精品解析： 内蒙古呼和浩特市回民区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

八年级数学学科增值性评价数据采集 注意事项： 1.考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡的规定位置． 2.考生要将答案写在答题纸上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，本试题和答题卡一并交回． 3.本试卷满分100分，考试时间为90分钟． 一、选择题（本大题共8小题，1—6每小题2分，7、8每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 3. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A 对角相等 B. 对角线相等 C. 对边相等 D. 对角线互相平分 4. 如图，中，，，，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5. 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为（ ） A. 36 B. 42 C. 55 D. 25 6. 如图，在中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（　　） A. 四边形平行四边形 B. 如果，那么四边形是矩形 C. 如果平分平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形 D. 如果AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边形 AEDF 是正方形 7. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在矩形中，E是边上的一点，将沿所在直线折叠，点C落在边上，落点记为F，过点F作交于点G，连接．若，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. 20 D. 10 二、填空题（本大题共8小题，9—14每题2分，15、16每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程） 9. 比较大小：__．（填“”“”或“”） 10. 如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，化简的结果是____． 11. 如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为___． 12. 若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 _____． 13. 如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接，若，则的度数是___． 14. 《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、两点到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是______寸（1尺寸）． 15. 如图，在中，垂直平分，若E，F分别是和上的动点，则的最小值是______． 16. 大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接，相交于点，与相交于点，若，则直角三角形的边与之比是_______． 三、解答题（本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 19. 如图，已知正方形，P是对角线上任意一点，过点P作于点M，于点N． （1）求证：四边形是正方形； （2）若E是上一点，且，写出的度数． 20. 如图所示，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD的面积. 21. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 22. 已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∴， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 青你根据小明分析过程，解决下列问题： （1）化简：_________； （2）计算：； （3）若，求的值． 23. 综合与实践： 问题情境：数学课上，小王和小东两位同学利用三角板操作探究图形． 操作探究1：小王将两块全等含角的直角三角板按如图①方式在平面内放置，其中两锐角顶点重合于点，．已知长，则点、之间的距离为 ．（写出具体解答过程） 操作探究2：小东将两块全等的含角的直角三角板按如图②方式在平面内放置．其中两个角顶点重合于点，与重合，已知长，请你帮小东同学求出此对点、之间的距离； 操作探究3：随后，小王将图②中的换成了含角的三角板，同样是顶点重合于点，与重合，已知直角边与长均为，他还想求点，之间距离，你能求出此时点，之间的距离吗？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学学科增值性评价数据采集 注意事项： 1.考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡的规定位置． 2.考生要将答案写在答题纸上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，本试题和答题卡一并交回． 3.本试卷满分100分，考试时间为90分钟． 一、选择题（本大题共8小题，1—6每小题2分，7、8每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算以及二次根式的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2. 二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 在数轴上表示如下： 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 3. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对边相等 D. 对角线互相平分 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质判断即可. 【详解】解：矩形具有对角相等、对角线相等、对边相等与对角线互相平分的性质，而菱形具有对角相等、对边相等与对角线互相平分的性质，但不一定有对角线相等的性质； 故选：B. 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，明确矩形的对角线相等是解题的关键. 4. 如图，中，，，，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知：，由勾股定理得出：，进而再由勾股定理得出的长，此题得解． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理来求线段的长是解本题的关键． 5. 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为（ ） A. 36 B. 42 C. 55 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理应用以及根据正方形的性质求面积，设阴影部分的小正方形边长为a， 阴影部分的大正方形边长为b， 白色正方形的边长为C．根据题意有，又，即可得出答案． 【详解】解：设阴影部分的小正方形边长为a， 阴影部分的大正方形边长为b， 白色正方形的边长为C． 则阴影部分的面积为：, 根据题意有：， 又∵， ∴， 故阴影部分的面积之和为：． 故选：D． 6. 如图，在中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（　　） A. 四边形平行四边形 B. 如果，那么四边形是矩形 C. 如果平分平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形 D. 如果AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边形 AEDF 是正方形 【答案】D 【解析】 【详解】由DE∥CA,DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形； 又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形 故A. B正确； 如果AD平分∠BAC,那么∠EAD=∠FAD,又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF， ∴∠FAD=∠ADF， ∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形故C正确； 如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形，故D错误. 故选D 7. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， 同理可证，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键． 8. 如图，在矩形中，E是边上的一点，将沿所在直线折叠，点C落在边上，落点记为F，过点F作交于点G，连接．若，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. 20 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和勾股定理，可以求得的长，设，利用勾股定理列出方程，进而求得和的值，证明四边形是平行四边形，从而可以得到面积． 【详解】解：由折叠可知：，，， 则在矩形中，，，， ， ， 设，则，， ， ， 解得，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形的面积是：， 故选A． 【点睛】本题考查翻折变化、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（本大题共8小题，9—14每题2分，15、16每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程） 9. 比较大小：__．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，先将根号外的因数移到根号内，再根据所得结果比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 10. 如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，化简的结果是____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，数轴．由数轴得到，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴ ， 故答案为：． 11. 如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为___． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出，计算即可． 【详解】解：在中，为的中点，， ， 为的中位线，， ， ， 故答案为：1． 12. 若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】把24分解因数，分解出平方数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可． 【详解】解：， ∵是整数， ∴满足条件的最小正整数． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练把24分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键． 13. 如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接，若，则的度数是___． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等边对等角的性质. 连接，交于O，由矩形的性质得，，，，则，得，再证，由等腰三角形等边对等角的性质得，则，即可求解． 【详解】解∶连接，交于O，如图∶ ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 14. 《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、两点到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是______寸（1尺寸）． 【答案】101 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 设寸， 则寸，寸，寸． 在中，，即， 解得寸， 寸， 故答案为：101． 15. 如图，在中，垂直平分，若E，F分别是和上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识，把求最小值转化为求最小值是解题的关键；连接，过B作于G；由垂直平分，得，，则，当B、E、F三点共线，且即重合时，最小，从而最小；利用面积相等关系即可求得最小值． 【详解】解：如图，连接，过B作于G； ∵垂直平分， ∴，， ∴， 当B、E、F三点共线，且即重合时，最小， 从而最小，最小值为线段的长； ∵， ∴． 故答案为：． 16. 大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接，相交于点，与相交于点，若，则直角三角形的边与之比是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键. 先证明得到，再根据已知条件，结合等腰三角形的性质、正方形的性质求得，进而证明，得出，设，得到即可解答. 【详解】解：∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴， ∵四个全等的直角三角形拼成大正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 三、解答题（本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及二次根式的混合运算． （1）实数的混合运算，先化简绝对值和二次根式，再进行加减法． （2）二次根式的混合运算，按照二次根式的混合运算法则先算乘除，再算加减法． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）先计算，的值，进而根据平方差公式即可求解； （2）根据完全平方公式变形，结合平方差公式，即可求解； 【小问1详解】 由题意得： ∴ ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则以及乘法公式是解题的关键． 19. 如图，已知正方形，P是对角线上任意一点，过点P作于点M，于点N． （1）求证：四边形是正方形； （2）若E是上一点，且，写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和，角平分线性质，熟练掌握正方形的各种性质是证题的关键． （1）由四边形是正方形，易得，平分，又由，即可证得四边形PMAN是正方形； （2）根据正方形的性质得到，求得，根据三角形的内角和即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ，平分， ∵， ， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ， ∵， ， ∴． 20. 如图所示，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD的面积. 【答案】四边形ABCD的面积是6. 【解析】 【分析】连接BD，根据勾股定理可计算出BD的长度，再由勾股定理逆定理可判断出△ABD为直角三角形，分别计算出△ABD和△BCD的面积，求和即可． 【详解】连接BD， ∵∠C=90°， ∴△BCD为直角三角形， ∴BD2=BC2+CD2=22+12=（）2，BD＞0， ∴BD=， 在△ABD中， ∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25， ∴AB2+BD2=AD2， ∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°， ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×2×+×2×1=6． ∴四边形ABCD的面积是6． 【点睛】本题关键在于利用勾股定理逆定理判定出直角三角形，从而求出三角形的面积． 21. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定及性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质． （1）由和平分可得，从而，进而根据菱形的定义得证结论； （2）由求出，进而，，在中，根据勾股定理构造方程，即可求得的长，根据面积公式即可解答． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴， ∵在菱形中，， ∴． 22. 已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∴， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 青你根据小明的分析过程，解决下列问题： （1）化简：_________； （2）计算：； （3）若，求值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接分母有理化得出答案； （2）直接分母有理化得出答案； （3）根据题意得出的值，再得出，然后把原式变形得出答案即可． 【小问1详解】 解：． 故答案为：； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式化简求值、运用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确完成二次根式的化简是解题关键． 23. 综合与实践： 问题情境：数学课上，小王和小东两位同学利用三角板操作探究图形． 操作探究1：小王将两块全等的含角的直角三角板按如图①方式在平面内放置，其中两锐角顶点重合于点，．已知长，则点、之间的距离为 ．（写出具体解答过程） 操作探究2：小东将两块全等的含角的直角三角板按如图②方式在平面内放置．其中两个角顶点重合于点，与重合，已知长，请你帮小东同学求出此对点、之间的距离； 操作探究3：随后，小王将图②中的换成了含角的三角板，同样是顶点重合于点，与重合，已知直角边与长均为，他还想求点，之间距离，你能求出此时点，之间的距离吗？ 【答案】操作探究1：，过程见解析；操作探究2：；操作探究3：能， 【解析】 【分析】操作探究：连接证明四边形为正方形，根据已知可得、、三点共线结合已知条件，由勾股定理在直角三角形中可求得的长； 操作探究：连接.由已知条件可得三角形为正三角形，进而得，，则，在直角三角形中，根据勾股定理可得的长； 操作探究：过作的延长线于点，过作的延长线于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质可得，连接，可证明三角形全等于三角形，则，进而得三角形为等腰直角三角形，在直角三角形中可得的长，充分利用直角三角形中度角对的直角边等斜边的一半的性质．利用等腰直角三角形中斜边等于直角边的倍即可解决． 【详解】操作探究1：解：连接， ，，， 且， 四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 、、三点共线， ， 直角三角形中，根据勾股定理可得： ； 操作探究2：连接， ，， 是等边三角形， ，， 在中，，， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ； 操作探究3：过作的延长线于点，过作的延长线于点，如图所示： ， 四边形是矩形， ，连接， 中点且， ∴，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或（舍去）， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ； 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，度角所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形中，斜边等于直角边的倍，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$