山东省济南市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题

2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣2x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 2．（5分）为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是（　　） A．老年男性志愿者人数为90 B．青年女性志愿者人数为72 C．老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数 D．中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数 3．（5分）一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为（　　） A．70 B．256 C．1680 D．4096 4．（5分）袋子里有6个大小相同的球，其中2个黑球，4个白球，有放回的取3次，每次随机取1个，设此过程中取到黑球的次数为ξ，则P（ξ＝1）＝（　　） A． B． C． D． 5．（5分）已知（x+m）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a5（x+1）5，且ai＝32，则实数m＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 6．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，若f′（x）+f（x）＞0，f（1）＝，则的解集是（　　） A．（0，1） B．（0，e） C．（1，+∞） D．（e，+∞） 7．（5分）将三项式展开，得到下列等式： （x2+x+1）0＝1； （x2+x+1）1＝x2+x+1； （x2+x+1）2＝x4+2x3+3x2+2x+1； （x2+x+1）3＝x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1； …… 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角： 若关于x的多项式（x2+ax﹣3）（x2+x+1）5的展开式中，x8的系数为30，则实数a＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 8．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+a2+（e2x+2﹣2a）2，若存在x0，使得成立，则＝（　　） A．2 B．5 C．﹣2 D．﹣5 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 （多选）9．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3x﹣2，则（　　） A．f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增 B．f（x）有两个极值点 C．f（x）有三个零点 D．直线y＝﹣4是曲线y＝f（x）的切线 （多选）10．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为 X ﹣1 0 1 P 则下列说法正确的是（　　） A．t＝1或 B． C． D．D（8X+9）＝64 （多选）11．（5分）为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），经计算得：xi＝60，yi＝1200，）2＝80，）＝640．该小组利用这组数据分别建立了y关于x的线性回归方程l1：＝x+和x关于y的线性回归方程l2：＝y+，并把这两条拟合直线画在同一平面直角坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致．则下列说法正确的是（　　） 附：y关于x的线性回归方程＝+x中，＝，＝，r＝． A．＝8 B．＞1 C．l1经过点（3，60） D．l2经过点（3，60） （多选）12．（5分）记两个函数，g（x）＝xα的图象的公共点个数是φ（A，α），则（　　） A．φ（1，﹣1）＝1 B．φ（1，1）＝1 C．φ（1，2）＝1 D． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）已知，则的值为 　 　． 14．（5分）已知随机变量X～N（μ，σ2），若P（X＜2）＝0.2，P（x＜3）＝0.5，则P（X＜4）的值为 　 　． 15．（5分）已知函数f（x）＝x（lnx+a）在（1，+∞）上单调递增，则a的最小值为 　 　． 16．（5分）为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种果实颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占．果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占．根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为 　 　． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射升空，备受关注的“天宫课堂”将继续授课．为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据： 喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 合计 男生 75 女生 45 合计 200 已知从这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢“天宫课堂”的学生的概率为． （1）请将上面的2×2列联表补充完整； （2）根据以上数据，依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“天宫课堂”与性别有关联？ 附： α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中n＝a+b+c+d． 18．（12分）已知． （1）求n的值； （2）求的二项展开式中的常数项． 19．（12分）已知函数． （1）若f（x）在x＝2处取得极值，求实数a的值； （2）讨论f（x）的单调性． 20．（12分）某学校举办知识竞赛，规则是：比赛共三轮，每名选手只有通过上一轮才能进入下一轮，每轮比赛有两次挑战机会，若第一次挑战成功则直接进入下一轮，第一次不成功可以再挑战一次，若成功同样进入下一轮，两次均未成功，选手比赛终止．已知每次挑战是否成功相互独立． （1）若选手甲第一轮每次挑战成功的概率为，第二轮每次挑战成功的概率为，求选手甲可以进入第三轮的概率； （2）已知共有2000名选手参加竞赛，竞赛采用计分制，选手得分X～N（212，σ2），其中270分以上的选手有46名，学校决定对得分高的前317名选手进行表彰，若选手乙的得分为231分，问乙能否获得表彰． 附：若随机变量X～N（μ，σ²），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.683；P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954；P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.997． 21．（12分）为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产． （1）现从试产的新产品中取出6件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对6件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望； （2）设每件新产品为次品的概率都为p（0＜p＜1），且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为f（p），问p取何值时，f（p）最大． 22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣1+ax2，其中a∈R． （1）若f（x）存在唯一的极值点，求a的取值范围； （2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：． 2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣2x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】求导，求出f'（1）＝﹣1+2＝1即为切线斜率，然后求出切线方程即可； 【解答】解：函数f（x）＝lnx﹣2x，可得f'（x）＝﹣2，所以f'（1）＝1﹣2＝﹣1， 因此曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为﹣1； 故选：B． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线斜率的求法，是基础题． 2．（5分）为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是（　　） A．老年男性志愿者人数为90 B．青年女性志愿者人数为72 C．老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数 D．中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数 【分析】根据统计图表可依次判断． 【解答】解：根据饼状图老年志愿者占比10%，则人数为10%×300＝30＜90，故A错， 青年志愿者占比60%，则人数为300×60%＝180人，而女性占比40%，则青年女性志愿者人数为180×40%＝72，故B正确； 老年女性志愿者人数为30×70%＝21人，中年女性人数为300×30%×30%＝27人，则C错误； 中年男性志愿者人数为300×30%×70%＝63人，青年男性志愿者人数为300×60%×60%＝108，则D错误． 故选：B． 【点评】本题考查统计相关知识，属于基础题． 3．（5分）一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为（　　） A．70 B．256 C．1680 D．4096 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合排列数的运算求解即可． 【解答】解：一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车， 则不同的停放方法数为＝8×7×6×5＝1680． 故选：C． 【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了排列数的运算，属基础题． 4．（5分）袋子里有6个大小相同的球，其中2个黑球，4个白球，有放回的取3次，每次随机取1个，设此过程中取到黑球的次数为ξ，则P（ξ＝1）＝（　　） A． B． C． D． 【分析】先确定ξ＝1表示三次中，有且只有一次取到黑球，再求出每一次取到黑球的概率，进而求解即可． 【解答】解：由题意可知ξ＝1表示三次中，有且只有一次取到黑球，另外两次取到白球， 每一次取到黑球的概率为，则取到白球的概率为， 所以P（ξ＝1）＝×＝． 故选：C． 【点评】本题主要考查古典概型和离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题． 5．（5分）已知（x+m）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a5（x+1）5，且ai＝32，则实数m＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】令x＝0，即可求解m的值． 【解答】解：已知（x+m）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a5（x+1）5，且ai＝32， 则令x＝0，可得ai＝m5＝32，解得m＝2． 故选：D． 【点评】本题主要考查二项式定理，考查赋值法的应用，考查运算求解能力，属于基础题． 6．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，若f′（x）+f（x）＞0，f（1）＝，则的解集是（　　） A．（0，1） B．（0，e） C．（1，+∞） D．（e，+∞） 【分析】根据条件的结构特征构造函数g（x）＝exf（x），利用导数判断其单调性，然后将不等式变形成g（x1）＜g（x2）形式，结合已知可解． 【解答】解：记g（x）＝exf（x），则g′（x）＝exf（x）+exf′（x）＝ex[f′（x）+f（x）]， 因为f′（x）+f（x）＞0，所以g′（x）＞0，所以g（x）在R上单调递增， 由知x＞0，所以原不等式等价于xf（lnx）＜1， 又因为f（1）＝，所以g（1）＝ef（1）＝1， 所以原不等式等价于elnxf（lnx）＜ef（1），即g（lnx）＜g（1）， 所以lnx＜1，解得0＜x＜e，即的解集是（0，e）． 故选：B． 【点评】本题考查了导数的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题． 7．（5分）将三项式展开，得到下列等式： （x2+x+1）0＝1； （x2+x+1）1＝x2+x+1； （x2+x+1）2＝x4+2x3+3x2+2x+1； （x2+x+1）3＝x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1； …… 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角： 若关于x的多项式（x2+ax﹣3）（x2+x+1）5的展开式中，x8的系数为30，则实数a＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】由题意可得：（x2+x+1）5＝x10+5x9+15x8+30x7+45x6+51x5+45x4+30x3+15x2+10x+1，然后结合二项式定理求解即可． 【解答】解：由题意可得：（x2+x+1）5＝x10+5x9+15x8+30x7+45x6+51x5+45x4+30x3+15x2+10x+1， 则（x2+ax﹣3）（x2+x+1）5的展开式中，x8的系数为1×45+a×30+（﹣3）×15＝30a， 又x8的系数为30， 则30a＝30， 即a＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了归纳推理，属中档题． 8．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+a2+（e2x+2﹣2a）2，若存在x0，使得成立，则＝（　　） A．2 B．5 C．﹣2 D．﹣5 【分析】由题意，函数f（x）可以看作是动点M（x，e2x+2）与动点N（a，2a）之间距离的平方，因为动点M在函数g（x）＝e2x+2的图象上，动点N在直线y＝2x上，此时问题转化成求直线上的动点到曲线的最小距离，利用点到直线的距离公式再按部就班进行求解即可． 【解答】解：已知函数f（x）＝x2﹣2ax+a2+（e2x+2﹣2a）2＝（x﹣a）2+（e2x+2﹣2a）2， 此时函数f（x）可以看作是动点M（x，e2x+2）与动点N（a，2a）之间距离的平方， 因为动点M在函数g（x）＝e2x+2的图象上，动点N在直线y＝2x上， 要求问题转化成求直线上的动点到曲线的最小距离， 易知g′（x）＝2e2x+2，y′＝2， 此时2e2x+2＝2， 解得x＝﹣1， 则点（﹣1，1）到直线y＝2x的最小距离d＝， 所以f（x）≥d2＝， 若存在x0，使得成立， 此时f（x0）＝， 即直线MN与直线y＝2x垂直，点N恰好为垂足， 因为kMN＝＝， 所以×2＝﹣1， 解得a＝， 则＝＝﹣5． 故选：D． 【点评】本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 （多选）9．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3x﹣2，则（　　） A．f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增 B．f（x）有两个极值点 C．f（x）有三个零点 D．直线y＝﹣4是曲线y＝f（x）的切线 【分析】由题意，对函数f（x）进行求导，利用导数得到函数f（x）的单调性，作出函数f（x）图象，利用数形结合即可判断选项A、B、C，设切点为（x0，f（x0）），求出曲线y＝f（x）在切点处的切线方程，若直线y＝﹣4是曲线y＝f（x）的切线，列出等式求出切点坐标，进而即可判断选项D． 【解答】解：已知f（x）＝x3﹣3x﹣2，函数定义域为R， 可得f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1）， 当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 所以当x＝﹣1时，函数f（x）取得极大值，极大值f（﹣1）＝0， 当x＝1时，函数f（x）取得极小值，极小值f（1）＝﹣4， 当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→+∞， 作出函数f（x）图象如下所示： 所以函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，故选项A错误； 函数f（x）有两个极值点，别分为x＝﹣1，x＝1，故选项B正确； 函数f（x）存在两个零点，故选项C错误； 不妨设切点为（x0，f（x0））， 则曲线y＝f（x）在切点处的切线方程为y﹣（﹣3x0﹣2）＝（3﹣3）（x﹣x0）， 即y＝（3﹣3）x﹣2﹣2， 若直线y＝﹣4是曲线y＝f（x）的切线， 此时， 解得x0＝1，符合题意， 则直线y＝﹣4是曲线y＝f（x）的切线，故选项D正确． 故选：BD． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力． （多选）10．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为 X ﹣1 0 1 P 则下列说法正确的是（　　） A．t＝1或 B． C． D．D（8X+9）＝64 【分析】根据题意，由分布列的性质可得有+2t2﹣t﹣+t＝1，由此求出t的值，可得A错误，进而求出E（x）、D（X）可得B、C正确，再分析D（8x+9）的值，可得D错误，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，由X的分布列，有+2t2﹣t﹣+t＝1，解可得t＝1或﹣， 又由，则t＝1，A错误； 对于B，由A的结论，t＝1， 则离散型随机变量X的分布列为 X ﹣1 0 1 P 则E（X）＝（﹣1）×+0×+1×＝，B正确； 对于C，D（X）＝（﹣1﹣）2×+（0﹣）2×+（1﹣）2×＝，C正确； 对于D，D（8X+9）＝64D（x）＝55，D错误． 故选：BC． 【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及期望、方差的计算，属于基础题． （多选）11．（5分）为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），经计算得：xi＝60，yi＝1200，）2＝80，）＝640．该小组利用这组数据分别建立了y关于x的线性回归方程l1：＝x+和x关于y的线性回归方程l2：＝y+，并把这两条拟合直线画在同一平面直角坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致．则下列说法正确的是（　　） 附：y关于x的线性回归方程＝+x中，＝，＝，r＝． A．＝8 B．＞1 C．l1经过点（3，60） D．l2经过点（3，60） 【分析】根据参考数据与公式计算的值，可判断A；由回归系数的计算公式，可知•＝r2≤1，从而判断B；计算样本中心点（，），即可判断选项C和D． 【解答】解：对于选项A，＝＝＝8，即选项A正确； 对于选项B，因为＝， 所以•＝r2≤1，即选项B错误； 对于选项C和D，由题意知，＝xi＝3，＝yi＝60， 所以线性回归方程l1和l2均经过样本中心点（3，60），即选项C和D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查线性回归方程，理解回归系数的求法，样本中心点的含义与求法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． （多选）12．（5分）记两个函数，g（x）＝xα的图象的公共点个数是φ（A，α），则（　　） A．φ（1，﹣1）＝1 B．φ（1，1）＝1 C．φ（1，2）＝1 D． 【分析】对每一选项，作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，由两函数图象的交点个数即可判断． 【解答】解：对于A，当A＝1，α＝﹣1时，f（x）＝tanx，x∈（﹣，），g（x）＝x﹣1， 在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，如图所示： 由此可得两函数有2个交点，所φ（1，﹣1）＝2，故A错误； 对于B，当A＝1，α＝1时，f（x）＝tanx，x∈（﹣，），g（x）＝x， 在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，如图所示： 由此可得两函数有1个交点，所φ（1，1）＝1，故B正确； 对于C，当A＝1，α＝2时，f（x）＝tanx，x∈（﹣，），g（x）＝x2， 在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，如图所示： 由此可得两函数有1个交点，所φ（1，2）＝1，故C正确； 对于D，当A＝2，α＝时，f（x）＝2tanx，x∈（﹣，），g（x）＝＝， 在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，如图所示： 由此可得两函数有2个交点，所φ（2，）＝2，故D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查了正切函数的图象、幂函数的图象、转化思想、数形结合思想，属于中档题． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）已知，则的值为 　66　． 【分析】根据排列数与组合数相关运算可解． 【解答】解：因为，即n（n﹣1）＝90，且n∈N+， 则n＝10， 则＝66． 故答案为：66． 【点评】本题考查排列组合数公式，属于基础题． 14．（5分）已知随机变量X～N（μ，σ2），若P（X＜2）＝0.2，P（x＜3）＝0.5，则P（X＜4）的值为 　0.8　． 【分析】根据正态分布曲线的对称性可解． 【解答】解：因为随机变量X～N（μ，σ2），若P（X＜2）＝0.2，P（X＜3）＝0.5， 则对称轴为μ＝3， 则P（2＜X＜3）＝0.5﹣0.2＝0.3， 则P（X＜4）＝0.5+0.3＝0.8． 故答案为：0.8． 【点评】本题考查正态分布曲线的对称性，属于中档题． 15．（5分）已知函数f（x）＝x（lnx+a）在（1，+∞）上单调递增，则a的最小值为 　﹣1　． 【分析】由题意可得以f′（x）＝lnx+a+1≥在（1，+∞）上恒成立，即a≥﹣lnx﹣1在（1，+∞）上恒成立，令g（x）＝﹣lnx﹣1，求出g（x）的范围，即可求解a的最小值． 【解答】解：因为函数f（x）＝x（lnx+a）在（1，+∞）上单调递增， 所以f′（x）＝lnx+a+1≥0在（1，+∞）上恒成立， 即a≥﹣lnx﹣1在（1，+∞）上恒成立， 令g（x）＝﹣lnx﹣1，因为g（x）在（1，+∞）上单调递减， 所以g（x）＜g（1）＝﹣1， 所以a≥﹣1，即a的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题这样考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题． 16．（5分）为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种果实颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占．果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占．根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为 　　． 【分析】首先计算黄皮非红肉的番茄的概率，再根据果肉不是红色的番茄中果皮为黄色的占比，求出非红肉番茄的概率，进而求出红肉番茄的概率． 【解答】解：黄皮非红肉的番茄为P1＝＝＝， 因为果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占， 所以＝，解得P非红肉＝＝＝， 因此P红肉＝1﹣P非红肉＝1﹣＝． 故答案为：． 【点评】本题考查古典概型及其概率计算，属基础题． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射升空，备受关注的“天宫课堂”将继续授课．为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据： 喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 合计 男生 75 女生 45 合计 200 已知从这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢“天宫课堂”的学生的概率为． （1）请将上面的2×2列联表补充完整； （2）根据以上数据，依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“天宫课堂”与性别有关联？ 附： α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中n＝a+b+c+d． 【分析】（1）根据题意可补充2×2列联表； （2）利用独立性检验相关知识可解． 【解答】解：（1）由题意可得： 喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 合计 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 （2）零假设为H0：喜欢天宫课堂与性别之间无关联， x2＝≈8.791＞6.635， 根据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢天宫课堂与性别有关系， 故依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能认为该校学生喜欢“天宫课堂”与性别有关联． 【点评】本题考查独立性检验思想，属于中档题． 18．（12分）已知． （1）求n的值； （2）求的二项展开式中的常数项． 【分析】（1）根据二项式定理可解； （2）求出二项式展开式的通项公式，然后令x的指数为0，由此即可求解． 【解答】解：（1）因为＝（1+2）n﹣1， 解得n＝6； （2）由（1）知，n＝6， ∴ 的通项公式为＝，r＝0，1，…，6， 令6﹣＝0，解得r＝4， ∴展开式中的常数项为 ， 故二项展开式中的常数项为． 【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于基础题． 19．（12分）已知函数． （1）若f（x）在x＝2处取得极值，求实数a的值； （2）讨论f（x）的单调性． 【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可． 【解答】解：（1）依题意，， 则， 解得：a＝2， 经检验，符合题意． （2）函数定义域为 （0，+∞），因为 ， 所以，当a＝1时 ，f（x）在 （0，+∞） 单调递增； 当a≤0时，若0＜x＜1，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）递减， 若x＞1，f'（x）＞0，f（x）在 （1，+∞） 递增； 当0＜a＜1时，若a＜x＜1，f'（x）＜0，f（x）在 （a，1）单调递减， 若0＜x＜a或x＞1，f'（x）＞0，f（x）在（0，a）和 （1，+∞） 递增； 当a＞1时，若1＜x＜a，f'（x）＜0，f（x）在（1，a）单调递减， 若0＜x＜1或x＞a，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）和 （a，+∞） 单调递增； 综上，当a≤0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增； 当0＜a＜1时，f（x）在（a，1）单调递减，在（0，a）和（1，+∞）单调递增； 当a＝1时，f（x）在（0，+∞）单调递增； 当a＞1时，f（x）在（1，a）单调递减，在（0，1）和（a，+∞）单调递增． 【点评】本题考查了函数的单调性，极值考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题． 20．（12分）某学校举办知识竞赛，规则是：比赛共三轮，每名选手只有通过上一轮才能进入下一轮，每轮比赛有两次挑战机会，若第一次挑战成功则直接进入下一轮，第一次不成功可以再挑战一次，若成功同样进入下一轮，两次均未成功，选手比赛终止．已知每次挑战是否成功相互独立． （1）若选手甲第一轮每次挑战成功的概率为，第二轮每次挑战成功的概率为，求选手甲可以进入第三轮的概率； （2）已知共有2000名选手参加竞赛，竞赛采用计分制，选手得分X～N（212，σ2），其中270分以上的选手有46名，学校决定对得分高的前317名选手进行表彰，若选手乙的得分为231分，问乙能否获得表彰． 附：若随机变量X～N（μ，σ²），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.683；P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954；P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.997． 【分析】（1）根据全概率公式可解； （2）利用正态分布曲线的对称性可解． 【解答】解：（1）设Bi：第i次通过第二关，Ai：第i次通过第一关，甲可以进入第三关的概率为P， 由题意知P＝（P（A1）+P（））•（P（B1）+P（））＝（）（）＝． （2）∵选手得分X～N（212，σ2）， ∴对称轴为μ＝212， ∵，且 ， ∴，且 ， ∴μ+2σ＝270，则， ∴前317名参赛者的最低得分高于μ+σ＝241，而乙的得分为231分，所以乙无法获得奖励． 【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了正态分布曲线的对称性，属于中档题． 21．（12分）为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产． （1）现从试产的新产品中取出6件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对6件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望； （2）设每件新产品为次品的概率都为p（0＜p＜1），且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为f（p），问p取何值时，f（p）最大． 【分析】（1）根据X的取值分别为 2，3，4，5，6，求得X的分布列，进而求解即可； （2）根据题意求出f（p）的表达式，再根据求导，判断单调性即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可知X的取值可能为 2，3，4，5，6， 则可以得到：，P（X＝3）＝×＝，P（X＝4）＝×＝， P（X＝5）＝×＝，P（X＝6）＝＝， 则X的分布列为： X 2 3 4 5 6 P 所以E（X）＝2×+3×+4×+5×+6×＝； （2）由题意可得， 所以＝， 令f′（p）＝0，解的， 因为当 时，f′（p）＞0，所以f（p）为单调增函数； 因为当 时，f′（p）＜0，所以f（p）为单调减函数， 所以，当 时，f（p）取得最大值． 【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题． 22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣1+ax2，其中a∈R． （1）若f（x）存在唯一的极值点，求a的取值范围； （2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：． 【分析】（1）由题意，对函数f（x）进行求导，构造函数g（x）＝f'（x），对函数g（x）进行求导，分别讨论当a＞0，a＝0和a＜0这三种情况，结合导数的几何意义进行求解即可． （2）结合（1）中信息可知只有当且x1，x2均为正数时满足条件，整理得+＞，将求证，转化成求证x1+x2＞2，利用对数的运算性质可得＝1，再证＞，利用换元法，令＝t，t＞1，构造函数h（t）＝lnt﹣，对函数h（t）进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可求证． 【解答】解：（1）已知f（x）＝ex﹣1+ax2，其中a∈R，函数定义域为R， 可得f'（x）＝ex+2ax， 不妨设g（x）＝f'（x），函数定义域为R， 可得g'（x）＝ex+2a， 当a＞0时，g'（x）＞0， 所以函数g（x）在R上单调递增， 即函数f'（x）在R上单调递增， 又f'（﹣）＜0，f'（0）＝1＞0， 所以f'（x）在R上存在唯一变号零点， 即函数f（x）存在唯一的极值点，符合题意； 当a＝0时， 易知函数f（x）＝ex﹣1在R上单调递增， 此时函数f（x）无极值点，不符合题意； 当a＜0时， 令g'（x）＝0， 解得x＝ln（﹣2a）， 因为g'（x）为增函数， 所以当x＜ln（﹣2a）时，f′（x）单调递减； 当x＞ln（﹣2a）时，f′（x）单调递增， 又f′（ln（﹣2a））＝﹣2a[1﹣ln（﹣2a）]， 当ln（﹣2a）≤1，即时， 易知f′（ln（﹣2a））≥0， 所以f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增， 此时函数f（x）无极值点，不符合题意； 当ln（﹣2a）＞1，即时， 易知f′（ln（﹣2a））＜0， 又f′（0）＝1＞0， f′（﹣2a）＝e﹣2a﹣4a2＝（e﹣a﹣2a）（e﹣a+2a）＞（e﹣a﹣2a）[e（﹣a）+2a]＝﹣a（e﹣a﹣2a）（e﹣2）＞0， 此时f′（x）在R上存在两个变号零点， 即函数f（x）在R上存在两个极值点，不符合题意， 综上，满足条件的a的取值范围为（0，+∞）； （2）证明：若f（x）存在两个极值点x1，x2， 由（1）知，只有当且x1，x2均为正数时满足条件， 此时2a+e＜0，＞， 即+＞， 要证， 需证＞2， 即证x1+x2＞2， 因为f′（x1）＝+2ax1＝0，f′（x2）＝+2ax2， 所以＝， 对等式两边同时取对数，可得ln＝ln， 此时x1﹣lnx1＝x2﹣lnx2， 即＝1， 下证＞， 不妨设x2＞x1， 令＝t，t＞1， 此时需证＞， 即证lnt＞， 不妨设h（t）＝lnt﹣，函数定义域为（1，+∞）， 可得h′（t）＝﹣＝＞0， 所以函数h（t）在定义域上单调递增， 此时h（t）＞h（1）＝0， 所以当t＞1时，lnt＞恒成立， 即＞成立， 可得＞＝1， 即x1+x2＞2， 故． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力． 学科网（北京）股份有限公司 $$