，以及，根据平行线性质，邻补角以及三角形外交性质进行求解即可． 【详解】解：如图，延长至， 四边形为长方形， ，， 由折叠可知：， ， 即， 由图可知，图中的钝角一共有3个为， 当时， ， 当时， ， ， ， ， ， ，即， ， 故答案为：或． 解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 17．如图，直线分别与直线相交于点A，C，平分，交于点D，若，且． (1)直线平行吗？为什么？ (2)求的度数． 【答案】(1)直线平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，对顶角相等和角平分线定义： （1）利用对顶角相等可得，进而得出，再根据同位角相等，两直线平行可得； （2）利用平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得的度数，然后根据补角的定义可得的度数，进而得出的度数． 【详解】（1）解：直线平行，理由如下： 如图： ∵（对顶角相等），（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴． 18．如图，直线交于点O，分别平分和，已知．    (1)试说明的理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定，与角平分线有关的计算： （1）由角平分线定义可得，则可求得，从而可求得，即可判定； （2）由（1）可知，再根据对顶角性质求解即可． 【详解】（1）∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 19．如图1，中，，为的外角的平分线． (1)若，求证：； (2)如图2，若的平分线交的延长线于点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、角平分线的定义、平行线的判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形外角的定义及性质得出，由角平分线的定义得出，即可得证； （2）由角平分线的定义得出，设，则，结合三角形外角的定义及性质计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴．                  ∵为的外角的平分线， ∴．     ∴． ∴． （2）解：∵的平分线交的延长线于点， ∴．   设，则． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 20．如图，已知，，平分． (1)求证：； (2)若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒． ①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，若，请直接写出t的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②60或 【分析】（1）易得，根据角平分线的定义得出，即可求证； （2）①根据题意得出，，，根据三角形的内角和定理得出，即可得出结论； ②根据题意进行分类讨论：当时，由①可得：，，则，根据，列出方程求解即可；当时，，，推出，根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∵射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴； ②当时， 由①可得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上：t的值为60或． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科版数学七下期末专题复习 《精讲·精练·精测》 第01讲 平行线的性质和判定 一、知识精讲 考点1：平行线的相关概念 1. 平行线：在同一平面内不相交的两条直线叫平行线. 易错提醒 “在同一平面内”这一条件不能去掉，在判断命题真假时，容易忽略！ 2. 三线八角：同位角、内错角、同旁内角（教材中没有给出明确定义，能从图中正确识别即可） 角的名称 图形 举例 同旁内角 学生易错提醒：同位角、内错角、同旁内角的识别与两条直线是否平行没有关系！ 考点2：平行线性质 性质 图形 数学语言(举例) 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 考点3：平行线的判定方法 判定方法 图形 数学语言(举例) 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 二、方法精讲 问题1：如何快速正确识别三线八角中的截线和被截直线？ 方法点拨：识别三线八角时，有很多时候还需要识别这些角是哪两条直线被哪一条线所截形成的，很多学生容易混淆，尤其是图形比较复杂时，特别易错，我们可以将构成这两个角的边用笔描出来，其中有一条边是公共的，这条公共的线就是截线，另两条直线就是被截直线。如下图： 问题2：平行线的判定还有其它方法吗？ 方法点拨： 判定两条直线平行时也可以用以下两种方法 方法1：平行于同一直线的两直线互相平行． 方法2：垂直于同一直线的两直线互相平行． 问题3：平行线的判定方法这么多，我该如何选择？ 方法点拨： 在判定平行线的问题中通常优先选择同位角和内错角，因为说明角的相等往往比说明互补相对容易；如果没有同位角和内错角，或者有但是不方便说明其相等，再考虑使用同旁内角。 如果出现平行或垂直这一条件，再考虑平行（垂直）于同一直线的两直线互相平行； 三、 题型精讲与精练 题型1：三线八角的识别 例1.（1）．（同位角的识别）下列图形中，与是同位角的是（　　） A．  B．  C．   D．   【考点精练】 1．如图中，是同位角的是（    ） A．B．C． D． 2．如图，和不是同位角的是（   ） A．B． C． D． 3．如图，的同位角是（    ） A． B． C． D． 4．下列图形中，与是同位角的是（　　） A． B． C． D． 例1.（2）．（内错角的识别）下列四个图形中，与互为内错角的是（    ） A．B．C． D． 【考点精练】 1．如图，的内错角是（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线a，b被c所截，则与是（    ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 第2题 第3题 第4题 3．如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 4．如图直线，被所截，图中标注的角为内错角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 例1.（3）．（内错角的识别）对于题目：“如图，写出与是同旁内角的所有角” 甲的答案： 乙的答案： 则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙合在一起才正确 D．甲、乙合在一起也不正确 【考点精练】 1．如图，和的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 第1题 第2题 2．如图，直线b、c被直线a所截，则与是（    ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 3．如图，直线分别被直线和所截，的同位角、的同旁内角和的内错角的个数分别是（    ） A．2个，2个，2个 B．2个，2个，1个 C．3个，2个，2个 D．3个，2个，1个 第3题 第4题 4．如图，下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是内错角 题型2：由角的关系判定平行线 例2．如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【考点精练】 1．如图，直线a与两直线，相交，下列条件不能使直线的是（    ） A． B． C． D． 第1题 第2题 2．老师在黑板上画出如图所示的图形，要求添加一个条件使得，以下四位同学的答案不正确的是（    ） A．小亮： B．小唯： C．小欣： D．小敏： 3．如图，点E在的延长线上，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 第3题 第4题 4．如图，下列能判定的条件有（　　）个 （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 题型3：由平行关系确定角的度数 例3．如图，直线分别交于点B，D，连接，若平分，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点精练】 1．如图，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 第1题 第2题 2．如图，，，则、、的关系为（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线分别与直线相交于点，已知平分交直线于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 第3题 第4题 4．如图，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型4：添加条件使两条线平行问题 例4．张老师在黑板上画出如图所示的图形，要求添加一个条件使得以下四位同学的答案不正确的是 （    ） A．小鹿： B．小唯： C．小欣： D．小敏： 【考点精练】 1．如图，已知，要使，则可添加（    ） A． B． C． D． 2．老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：． 则不能得到的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．如图，添加下列一个条件后，能判定的是（    ） A． B． C． D． 第3题 第4题 4．如图，平分，要使，需添加的条件可以是（　　） A． B． C． D． 题型5：三角板与平行线问题 例5．如图，将两个含角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角边，根据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【考点精练】 1．下列各图是由含或的直角三角板组合而成，其中能画出的是（    ） A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（2） D．（2）（4） 2．把一副三角板按如图的方式放在桌面上，能够判定的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 3．数学活动中老师要求同学们利用三角板作已知直线的平行线，如图是甲同学和乙同学作图的过程，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 4．将一块直角三角板按如图所示放置，其中， A，B两点分别落在直线 m，n上，，要得到，添加的条件可以是(    ) A． B． C． D． 题型6： 以实际生活为背景的平行问题 例6．如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁，使．若，则应为（    ）度． A． B． C． D． 【考点精练】 1．传统文化如同一颗璀璨的明珠，熠熠生辉．为增强学生体质，同时让学生感受中国传统文化，某校将国家非物质文 化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学 “抖空竹”时的一个瞬间，小红同学把它抽象成数学问题： 如图②，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．图1是我国80年代的28大杠老款自行车，图2是它的平面示意图，其中，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．某品牌椅子的侧面图如图所示，与地面平行．若，，则（    ） A． B． C． D． 4．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当，时，台灯光线最佳，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 题型7： 根据平行求角度问题 例7．如图，，与，分别相交于点M，N，平分，与相交于点H．若，求的度数． 【考点精练】 1．综合与实践 如图，直线，直线与直线，分别交于点，，是射线上的一个动点（不包括端点），，连接，将沿折叠，使顶点落在点处． (1)求的度数； (2)当点恰好落在上时，求的度数； (3)若，求的度数． 2．如图，已知，点C在上，点A、B在上．在中，，，点E、F在直线上，在中，，． (1)图中的度数是 　　°； (2)将沿直线平移，当点D在上时，求的度数； (3)将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 3．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，与交于点，若，求的度数． 4．如图，、分别交于点M、N．，．   (1)吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 题型8： 根据角度关系判定平行问题 例8．如图，，E是上一点，交于点F，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【考点精练】 1．如图，已知F，E分别是射线上的点．连接，其中平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 2．在中，是的中点，是上一点，连接并延长使． (1)证明：； (2)若，，平分，求的长． 3．如图，已知，，试说明的理由． 4．已知：如图，于M，于N，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型9：根据证明过程填写推理依据 例9．如图，，，，，将下列推理过程补充完整： (1)（已知） （ ） (2)（已知） （内错角相等，两直线平行） (3)（已知） ，（ ） 【考点精练】 1．如图，已知直线、被直线所截，平分，求的度数． 将该题解题过程补充完整： 解：（    ） ____________ 平分（已知） ____________ （已知） （      ） （      ） ______ 2．如图，．将下列推理过程补充完整： (1)因为（已知）， 所以_____ （_______________）． (2)因为（已知）， 所以____________（内错角相等，两直线平行）． (3)因为（已知）， 所以__________（_________________）． 3．请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分，平分，且．求证：． 证明：平分， （___________） 平分（已知）， ___________（___________）． （___________）． 即． （已知）， ___________（___________）． ___________（___________）． 4．请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：已知：如图，，则与平行吗？ 解：∵（已知）， 又∵（     ）， ∴ （等量代换）． ∴（     ）， ∴（     ）． ∵（已知）， ∴ （等量代换）， ∴（     ）． 题型10：探索角的数量关系问题 例10．如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)如图①，当点在线段左侧时，求：、、之间的数量关系． (2)如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为 ． (3)若、的平分线交于点，且，则 ． 【考点精练】 1．已知中，，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，求的度数； (2)过点作与边、分别交于点、点（如图，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 2．如图1，，E，F分别是上的点，点G在之间，连接．用等式表示与的数量关系． 小刚通过观察，实验，提出猜想：． 接着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是： 如图1，过点G作，由，可得，根据平行线的性质，可得，从而证得． 请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题： 已知，E，F分别是上的点，点G在之间，连接． (1)如图2，若，求的度数． (2)如图3，与的平分线交于点Q，用等式表示和的数量关系，并说明理由． (3)如图4，与的平分线交于点Q，直接用等式表示和的数量关系．（四边形内角和为） 3．（本题满分10分）综合与实践课上，同学们以“ 一个含 角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线a，b，且，三角形是直角三角形，，，． 操作发现： （1）如图1，若，求 的度数； （2）如图 2，创新小组的同学把直线a 向上平移，并把 的位置改变，发现，请说明理由． 实践探究： （3）缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图 2 中的图形继续变化得到图 3 ， 平分，此时发现与又存在新的数量关系．请写出 与的数量关系并说明理由． 4．【感知】（1）如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求．按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案） 【探究】（2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； 【迁移】（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，在备用图中画出图形，直接写出结论 ①点在线段上； ②点在射线上． 【拓展】（4）我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题，随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．试构造平行线解决以下问题．已知：如图3，三角形，说明． 四、 检测 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，与是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 第1题 第2题 2．关于下图中各角的说法不正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是对顶角 D．与是邻补角 3．如图，下列条件中能判断直线的是（　　） A． B． C． D． 4．如图1，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（    ） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 5．过直线外一点作已知直线的平行线的操作方法如图所示，其依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 6．如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（　　） A． B． C． D． 7．一把直尺和一个含角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两条直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两条直角边分别交于D，E两点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 第7题 第8题 地点9题 8．如图，在五边形中，，，，是五边形的外角，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．一副三角尺按如图所示的位置摆放()，其中点D在边上，点E在边上，若，则的度数为（    ） A．75° B．60° C．45° D．30° 10．如图，已知直线被直线所截，交点为M，N．，．对的说理过程中的理由表述错误的是（    ） A．☆代表已知 B．○代表对顶角相等 C．□代表等量代换 D．△代表两直线平行，同旁内角互补 2、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．在同一平面内，有三条直线a，b，c，下列说法：①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；②若，，则；③若，，则．其中正确命题是 ．（填序号） 12．如图，要使，只需添加一个条件，这个条件是 ． 第12题 第13题 13．如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条需顺时针旋转的最小度数是 ． 14．如图，已知，，，则的值为 ． 第14题 第15题 第16题 15．有一条长方形纸带，按如图方式折叠，图中的，则的度数为 ． 16．如图，点E，F为长方形边上两点，为锐角，将长方形沿翻折，点A，B分别落在，处，交边于点G，若图中所有钝角中最大的度数为，则的度数为 °． 3、 解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 17．如图，直线分别与直线相交于点A，C，平分，交于点D，若，且． (1)直线平行吗？为什么？ (2)求的度数． 18．如图，直线交于点O，分别平分和，已知．   (1)试说明的理由； (2)若，求的度数． 19．如图1，中，，为的外角的平分线． (1)若，求证：； (2)如图2，若的平分线交的延长线于点，求的度数． 20．如图，已知，，平分． (1)求证：； (2)若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒． ①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，若，请直接写出t的值． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$