精品解析：重庆市巴南区巴南区花溪中学校2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

重庆市花溪中学校2023﹣2024学年度下期期中考试 九年级数学试题 满分：150分考试 时间：120分钟 命题人：落叶 审题人：王菲菲 王作品 王子唯 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数：，，，，负数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（ ） A. 传 B. 因 C. 承 D. 基 3. 我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车有几何？”意思是说“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘．问车有几辆？”则该问题中车的数量是（ ） A. 16辆 B. 15辆 C. 14辆 D. 13辆 4. 下列命题中真命题是（　　） A. 相等角是对顶角 B. 若两个角的和为，则这两个角互补 C. 若，满足，则 D. 同位角相等 5. 如图，已知AB//CD，M为平行线之间一点，连接AM，CM，N为AB上方一点，连接AN，CN，E为NA延长线上一点，若AM，CM分别平分∠BAE，∠DCN，则∠M与∠N的数量关系为（ ） A. ∠M﹣∠N＝90° B. 2∠M﹣∠N＝180° C. ∠M+∠N＝180° D. ∠M+2∠N＝180° 6. 随机抛掷两枚均匀的硬币，落地后至少有一枚正面朝上的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 关于一次函数（b为常数），下列说法正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 当时，直线与坐标轴围成的面积是4 C. 图象一定过第一、三象限 D. 与直线相交于第四象限内一点 9. 如图，四边形是边长为的菱形，对角线、的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1，[-1.21]＝﹣2．以下结论：①当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值是1；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③a﹣1＜[a]≤a；④x＝﹣是方程3x﹣2[x]+1＝0的唯一解，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 的相反数是 __________． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC⊥BC，且AB=10cm，AD=6cm，则AO= ________ cm． 13. 为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘中捕捞了100条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞300条．若其中有标记的鱼有15条，则可估计池塘里有鱼______条． 14. 如图，在中，C是的中点，作点C关于弦的对称点D，连接并延长交于点E，过点B作于点F，若，则等于______度． 15. 某汽车生产厂对其生产的型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如下表： （小时） 0 1 2 3 （升） 100 92 84 76 由表格中与的关系可知，当汽车行驶______小时，油箱的余油量为40升. 16. 如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为___________． 17. 若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为_____________ 18. 一个数位大于等于4的多位数n，规定其末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，则______；若能被11整除，则这个多位数就一定能被11整除，反之，一个数位大于等于4的多位数n能被11整除，则n的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差一定能被11整除．若两个四位数s，t，其中s能被11整除，且，t的千位数字为，百位数字为4，十位数字为3，个位数字为（a，b，c均为整数），规定，当时，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： (1) (2) 20. 学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ ① ． ∵垂直平分， ∴ ② ． 又___________③ ． ∴． ∴． 小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形对角线中点的直线 ④ ． 21. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部； （2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度； （3）请将条形统计图补充完整； （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 22. 某商场计划销售甲、乙两种品牌的电脑，甲电脑进价比乙电脑高0.15万元/台．现计划用16万元购进甲电脑，15万元购进乙电脑，甲电脑数量与乙电脑数量之比恰好为2：3． （1）该商场计划购进甲、乙两种电脑各多少台？ （2）通过市场调研，甲电脑的利润率是10%，乙电脑的利润率是20%，该商场决定在原计划的基础上更改购进策略：减少甲电脑的购进数量，增加乙电脑的购进数量，已知乙电脑增加的数量是甲电脑减少的数量的3倍，且用于购进这两种电脑的总资金不超过35万元．更改购进策略后，该商场怎样进货，使全部销售后获得的总利润最大？并求出最大总利润．（利润=利润率×进价） 23. 在中，，点P，Q分别从点A，点B同时出发，点P沿以每秒1个单位长度速度运动，点Q以每秒个单位长度的速度沿运动，点P到达点B时点Q同时停止运动．点P的运动时间为t秒，的面积记为，面积的记为，回答下列问题： （1）求出与t之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）当时，直接写出t的取值范围． 24. 阳春三月，春暖花开，某单位组织登山踏青活动．甲组从山脚A处沿东偏北方向登山步道上山，乙组从山脚B处沿东北方向的登山步道上山，最后在观光道上的某处会合．已知A、B相距2000米，，与间的距离为1200米． （1）求观光道的长度； （2）两组同时出发，若甲组平均速度为40米/分，乙组的平均速度为30米/分，为使两组同时到达会合处，应将会合处设在距离点D多少米处？（精确到个位）（参考数据：，，，） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x＋c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC． （1）求该抛物线与直线AC的解析式； （2）若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE．求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标； （3）将原抛物线沿射线AD方向平移2个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2＋b1x＋c1（a≠0），新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 已知如图，是等边三角形，点D是直线上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，连接． （1）如图1，当时，与相交于点F，若，求的长； （2）如图2，当点D在的延长线上时，连接，延长交于点N，点M是的中点，连接，求证：； （3）如图3，点D在运动过程中，当最短时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市花溪中学校2023﹣2024学年度下期期中考试 九年级数学试题 满分：150分考试 时间：120分钟 命题人：落叶 审题人：王菲菲 王作品 王子唯 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数：，，，，负数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，正数和负数，先化简再判断正负，小于零的数是负数．解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【详解】解：，，， ∴负数共有2个 故选：B． 2. 如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（ ） A. 传 B. 因 C. 承 D. 基 【答案】D 【解析】 【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是必须相隔一个正方形，据此作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则： “传”与“因”是相对面， “承”与“色”是相对面， “红”与“基”是相对面． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 3. 我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车有几何？”意思是说“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘．问车有几辆？”则该问题中车的数量是（ ） A. 16辆 B. 15辆 C. 14辆 D. 13辆 【答案】B 【解析】 【分析】找准等量关系：人数是定值，列一元一次方程二元一次方程组或可解此题． 【详解】解：设有x辆车，则有人，根据题意得： ， 解的：， ∴有15辆车， 故选B． 【点睛】本题运用了列一元一次方程二元一次方程组解应用题的知识点，找准等量关系是解此题的关键． 4. 下列命题中的真命题是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 若两个角的和为，则这两个角互补 C. 若，满足，则 D. 同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，熟练掌握定理是解题的关键．利用对顶角的定义，互补的定义，开平方的定义及平行线的性质分别判断即可． 【详解】解：相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，故选项A不符合题意； 若两个角的和为，则这两个角互补，是真命题，故选项B符合题意； 若，满足，则，故原命题错误，是假命题，故选项C不符合题意； 两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，故选项D不符合题意； 故选B． 5. 如图，已知AB//CD，M为平行线之间一点，连接AM，CM，N为AB上方一点，连接AN，CN，E为NA延长线上一点，若AM，CM分别平分∠BAE，∠DCN，则∠M与∠N的数量关系为（ ） A. ∠M﹣∠N＝90° B. 2∠M﹣∠N＝180° C. ∠M+∠N＝180° D. ∠M+2∠N＝180° 【答案】B 【解析】 【分析】过点M作MO//AB，过点N作NP//AB，则MO//AB//CD//NP，根据平行线的性质可得∠AMC＝∠1+∠2，∠CNE＝2∠2﹣∠3，∠3＝180°﹣2∠1，即可得出结论． 【详解】解：过点M作MO//AB，过点N作NP//AB， ∵AB//CD， ∴MO//AB//CD//NP， ∴∠AMO＝∠1，∠OMC＝∠MCD， ∵AM，CM分别平分∠BAE，∠DCN， ∴∠BAE＝2∠1，∠NCD＝2∠2，∠2＝∠MCD， ∴∠AMC＝∠MCD+∠1＝∠1+∠2， ∵CD//NP， ∴∠PNC＝∠NCD＝2∠2， ∴∠CNE＝2∠2﹣∠3， ∵NP//AB， ∴∠3＝∠NAB＝180°﹣2∠1， ∴∠CNE＝2∠2﹣（180°﹣2∠1）＝2（∠1+∠2）﹣180°＝2∠AMC﹣180°， ∴2∠AMC﹣∠CNE＝180°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，正确的添加辅助线是解题的关键． 6. 随机抛掷两枚均匀的硬币，落地后至少有一枚正面朝上的概率是（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解． 【详解】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下： 一共有4种等可能性结果，其中至少有一次正面朝上有3种， ∴至少有一次正面朝上的概率是． 故选：C． 7. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案． 【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键． 8. 关于一次函数（b为常数），下列说法正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 当时，直线与坐标轴围成的面积是4 C. 图象一定过第一、三象限 D. 与直线相交于第四象限内一点 【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数的增减性判断A；通过求直线与坐标轴交点可判断B；根据一次函数图象与系数的关系判断C；根据k值相同而b值不相同两条直线平行判断D；． 【详解】解：A、因为-2＜0，所以y随x的增大而减小，故A错误； B、当b=4时，直线与坐标轴的交点分别为（2，0），（0，4），所以与坐标轴围成的面积是4，故B正确； C、图象一定过第二、四象限，故C错误； D、与直线y=3-2x重合或平行，不相交，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，采用数形结合的方法求解是关键． 9. 如图，四边形是边长为的菱形，对角线、的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得到，，，，利用勾股定理得到，利用根与系数的关系求出，再根据完全平方公式的变形求出，得到，再根据菱形面积公式求出的长即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ， ， 对角线，的长度分别是一元二次方程的两实数根， ，， ，， ， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， 是边上的高， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，一元二次方根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题的关键． 10. 定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1，[-1.21]＝﹣2．以下结论：①当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值是1；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③a﹣1＜[a]≤a；④x＝﹣是方程3x﹣2[x]+1＝0的唯一解，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①分三种情况：；进行讨论即可求解；②③根据定义即可求解，④先求得[x]的值，确定x的整数部分和小数部分，分两种情况可得[x]的值，代入方程可得方程的解． 【详解】解：①当时，； 当时，； 当时，； 故当时，的值为或0； 故①错误； ②设，则， ，故②正确； ③根据定义可知，a的整数部分为[a]，小数部分为a-[a]， 则， 解得a﹣1＜[a]≤a，正确； ④3x﹣2[x]+1＝0， 则， ∴x的整数部分为，小数部分为， 解得， 当时，， ， 解得， 当时，， ， 解得， 或是方程3x﹣2[x]+1＝0的解， 故④不正确， 故正确的有②③． 故选B． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，一元一次不等式，理解定义是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 的相反数是 __________． 【答案】- 【解析】 【分析】只有符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数为－． 故答案为：-． 【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，属于基础题型．解决这个问题只要明确相反数的定义即可． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC⊥BC，且AB=10cm，AD=6cm，则AO= ________ cm． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，根据勾股定理求出，即可得到结论． 【详解】解：在中 ，， ， ， ， ； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 13. 为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘中捕捞了100条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞300条．若其中有标记的鱼有15条，则可估计池塘里有鱼______条． 【答案】2000 【解析】 【分析】本题考查了利用样本所占百分比估计总体，熟练掌握利用样本所占百分比估计总体的方法是解题关键．先求出样本中有标记的鱼所占百分比，再利用100除以这个百分比即可得． 【详解】解：由题意可知，样本中有标记的鱼所占百分比为， 则可估计池塘里鱼的总数为（条）， 故答案为：2000． 14. 如图，在中，C是的中点，作点C关于弦的对称点D，连接并延长交于点E，过点B作于点F，若，则等于______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆知识点综合运用，难度较高，需要熟悉垂径定理辅助线做法以及角的等量互换方式即可．设，则连接交于点G，连接，，在中得到，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则连接交于点G，连接，如下图所示， ∵C是的中点，点O为圆心， ∴， 又∵点C与点D关于弦对称， ∴，且C，D，O三点共线，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵同弧， ， ∵， 在中，， ∴， 解得 故答案为： 15. 某汽车生产厂对其生产的型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如下表： （小时） 0 1 2 3 （升） 100 92 84 76 由表格中与的关系可知，当汽车行驶______小时，油箱的余油量为40升. 【答案】7.5 【解析】 【分析】根据表格得出y与t的关系式，把y=40代入即可得答案. 【详解】∵t=0时，y=100，t=1时，y=92，t=2时y=84，t=3时，y=76， ∴y与t的关系式为y=100-8t， 当y=40时，40=100-8t， 解得：t=7.5， 故答案为7.5 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，正确理解题意，然后根据题意列出函数解析式是解题关键. 16. 如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后证明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，进而可证△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根据等腰三角形三线合一求出DF＝FM，则BG＝DF＝FM＝BM＝，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出OM、EM和OE即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H， ∵，， ∴ ∴AG＝AB＝， ∴BG＝， ∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°， ∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°， ∴∠EGD＝∠HDF ∵∠AGB＝∠EGD， ∴∠AGB＝∠HDF， 在△ABG和△HFD中，， ∴△ABG≌△HFD（AAS）， ∴AG＝DH，AB＝HF， ∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°， ∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF， 在△BCM和△FHM中，， ∴△BCM≌△FHM（AAS）， ∴MH＝MC＝CD，BM＝FM， ∴DH＝MH， ∵FH⊥CD， ∴DF＝FM， ∴BG＝DF＝FM＝BM＝， ∴BF＝， ∵M是BF中点，O是BD中点，△BEF是直角三角形， ∴OM＝，EM＝， ∵BD＝，△BED是直角三角形， ∴EO＝， ∴的周长＝EO＋OM＋EM＝3＋＋， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 17. 若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为_____________ 【答案】40 【解析】 【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a5且a≠3，根据不等式组的解集为，即可得出a>0，找出0<a5且a≠3中所有的整数，将其相乘即可得出结论． 【详解】解：分式方程的解为x=且x≠1， ∵分式方程解为非负数， ∴且≠1. ∴a5且a≠3. 解不等式①，得. 解不等式②，得y<a. ∵关于y的不等式组的解集为， ∴a>0. ∴0<a5且a≠3. 又a为整数，则a的值为1，2，4，5. 符合条件的所有整数a的积为. 故答案为：40. 【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为，找出a的取值范围是解题的关键． 18. 一个数位大于等于4的多位数n，规定其末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，则______；若能被11整除，则这个多位数就一定能被11整除，反之，一个数位大于等于4的多位数n能被11整除，则n的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差一定能被11整除．若两个四位数s，t，其中s能被11整除，且，t的千位数字为，百位数字为4，十位数字为3，个位数字为（a，b，c均为整数），规定，当时，则的最小值为______． 【答案】 ①. 13 ②. ## 【解析】 【分析】先求出根据定义求出，即可求解；由题意可知，，， s，t均为四位数，，，由，得，在根据s能被11整除，得，则，即，再根据，，，为整数，可得，为整数，再结合可知当越大，越小，依次可求解． 【详解】解：由题意可得， ∴； 由题意可得：，， ，， ∵s能被11整除，， ∴能被11整除，则能被11整除，t能被11整除， 则，即：， ∴， ∵能被11整除，且，为整数， ∴，则，即 ∵能被11整除，且，，，为整数， 即：，， ∵， ∴， ∴，，为整数， 当越大，越小， 即：当时，有最小值，， 故答案为：13；． 【点睛】此题主要考查了整除问题，能被11整除的数的特征，求出是解本题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： (1) (2) 【答案】(1)4；（2） 【解析】 【分析】（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； (2) 先算积的乘方和同底数幂的乘除法，再合并同类项即可； 【详解】（1）原式=1-1+4=4 （2）原式== 【点睛】考查实数的混合运算以及整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键. 20. 学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ ① ． ∵垂直平分， ∴ ② ． 又___________③ ． ∴． ∴． 小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形对角线中点的直线 ④ ． 【答案】作图：见解析；；；；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论． 【详解】解：如图，即为所求； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ ． ∵垂直平分， ∴． 又． ∴． ∴． 故答案为：；；； 由此得到命题：过平行四边形对角线中点直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分， 故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键． 21. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部； （2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度； （3）请将条形统计图补充完整； （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 【答案】（1）1，2；（2）°；（3）见解析；（4）见解析， 【解析】 【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数； （2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角； （3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整； （4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率． 【详解】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40， ∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6， ∴本次调查所得数据的众数是1部， ∵2+14+10=26＞21，2+14＜20， ∴中位数为2部． 故答案为：1，2 （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为： 故答案为：72°. （3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人 补全统计图如图所示． （4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D， 画树状图可得： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．解题时注意：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ． 22. 某商场计划销售甲、乙两种品牌的电脑，甲电脑进价比乙电脑高0.15万元/台．现计划用16万元购进甲电脑，15万元购进乙电脑，甲电脑数量与乙电脑数量之比恰好为2：3． （1）该商场计划购进甲、乙两种电脑各多少台？ （2）通过市场调研，甲电脑的利润率是10%，乙电脑的利润率是20%，该商场决定在原计划的基础上更改购进策略：减少甲电脑的购进数量，增加乙电脑的购进数量，已知乙电脑增加的数量是甲电脑减少的数量的3倍，且用于购进这两种电脑的总资金不超过35万元．更改购进策略后，该商场怎样进货，使全部销售后获得的总利润最大？并求出最大总利润．（利润=利润率×进价） 【答案】（1）甲电脑购进40台，乙电脑购进60台 （2）甲电脑购进29台，乙电脑购进93台使全部销售后获得的总利润最大，最大总利润为5.81万 【解析】 【分析】（1）设甲电脑进价万元/台，则乙电脑进价万元/台，根据题意可得，求出的值即可得到答案； （2）甲电脑减少台，则乙电脑增加台，根据题意可得，解得，再求出利润的表达式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲电脑进价万元/台，则乙电脑进价万元/台， 根据题意可得： 解得， 所以乙电脑进价0.25万元/台， 甲电脑购进台，乙电脑购进台； 【小问2详解】 解：甲电脑减少台，则乙电脑增加台， 根据题意可得：， 解得：， 全部销售后获得的总利润为， 当时，最大总利润为5.81万元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用一元一次不等式的应用，读懂题意，找准等量关系，列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． 23. 在中，，点P，Q分别从点A，点B同时出发，点P沿以每秒1个单位长度速度运动，点Q以每秒个单位长度的速度沿运动，点P到达点B时点Q同时停止运动．点P的运动时间为t秒，的面积记为，面积的记为，回答下列问题： （1）求出与t之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）当时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）； （2）图见解析，性质见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）分两种情形：当时，当时，求出，再求出边上的高，求出即可； （2）画出函数图象，可得结论； （3）构建方程组求出交点坐标，可得结论． 【小问1详解】 当时，； 当时，， 综上所述．， 过点作于点． ，，， ， ， ， ． 【小问2详解】 函数图象如图所示： 函数的性质：函数有最大值，最大值为6． 【小问3详解】 由，解得， 由，解得， 观察图象可知，当或时，． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 24. 阳春三月，春暖花开，某单位组织登山踏青活动．甲组从山脚A处沿东偏北方向的登山步道上山，乙组从山脚B处沿东北方向的登山步道上山，最后在观光道上的某处会合．已知A、B相距2000米，，与间的距离为1200米． （1）求观光道的长度； （2）两组同时出发，若甲组的平均速度为40米/分，乙组的平均速度为30米/分，为使两组同时到达会合处，应将会合处设在距离点D多少米处？（精确到个位）（参考数据：，，，） 【答案】（1）观光道的长度约为1600米 （2）应将会合处设在距离点D约为1024米处 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，矩形的判定以及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 （1） 过点D作，垂足为E，过点C作，交的延长线于点F，根据垂直定义可得，从而可得，进而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得米，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后根据已知可求出两组出发分钟后同时到达会合处，从而求出会合处与点D的距离，即可解答． 【小问1详解】 解：过点D作，垂足为E，过点C作，交的延长线于点F ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴(米) 在中， ， ∴(米) ∴(米) 观光道的长度约为1600米； 【小问2详解】 在中， ，米， ∴(米) 在中， ，米， ∴(米)， ∵甲组的平均速度为40米/分，乙组的平均速度为30米/分， ∴(分钟) ∴两组出发分钟后同时到达会合处， ∴ (米)， ∴应将会合处设在距离点D约为1024米处． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x＋c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC． （1）求该抛物线与直线AC的解析式； （2）若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE．求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标； （3）将原抛物线沿射线AD方向平移2个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2＋b1x＋c1（a≠0），新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）面积的最大值为，此时点的坐标为；（3）存在，点的坐标为，，， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解抛物线与直线AC的解析式； （2）过点作，交直线AD于点M,交轴于； 过点作于.，用点E的横坐标t分别表示线段ME的长，得出△ACE面积关于t的函数解析式，再利用二次函数的性质求出△ACE面积的最大值及点E的坐标； （3）先求出点D的坐标及线段BD的长，再按BD为腰或底边分别求出相应的情况下点P的坐标． 【详解】解：（1） 与轴交于、两点, ∴. ∴ . ∴. 设直线：， ， ∴， ∴， ∴， ∴. ∴抛物线的解析式为：，直线的解析式：. （2）过点作，交直线AD于点M,交轴于； 过点作于. , ∴四边形是矩形. ∴. 设点E的坐标为：，则M的坐标为：, ∴ . ∴ . ∴ . ，, ∴当时，. ∴. ∴点的坐标为：. ∴当时，面积的最大值为，此时点的坐标为：． （3）存在．如图2，在直线AC上取一点A′，使它的横坐标为1，则 ，， ∴点 即为抛物线平移后点A的对应点， 可知抛物线向右、向上各平移2个单位长度， ∵， ∴平移后的抛物线为，其顶点坐标为（3，0）； ∵原抛物线与新抛物线都经过点B（3，0）， ∴点B即为新抛物线与原抛物线的交点F． 作 轴于点K，则 ， ， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴． ∴． ①当 时，则点 与点D关于点A′对称， ∴ ； ②当时， ∵， ∴， ∴ ∴ ． ③当时, ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． ④当时,则， ∴ ∴， 点的坐标为：，，,． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、用待定系数法求函数解析式、求函数图象的交点坐标、等腰三角形存在性问题，解题时应注意数形结合、分类讨论等数学思想的运用，难度较大，属于中考压轴题． 26. 已知如图，是等边三角形，点D是直线上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，连接． （1）如图1，当时，与相交于点F，若，求的长； （2）如图2，当点D在的延长线上时，连接，延长交于点N，点M是的中点，连接，求证：； （3）如图3，点D在运动过程中，当最短时，直接写出的值． 【答案】（1）2 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质求出，再根据旋转性质求得，根据含角的直角三角形性质即得； （2）延长到点K，使得，连接，根据等边三角形性质证明， ，得到，，结合旋转性质证明，， ，证明，得到，，根据三角形中位线性质得到，根据即得； （3）将绕点A逆时针旋转，得到，连接，延长交的延长线于点H，设等边的边长为2，得到，，根据， ，推出，推出，得到，E点在直线上运动，得到时最短，证明，，到四边形是平行四边形，根据，得到是菱形，得到，当时，根据，得到，得到，得到，根据，，得到，即得． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 由旋转知，，， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 证明：延长到点K，使得，连接，如图2所示， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 由旋转知，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图3所示，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，延长交的延长线于点H，设等边的边长为2， 则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴E点在直线上运动， ∴当时最短， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形，旋转，四边形综合．熟练掌握等边三角形性质，等腰三角形性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形性质，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$