精品解析：甘肃省天水市第一中学2023-2024学年高二下学期第二学段检测考试（6月）数学试题

天水一中高二级2023—2024学年度第二学期第二学段检测考试 数学试题 命题：赵飞 审核：谢晓峰 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 3. 在四棱锥中，若，则实数组可能为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 6. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于概率统计的说法中正确的是（ ） A. 某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 已知回归直线方程为，若样本中心为，则 D. 两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 10. 已知，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形ABCD中，，，M是AD的中点，将沿着直线BM翻折得到．记二面角的平面角为，当的值在区间范围内变化时，下列说法正确的有（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 若四棱锥的体积最大时，点B到平面的距离为 D. 若直线与BC所成的角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若异面直线的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 _____． 13. 已知变量和之间的关系可以用模型来拟合．设，若根据样本数据计算可得，且与的线性回归方程为，则_______．（参考数据：） 14. 若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间和最小值. 16. 2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 80 感染支原体肺炎 40 合计 120 200 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？ （2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差． 附：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 如图，已知四棱锥中，点在平面内的投影为点，，. （1）求证：平面平面； （2）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值. 18. 2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： （日） 1 2 3 4 5 （万人） 45 50 60 65 80 （1）计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？ 参考公式：，，， 参考数据：． 19. 帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为． （1）求实数a，b的值； （2）比较与的大小； （3）若在上存在极值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水一中高二级2023—2024学年度第二学期第二学段检测考试 数学试题 命题：赵飞 审核：谢晓峰 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求导公式计算，得到答案. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：C 2. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点分布得基本性质即可求解. 【详解】由题意可知，当时，即，解得， 又因为随机变量服从两点分布，且， 所以. 故选：D. 3. 在四棱锥中，若，则实数组可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用底面是平行四边形判断A，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断BCD． 【详解】选项A，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，A可能取得； 选项B，若，则，B错误； 选项C，若，则，C错误； 选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，D错． 故选：A． 4. 若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果. 【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ． 故选:B． 5. 根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据原来的经验回归方程求出，经计算可知去除两个样本点后，样本点的中心仍为，代入重新求得的经验回归方程，即可求出的值． 【详解】因为原来的经验回归方程为，且平均数， 所以， 因为去除的两个样本点和，并且，， 所以去除两个样本点后，样本点的中心仍为， 代入重新求得的经验回归方程，可得， 解得． 故选：C． 6. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可． 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离为， 故选：D． 7. 已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据已知条件判断的单调性，奇偶性，结合的模拟草图，数形结合即可求得结果. 【详解】令，则，由题可知，当时，，故在单调递减； 又为奇函数，也为奇函数，故为偶函数，则在单调递增； 又，则，画出的模拟草图如下所示： 当时，，则，数形结合可知，此时； 当，因为为上的奇函数，故，不满足题意； 当，，则，数形结合可知，此时； 综上所述：的解集为. 故选：A. 8. 小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，事件B：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子.先利用全概率公式求，然后再由条件概率公式可得. 【详解】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，， 事件B：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子. 则，，，， 当时，， 由题知，， 所以， 又， 所以. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于概率统计的说法中正确的是（ ） A. 某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 已知回归直线方程为，若样本中心为，则 D. 两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，可利用不等式法求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可验算；对于C，将样本中心坐标代入回归方程即可验算；对于D，由相关系数的意义即可判断. 【详解】对于，故， 令，解得，故，故A正确； 对于，故错误； 对于，回归直线必过样本中心，可得，解得，故C正确； 对于，两个变量的相关系数为越小，与之间的相关性越弱，故D错误. 故选：AC. 10. 已知，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较；对于B，举反例判断即可；对于C，构造函数，利用导数研究函数最值即可判断；对于D，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较. 【详解】设，则，在单调递增， 所以，即，即，A正确； 令，，则，而，所以，B不正确； 设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 则在时取得最小值，即，C正确； 设，则，所以在上是增函数， 所以由得，即，D正确. 故选：ACD 11. 如图，在矩形ABCD中，，，M是AD的中点，将沿着直线BM翻折得到．记二面角的平面角为，当的值在区间范围内变化时，下列说法正确的有（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 若四棱锥的体积最大时，点B到平面的距离为 D. 若直线与BC所成的角为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到即为二面角的平面角，，当时，平面，证明出线线垂直，进而得到线面垂直，得到；BCD选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用线线角的夹角公式得到，B错误；C选项，确定当时，体积最大，利用点到平面向量距离公式进行计算；D选项，计算出. 【详解】A选项，连接，取的中点，的中点， 连接，则， 故即为二面角的平面角，即， 当时，平面， 因为平面，所以， 因为矩形ABCD中，，，M是AD的中点， 所以，故为等腰直角三角形， 故，⊥， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 存在，使得，A正确； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，垂直于此平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 当时，， 此时，， 故， 故不存在，使得，B错误； C选项，当时，平面，此时四棱锥的体积最大， 此时， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 故点到平面的距离，C正确； D选项，，， 故 ，D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两异面直线所成的角为，； ②直线与平面所成的角为，； ③二面角的大小为，. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若异面直线的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积与模长公式计算夹角即可. 【详解】设异面直线与的夹角为，则， . 故答案为： 13. 已知变量和之间的关系可以用模型来拟合．设，若根据样本数据计算可得，且与的线性回归方程为，则_______．（参考数据：） 【答案】0.3 【解析】 【分析】利用非线性回归通过拟合函数计算即可. 【详解】由题意知，解得， 所以， 由，得，所以， 则． 故答案为：0.3 14. 若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”，；同时每次运动点不是由上底面运动来，就是由下底面运动来的，则可由全概率公式得到递推关系，然后构造数列求通项即可. 【详解】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”， 设，则， 由题意知，， 则由全概率公式可得，， 则， 即，两边同减去可得，， 又已知， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 故当时，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间和最小值. 【答案】（1） （2） 当时，在上的单调递增区间为，无单调递减区间，； 当时，的单调减区间为，单调增区间为，； 当时，在上的单调递减区间为，无单调递增区间，. 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）分类讨论即可根据导函数的正负，即可求解单调性得解. 【小问1详解】 当时，，则， 故，， 故切线方程为，即， 【小问2详解】 且， 当时，，的单调增区间为，； 当时，若，，若，， 所以的单调减区间为，单调增区间为，； 当时，，所以的单调减区间为，， 综上，当时，在上的单调递增区间为，无单调递减区间，； 当时，的单调减区间为，单调增区间为，； 当时，在上的单调递减区间为，无单调递增区间，. 16. 2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 80 感染支原体肺炎 40 合计 120 200 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？ （2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差． 附：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1） 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 40 80 感染支原体肺炎 80 40 120 合计 120 80 200 0 1 2 3 ，有关. （2）的分布列为：，.【解析】 【分析】（1）根据已知数据完善列联表，计算卡方值并与临界值比较即可； （2）根据二项分布概率公式写出分布列，再计算其期望和方差即可. 【小问1详解】 （1）列联表，如图所示： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 40 80 感染支原体肺炎 80 40 120 合计 120 80 200 假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关. 则， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为， 由已知得， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以,. 17. 如图，已知四棱锥中，点在平面内的投影为点，，. （1）求证：平面平面； （2）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明如下： 设中点为，连接， 因为，且，故四边形为正方形， 而，，， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以，又平面，， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）设中点为，连接，即可得到四边形为正方形，利用勾股定理逆定理得到，再由线面垂直的性质得到，即可证明平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，所以，， 设平面的法向量为，则，即，令，所以， 由（1）知，平面的法向量为， 设平面与平面所成角为，则，所以， 即，解得或（舍去）， 所以. 18. 2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： （日） 1 2 3 4 5 （万人） 45 50 60 65 80 （1）计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？ 参考公式：，，， 参考数据：． 【答案】（1），可以认为两者的相关性很强 （2） （3）当时，恰有一次中奖的概率最大 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的公式计算并判断； （2）根据公式求出，得解； （3）根据题意可得，判断的单调性可得，即，由二项分布得，利用导数求出最大值. 【小问1详解】 因为， 所以 ， ， ， 所以 ， 由此可以认为两者的相关性很强． 【小问2详解】 由（1）知，． 所以=． 因为，所以回归方程为． 【小问3详解】 记， ， ，即． ，令， 则，得，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值．由，解得或（舍去）， 当时，恰有一次中奖的概率最大． 【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是根据题意列出的表达式，并判断单调性求出的范围，利用二项分布求出，借助导数求出最大值. 19. 帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为． （1）求实数a，b的值； （2）比较与的大小； （3）若在上存在极值，求的取值范围． 【答案】（1），； （2） 时，；时，． （3）． 【解析】 【分析】（1）由，，列方程组求实数a，b的值； （2）令利用导数研究单调性，又，可比较与的大小； （3）由在上存在极值，所以在上存在变号零点，通过构造函数分类讨论，对的零点进行分析． 【小问1详解】 由，，有， 可知，，，， 由题意，，，所以，所以，． 【小问2详解】 由（1）知，，令， 则， 所以在其定义域内为增函数，又， 时，；时，； 所以时，；时，． 【小问3详解】 由， ． 由在上存在极值，所以在上存在变号零点． 令，则，． ①时，，为减函数，，在上为减函数，，无零点，不满足条件． ②当，即时，，为增函数，，在上为增函数，，无零点，不满足条件． ③当，即时，令即，． 当时，，为减函数；时，，为增函数， ； 令，，，在时恒成立， 在上单调递增，，恒成立； ，，，则，， ； ， 令， 令，， 则在是单调递减，，所以， ， 令，则，，． ，即． 由零点存在定理可知，在上存在唯一零点， 又由③知，当时，，为减函数，， 所以此时，，在内无零点， 在上存在变号零点，综上所述实数m的取值范围为． 【点睛】方法点睛： 利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，而构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $