精品解析：2024年广东省河源市中考一模数学试题

2024年广东省河源市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是无理数的是(　　) A. ﹣2 B. π C. 0 D. 2. 下列几何体中，是长方体的为（ ） A. B. C. D. 3. 据报道，2024年春节假期河源万绿湖景区共接待游客约220000人次．数字220000用科学记数法表示是（ ） A B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和9个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 在下列长度四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是（ ） A. 5cm B. 7cm C. 15cm D. 17cm 7. 如图，，于点C，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 随x的增大而增大 C. 当时， D. 关于x，y的方程组的解为 10. 等边三角形的边长为2，将该三角形绕顶点在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．） 11. 计算： +（﹣2）0=___． 12. 五边形的内角和等于___________度． 13. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当时，，则当时，R值是 _______． 14. 如图，是的外接圆，为6，连接，，，若，，则弧的长是_____（结果保留π）． 15. 公公元1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（n为非负整数）展开的多项式中各项系数之和为____． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解不等式组． 17. 解方程：. 18. 如图，在中，点D、E分别在、上，连接，若，，，求的长． 19. 某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．现该公司分别花费1080元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份牛肉面比每份杂酱面的价格贵5元，求每份牛肉面的价格． 20. 跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：110，112，136，137，140，142，142，151，164，168，172，174，175，175，175，175，180，186，188，198，对这组数据进行整理和分析，结果如下： 平均数 众数 中位数 160 a b 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）学校规定1分钟跳绳175次及以上为优秀，请你估计七年级360名学生中，约有多少名学生能达到优秀？ （3）某同学1分钟跳绳172次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由． 21. 无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，同时测得点距楼顶点米，点A处的俯角为，楼顶点处的俯角为．求大楼的高度（结果保留根号）． 22. 课本再现 思考 我们知道，矩形对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． （1）为了证明该定理，小亮同学画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你帮助他完成证明过程．已知：如图所示，已知平行四边形，对角线，相交于点O，且．求证：平行四边形是矩形． （2）如图，利用尺规作的角平分线，交边于点E（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （3）在（2）的条件下，延长交于点F．若，求证：四边形是正方形． 23. 如图1，在正方形中，，点是对角线上的动点（点不与点重合），连接，过点作，交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，作的外接圆⊙O，交边于点，连接，若，求的直径长； （3）如图3，设⊙O交于另外一点，若，求的面积． 24. 如图，已知抛物线与轴交于点，且经过点，过点作轴的平行线，交轴于点，交抛物线于点，点是抛物线在第一象限内的一动点，过点作轴，垂足为． （1）求该抛物线的解析式； （2）判断的形状，并说明理由； （3）点N是x轴上的一点，当与相似时，求n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年广东省河源市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是无理数的是(　　) A. ﹣2 B. π C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无限不循环小数为无理数即可求解． 【详解】解：π是无理数；﹣2、0、．都是有理数． 故选：B． 【点睛】本题主要考查无理数的定义，解此题关键在于熟练掌握常见的无理数：π，开方开不尽的数，无限不循环小数等. 2. 下列几何体中，是长方体的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长方体指由6个长方形所围成的立体图形判断即可． 【详解】解：A、该几何体是长方体，故本选项符合题意． B、该几何体是圆柱，故本选项不符合题意． C、几何体是圆锥，故本选项不符合题意． D、几何体是球体，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了对立体图形的认识，熟悉各种常见立体图形即可轻松解答． 3. 据报道，2024年春节假期河源万绿湖景区共接待游客约220000人次．数字220000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的运用．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，由此即可求解． 【详解】解：数字220000用科学记数法表示是， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，分别计算一一判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、与不同类项，不能进行合并，不符合题意； D、，故该项正确，符合题意； 故选：D． 5. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和9个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意可知一共12个棋子，黑色棋子3个，用概率公式求解即可． 【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和9个白色棋子，共12个棋子， ∴任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是． 故选：D． 6. 在下列长度的四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是（ ） A. 5cm B. 7cm C. 15cm D. 17cm 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．首先设第三条线段长为，再利用三角形的三边关系可得的范围，然后可得答案． 【详解】解：设第三条线段长为，由题意得： ， 解得：， 只有适合， 故选：C． 7. 如图，，于点C，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，根据两直线平行，内错角相等得，再根据直角三角形两锐角互余即可得解．掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 8. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通分，再根据分式加减法则进行计算即可． 【详解】解：， ＝， ＝， ＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行准确计算． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 随x的增大而增大 C. 当时， D. 关于x，y的方程组的解为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系．根据一次函数与方程、不等式的关系求解． 【详解】解：A、由图象得：，，所以，故本选项不符合题意； B、由图象得随的增大而减小，故本选项不符合题意； C、由图象得：当时，，故本选项符合题意； D、由图象得：的解为，故本选项不符合题意． 故选：C． 10. 等边三角形的边长为2，将该三角形绕顶点在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，可得，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，设与的交点为， 将该三角形绕顶点平面内旋转， ，， ，， ，， ， ， ， ， 旋转后的图形与原图形重叠部分的面积， 故选：A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．） 11. 计算： +（﹣2）0=___． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义及零指数幂的性质计算后，再合并即可. 【详解】 +（﹣2）0. =2+1. =3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义、零指数幂的性质及实数的运算，熟知性质和运算法则是解决本题的关键. 12. 五边形的内角和等于___________度． 【答案】540 【解析】 【分析】直接根据边形的内角和进行计算即可． 【详解】解：五边形的内角和． 故答案为：540． 【点睛】本题考查了边形的内角和定理：边形的内角和． 13. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当时，，则当时，R的值是 _______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数．利用待定系数法求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系， ∴电流I与R的函数关系为， ∵当时，， ∴，解得：， ∴电流I与R函数关系为， 当时，即， 解得． 故答案为：10． 14. 如图，是的外接圆，为6，连接，，，若，，则弧的长是_____（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，弧长的计算．根据等腰三角形的性质得到，求得，过作，根据等腰三角形的性质得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， 过作， ， ， ， ， 弧的长是， 故答案为：． 15. 公公元1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（n为非负整数）展开的多项式中各项系数之和为____． 【答案】2n 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸应用，属于规律性探究题型，从特殊到一般规律的推出是数学探究的常用方法．根据图示可得出一般规律，利用规律计算即可． 【详解】解：，系数之和是； ，系数之和是； ，系数之和是； ， ，展开各项系数之和是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集． 【详解】解：由，得， 由，得， 不等式组的解集为． 17. 解方程：. 【答案】，. 【解析】 【分析】将方程左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【详解】 ∴或 ∴， 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 18. 如图，在中，点D、E分别在、上，连接，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据变形得出，易证，再根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 19. 某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．现该公司分别花费1080元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份牛肉面比每份杂酱面的价格贵5元，求每份牛肉面的价格． 【答案】每份牛肉面的价格为20元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．设每份杂酱面的价格为元，则每份牛肉面的价格为元，根据“购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多”列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设每份杂酱面的价格为元，则每份牛肉面的价格为元， 根据题意，得． 解得． 经简要是原方程的解． 则每份牛肉面的价格为：（元）． 答：每份牛肉面的价格为20元． 20. 跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：110，112，136，137，140，142，142，151，164，168，172，174，175，175，175，175，180，186，188，198，对这组数据进行整理和分析，结果如下： 平均数 众数 中位数 160 a b 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）学校规定1分钟跳绳175次及以上为优秀，请你估计七年级360名学生中，约有多少名学生能达到优秀？ （3）某同学1分钟跳绳172次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由． 【答案】（1）175；170 （2）估计八年级360名学生中，约有175名学生能达到优秀； （3）该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数以及用样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念． （1）根据众数和中位数的定义解答即可； （2）用总人数乘样本中1分钟跳绳175次及以上所占比例即可； （3）根据中位数的意义解答即可． 【小问1详解】 解：在被抽取20名八年级学生进行1分钟跳绳测试成绩中，175出现的次数最多，故众数； 把被抽取20名八年级学生进行1分钟跳绳测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是168，172， 故中位数． 故答案为：175；170； 【小问2详解】 解：（名， 答：估计八年级360名学生中，约有175名学生能达到优秀； 【小问3详解】 解：， 该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生． 21. 无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，同时测得点距楼顶点米，点A处的俯角为，楼顶点处的俯角为．求大楼的高度（结果保留根号）． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定及性质和锐角三角函数，过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，得到，利用锐角三角函数得到，的数值，即可求得答案． 【详解】如图所示： 过点作于点，过点作于点． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵米，米，，， ∴米，米 ． ∴米． 22. 课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． （1）为了证明该定理，小亮同学画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你帮助他完成证明过程．已知：如图所示，已知平行四边形，对角线，相交于点O，且．求证：平行四边形是矩形． （2）如图，利用尺规作的角平分线，交边于点E（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （3）在（2）的条件下，延长交于点F．若，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形判定及性质，平行四边形的性质，正方形的判定，尺规作图作角平分线，理解矩形的判定及性质是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质结合，得，可知，，再利用三角形的内角和得，即可证明结论； （2）根据角平分线的作图解答即可； （3）根据矩形的性质得出，，证明四边形是矩形，再证，得，即，进而利用正方形的判定解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形； 【小问2详解】 解：如图所示：即为所求， 【小问3详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∴矩形是正方形． 23. 如图1，在正方形中，，点是对角线上动点（点不与点重合），连接，过点作，交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，作的外接圆⊙O，交边于点，连接，若，求的直径长； （3）如图3，设⊙O交于另外一点，若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）10 （3） 【解析】 【分析】本题考查正方形与圆的综合应用，熟练掌握正方形的性质、勾股定理的应用、三角形全等的判定和性质、圆的性质及圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等是解题关键． （1）过点作于．过点作于．证明即可得出结论； （2）过点作于，连接，证明．进而求出，，再在中，求出，， （3）过点作于．过点作于，容易证明，进而可得．再证明，得．进而求解． 【小问1详解】 证明：如图1，∵，． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． ∵． ∴． ∴四边形是正方形． ∴，． ∵． ∴． 在和中． ． ∴． ∴． 【小问2详解】 如图2，过点作于． ∵，． ∴． ∴． ∵，． ∴． 令，则． ∵． ∴． ∵． ∴． 即． 解得． ∴，． ∴． ∴4． ∵，⊙O是的外接圆， ∵． ∴． ∴． ∴的直径是． 【小问3详解】 解：如图3，连接，过点作于点， ∵四边形是正方形． ∴． 在和中， ． ∴． ∴． ∵． ∴． 又∵． ∴． ∴． ∵，． ∴． ∴． 24. 如图，已知抛物线与轴交于点，且经过点，过点作轴的平行线，交轴于点，交抛物线于点，点是抛物线在第一象限内的一动点，过点作轴，垂足为． （1）求该抛物线的解析式； （2）判断的形状，并说明理由； （3）点N是x轴上的一点，当与相似时，求n的值． 【答案】（1） （2）等腰三角形，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组，即可得到结论； （2）点是抛物线在第一象限内的一动点，于是得到，求得，根据勾股定理得到，，根据等腰三角形的判定定理得到是等腰三角形； （3）根据是等腰三角形，当与相似时，得到是等腰三角形，求得或，当时，过作轴于，根据相似三角形的性质得到，延长交于，求得，解方程得到；当时，如图，同理；于是得到结论． 【小问1详解】 抛物线与轴交于点，且经过点， ， ， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 是等腰三角形， 理由：点是抛物线在第一象限内的一动点， ， ， 过点作轴的平行线，交轴于点，， ，， ， 是等腰三角形； 【小问3详解】 过点作轴的平行线，交抛物线于点， ， 是等腰三角形，当与相似时， 是等腰三角形， 或， 当时， 过作轴于， ， ， ∴ ， ， ， 延长交于， ， ，， ， ， 或（不合题意舍去）， ； 当时，如图， 同理； 综上所述，当与相似时，的值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，正确地求出函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$