专题01 平面图形的认识（二）（5大考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

专题01 平面图形的认识（二） 【考点1 ：探索直线平行的条件】 【考点2：探索平行线的性质】 【考点3 ：图形的平移】 【考点4：认识三角形】 【考点5 ：多边形的内角和与外角和】 一、三线八角 同位角：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8； 内错角：∠3与∠6、∠4与∠5； 同旁内角：∠3与∠5、∠4与∠6. 二、平行线的判定 根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 三、平行线的性质 根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 四、图形的平移性质 性质:①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等。 五、平移作图 平行线之间的距离性质：平行线间的距离处处相等 1. 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同（△ABC与△DEF相等）。 2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等（①AD=CF；②AC∥DF；④∠DAE=∠AEB） 六、认识三角形 1.三角形的分类（2）按边分： （1）按角分：底和腰不等的等腰三角形 三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三角形 2.三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形任意两边之差小于第三边. 要点诠释：（1）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否大于最长边.（2）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和. 3.三角形的三条主要线段 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 4.三角形的角 （1）三角形的内角和为180°. (2) 三角形的一边与他的邻边的延长线组成的角叫做三角形的外角. 要点诠释：（1）直角三角形的两个锐角互余； （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和； （3）三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角. 七、多边形的内角和与外角和 1. 多边形的内角和：边形的内角和为(－2)·180°(≥3)． 要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (2)正多边形的每个内角都相等，都等于. 2. 多边形的外角和：任意多边形的外角和都为360°. 要点诠释：多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 考点剖析 【考点1：探索直线平行的条件】 1．下列图形中，与是同位角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角的定义，解题时注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．根据同位角的特征，“F”型判断即可． 【详解】解：A、∵与不在两被截线之间， ∴与不是同位角，故A不符合题意； B、∵与无共同的截线， ∴与不是同位角，故B不符合题意； C、∵与符合同位角定义， ∴与是同位角，故C符合题意； D、∵与无共同的截线， ∴与不是同位角，故D不符合题意； 故选：C． 2．如图，下列条件中，①；②；③；④．能判断直线的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判断方法，可以判断出各个小题中的条件是否可以得到直线，从而可得答案． 【详解】解：， ∴，故①符合题意； 当时，无法判断，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 故选C． 3．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 4．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 ． 【答案】秒或秒 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用．分①与在的两侧时，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：，， ，， 分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ，， 要使，则， 即， 解得：； 如图②，旋转到与都在的右侧， ，， 要使，则， 即， 解得：； 如图③，旋转到与都在的左侧， ，， 要使， 则，即， 解得：， 此时，此情况不存在． 综上所述，当时间的值为秒或秒时，． 故答案为：秒或秒． 5．如图，直线交于点O，分别平分和，已知．    (1)试说明的理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定，与角平分线有关的计算： （1）由角平分线定义可得，则可求得，从而可求得，即可判定； （2）由（1）可知，再根据对顶角性质求解即可． 【详解】（1）∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 6．如图，点在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 证明：因为（____________）， （____________）， 所以（____________）， 因为平分， 所以（____________）， 因为平分， 所以，得（____________）， 所以____________（____________）． 【答案】已知；平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；等式的性质；；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定，补角性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， （平角的定义）， ∴（同角的补角相等）， ∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∵平分， ∴， ∴（等式的性质）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；等式的性质；；内错角相等，两直线平行． 【考点2：探索平行线的性质】 1．如图，O是量角器的中心，点M是量角器上一点，直尺的一边与量角器的零刻度线重合， 与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质定理，邻补角． 由直尺得，所以，已知，进而可得的度数． 【详解】解：由题意得，， ， 故选：B． 2．如图，有一张对边平行的纸片，三角板和三角板按如图方式放置，三角板的一条直角边与纸片的一边重合．已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，由邻补角的性质得到由平行线的性质推出．本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 【详解】解：如图： ，， ， 纸片对边平行， ， 故选：B． 3．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是 ． 【答案】40°/40度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角定义，先分别求出和，再根据“两直线平行，内错角相等”求出和，即可得出答案． 【详解】∵ ， ∵ ， ． 故答案为： ． 4．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ． 【答案】100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：100． 5．已知如图，，被所截，平分，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线与平行线综合求角度问题； （1）先根据角平分线的性质得出，，再由可得出，据此可得出结论； （2）先根据对顶角相等得出的度数，由得出的度数，由角平分线的性质即可得出结论． 掌握平行线的判定方法及性质，理解角平分线的定义是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ． 6．【问题初探】（1）如图1，，，，若，，求的值． 【变式探究】（2）①如图2，，，，若，，求的值； ②若在图2中，，与为任意锐角，，，的值是否会改变？如果改变，求出新的结果；如果不改变，请给予证明． 【拓展延伸】（3）如图3，，与为锐角，，（n为整数，），直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线的运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想和整体思想的运用． （1）作，，得到，，再求得，，，，求得和的度数，代入计算即可求解； （2）①同（1）法求解即可；②设，，同（1）法求解即可； （3）同法求解即可． 【详解】解：（1）作，，如图， ∵， ∴，， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴； （2）①作，如图 ∵， ∴，， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴； ②设，， 同理①得，， ，， ∴，， ∴； （3）设，， 同理①得，， ，， ∴，， ∴． 【考点3：图形的平移】 1．如图，将沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．54 B．42 C．36 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，根据平移的性质得出，则，则阴影部分面积，根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：由平移的性质知，， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，沿直线向右平移得到，已知，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了生活中平移现象，将长方形地块内部修筑的两条“之”字路平移到长方形的最上边和最左边，使余下部分是一个矩形是解决本题的关键．把两条“之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是矩形，根据矩形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：如图，把两条“之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是矩形，   道路的宽为2米，，， ，， 矩形的面积为：，即绿化的面积为． 故答案为：． 4．如图，将长为、宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题． 【详解】解：由平移的性质可得，空白部分是一个长方形，且长为，宽为， ∴阴影部分面积为， 故答案为：。 5．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． (1)平移，使点A移动到点，请在网格纸上画出平移后的； (2)在（1）的条件下，求平移过程中，线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析； (2)线段扫过的面积是16． 【分析】此题主要考查平移的作图与应用，解题的关键是熟知平移的性质． （1）利用点A和的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出B、C的对应点即可； （2）线段扫过的部分为平行四边形，然后利用平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】（1）根据点的平移特征：向右平移4个单位，再向下平移1个单位，画出B、C的对应点，连线即得． （2） 根据图形平移的性质，可知，线段扫过的部分为平行四边形， 线段扫过的面积为． 6．【探究】 图1                                                        图2                                            图3 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则____________________； 【应用】如图2，已知直线，点A，B在上，点C，D在上，连接，；其中，分别是，的平分线，． （2）求的度数； （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）如图1中，作，利用平行线的性质求解即可． （2）利用平行线的定义结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案； （3）利用平行线的性质结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案． 【详解】解∶（1）如图1中，作， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶，； （2）如下图，过点E作． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴； （3）如图2，过点E作， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． 【点睛】此题主要考查了平移的性质以及角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键． 【考点4：认识三角形】 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，长度是的线段不能组成三角形，故A不符合题意； B、，长度是的线段能组成三角形，故B符合题意； C、，长度是的线段不能组成三角形，故C不符合题意； D、，长度是的线段不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 2．如图，在中，，平分，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．先求出，再根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，是的中线，点在中线上且，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线、三等分线分三角形的面积，利用三角形中线分成的两个三角形面积相等以及三等分线分的三个三角形面积相等作答即可． 【详解】解：是的中线，的面积为， 的面积为：， 点在中线上且， ， 和同高，设高为， ， ， ； 故答案为：． 4．如图，在中，E是的中点，点D在上，且，与交于点F，若，则的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查三角形的面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键．设的面积为a，易求，，即可求得，进而可得，计算可求解． 【详解】解：设的面积为a， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得． 即的面积为15． 故答案为：15． 5．在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) (4)F在E左侧；F在E，D中间；F在D右侧 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线的定义可得，， 再根据三角形外角的性质可得，进一步推理得，最后再根据三角形外角性质，即可求得答案； （3）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，再同（1）即可得到答案； （4）分点F在点E左侧，点F在D，E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）；理由如下: 、的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ， ， ； （2）的角平分线与的外角的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ； （3）；理由如下： ，， ， ，， ， ， 由（1）知，； （4）理由如下：当点F在点E左侧时，如图4-1所示， ， ， 平分，平分， ，， ∵， ∴ ， 当F在D、E之间时，如图4-2所示： 同理可得，，， ， ∴ ； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示： 同理可得，； 综上所述，F在E左侧； F在中间； F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键． 6．在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则________； 【问题推广】 （2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，则的度数为________（结果用含n的代数式表示）； 【拓展提升】 （4）在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点Q，若，，直接写出和α，β之间的数量关系． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）F在E左侧；F在中间；F在D右侧． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则． （3）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． （4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1） ， ， 平分，平分， ，， ，即 ． （2） 平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ． （3）如图3所示， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又 ，，， 即， ， 又，， ， ， ． （4）当点在点左侧时，如图4-1所示， ， ， 平分，平分， ，， ， ； 当F在D、E之间时，如图4-2所示： 同理可得 ，， ， ， 当点F在D点右侧时，如图4-3所示： 同理可得 ，， ， ， 综上所述，F在E左侧；F在中间；F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识，找到角与角之间的等量关系是解题的关键． 【考点5：多边形的内角和与外角和】 1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论． 【详解】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为， ∴它的一个外角． 故选：A． 2．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和问题，设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式和外角和并结合题意得出等式，计算即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：， 故这个多边形的边数是， 故选：C． 3．如图，正八边形的对角线，交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角和外角，先求出，再根据正八边形的性质求出和，最后根据三角形的内角和即可求得． 【详解】解：∵八边形为正八边形， ∵， ∵正八边形的对角线， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：67.5． 4．如图，是正五边形的外角的平分线，连接，则 ． 【答案】/108度 【分析】首先根据多边形内角和求出正五边形内角和为，然后求出，然后根据角平分线概念求出，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】∵正五边形内角和为， ∴， ∴， ∵是正五边形的外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正多边形内角和问题，等边对等角，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识，解题的关键是求出正五边形的内角． 5．如图是正方形、正五边形、正六边形． (1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，则______，______，______． (2)按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示______（其中为不小于4的整数）． (3)若，求相应的正多边形的边数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的知识； （1）根据正多边形的性质逐个求解即可； （2）根据（1）中的结果总结规律即可； （3）根据（2）中的结论列方程求解即可． 【详解】（1）由正方形， 可得：， ； 由正五边形，可得：，， ， ； 由正六边形，可得：，， ， ； 故答案为：，，； （2）根据（1）中的结果发现等于正边形一个内角的度数， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 解得． 6．阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务． 关于同一种正多边形的平面密铺 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是，若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺． 对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案． 对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形．图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案．    学习任务： (1)填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是______．（填出字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 (2)图3中角1的度数是______． (3)除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：______． (4)图6是图5中的一个基本图形，其中，，并且．求证． 【答案】(1)B (2) (3)正六边形 (4)见解析 【分析】题主要考查了平面镶嵌，正多边形的内角和与外角；全等三角形的性质与判定； （1）根据题意将多边形转化为三角形解决问题，体现的是转化思想，据此，即可求解； （2）根据正五边形的三个内角的和与周角的差即可求解； （3）根据平面镶嵌的正多边形的内角能被整除，即可求解； （4）先证明是等边三角形，进而证明，根据平行线间的距离相等可得，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）根据题意，对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，可得体现的数学思想主要是转化思想， 故选：B． （2）解：， 故答案为：． （3）解：∵正六边形的每个内角为，依题意，一种可以进行密铺的正多边形：正六边形， 故答案为：正六边形． （4）如图所示，连接，分别过点作垂足分别为，   ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 过关检测 1．下列长度的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中三边的关系，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得答案． 【详解】解：A、，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意； B、，满足三边关系定理，故正确，符合题意； C、，不满足三边关系定理，故错误，不符合题意； D、，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意． 故选：B． 2．如图，在中，．把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的平移．根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行或在同一直线上，对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：∵把沿的方向平移到的位置，，， ∴， ，故选项AC正确，不符合题意； ∴， ∴，选项B正确，不符合题意； 长度不能确定；故选项D错误，符合题意； 故选：D． 3．如图，直线，将一含有30°角的直角三角板的直角顶点置于直线n上，若，则的度数是（    ） A．35° B．30° C．45° D．25° 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形外角的性质， 先求出的度数，再由平行线的性质求，最后由三角形外角的性质求解即可 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴。 ∴， 故选：A 4．光线在镜面上反射时，经过入射点与镜面垂直的直线是法线，反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，两束光线，分别从不同方向射向镜面m，入射点为A，B，，是法线．，的反射光线相交于点C．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角，三角形内角和定理．熟练掌握余角，三角形内角和定理是解题的关键． 如图，由题意知，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， ∴， 故选：C． 5．已知的面积等于18，，则与的面积和等于（  ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，连接，设，根据三角形中线的性质得出，，根据得出，最后根据的面积等于18即可求出的值，于是问题得解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于18， ∴， ∴， 即与的面积和等于8， 故选：C． 6．如图，已知，平分平分，，则的度数为（     ）度．    A．55 B．50 C．40 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，利用平行线的性质及角平分线的定义，求出和的度数是解题的关键． 由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出和的度数，结合角平分线的定义可求出和的度数，过点作，则，利用“两直线平行，内错角相等”可得出和的度数，再结合，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分平分， ∴． 过点作，则，如图所示．    ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 7．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识，正确画出图象． 根据题意可得，①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】根据题意可得，， ①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④正确； 故选：D． 8．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，分如图，当点在上时，当点在延长线上时，两种情况种又分当时，当时，过点作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作，    ∵由平移得到， ， ∵，， ， ， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在延长线上时，过点作，    同理可得， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 由于，则这种情况不存在； 综上所述，的度数可以为18度或36度或108度， 故选：C． 9．一个正多边形的内角和是，则这个多边形的边数 ． 【答案】10 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式列式求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 则， 解得． 故答案为：10． 10．如图，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处，若，则 ． 【答案】116 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据折叠的性质得出，，再由三角形内角和定理得出，再根据平行线的性质得出，进而求解即可． 【详解】∵，将沿折叠后，点A落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：116． 11．如图，已知线段与直线的夹角，点在上，点是直线上的一个动点，将沿折叠，使点落在点处，当时，则 度．    【答案】110或70 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换（折叠问题），分两种情况讨论是解题的关键． 分两种情况：当点N在射线上运动时；当点N在射线上运动时；然后分别进行计算，即可解答． 【详解】分两种情况： 当点N在射线上运动时，如图：    延长到D， ∵， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点N在射线上运动时，如图：    延长到E， 由折叠得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当时，则或， 故答案为：或． 12．如图①是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 由四边形为长方形，利用平行线的性质可得出和，再结合及，即可求出． 【详解】图①中∵四边形为长方形，， ∴， ∴， ∴， ∴图②中， ∴图③中， ∴． 13．如图，已知，点C在上，点A、B在上．在中，，，点E、F在直线上，在中，，． (1)图中的度数是 　　°； (2)将沿直线平移，当点D在上时，求的度数； (3)将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 【答案】(1)45 (2)15° (3)或或或 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出答案； （2）根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出，再次利用三角形内角和定理可求出答案； （3）结合题意，画出图形：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，分两种情况进行讨论，画出图形，分别进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45； （2）解：如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：或或或， 理由如下： 分两种情况，Ⅰ．当向上平移时， ①如图所示1：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵， ∴； ②如图2所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵ ∴， ∵， ∴； ③如图3所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时 ∵，， ∴， ∵， ∴； Ⅱ．当向下平移时，如图4所示： ④当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵， ∴， ∴； 综上可知：将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，解题关键是识别图形，找出角与角之间的关系． 14．如图，已知直线，，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），，分别平分和．    (1)当点P在点A左侧时，若，则________°． (2)若点P为点A左侧运动时，求的度数是否会发生变化？若不变化，求出该度数；若变化，请说明理由． (3)与之间存在怎样的数量关系？写出结论并说明理由． 【答案】(1)70 (2)的度数为，不会发生变化，理由见解析 (3)相等或互补，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． （1）根据两直线平行，同旁内角互补和两直线平行，内错角相等，以及角平分线的定义作答即可； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，根据求出结果即可； （3）分两种情况进行讨论，当点P在点A左侧时，当点P在点A右侧时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：不会发生变化， 理由如下：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ 即的度数为，不变化； （3）解：与之间存在怎样的数量关系为：相等或互补． 理由如下：设， ①当点P在点A左侧时，   ， ， 此时，； ②当点P在点A右侧时，如图，    ∵， ， 此时，． 综上，与之间存在怎样的数量关系为：相等或互补． 15．如果三角形中任意两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形” (1)在中，若，，则______“准直角三角形”（填写是或不是）； (2)如果是“准直角三角形”，那么是______，（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能），请说明理由； (3)如图，在中，，，平分交于点． ①若交于点，在①，②，③，④中“准直角三角形”是______（填写序号）； ②在直线上取一点，当是“准直角三角形”时，直接写出的度数． 【答案】(1)是 (2)③ (3)①：④；②：或或或 【分析】本题考查了三角形内角和，新定义，对新定义的理解是本题的关键． （1）由三角形内角和求得，验证得，即可作出判断； （2）由题意不妨设中，由三角形内角和可得，此时为钝角三角形，其它三角形不符合题意； （3）①根据“准直角三角形”的定义判断，将其它角表示出来即可； ②由（2）得“准直角三角形”是钝角三角形，以钝角为依据进行分类讨论，同时注意是哪个角是哪个角的两倍，再进行讨论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴是“准直角三角形”； 故答案为：是； （2）解：∵是“准直角三角形”， ∴不妨设中，即， ∵， ∴， ∴为钝角三角形， ∴当三角形是“准直角三角形”时，它必是钝角三角形，其它三角形不会是“准直角三角形”； 故答案为：③； （3）解：①∵，， ∴； ∵平分， ∴， ∴， 即是“准直角三角形”； ∵， ∴，， 即是锐角三角形，由（2）知它不是“准直角三角形”； ∵， ∴， 而， 但， 即不是“准直角三角形”； ∵， ∴是锐角三角形， 由（2）知，它不是“准直角三角形”； 综上，只有是“准直角三角形”； 故答案为：④； ②由（2）知，是钝角三角形， 当是钝角时， 若，则； 若，则； 当是钝角时，此时点F在线段上， 若，则， ∴； 若，则， ∴； 若为钝角，则点在线段延长线上，且， ∴， 若，则， ∴，不合题意； 若，则； ∴，不合题意； 故此种情况不存在； 综上，的度数为或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面图形的认识（二） 【考点1 ：探索直线平行的条件】 【考点2：探索平行线的性质】 【考点3 ：图形的平移】 【考点4：认识三角形】 【考点5 ：多边形的内角和与外角和】 一、三线八角 同位角：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8； 内错角：∠3与∠6、∠4与∠5； 同旁内角：∠3与∠5、∠4与∠6. 二、平行线的判定 根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 三、平行线的性质 根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 四、图形的平移性质 性质:①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等。 五、平移作图 平行线之间的距离性质：平行线间的距离处处相等 1. 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同（△ABC与△DEF相等）。 2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等（①AD=CF；②AC∥DF；④∠DAE=∠AEB） 六、认识三角形 1.三角形的分类（2）按边分： （1）按角分：底和腰不等的等腰三角形 三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三角形 2.三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形任意两边之差小于第三边. 要点诠释：（1）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否大于最长边.（2）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和. 3.三角形的三条主要线段 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 4.三角形的角 （1）三角形的内角和为180°. (2) 三角形的一边与他的邻边的延长线组成的角叫做三角形的外角. 要点诠释：（1）直角三角形的两个锐角互余； （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和； （3）三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角. 七、多边形的内角和与外角和 1. 多边形的内角和：边形的内角和为(－2)·180°(≥3)． 要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (2)正多边形的每个内角都相等，都等于. 2. 多边形的外角和：任意多边形的外角和都为360°. 要点诠释：多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 考点剖析 【考点1：探索直线平行的条件】 1．下列图形中，与是同位角的是（　　） A．   B．   C．   D．   2．如图，下列条件中，①；②；③；④．能判断直线的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 4．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 ． 5．如图，直线交于点O，分别平分和，已知．    (1)试说明的理由； (2)若，求的度数． 6．如图，点在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 证明：因为（____________）， （____________）， 所以（____________）， 因为平分， 所以（____________）， 因为平分， 所以，得（____________）， 所以____________（____________）． 【考点2：探索平行线的性质】 1．如图，O是量角器的中心，点M是量角器上一点，直尺的一边与量角器的零刻度线重合， 与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，有一张对边平行的纸片，三角板和三角板按如图方式放置，三角板的一条直角边与纸片的一边重合．已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是 ． 4．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ． 5．已知如图，，被所截，平分，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 6．【问题初探】（1）如图1，，，，若，，求的值． 【变式探究】（2）①如图2，，，，若，，求的值； ②若在图2中，，与为任意锐角，，，的值是否会改变？如果改变，求出新的结果；如果不改变，请给予证明． 【拓展延伸】（3）如图3，，与为锐角，，（n为整数，），直接写出的值． 【考点3：图形的平移】 1．如图，将沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．54 B．42 C．36 D．24 2．如图，沿直线向右平移得到，已知，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为 ．    4．如图，将长为、宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 5．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． (1)平移，使点A移动到点，请在网格纸上画出平移后的； (2)在（1）的条件下，求平移过程中，线段扫过的面积． 6．【探究】 图1                                                        图2                                            图3 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则____________________； 【应用】如图2，已知直线，点A，B在上，点C，D在上，连接，；其中，分别是，的平分线，． （2）求的度数； （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 【考点4：认识三角形】 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（  ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，平分，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的中线，点在中线上且，若的面积为，则的面积为 ． 4．如图，在中，E是的中点，点D在上，且，与交于点F，若，则的面积为 ． 5．在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系． 6．在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则________； 【问题推广】 （2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，则的度数为________（结果用含n的代数式表示）； 【拓展提升】 （4）在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点Q，若，，直接写出和α，β之间的数量关系． 【考点5：多边形的内角和与外角和】 1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．如图，正八边形的对角线，交于点，则的度数是 ． 4．如图，是正五边形的外角的平分线，连接，则 ． 5．如图是正方形、正五边形、正六边形． (1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，则______，______，______． (2)按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示______（其中为不小于4的整数）． (3)若，求相应的正多边形的边数． 6．阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务． 关于同一种正多边形的平面密铺 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是，若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺． 对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案． 对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形．图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案．    学习任务： (1)填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是______．（填出字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 (2)图3中角1的度数是______． (3)除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：______． (4)图6是图5中的一个基本图形，其中，，并且．求证． 过关检测 1．下列长度的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，在中，．把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，直线，将一含有30°角的直角三角板的直角顶点置于直线n上，若，则的度数是（    ） A．35° B．30° C．45° D．25° 4．光线在镜面上反射时，经过入射点与镜面垂直的直线是法线，反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，两束光线，分别从不同方向射向镜面m，入射点为A，B，，是法线．，的反射光线相交于点C．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．已知的面积等于18，，则与的面积和等于（  ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 6．如图，已知，平分平分，，则的度数为（     ）度．    A．55 B．50 C．40 D．30 7．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ）． A． B． C． D． 9．一个正多边形的内角和是，则这个多边形的边数 ． 10．如图，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处，若，则 ． 11．如图，已知线段与直线的夹角，点在上，点是直线上的一个动点，将沿折叠，使点落在点处，当时，则 度．    12．如图①是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的的度数是 ． 13．如图，已知，点C在上，点A、B在上．在中，，，点E、F在直线上，在中，，． (1)图中的度数是 　　°； (2)将沿直线平移，当点D在上时，求的度数； (3)将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 14．如图，已知直线，，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），，分别平分和．    (1)当点P在点A左侧时，若，则________°． (2)若点P为点A左侧运动时，求的度数是否会发生变化？若不变化，求出该度数；若变化，请说明理由． (3)与之间存在怎样的数量关系？写出结论并说明理由． 15．如果三角形中任意两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形” (1)在中，若，，则______“准直角三角形”（填写是或不是）； (2)如果是“准直角三角形”，那么是______，（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能），请说明理由； (3)如图，在中，，，平分交于点． ①若交于点，在①，②，③，④中“准直角三角形”是______（填写序号）； ②在直线上取一点，当是“准直角三角形”时，直接写出的度数． 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